5.4 三角函数的图象与性质

相关知识

5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y = A sin(ωx + φ)
5.7 三角函数的应用

5.4 三角函数的图象与性质

本节学习目标

学完本节，你应该能够：

• 会用单位圆描点法和五点法画出 $y=\sin x$、$y=\cos x$、$y=\tan x$ 的简图。
• 理解周期函数的定义，会求 $y=A\sin (\omega x+\phi )$、$y=A\cos (\omega x+\phi )$、$y=A\tan (\omega x+\phi )$ 的周期。
• 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和最值。
• 会求简单三角函数的最大值、最小值以及对应的自变量集合。
• 会求简单三角函数的单调区间（特别是带定义域限制时）。
• 能利用单调性比较三角函数值的大小，能借助图象解简单三角不等式。
• 体会三角函数图象与单位圆、诱导公式之间的内在联系。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

三角函数是刻画周期现象的数学模型。研究函数的一般路径是：先画图象，再从图象中观察性质（周期性、奇偶性、单调性、最值等）。由于三角函数具有“周而复始”的特点，只要画出一个周期内的图象，就能通过平移得到整个定义域上的图象。

二、核心概念与定义条件

1. 正弦函数 $y=\sin x$ 的图象

   在区间 $[0,2\pi ]$ 上，用单位圆描点，得到五个关键点：

   $$(0,0),\left(\frac{\pi }{2},1\right),(\pi ,0),\left(\frac{3\pi }{2},-1\right),(2\pi ,0).$$

   用光滑曲线连接这五点，就得到 $y=\sin x$ 在 $[0,2\pi ]$ 上的简图。由于 $y=\sin x$ 的周期为 $2\pi$，将此图象向左、向右平移 $2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$），即可得到整个定义域上的图象，称为正弦曲线。

   描点法的关键思想：$y=\sin x$ 就是单位圆上旋转角为 $x$ 的点的纵坐标。

2. 余弦函数 $y=\cos x$ 的图象

   由诱导公式

   $$\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$$

   可知，$y=\cos x$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位得到，称为余弦曲线。

   在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的五个关键点为：

   $$(-\pi ,-1),\left(-\frac{\pi }{2},0\right),(0,1),\left(\frac{\pi }{2},0\right),(\pi ,-1).$$

   或在 $[0,2\pi ]$ 上：

   $$(0,1),\left(\frac{\pi }{2},0\right),(\pi ,-1),\left(\frac{3\pi }{2},0\right),(2\pi ,1).$$

3. 正切函数 $y=\tan x$ 的图象

   定义域：$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$。

   在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上，利用单位圆的切线，$\tan x$ 等于切线 $x=1$ 上从 $(1,0)$ 到终边交点的线段长度。当 $x$ 接近 $\frac{\pi }{2}$ 时，$\tan x$ 趋向 $+\infty$。

   由奇函数性质，可画出 $\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 上的图象；再由周期性 $\pi$ 向左右平移，得到整个定义域上的图象，称为正切曲线。它由被直线 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 隔开的无数支形状相同的曲线组成。

4. 周期函数的定义

   设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在非零常数 $T$，使得对任意 $x\in D$ 都有 $x+T\in D$，且

   $$f(x+T)=f(x),$$

   则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 为它的一个周期。

   若所有周期中存在最小的正数，则称这个最小正数为最小正周期。本书中如果不加说明，周期一般指最小正周期。

   • $y=\sin x$、$y=\cos x$ 的最小正周期为 $2\pi$；
   • $y=\tan x$ 的最小正周期为 $\pi$。

5. 复合三角函数的周期公式

   对于 $y=A\sin (\omega x+\phi )$、$y=A\cos (\omega x+\phi )$（$A\ne 0$，$\omega >0$），周期为

   $$T=\frac{2\pi }{\omega }.$$

   对于 $y=A\tan (\omega x+\phi )$（$A\ne 0$，$\omega >0$），周期为

   $$T=\frac{\pi }{\omega }.$$

   周期只与 $x$ 的系数 $\omega$ 有关，与振幅 $A$ 和初相 $\phi$ 无关。

6. 奇偶性

   由诱导公式：

   • $y=\sin x$ 是奇函数，图象关于原点对称；
   • $y=\cos x$ 是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称；
   • $y=\tan x$ 是奇函数，图象关于原点对称。

7. 单调性与最值

   正弦函数 $y=\sin x$：

   • 在 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$（$k\in \mathbb{Z}$）上单调递增，值从 $-1$ 增加到 $1$；
   • 在 $\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$（$k\in \mathbb{Z}$）上单调递减，值从 $1$ 减小到 $-1$；
   • 当 $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 时，$y_{\max }=1$；
   • 当 $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 时，$y_{\min }=-1$。

   余弦函数 $y=\cos x$：

   • 在 $[-\pi +2k\pi ,2k\pi ]$（$k\in \mathbb{Z}$）上单调递增，值从 $-1$ 增加到 $1$；
   • 在 $[2k\pi ,\pi +2k\pi ]$（$k\in \mathbb{Z}$）上单调递减，值从 $1$ 减小到 $-1$；
   • 当 $x=2k\pi$ 时，$y_{\max }=1$；
   • 当 $x=\pi +2k\pi$ 时，$y_{\min }=-1$。

   正切函数 $y=\tan x$：

   • 在每个开区间 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$（$k\in \mathbb{Z}$）上单调递增；
   • 值域为 $\mathbb{R}$，没有最大值和最小值。

三、符号语言与等价表示

把三种基本三角函数的性质汇总如下：

函数	定义域	值域	最小正周期	奇偶性	单调性
$y=\sin x$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$	$2\pi$	奇函数	在 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ 递增；在 $\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$ 递减
$y=\cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$	$2\pi$	偶函数	在 $[-\pi +2k\pi ,2k\pi ]$ 递增；在 $[2k\pi ,\pi +2k\pi ]$ 递减
$y=\tan x$	$\left\{x\mid x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$	$\mathbb{R}$	$\pi$	奇函数	在每个 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ 递增

四、关键性质、定理与公式

1. 五点法作图步骤

   对于 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$（或余弦），先令 $z=\omega x+\phi$，取 $z=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$，解出对应的 $x$，再计算 $y$，描点连线。

2. 周期公式

   $$T_{\sin /\cos }=\frac{2\pi }{\omega },T_{\tan }=\frac{\pi }{\omega }.$$

3. 最值公式

   对于 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$（$A\ne 0$）：

   • 最大值为 $|A|+b$，最小值为 $-|A|+b$；
   • 取得最大值时，$\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$；
   • 取得最小值时，$\omega x+\phi =-\frac{\pi }{2}+2k\pi$。

   对于余弦类似，取得最大/最小值时，$\omega x+\phi =2k\pi$ 或 $\pi +2k\pi$。

4. 单调区间求法

   令 $z=\omega x+\phi$，把 $y=A\sin z$ 的单调区间代入，解关于 $x$ 的不等式。注意 $A$ 的符号：若 $A<0$，则增减性相反。

五、典型模型与解题方法

1. 五点法作图模型

   选五个等分相位的点，列成表格，描点、连线。

2. 周期求解模型

   认准 $x$ 的系数 $\omega$，套用 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 或 $T=\frac{\pi }{\omega }$。

3. 最值求解模型

   先求 $A$ 和 $b$，再确定内层角取何值时达到 $1$ 或 $-1$，最后解出 $x$ 的集合。

4. 单调区间求解模型

   换元 → 写基本单调区间 → 解不等式 → 与给定定义域取交集。

5. 比较大小模型

   先用诱导公式把两个角化到同一单调区间，再利用单调性比较。

六、题型应用与迁移

本节内容广泛应用于：

• 绘制三角函数简图；
• 求周期、振幅、相位；
• 求单调区间、最值；
• 比较三角函数值；
• 解三角不等式；
• 为后续研究 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象变换打基础。

重点梳理

1. 图象是理解性质的关键

   $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 的图象是“波浪形”曲线，抓住一个周期内的五个关键点就能画出简图。$y=\tan x$ 的图象由无穷多支被渐近线隔开的曲线组成。

2. 周期公式要准确

   • $y=\sin (\omega x+\phi )$、$y=\cos (\omega x+\phi )$：$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$；
   • $y=\tan (\omega x+\phi )$：$T=\frac{\pi }{|\omega |}$。

   注意：$\omega$ 是 $x$ 的系数，不是 $2x$ 前面的系数。例如 $y=\cos 2x$ 中 $\omega =2$，$T=\pi$。

3. 单调区间要加 $2k\pi$（或 $k\pi$）

   三角函数的单调区间在每个周期内重复，因此必须写成 $+2k\pi$ 或 $+k\pi$ 的形式，并写 $k\in \mathbb{Z}$。

4. 正切函数不能跨渐近线说单调

   $y=\tan x$ 在每一段 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ 内递增，但不能说在整个定义域上递增。

5. 最值要看 $A$ 的符号

   对于 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$：

   • 若 $A>0$，最大值在 $\sin =1$ 处，最小值在 $\sin =-1$ 处；
   • 若 $A<0$，则相反。

6. 比较大小先看单调区间

   两个同名三角函数值比较大小，必须先把两个角化到同一个单调区间内，否则不能直接比较。

难点突破

难点 1：五点法画 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的图象

步骤：

1. 令 $z=\omega x+\phi$，取 $z=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$；
2. 解出 $x=\frac{z-\phi }{\omega }$；
3. 计算 $y=A\sin z+b$；
4. 列表、描点、连线。

例如画 $y=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$ 在 $[-2\pi ,2\pi ]$ 上的图象：

$z$	$0$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$x$	$-\frac{2\pi }{3}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{4\pi }{3}$	$\frac{7\pi }{3}$（超出范围）	$\frac{10\pi }{3}$（超出范围）
$y$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$

然后只取在 $[-2\pi ,2\pi ]$ 内的点描图。

难点 2：求复合三角函数的单调区间

例如求 $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 在 $[0,\pi ]$ 上的单调递减区间。

令 $z=2x+\frac{\pi }{3}$，则 $y=3\sin z$ 的递减区间是

$$\frac{\pi }{2}+2k\pi \le z\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z}).$$

代入 $z=2x+\frac{\pi }{3}$，解得

$$\frac{\pi }{12}+k\pi \le x\le \frac{7\pi }{12}+k\pi .$$

取 $k=0$，得 $\left[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}\right]$，与 $[0,\pi ]$ 取交集，即单调递减区间为 $\left[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}\right]$。

难点 3：比较两个三角函数值的大小

例如比较 $\sin \left(-\frac{\pi }{18}\right)$ 与 $\sin \left(-\frac{\pi }{10}\right)$。

两个角都在 $\left[-\frac{\pi }{2},0\right]$ 内，而 $y=\sin x$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},0\right]$ 上单调递增。因为 $-\frac{\pi }{18}>-\frac{\pi }{10}$，所以

$$\sin \left(-\frac{\pi }{18}\right)>\sin \left(-\frac{\pi }{10}\right).$$

再如比较 $\cos \left(-\frac{23\pi }{5}\right)$ 与 $\cos \left(-\frac{17\pi }{4}\right)$：

$$\cos \left(-\frac{23\pi }{5}\right)=\cos \frac{23\pi }{5}=\cos \frac{3\pi }{5},\cos \left(-\frac{17\pi }{4}\right)=\cos \frac{17\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}.$$

因为 $0<\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{5}<\pi$，且 $y=\cos x$ 在 $[0,\pi ]$ 上递减，所以

$$\cos \frac{3\pi }{5}<\cos \frac{\pi }{4},$$

即

$$\cos \left(-\frac{23\pi }{5}\right)<\cos \left(-\frac{17\pi }{4}\right).$$

难点 4：正切函数的定义域与周期

对于 $y=\tan (\omega x+\phi )$，定义域要求

$$\omega x+\phi \ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z}).$$

周期为 $\frac{\pi }{\omega }$。例如 $y=\tan \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}\right)$：

定义域：$x\ne 2k+\frac{1}{3}(k\in \mathbb{Z})$；周期 $T=2$；单调递增区间为

$$\left(-\frac{5}{3}+2k,\frac{1}{3}+2k\right)(k\in \mathbb{Z}).$$

例题讲解

例题 1：用五点法画简图

画出下列函数在 $[0,2\pi ]$ 上的简图：

（1）$y=1+\sin x$；　（2）$y=-\cos x$。

分析：分别取正弦、余弦的五个关键点，再进行图象变换。

解：

（1）先列出 $y=\sin x$ 的五个关键点：

$x$	$0$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$\sin x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$1+\sin x$	$1$	$2$	$1$	$0$	$1$

描点并用光滑曲线连接，得到 $y=1+\sin x$ 的图象。它可由 $y=\sin x$ 的图象向上平移 $1$ 个单位得到。

（2）$y=\cos x$ 的五个关键点：

$x$	$0$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$\cos x$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$-\cos x$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$-1$

描点连线，得到 $y=-\cos x$ 的图象。它可由 $y=\cos x$ 的图象关于 $x$ 轴对称翻折得到。

反思：五点法的关键是抓住“波峰、波谷、零点”这五类点；图象变换时，垂直平移影响 $y$ 值，翻折影响符号。

例题 2：求函数的周期

求下列函数的周期：

（1）$y=3\sin x$；　（2）$y=\cos 2x$；　（3）$y=2\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right)$。

分析：正弦、余弦函数的周期公式为 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。

解：

（1）$\omega =1$，所以 $T=2\pi$。

（2）$\omega =2$，所以 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

（3）$\omega =\frac{1}{2}$，所以 $T=\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi$。

反思：周期只与 $x$ 的系数有关，振幅、初相不影响周期。

例题 3：求函数的最大值、最小值及对应自变量的集合

求下列函数的最大值、最小值，并写出取得最值时 $x$ 的集合：

（1）$y=\cos x+1$，$x\in \mathbb{R}$；
（2）$y=-3\sin 2x$，$x\in \mathbb{R}$。

分析：先根据基本函数的最值确定内层角的取值，再解出 $x$。

解：

（1）$y=\cos x+1$。当 $\cos x=1$ 时，$y$ 取得最大值 $2$；当 $\cos x=-1$ 时，$y$ 取得最小值 $0$。

所以：

• 最大值 $2$，此时 $x\in \{x\mid x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$；
• 最小值 $0$，此时 $x\in \{x\mid x=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$。

（2）$y=-3\sin 2x$。因为 $-1\le \sin 2x\le 1$，所以 $-3\le -3\sin 2x\le 3$。

• 当 $\sin 2x=-1$ 时，$y$ 取得最大值 $3$。此时 $2x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$，即 $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$；
• 当 $\sin 2x=1$ 时，$y$ 取得最小值 $-3$。此时 $2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，即 $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$。

所以：

• 最大值 $3$，$x\in \left\{x\mid x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$；
• 最小值 $-3$，$x\in \left\{x\mid x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$。

反思：当 $A\breve{0}03c0$ 时，$\sin (\omega x+\phi )=-1$ 反而使 $y$ 取得最大值，要注意符号反转。

例题 4：利用单调性比较大小

不通过求值，比较下列各组数的大小：

（1）$\sin \left(-\frac{\pi }{18}\right)$ 与 $\sin \left(-\frac{\pi }{10}\right)$；

（2）$\cos \left(-\frac{23\pi }{5}\right)$ 与 $\cos \left(-\frac{17\pi }{4}\right)$。

分析：先把角化到同一单调区间，再利用函数单调性。

解：

（1）因为 $-\frac{\pi }{10}<-\frac{\pi }{18}<0$，且 $y=\sin x$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},0\right]$ 上单调递增，所以

$$\sin \left(-\frac{\pi }{18}\right)>\sin \left(-\frac{\pi }{10}\right).$$

（2）

$$\cos \left(-\frac{23\pi }{5}\right)=\cos \frac{23\pi }{5}=\cos \frac{3\pi }{5},\cos \left(-\frac{17\pi }{4}\right)=\cos \frac{17\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}.$$

因为 $0<\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{5}\breve{0}03c\pi$，且 $y=\cos x$ 在 $[0,\pi ]$ 上单调递减，所以

$$\cos \frac{3\pi }{5}<\cos \frac{\pi }{4},$$

即

$$\cos \left(-\frac{23\pi }{5}\right)<\cos \left(-\frac{17\pi }{4}\right).$$

反思：比较大小的核心是“同名函数 + 同一单调区间”。如果不在同一区间，先用诱导公式化过去。

例题 5：求复合正弦函数的单调递增区间

求函数 $y=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$ 在 $[-2\pi ,2\pi ]$ 上的单调递增区间。

分析：令 $z=\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}$，则 $y=\sin z$。当 $x$ 增大时，$z$ 也增大，所以 $y$ 的递增区间对应 $z$ 的递增区间。

解：

令 $z=\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}$。由 $x\in [-2\pi ,2\pi ]$，得

$$z\in \left[-\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right].$$

$y=\sin z$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增。取交集后，只需满足

$$-\frac{\pi }{2}\le z\le \frac{\pi }{2}.$$

即

$$-\frac{\pi }{2}\le \frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}.$$

解得

$$-\frac{5\pi }{3}\le x\le \frac{\pi }{3}.$$

所以，函数在 $[-2\pi ,2\pi ]$ 上的单调递增区间为 $\left[-\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$。

反思：求复合函数单调区间时，先换元确定 $z$ 的范围，再把基本函数的单调区间代入，最后解不等式并与定义域取交集。

例题 6：正切型函数的定义域、周期和单调区间

求函数 $y=\tan \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的定义域、周期及单调递增区间。

分析：正切函数的定义域要求内层角不等于 $\frac{\pi }{2}+k\pi$；周期 $T=\frac{\pi }{\omega }$；单调区间由内层角在 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ 内求解。

解：

定义域：令

$$\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z}).$$

解得

$$x\ne 2k+\frac{1}{3}(k\in \mathbb{Z}).$$

所以定义域为

$$\left\{x|x\ne 2k+\frac{1}{3},k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

周期：$\omega =\frac{\pi }{2}$，所以

$$T=\frac{\pi }{\frac{\pi }{2}}=2.$$

单调递增区间：令

$$-\frac{\pi }{2}+k\pi <\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z}).$$

解得

$$-\frac{5}{3}+2k<x<\frac{1}{3}+2k(k\in \mathbb{Z}).$$

所以单调递增区间为

$$\left(-\frac{5}{3}+2k,\frac{1}{3}+2k\right)(k\in \mathbb{Z}).$$

反思：正切型函数的周期是 $\frac{\pi }{\omega }$，而不是 $\frac{2\pi }{\omega }$；单调区间是开区间，且不能跨越渐近线。

易错点整理

1. 周期公式混淆

   • 错误表现：求 $y=\tan 2x$ 的周期时写 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。
   • 错因分析：正切函数周期是 $\pi$，不是 $2\pi$。
   • 正确处理：$T=\frac{\pi }{2}$。

2. 求周期时没有找准 $x$ 的系数

   • 错误表现：$y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right)$ 的周期写成 $2\pi$。
   • 错因分析：没注意 $x$ 的系数是 $\frac{1}{2}$。
   • 正确处理：$T=\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi$。

3. 单调区间漏写 $k\in \mathbb{Z}$

   • 错误表现：只写 $y=\sin x$ 的递增区间是 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。
   • 错因分析：忽略了周期性。
   • 正确处理：$\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$（$k\in \mathbb{Z}$）。

4. 错误地认为正切函数在整个定义域上递增

   • 错误表现：写“$y=\tan x$ 在定义域上单调递增”。
   • 错因分析：正切函数有渐近线，不能跨区间比较。
   • 正确处理：写成“在每一个 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ 上单调递增”。

5. 复合函数单调区间未与定义域取交集

   • 错误表现：求 $y=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$ 在 $[-2\pi ,2\pi ]$ 上的递增区间时，没有考虑 $x$ 的范围。
   • 错因分析：没有换元后确定 $z$ 的取值范围。
   • 正确处理：先求 $z$ 的范围，再求单调区间，最后取交集。

6. 最值问题中忽略 $A$ 的符号

   • 错误表现：$y=-3\sin 2x$ 的最大值写成 $-3$。
   • 错因分析：$A=-3<0$，最大值与最小值互换。
   • 正确处理：当 $\sin 2x=-1$ 时，$y=3$ 最大；当 $\sin 2x=1$ 时，$y=-3$ 最小。

7. 比较大小未化到同一单调区间

   • 错误表现：直接比较 $\sin 100^{\circ }$ 与 $\sin 170^{\circ }$，不看单调区间。
   • 错因分析：$100^{\circ }$、$170^{\circ }$ 都在第二象限，但 $y=\sin x$ 在 $[90^{\circ },180^{\circ }]$ 上递减。
   • 正确处理：先判断函数在该区间上的单调性，再比较。

考点考证点整理

考点一：五点法作图

• 出题思路：要求画出 $y=\sin x$、$y=\cos x$ 或 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 在某个区间上的简图。
• 关键条件：找准五个关键点（$z=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$）。
• 解答要点：
  1. 令 $z=\omega x+\phi$；
  2. 取 $z$ 的五个关键值，求出 $x$ 和 $y$；
  3. 列表、描点、连线。
• 易扣分点：$x$ 算错；点不在指定区间时未取舍；连线不平滑。

考点二：周期函数与周期公式

• 出题思路：求给定三角函数的周期，或判断是否为周期函数。
• 关键条件：$y=A\sin (\omega x+\phi )$、$y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$；$y=A\tan (\omega x+\phi )$ 的周期 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。
• 解答要点：
  1. 确定函数类型；
  2. 确定 $x$ 的系数；
  3. 套用公式。
• 易扣分点：正切周期写成 $2\pi$；$\omega$ 是分数时计算错误。

考点三：三角函数的奇偶性

• 出题思路：判断函数的奇偶性，或利用奇偶性求值。
• 关键条件：$\sin x$ 奇，$\cos x$ 偶，$\tan x$ 奇；$y=|f(x)|$ 一般为偶函数。
• 解答要点：
  1. 检查定义域是否关于原点对称；
  2. 判断 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。
• 易扣分点：未检查定义域；$y=|\sin x|$ 误判为奇函数。

考点四：三角函数的最值

• 出题思路：求 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 或 $y=A\cos (\omega x+\phi )+b$ 的最大值、最小值及对应 $x$ 集合。
• 关键条件：$|A|+b$ 为最大，$-|A|+b$ 为最小；注意 $A$ 的符号。
• 解答要点：
  1. 求出 $A$、$b$；
  2. 令内层角等于基本函数取最值时的角；
  3. 解出 $x$ 的集合。
• 易扣分点：$A\breve{0}03c0$ 时符号反；漏写 $k\in \mathbb{Z}$。

考点五：三角函数的单调区间

• 出题思路：求 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 或 $y=A\tan (\omega x+\phi )$ 的单调区间（可能带定义域限制）。
• 关键条件：换元 $z=\omega x+\phi$；注意 $A$ 的符号改变单调性；正切单调区间是开区间。
• 解答要点：
  1. 换元；
  2. 写出基本函数单调区间；
  3. 解不等式；
  4. 与给定定义域取交集；
  5. 写出 $k\in \mathbb{Z}$。
• 易扣分点：未与定义域取交集；$A\breve{0}03c0$ 时增减性未反；正切写成闭区间。

考点六：利用单调性比较大小

• 出题思路：比较两个同名三角函数值的大小。
• 关键条件：把两个角化到同一单调区间；必要时用诱导公式。
• 解答要点：
  1. 用诱导公式化简每个角；
  2. 判断它们是否在同一单调区间；
  3. 利用单调性下结论。
• 易扣分点：未化到同一区间；符号判断错误。

考点七：正切函数的定义域、周期与单调性

• 出题思路：求正切型函数的定义域、周期、单调区间。
• 关键条件：$x\ne \frac{\pi }{2\omega }+\frac{k\pi }{\omega }-\frac{\phi }{\omega }$；$T=\frac{\pi }{\omega }$；单调开区间。
• 解答要点：
  1. 令 $\omega x+\phi \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ 求定义域；
  2. 套周期公式；
  3. 令 $\omega x+\phi$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ 内解单调区间。
• 易扣分点：定义域未解对；单调区间写成闭区间；周期混淆。

练习题

基础训练

1. 用五点法画出 $y=\sin x$ 在 $[0,2\pi ]$ 上的简图，并写出五个关键点的坐标。
2. 用五点法画出 $y=\cos x$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的简图，并写出五个关键点的坐标。
3. 求下列函数的周期：
   （1）$y=\sin 2x$；　（2）$y=\cos 4x$；　（3）$y=\tan 3x$。
4. 求 $y=1+\sin x$（$x\in \mathbb{R}$）的最大值、最小值及对应 $x$ 的集合。
5. 判断下列函数的奇偶性：
   （1）$y=2\sin x$；　（2）$y=1-\cos 2x$；　（3）$y=-3\sin 2x$；　（4）$y=1+2\tan x$。

巩固训练

6. 不通过求值，比较下列各组数的大小：
   （1）$\sin 103^{\circ }15^{\prime }$ 与 $\sin 164^{\circ }30^{\prime }$；
   （2）$\cos \left(-\frac{\pi }{5}\right)$ 与 $\cos \left(-\frac{3\pi }{5}\right)$。
7. 求函数 $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 在 $[0,\pi ]$ 上的单调递减区间。
8. 求函数 $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的定义域和周期。
9. 求函数 $y=-3\sin 2x$ 的最大值、最小值及对应 $x$ 的集合。
10. 求函数 $y=\cos x+1$ 的值域。

提升训练

11. 求函数 $y=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$ 在 $[-2\pi ,2\pi ]$ 上的单调递增区间。
12. 求函数 $y=\tan \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的定义域、周期和单调递增区间。
13. 求函数 $y=\sin x$ 在 $x\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上的值域。
14. 已知函数 $y=f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上周期为 $2$ 的奇函数，且 $f(0.5)=1$，求 $f(1)$、$f(3.5)$ 的值。

练习题答案

基础训练

1. 答案：五个关键点为

   $$(0,0),\left(\frac{\pi }{2},1\right),(\pi ,0),\left(\frac{3\pi }{2},-1\right),(2\pi ,0).$$

2. 答案：五个关键点为

   $$(-\pi ,-1),\left(-\frac{\pi }{2},0\right),(0,1),\left(\frac{\pi }{2},0\right),(\pi ,-1).$$

3. 答案：

   （1）$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$；

   （2）$T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$；

   （3）$T=\frac{\pi }{3}$。

4. 答案：

   当 $\sin x=1$ 时，$y$ 最大为 $2$，此时 $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）；

   当 $\sin x=-1$ 时，$y$ 最小为 $0$，此时 $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。

5. 答案：

   （1）奇函数；
   （2）偶函数；
   （3）奇函数；
   （4）既不是奇函数也不是偶函数（$y=1+2\tan x$ 的定义域关于原点对称，但 $f(-x)=1-2\tan x$，既不等于 $f(x)$ 也不等于 $-f(x)$，故非奇非偶）。

巩固训练

6. 答案：

   （1）$103^{\circ }15^{\prime }$、$164^{\circ }30^{\prime }$ 都在 $[90^{\circ },180^{\circ }]$ 内，$y=\sin x$ 在该区间单调递减。因为 $103^{\circ }15^{\prime }\breve{0}03c164^{\circ }30^{\prime }$，所以

   $$\sin 103^{\circ }15^{\prime }\breve{0}03e\sin 164^{\circ }30^{\prime }.$$

   （2）$\cos \left(-\frac{\pi }{5}\right)=\cos \frac{\pi }{5}$，$\cos \left(-\frac{3\pi }{5}\right)=\cos \frac{3\pi }{5}$。因为 $0\breve{0}03c\frac{\pi }{5}\breve{0}03c\frac{3\pi }{5}\breve{0}03c\pi$，且 $y=\cos x$ 在 $[0,\pi ]$ 上递减，所以

   $$\cos \frac{\pi }{5}\breve{0}03e\cos \frac{3\pi }{5},$$

   即

   $$\cos \left(-\frac{\pi }{5}\right)\breve{0}03e\cos \left(-\frac{3\pi }{5}\right).$$

7. 答案：

   令 $z=2x+\frac{\pi }{3}$。$y=3\sin z$ 的递减区间是

   $$\frac{\pi }{2}+2k\pi \le z\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z}).$$

   代入并解得

   $$\frac{\pi }{12}+k\pi \le x\le \frac{7\pi }{12}+k\pi .$$

   取 $k=0$ 并与 $[0,\pi ]$ 取交集，得单调递减区间为 $\left[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}\right]$。

8. 答案：

   定义域：由 $2x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ 得 $x\ne \frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$）。

   周期：$T=\frac{\pi }{2}$。

9. 答案：

   最大值为 $3$，此时 $\sin 2x=-1$，即 $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）；

   最小值为 $-3$，此时 $\sin 2x=1$，即 $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。

10. 答案：

    因为 $-1\le \cos x\le 1$，所以 $0\le \cos x+1\le 2$。值域为 $[0,2]$。

提升训练

11. 答案：$\left[-\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$（过程见例题 5）。

12. 答案：定义域 $\left\{x\mid x\ne 2k+\frac{1}{3},k\in \mathbb{Z}\right\}$；周期 $T=2$；单调递增区间 $\left(-\frac{5}{3}+2k,\frac{1}{3}+2k\right)$（$k\in \mathbb{Z}$）（过程见例题 6）。

13. 答案：

    $y=\sin x$ 在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上单调递减。

    在 $x=\frac{\pi }{6}$ 时，$y=\frac{1}{2}$；在 $x=\frac{\pi }{2}$ 时，$y=1$；在 $x=\frac{5\pi }{6}$ 时，$y=\frac{1}{2}$。

    所以值域为 $\left[\frac{1}{2},1\right]$。

14. 答案：

    因为 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的奇函数，所以 $f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)$，因此 $f(1)=0$。

    又 $f(3.5)=f(3.5-2)=f(1.5)=f(1.5-2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-1$。

    所以 $f(1)=0$，$f(3.5)=-1$。