5.1 任意角和弧度制

本节学习目标

学完本节，你应该能够：

• 理解正角、负角、零角的意义，知道角的“相等”取决于旋转方向和旋转量。
• 会把角放到平面直角坐标系中，判断它是第几象限角或是否为轴线角。
• 会用集合表示与已知角终边相同的所有角，并能在指定范围内找出这些角。
• 掌握角度制与弧度制的换算关系，熟记常见特殊角的弧度值。
• 会推导并运用弧长公式、扇形面积公式解决简单几何问题。
• 体会“角的集合”到“实数集”的一一对应，为后面学习三角函数做准备。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

圆周运动、齿轮传动、体操转体、钟表指针等运动中，旋转的角度常常超过 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$，而且方向有顺时针和逆时针之分。为了准确描述这些运动，我们需要把“角”从初中所学的“ $0^{\circ }$ 到 $360^{\circ }$ ”的范围扩展到任意角。

二、核心概念与定义条件

1. 任意角

   角可以看作一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。设端点为 $O$，起始位置为射线 $OA$。

   • 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
   • 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
   • 射线没有旋转时形成的角叫做零角。

   这样，角可以是任意正数、负数或零，不再受 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 的限制。

2. 角的相等与运算

   • 若两个角旋转方向相同且旋转量相等，则称这两个角相等。
   • 将角 $\alpha$ 的终边再旋转角 $\beta$，所得到的角记为 $\alpha +\beta$。
   • 与 $\alpha$ 旋转方向相反、旋转量相同的角叫做 $\alpha$ 的相反角，记作 $-\alpha$。于是 $$\alpha -\beta =\alpha +(-\beta ).$$ 角的减法可以转化为加法。

3. 象限角与轴线角

   在平面直角坐标系中讨论角时，通常规定：角的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合。

   • 终边落在第几象限，这个角就是第几象限角；
   • 终边落在坐标轴上时，这个角不属于任何象限，称为轴线角。

   例如：$30^{\circ }$ 是第一象限角，$-120^{\circ }$ 是第三象限角，$90^{\circ }$、$180^{\circ }$、$270^{\circ }$ 都是轴线角。

4. 终边相同的角

   若两个角的终边完全相同，则它们相差整数个周角。与角 $\alpha$ 终边相同的所有角构成的集合为

   $$S=\{\beta \mid \beta =\alpha +k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}.$$

   在弧度制下，可写成

   $$S=\{\beta \mid \beta =\alpha +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}.$$

   这里 $k$ 必须是整数，因为每旋转一整圈（$360^{\circ }$ 或 $2\pi$），终边才会回到原来的位置。

三、符号语言与等价表示

1. 终边相同角的集合

   集合描述中 $k\in \mathbb{Z}$ 不可省略。若只写 $\alpha +360^{\circ }$，那只是其中一个角，不能代表全部。

2. 在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内找代表角

   给定任意角，常通过加减整数个 $360^{\circ }$（或 $2\pi$）把它化为 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$（或 $0\sim 2\pi$）内的角，以便判断象限。

3. 常见轴线角的集合

   • 终边在 $x$ 轴上：$\{\beta \mid \beta =k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$；
   • 终边在 $y$ 轴上：$\{\beta \mid \beta =90^{\circ }+k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$；
   • 终边在 $x$ 轴非负半轴：$\{\beta \mid \beta =k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$。

四、关键性质、定理与公式

1. 弧度制定义

   长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 $1$ 弧度的角，记作 $1\text{rad}$。

   半径为 $r$ 的圆中，若圆心角 $\alpha$（弧度）所对的弧长为 $l$，则

   $$|\alpha |=\frac{l}{r}.$$

   其中 $\alpha$ 的正负由旋转方向决定：逆时针为正，顺时针为负。

2. 角度制与弧度制的换算

   周角在角度制下是 $360^{\circ }$，在弧度制下是 $2\pi$，所以

   $$360^{\circ }=2\pi \text{rad},180^{\circ }=\pi \text{rad}.$$

   由此得到

   $$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{rad}\approx 0.01745\text{rad},$$ $$1\text{rad}={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }\approx 57.30^{\circ }=57^{\circ }18^{\prime }.$$

   换算口诀：度化弧度乘以 $\frac{\pi }{180}$；弧度化度乘以 $\frac{180}{\pi }$。

3. 特殊角对应表

   角度	$0^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$90^{\circ }$	$120^{\circ }$	$135^{\circ }$	$150^{\circ }$	$180^{\circ }$	$270^{\circ }$	$360^{\circ }$
   弧度	$0$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$

4. 角与实数的一一对应

   在弧度制下，每一个角都对应唯一一个实数（它的弧度数）；反过来，每一个实数也对应唯一一个角。这样，角的集合与实数集 $\mathbb{R}$ 之间建立起一一对应关系。

5. 弧长公式与扇形面积公式

   设扇形半径为 $R$，圆心角为 $\alpha$（弧度），弧长为 $l$，面积为 $S$，则

   $$l=|\alpha |R.$$

   当 $\alpha$ 为正角时，可简化为 $l=\alpha R$。

   扇形面积

   $$S=\frac{1}{2}|\alpha |R^2=\frac{1}{2}lR.$$

   这两个公式在弧度制下形式非常简洁；若题目给的是角度，必须先化为弧度才能代入。

五、典型模型与解题方法

1. “化大角为小角”模型

   遇到超过 $360^{\circ }$ 或负角，先利用终边相同角公式，化为 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内的角，再判断象限或计算。

2. “终边在直线上”的集合模型

   一条直线过原点，在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内通常对应两条射线（相差 $180^{\circ }$）。因此，终边在该直线上的角的集合可以写成

   $$\{\beta \mid \beta ={\theta }_0+k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$$

   的形式，其中 ${\theta }_0$ 是该直线与 $x$ 轴正方向的最小非负夹角。

3. “扇形”计算模型

   已知半径、圆心角、弧长、面积中的两个量，常通过 $l=|\alpha |R$ 与 $S=\frac{1}{2}lR$ 建立方程求解。

六、题型应用与迁移

本节知识可以直接迁移到：

• 判断任意角的象限；
• 写出终边在特殊直线或射线上的角的集合；
• 角度与弧度的精确互化；
• 计算扇形弧长、面积以及由弧长反求圆心角；
• 解决钟表指针、齿轮传动等实际问题。

重点梳理

1. 正角、负角、零角的本质

   它们描述的是射线旋转的“方向”和“量”。正角逆时针，负角顺时针，零角不旋转。零角的始边与终边重合，但始边与终边重合的角不一定是零角，还可能是 $360^{\circ }$、$720^{\circ }$ 等整数周角。

2. 终边相同角的集合

   集合 $S=\{\beta \mid \beta =\alpha +k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$ 是处理任意角问题的基础。关键要注意：

   • $k$ 必须取遍所有整数；
   • 同一个终边可以用不同的“代表角”表示，例如与 $-32^{\circ }$ 终边相同的角也可以写成 $328^{\circ }$、$-392^{\circ }$ 等。

3. 象限角与轴线角

   判断象限角时，必须先把角化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$。轴线角不属于任何象限，这是常考的边界点。

4. 弧度制的意义

   弧度制用弧长与半径的比值来度量角，使得角的集合与实数集一一对应，也让后面的弧长、扇形面积、三角函数公式变得更加简洁。

5. 角度与弧度互化

   • 度化弧度：${\alpha }^{\circ }\times \frac{\pi }{180}$；
   • 弧度化度：$\alpha \text{rad}\times \frac{180^{\circ }}{\pi }$。

   特殊角的换算要非常熟悉，避免在考试中使用计算器时出错。

6. 弧长与扇形面积公式

   $l=|\alpha |R$ 和 $S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}|\alpha |R^2$。这里 $\alpha$ 必须是弧度。如果题目给的是角度，例如 $n^{\circ }$，则

   $$l=\frac{n\pi R}{180},S=\frac{n\pi R^2}{360}.$$

   但更推荐先化为弧度，再使用 $l=\alpha R$。

难点突破

难点 1：如何写出终边在直线上的角的集合

终边在直线 $y=x$ 上的角，在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内有两个：$45^{\circ }$ 和 $225^{\circ }$。若直接写成

$$\{\beta \mid \beta =45^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\beta \mid \beta =225^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\},$$

虽然正确，但不够简洁。注意到 $45^{\circ }$ 与 $225^{\circ }$ 相差 $180^{\circ }$，可以合并为

$$\{\beta \mid \beta =45^{\circ }+k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}.$$

一般规律：终边在一条过原点的直线上的角，周期通常取 $180^{\circ }$（即 $\pi$ 弧度）。

难点 2：如何在指定范围内找出终边相同的角

例如，求集合 $S=\{\beta \mid \beta =45^{\circ }+k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$ 中满足 $-360^{\circ }\le \beta <720^{\circ }$ 的元素。

方法：先列出不等式

$$-360^{\circ }\le 45^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }<720^{\circ },$$

解出

$$-2.25\le k<3.75,$$

所以 $k=-2,-1,0,1,2,3$。代入得

$$\beta =-315^{\circ },-135^{\circ },45^{\circ },225^{\circ },405^{\circ },585^{\circ }.$$

难点 3：扇形公式中的角单位

弧长公式 $l=\alpha R$ 和面积公式 $S=\frac{1}{2}\alpha R^2$ 中的 $\alpha$ 必须是弧度。如果题目给的是角度，例如 $60^{\circ }$，要先化为 $\frac{\pi }{3}$ 弧度，再代入。

例题讲解

例题 1：把任意角化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 并判断象限

在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围内，找出与 $-950^{\circ }12^{\prime }$ 终边相同的角，并判断它是第几象限角。

分析：终边相同的角相差整数个周角。用 $-950^{\circ }12^{\prime }$ 加上若干个 $360^{\circ }$，直到结果落在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内。

解：

$$-950^{\circ }12^{\prime }=-3\times 360^{\circ }+129^{\circ }48^{\prime }.$$

因此在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围内，与 $-950^{\circ }12^{\prime }$ 终边相同的角是 $129^{\circ }48^{\prime }$。

由于 $90^{\circ }<129^{\circ }48^{\prime }<180^{\circ }$，它是第二象限角。

反思：$129^{\circ }48^{\prime }$ 与 $-950^{\circ }12^{\prime }$ 终边相同，但数值相差 $3\times 360^{\circ }$。判断象限时，只需看 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内的代表角。

例题 2：写出终边在 $y$ 轴上的角的集合

在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内，终边在 $y$ 轴上的角有 $90^{\circ }$ 和 $270^{\circ }$。分别写出与它们终边相同的角的集合，再合并。

解：

与 $90^{\circ }$ 终边相同的角的集合为

$$S_1=\{\beta \mid \beta =90^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}.$$

与 $270^{\circ }$ 终边相同的角的集合为

$$S_2=\{\beta \mid \beta =270^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}.$$

于是

$$\begin{array}{rl}{S}_1\cup S_2& =\{\beta \mid \beta =90^{\circ }+2k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\beta \mid \beta =90^{\circ }+(2k+1)\cdot 180^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}\\ & =\{\beta \mid \beta =90^{\circ }+n\cdot 180^{\circ },n\in \mathbb{Z}\}.\end{array}$$

反思：$y$ 轴包含正半轴和负半轴，合并后周期变为 $180^{\circ }$。

例题 3：终边在直线 $y=x$ 上的角

写出终边在直线 $y=x$ 上的角的集合 $S$，并求出 $S$ 中满足 $-360^{\circ }\le \beta <720^{\circ }$ 的元素。

分析：直线 $y=x$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角为 $45^{\circ }$，在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内终边在该直线上的角有 $45^{\circ }$ 和 $225^{\circ }$。

解：

集合为

$$S=\{\beta \mid \beta =45^{\circ }+k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}.$$

解不等式

$$-360^{\circ }\le 45^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }<720^{\circ },$$

得

$$-2.25\le k<3.75,k\in \mathbb{Z},$$

所以 $k=-2,-1,0,1,2,3$。

对应的元素为

$$\beta =-315^{\circ },-135^{\circ },45^{\circ },225^{\circ },405^{\circ },585^{\circ }.$$

反思：直线 $y=x$ 对应的两条射线相差 $180^{\circ }$，因此直接用 $180^{\circ }$ 作为周期。在限定范围内找元素时，先解关于 $k$ 的不等式，再逐个代入。

例题 4：角度与弧度的互化

（1）把 $67^{\circ }30^{\prime }$ 化成弧度（精确值和精确到 $0.001$ 的近似值）。
（2）把 $3.14\text{rad}$ 化成角度（精确到 $0.001^{\circ }$）。

分析：$67^{\circ }30^{\prime }=67.5^{\circ }$，再乘以 $\frac{\pi }{180}$。弧度化角度则乘以 $\frac{180^{\circ }}{\pi }$。

解：

（1）因为 $67^{\circ }30^{\prime }=67.5^{\circ }=\frac{135^{\circ }}{2}$，所以

$$67^{\circ }30^{\prime }=\frac{135}{2}\times \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{8}\text{rad}.$$

利用计算器可得

$$\frac{3\pi }{8}\approx 1.178097245,$$

故

$$67^{\circ }30^{\prime }\approx 1.178\text{rad}.$$

（2）

$$3.14\text{rad}=3.14\times \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 179.9087477^{\circ }.$$

故

$$3.14\text{rad}\approx 179.909^{\circ }.$$

反思：角度中的分要先把 $30^{\prime }$ 化为 $0.5^{\circ }$；$\pi$ 通常取近似值 $3.1415926$ 进行计算。注意“精确值”要保留 $\pi$。

例题 5：扇形的弧长与面积

已知扇形的半径为 $R$，圆心角为 $\alpha$（弧度，$0<\alpha <2\pi$），弧长为 $l$，面积为 $S$。证明：

$$l=\alpha R,S=\frac{1}{2}\alpha R^2,S=\frac{1}{2}lR.$$

分析：由弧度定义 $|\alpha |=\frac{l}{R}$，可直接得到 $l=\alpha R$（因为 $\alpha >0$）。扇形面积可看作圆面积的一部分，圆心角占整周的比例为 $\frac{\alpha }{2\pi }$。

解：

由弧度定义

$$\alpha =\frac{l}{R},$$

所以

$$l=\alpha R.$$

扇形面积占整个圆面积的 $\frac{\alpha }{2\pi }$，因此

$$S=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi R^2=\frac{1}{2}\alpha R^2.$$

将 $l=\alpha R$ 代入，得

$$S=\frac{1}{2}lR.$$

反思：这三个公式在弧度制下非常简洁。若圆心角为负角，只需在 $l$ 和 $S$ 中取 $|\alpha |$。

例题 6：在指定范围内筛选终边相同的角

写出与 $60^{\circ }$ 终边相同的角的集合，并找出集合中满足 $-360^{\circ }\le \beta <360^{\circ }$ 的元素。

解：

集合为

$$S=\{\beta \mid \beta =60^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}.$$

由

$$-360^{\circ }\le 60^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }<360^{\circ },$$

解得

$$-\frac{7}{6}\le k<\frac{5}{6},k\in \mathbb{Z},$$

所以 $k=-1,0$。

对应的元素为

$$\beta =-300^{\circ },60^{\circ }.$$

反思：终边相同角的集合中，$k$ 取不同整数会得到无数多个角，但限定范围后通常只有少数几个。

易错点整理

1. 漏写 $k\in \mathbb{Z}$

   • 错误表现：写出与 $30^{\circ }$ 终边相同的角为 $30^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$，却忘记说明 $k\in \mathbb{Z}$。
   • 错因分析：没有 $k$ 的取值范围，就不是一个完整的集合。
   • 正确处理：必须写成 $\{\beta \mid \beta =30^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$。

2. 把轴线角当作象限角

   • 错误表现：认为 $90^{\circ }$ 是第一象限角或第二象限角。
   • 错因分析：轴线角的终边在坐标轴上，不属于任何象限。
   • 正确处理：判断前先确认终边是否在坐标轴上。

3. 角度与弧度混用

   • 错误表现：在弧长公式 $l=\alpha R$ 中直接代入角度值。
   • 错因分析：该公式只适用于弧度。
   • 正确处理：先化为弧度，或改用角度制公式 $l=\frac{n\pi R}{180}$。

4. 混淆精确值与近似值

   • 错误表现：把 $67^{\circ }30^{\prime }$ 写成 $1.178\text{rad}$ 作为精确值。
   • 错因分析：$1.178$ 是近似值，精确值应保留 $\pi$。
   • 正确处理：精确值写 $\frac{3\pi }{8}\text{rad}$，近似值写 $1.178\text{rad}$。

5. 终边在直线上的集合周期错误

   • 错误表现：终边在直线 $y=x$ 上的集合写成 $\beta =45^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$。
   • 错因分析：忽略了直线包含两个方向相反的射线，周期应为 $180^{\circ }$。
   • 正确处理：写成 $\beta =45^{\circ }+k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbb{Z}$。

6. 忽略负角在扇形弧长中的绝对值

   • 错误表现：认为 $l=-\alpha R$ 表示弧长为负。
   • 错因分析：弧长是几何量，非负；负号只反映旋转方向。
   • 正确处理：$l=|\alpha |R$，计算面积时也用 $|\alpha |$。

考点考证点整理

考点一：终边相同角的表示与化归

• 出题思路：给出一个任意角（正、负或含分、秒），要求在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 或 $0\sim 2\pi$ 内找出终边相同的角，并判断象限。
• 关键条件：终边相同角相差 $k\cdot 360^{\circ }$（或 $k\cdot 2\pi$），$k\in \mathbb{Z}$；判断象限只需看化归后的代表角。
• 解答要点：
  1. 用加减整数个周角把角化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$；
  2. 根据代表角落在哪个象限下结论；
  3. 写出“与 $\alpha$ 终边相同的角为 $\alpha +k\cdot 360^{\circ }$”。
• 易扣分点：不写 $k\in \mathbb{Z}$；计算 $360^{\circ }$ 的倍数时出错；象限判断错误。

考点二：象限角与轴线角的判断

• 出题思路：给出若干角，要求判断它们是第几象限角或是否为轴线角。
• 关键条件：顶点在原点、始边在 $x$ 轴非负半轴；轴线角终边在坐标轴上。
• 解答要点：
  1. 先把角化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$；
  2. 看终边位置：落在象限内即为象限角，落在坐标轴上即为轴线角；
  3. 对轴线角明确写出“不属于任何象限”。
• 易扣分点：把 $0^{\circ }$、$90^{\circ }$、$180^{\circ }$、$270^{\circ }$、$360^{\circ }$ 等误判为象限角。

考点三：终边在直线或射线上的角的集合

• 出题思路：要求写出终边在 $x$ 轴、$y$ 轴、$y=x$、$y=-x$ 等直线上的角的集合，或在指定范围内求集合元素。
• 关键条件：直线对应两条射线，周期为 $180^{\circ }$；射线周期为 $360^{\circ }$。
• 解答要点：
  1. 在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内找出所有满足条件的角；
  2. 若只有一条射线，周期为 $360^{\circ }$；若为过原点的直线，周期为 $180^{\circ }$；
  3. 用不等式确定整数 $k$ 的取值，再代入求元素。
• 易扣分点：周期写错；解不等式时边界处理错误。

考点四：角度制与弧度制的互化

• 出题思路：角度化弧度、弧度化角度，或比较两个含不同单位制角的大小。
• 关键条件：$180^{\circ }=\pi \text{rad}$；$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{rad}$；$1\text{rad}=\frac{180^{\circ }}{\pi }$。
• 解答要点：
  1. 度化弧度：乘以 $\frac{\pi }{180}$；
  2. 弧度化度：乘以 $\frac{180^{\circ }}{\pi }$；
  3. 比较大小前先统一单位。
• 易扣分点：单位混淆；$30^{\prime }$ 没有先化为 $0.5^{\circ }$；近似值与精确值不分。

考点五：扇形弧长与面积计算

• 出题思路：已知扇形半径、圆心角、弧长、面积中的部分量，求其余量；或结合实际问题（如金属板截取、扇子展开）。
• 关键条件：圆心角必须用弧度；弧长、半径、面积均为正数。
• 解答要点：
  1. 若角为角度，先化为弧度；
  2. 用 $l=|\alpha |R$ 求弧长或圆心角；
  3. 用 $S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}|\alpha |R^2$ 求面积；
  4. 实际问题中注意单位换算和精确度要求。
• 易扣分点：圆心角未化弧度；符号错误；单位未写或写错。

考点六：综合应用（钟表、齿轮等实际问题）

• 出题思路：时针、分针旋转角度；齿轮啮合转过角度或弧长。
• 关键条件：钟表指针顺时针旋转形成负角；齿轮转速与齿数成反比。
• 解答要点：
  1. 明确旋转方向，确定正角或负角；
  2. 把转速化为每秒/每分转过的周数；
  3. 用 $l=\alpha R$ 计算弧长，注意单位统一。
• 易扣分点：旋转方向判断错误；没有统一时间单位；弧度与角度混用。

练习题

基础训练

1. 口答：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？直角和钝角呢？
2. 在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围内，找出与 $-265^{\circ }$ 终边相同的角，并指出它是第几象限角。
3. 将下列角度化为弧度：
   （1）$22^{\circ }30^{\prime }$；　（2）$-210^{\circ }$；　（3）$1200^{\circ }$。
4. 将下列弧度化为角度：
   （1）$\frac{\pi }{8}$；　（2）$-\frac{4\pi }{3}$；　（3）$\frac{5\pi }{6}$。
5. 用弧度表示终边在 $x$ 轴上的角的集合。

巩固训练

6. 写出与 $1303^{\circ }18^{\prime }$ 终边相同的角的集合，并找出集合中满足 $-720^{\circ }\le \beta <360^{\circ }$ 的元素 $\beta$。
7. 写出终边在直线 $y=-x$ 上的角的集合，并找出集合中满足 $-360^{\circ }\le \beta <720^{\circ }$ 的元素 $\beta$。
8. 在半径 $OA=100\text{cm}$ 的圆形金属板上截取一块扇形，使其弧 $AB$ 的长为 $112\text{cm}$，求圆心角 $\angle AOB$ 的度数（精确到 $1^{\circ }$）。
9. 已知半径为 $120\text{mm}$ 的圆上，有一条弧的长是 $144\text{mm}$，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数。
10. 选择题：已知 $\alpha$ 是锐角，那么 $2\alpha$ 是（　　）。
    （A）第一象限角　（B）第二象限角　（C）小于 $180^{\circ }$ 的正角　（D）第一或第二象限角

提升训练

11. 相互啮合的两个齿轮，大轮有 $48$ 齿，小轮有 $20$ 齿。大轮转速为 $180\text{r/min}$，小轮半径为 $10.5\text{cm}$，求小轮周上一点每 $1\text{s}$ 转过的弧长。
12. 时间经过 $4\text{h}$，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
13. 比较大小：$\cos 0.75^{\circ }$ 与 $\cos 0.75$；$\tan 1.2^{\circ }$ 与 $\tan 1.2$（可用计算工具）。
14. 已知角 $\alpha$ 的终边与 $-1000^{\circ }$ 的终边相同，且 $-360^{\circ }\le \alpha <360^{\circ }$，求 $\alpha$ 的所有可能取值。

练习题答案

基础训练

1. 答案：锐角是第 一 象限角；第一象限角不一定是锐角，例如 $390^{\circ }$ 也是第一象限角；直角是轴线角，不属于任何象限；钝角是第二象限角。

2. 答案：

$$-265^{\circ }+360^{\circ }=95^{\circ },$$

所以在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围内，与 $-265^{\circ }$ 终边相同的角是 $95^{\circ }$，它是第二象限角。

3. 答案：

（1）$22^{\circ }30^{\prime }=22.5^{\circ }=\frac{22.5\pi }{180}=\frac{\pi }{8}\text{rad}$；

（2）$-210^{\circ }=-210\times \frac{\pi }{180}=-\frac{7\pi }{6}\text{rad}$；

（3）$1200^{\circ }=1200\times \frac{\pi }{180}=\frac{20\pi }{3}\text{rad}$。

4. 答案：

（1）$\frac{\pi }{8}=\frac{180^{\circ }}{8}=22.5^{\circ }$；

（2）$-\frac{4\pi }{3}=-\frac{4}{3}\times 180^{\circ }=-240^{\circ }$；

（3）$\frac{5\pi }{6}=\frac{5}{6}\times 180^{\circ }=150^{\circ }$。

5. 答案：终边在 $x$ 轴上的角的集合为

$$\{\beta \mid \beta =k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}.$$

巩固训练

6. 答案：

集合为

$$S=\{\beta \mid \beta =1303^{\circ }18^{\prime }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}.$$

先将 $1303^{\circ }18^{\prime }$ 化为 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内的代表角：

$$1303^{\circ }18^{\prime }=3\times 360^{\circ }+223^{\circ }18^{\prime },$$

所以

$$S=\{\beta \mid \beta =223^{\circ }18^{\prime }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}.$$

解 $-720^{\circ }\le 223^{\circ }18^{\prime }+k\cdot 360^{\circ }<360^{\circ }$，得

$$-2.620\le k<0.380,k\in \mathbb{Z},$$

所以 $k=-2,-1,0$。

对应元素为

$$\beta =-496^{\circ }42^{\prime },-136^{\circ }42^{\prime },223^{\circ }18^{\prime }.$$

7. 答案：直线 $y=-x$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角为 $135^{\circ }$，在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内终边在该直线上的角为 $135^{\circ }$ 和 $315^{\circ }$，所以集合为

$$S=\{\beta \mid \beta =135^{\circ }+k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}.$$

解 $-360^{\circ }\le 135^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }<720^{\circ }$，得

$$-2.75\le k<3.25,k\in \mathbb{Z},$$

所以 $k=-2,-1,0,1,2,3$。

对应元素为

$$\beta =-225^{\circ },-45^{\circ },135^{\circ },315^{\circ },495^{\circ },675^{\circ }.$$

8. 答案：

由 $l=\alpha R$ 得

$$\alpha =\frac{l}{R}=\frac{112}{100}=1.12\text{rad}.$$

化为角度：

$$1.12\text{rad}=1.12\times \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 64.2^{\circ }.$$

所以圆心角 $\angle AOB$ 约为 $64^{\circ }$。

9. 答案：

$$\alpha =\frac{l}{r}=\frac{144}{120}=1.2\text{rad}.$$

所以该弧所对的圆心角为 $1.2\text{rad}$。

10. 答案：C。

解析：$\alpha$ 是锐角，则 $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$，所以 $0^{\circ }<2\alpha <180^{\circ }$，即 $2\alpha$ 是小于 $180^{\circ }$ 的正角。它可能是第一象限角或第二象限角，但当 $2\alpha =90^{\circ }$ 时是轴线角，所以“第一或第二象限角”不够准确，选 C。

提升训练

11. 答案：

大轮转 $1$ 周，小轮转的齿数相同，所以小轮转过的周数为

$$\frac{48}{20}=2.4\text{周}.$$

大轮转速 $180\text{r/min}=3\text{r/s}$，所以大轮每秒转 $3$ 周，小轮每秒转

$$3\times 2.4=7.2\text{周}.$$

小轮半径 $R=10.5\text{cm}$，每转一周转过弧长 $2\pi R$，所以每秒转过弧长

$$l=7.2\times 2\pi \times 10.5\approx 475.0\text{cm}.$$

12. 答案：

时针 $12$ 小时转一周 $360^{\circ }$，所以 $4$ 小时转

$$\frac{4}{12}\times 360^{\circ }=120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}\text{rad}.$$

分针 $1$ 小时转一周，所以 $4$ 小时转

$$4\times 360^{\circ }=1440^{\circ }=8\pi \text{rad}.$$

注意：时针顺时针旋转，若按有向角理解可记为 $-120^{\circ }$；分针也顺时针旋转，可记为 $-1440^{\circ }$。但通常问“转了多少度”指旋转的绝对量。

13. 答案：

（1）$0.75^{\circ }$ 是很小的角度，$0.75$ 弧度约为 $42.97^{\circ }$。$\cos x$ 在 $0^{\circ }\sim 90^{\circ }$ 单调递减，所以

$$\cos 0.75^{\circ }>\cos \mathrm{0.75.}$$

（2）$1.2^{\circ }$ 很小，$1.2$ 弧度约为 $68.75^{\circ }$，都在正切函数的单调递增区间 $(-90^{\circ },90^{\circ })$ 内，所以

$$\tan 1.2^{\circ }<\tan \mathrm{1.2.}$$

14. 答案：

与 $-1000^{\circ }$ 终边相同的角为

$$\alpha =-1000^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}.$$

由 $-360^{\circ }\le -1000^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }<360^{\circ }$，得

$$\frac{640^{\circ }}{360^{\circ }}\le k<\frac{1360^{\circ }}{360^{\circ }},$$

即

$$1.78\le k<3.78,k\in \mathbb{Z},$$

所以 $k=2,3$。

对应

$$\alpha =-280^{\circ },80^{\circ }.$$