5.3 诱导公式

本节学习目标

学完本节，你应该能够：

• 理解诱导公式的几何来源：单位圆上的四种对称（关于原点、x 轴、y 轴、直线 y=x）对应了三角函数值之间的转化关系。
• 熟练记忆并运用六组诱导公式（公式一 ~ 公式六）。
• 能把任意角的三角函数值化归为锐角的三角函数值，并准确判断符号。
• 会用诱导公式化简、求值、证明。
• 正确理解并使用口诀“奇变偶不变，符号看象限”。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

在上一节，我们已经会求 $0\sim 2\pi$（或 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$）内特殊角的三角函数值。但实际问题中常常遇到 $\frac{8\pi }{3}$、$225^{\circ }$、$-\frac{16\pi }{3}$ 这样“看起来不友好”的角。它们能不能化成我们熟悉的锐角三角函数呢？

答案是肯定的。利用单位圆的对称性，我们可以得到一系列转化关系，统称为诱导公式。

二、核心概念与定义条件

设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x,y)$。根据单位圆上点的对称性，可以得到以下六组公式。

1. 公式一（周期公式）

   终边每旋转一周，三角函数值重复：

   $$\sin (\alpha +2k\pi )=\sin \alpha ,$$ $$\cos (\alpha +2k\pi )=\cos \alpha ,$$ $$\tan (\alpha +2k\pi )=\tan \alpha ,$$

   其中 $k\in \mathbb{Z}$。对正切函数，也可以写成 $\tan (\alpha +k\pi )=\tan \alpha$。

2. 公式二（关于原点对称：$\pi +\alpha$）

   角 $\pi +\alpha$ 的终边与角 $\alpha$ 的终边关于原点对称，对应点坐标为 $(-x,-y)$：

   $$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha ,$$ $$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha ,$$ $$\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha .$$

3. 公式三（关于 x 轴对称：$-\alpha$）

   角 $-\alpha$ 的终边与角 $\alpha$ 的终边关于 x 轴对称，对应点坐标为 $(x,-y)$：

   $$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha ,$$ $$\cos (-\alpha )=\cos \alpha ,$$ $$\tan (-\alpha )=-\tan \alpha .$$

   这说明正弦、正切是奇函数，余弦是偶函数。

4. 公式四（关于 y 轴对称：$\pi -\alpha$）

   角 $\pi -\alpha$ 的终边与角 $\alpha$ 的终边关于 y 轴对称，对应点坐标为 $(-x,y)$：

   $$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha ,$$ $$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha ,$$ $$\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha .$$

5. 公式五（关于直线 y=x 对称：$\frac{\pi }{2}-\alpha$）

   角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ 的终边与角 $\alpha$ 的终边关于直线 $y=x$ 对称，对应点坐标为 $(y,x)$：

   $$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha ,$$ $$\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha .$$

6. 公式六（$\frac{\pi }{2}+\alpha$）

   角 $\frac{\pi }{2}+\alpha$ 的终边可由角 $\alpha$ 的终边关于 y=x 对称后再关于 y 轴对称得到，也可以看作由 $\frac{\pi }{2}-(-\alpha )$ 得到：

   $$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha ,$$ $$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha .$$

   由商数关系，正切也有对应公式：

   $$\tan \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha .$$

三、符号语言与等价表示

把六组公式和常用变形汇总如下：

角	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$2k\pi +\alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$
$\pi +\alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$\tan \alpha$
$-\alpha$	$-\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$-\tan \alpha$
$\pi -\alpha$	$\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\tan \alpha$
$2\pi -\alpha$	$-\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$-\tan \alpha$
$\frac{\pi }{2}-\alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$\cot \alpha$
$\frac{\pi }{2}+\alpha$	$\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cot \alpha$
$\frac{3\pi }{2}-\alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\cot \alpha$
$\frac{3\pi }{2}+\alpha$	$-\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\cot \alpha$

其中 $2\pi -\alpha$ 可由公式一和公式三得到：

$$\sin (2\pi -\alpha )=\sin (-\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (2\pi -\alpha )=\cos (-\alpha )=\cos \alpha .$$

四、关键性质、定理与公式

1. 统一的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限

   当角可以写成 $\frac{k\pi }{2}\pm \alpha$（$k\in \mathbb{Z}$）的形式时，诱导公式可以统一记忆：

   • 奇变偶不变：看 $k$ 的奇偶。若 $k$ 为偶数，三角函数名称不变；若 $k$ 为奇数，正弦与余弦互换（正切与余切互换）。
   • 符号看象限：把 $\alpha$ 看成锐角，判断原角 $\frac{k\pi }{2}\pm \alpha$ 所在的象限，然后取该象限中原三角函数值的符号。

   例如：$\cos (\pi +\alpha )$ 中，$\pi +\alpha =\frac{2\pi }{2}+\alpha$，$k=2$ 为偶数，函数名不变，仍是 $\cos$；把 $\alpha$ 看成锐角，$\pi +\alpha$ 在第三象限，第三象限余弦为负，所以

   $$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha .$$

   再如：$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ 中，$k=1$ 为奇数，函数名由正弦变余弦；把 $\alpha$ 看成锐角，$\frac{\pi }{2}-\alpha$ 在第一象限，第一象限正弦为正，所以

   $$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha .$$

   注意：口诀里“把 $\alpha$ 看成锐角”只是为了判断符号，实际上 $\alpha$ 可以是任意角。判断符号的依据是“原函数在原象限的符号”。

2. 任意角化归为锐角的一般步骤

   利用诱导公式，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值：

   1. 负化正：先用公式三，把负角变为正角；
   2. 大化小：用公式一，把大于 $2\pi$（或 $360^{\circ }$）的角化到 $0\sim 2\pi$（或 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$）内；
   3. 钝角化锐角：
      • 若角在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，用 $\pi -\alpha$；
      • 若角在 $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$，用 $\pi +\alpha$；
      • 若角在 $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$，用 $2\pi -\alpha$（或 $-\alpha$）；
   4. 正余弦互化：若遇到 $\frac{\pi }{2}\pm \alpha$、$\frac{3\pi }{2}\pm \alpha$ 等，用公式五、六或它们的组合。

五、典型模型与解题方法

1. “化大角为小角”求值模型

   遇到 $-\frac{16\pi }{3}$、$1480^{\circ }$ 等大角，先用公式一或周期公式去掉整数个周期，再判断符号。

2. “负角化正角”模型

   遇到 $\sin (-\alpha )$、$\cos (-\alpha )$，先用奇偶性处理，再用其他诱导公式。

3. “化简分式”模型

   化简三角式时，通常先把每个括号里的角化到最简（$\alpha$、$-\alpha$、$\pi \pm \alpha$、$\frac{\pi }{2}\pm \alpha$），再统一为正弦、余弦，最后约分。

4. “互余互补”模型

   若两个角的和为 $90^{\circ }$（$\frac{\pi }{2}$），则正弦与余弦互换；若和为 $180^{\circ }$（$\pi$），则正弦相等、余弦相反、正切相反。

六、题型应用与迁移

诱导公式是三角函数计算的“万能钥匙”，可以迁移到：

• 求任意角三角函数值；
• 化简复杂的三角函数式；
• 证明三角恒等式；
• 解决三角形中 $A+B+C=\pi$ 带来的角关系；
• 为后续学习三角函数图象与性质、三角恒等变换提供基础。

重点梳理

1. 诱导公式的本质是单位圆的对称性

   六组公式分别对应：原点对称、x 轴对称、y 轴对称、直线 $y=x$ 对称。理解了来源，就不会死记硬背。

2. 公式一、二、三、四的作用

   这四组公式主要用于把任意角化到 $0\sim \frac{\pi }{2}$ 附近，即“钝角化锐角、负角化正角”。

3. 公式五、六的作用

   这两组公式实现正弦与余弦的互化，常用于把只含正弦和余弦的式子统一成一种函数，或构造互余关系。

4. 符号判断是关键

   诱导公式中，角度的形式决定函数名是否改变，而符号由原角所在的象限决定。很多学生出错不是因为公式记不住，而是符号判断错误。

5. 正切的诱导公式可由正弦、余弦推导

   例如：$\tan (\pi +\alpha )=\frac{\sin (\pi +\alpha )}{\cos (\pi +\alpha )}=\frac{-\sin \alpha }{-\cos \alpha }=\tan \alpha$。只要记住正弦、余弦的公式，正切可以现场推导，减少记忆负担。

6. 化简求值的标准流程

   负化正 → 大化小 → 钝角化锐角 → 必要时正余弦互化。每一步都要写清楚依据，避免符号错误。

难点突破

难点 1：如何正确使用“奇变偶不变，符号看象限”

口诀只适用于角可以写成 $\frac{k\pi }{2}\pm \alpha$ 的形式。使用时要注意：

• $k$ 的奇偶：$\pi +\alpha =\frac{2\pi }{2}+\alpha$，$k=2$ 是偶数；$\frac{\pi }{2}-\alpha$ 中 $k=1$ 是奇数。
• 符号看的是“原函数”的符号：不是看变换后的函数，而是看 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 在原角所在象限的符号。
• $\alpha$ 暂时看成锐角：这只是为了方便判断象限，不影响最终结果。

例如：化 $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)$。

$\frac{3\pi }{2}-\alpha =\frac{3\pi }{2}+(-\alpha )$，$k=3$ 为奇数，函数名由正弦变余弦；把 $\alpha$ 看成锐角，$\frac{3\pi }{2}-\alpha$ 在第三象限，第三象限正弦为负，所以

$$\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha .$$

难点 2：多个诱导公式组合使用

例如化简 $\sin (2\pi -\alpha )\cos (\pi +\alpha )$：

• 先处理 $2\pi -\alpha$：$\sin (2\pi -\alpha )=\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$；
• 再处理 $\pi +\alpha$：$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$；
• 相乘得 $(-\sin \alpha )(-\cos \alpha )=\sin \alpha \cos \alpha$。

多步骤化简时，建议每一步只用一个公式，把结果写清楚，减少出错。

难点 3：含有 $3\pi$、$5\pi$、$\frac{9\pi }{2}$ 等角的化简

这类角可以拆成 $2\pi$ 的整数倍加上一个剩余角，再用诱导公式。例如：

$$\sin \frac{9\pi }{2}=\sin \left(4\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}=1.$$ $$\tan \frac{13\pi }{4}=\tan \left(3\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{4}=1.$$

难点 4：互余与互补关系在三角形中的应用

在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，所以 $A+B=\pi -C$。于是：

$$\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C,$$ $$\cos (A+B)=\cos (\pi -C)=-\cos C.$$

这类关系在解三角形中非常常见。

例题讲解

例题 1：利用诱导公式求值

求下列三角函数值：

（1）$\cos 225^{\circ }$；　（2）$\sin \frac{8\pi }{3}$；　（3）$\sin \left(-\frac{16\pi }{3}\right)$；　（4）$\tan (-2040^{\circ })$。

分析：先用公式一（或周期公式）把大角、负角化小，再用公式二 ~ 六化为锐角三角函数。

解：

（1）

$$\cos 225^{\circ }=\cos (180^{\circ }+45^{\circ })=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

（2）

$$\sin \frac{8\pi }{3}=\sin \left(2\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

（3）

$$\sin \left(-\frac{16\pi }{3}\right)=-\sin \frac{16\pi }{3}=-\sin \left(5\pi +\frac{\pi }{3}\right)=-\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3}\right)=-(-\sin \frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

也可以写成

$$\sin \left(-\frac{16\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{16\pi }{3}+6\pi \right)=\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

（4）

$$\tan (-2040^{\circ })=-\tan 2040^{\circ }=-\tan (6\times 360^{\circ }-120^{\circ })=\tan 120^{\circ }=\tan (180^{\circ }-60^{\circ })=-\tan 60^{\circ }=-\sqrt{3}.$$

反思：求值时优先用“大化小、负化正”，把角化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 或 $0\sim 2\pi$ 内，再判断符号。

例题 2：化简三角式

化简：

$$\frac{\cos (180^{\circ }+\alpha )\sin (\alpha +360^{\circ })}{\tan (-\alpha -180^{\circ })\cos (-180^{\circ }+\alpha )}.$$

分析：逐个化简分子、分母中的每个因子，再约分。

解：

先化简分母中的 $\tan (-\alpha -180^{\circ })$：

$$\tan (-\alpha -180^{\circ })=\tan [-(180^{\circ }+\alpha )]=-\tan (180^{\circ }+\alpha )=-\tan \alpha .$$

再化简 $\cos (-180^{\circ }+\alpha )$：

$$\cos (-180^{\circ }+\alpha )=\cos [-(180^{\circ }-\alpha )]=\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha .$$

于是原式

$$\begin{array}{rl}\frac{\cos (180^{\circ }+\alpha )\sin (\alpha +360^{\circ })}{\tan (-\alpha -180^{\circ })\cos (-180^{\circ }+\alpha )}& =\frac{(-\cos \alpha )\sin \alpha }{(-\tan \alpha )(-\cos \alpha )}\\ & =\frac{-\cos \alpha \sin \alpha }{\tan \alpha \cos \alpha }\\ & =-\frac{\sin \alpha }{\tan \alpha }\\ & =-\cos \alpha .\end{array}$$

反思：化简时尽量先把每个括号里的角化到最简，再统一为正弦、余弦，最后约分。注意 $\tan \alpha$ 要求 $\cos \alpha \ne 0$。

例题 3：证明诱导公式变形式

求证：

（1）$\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha$；

（2）$\cos \left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \alpha$。

分析：把 $\frac{3\pi }{2}-\alpha$ 写成 $\pi +\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$，先用法二，再用法五。

解：

（1）

$$\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left[\pi +\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\right]=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha .$$

（2）

$$\cos \left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \left[\pi +\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)\right]=-\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-(-\sin \alpha )=\sin \alpha .$$

反思：$\frac{3\pi }{2}\pm \alpha$ 这类角可以拆成 $\pi +\left(\frac{\pi }{2}\pm \alpha \right)$，再用“奇变偶不变”一次即可。

例题 4：复杂分式化简

化简：

$$\frac{\sin (2\pi -\alpha )\cos (\pi +\alpha )\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)\cos \left(\frac{11\pi }{2}-\alpha \right)}{\cos (\pi -\alpha )\sin (3\pi -\alpha )\sin (-\pi -\alpha )\sin \left(\frac{9\pi }{2}+\alpha \right)}.$$

分析：分子、分母共有八个因子，逐个化简，再统一约分。

解：

分子各因子：

$$\sin (2\pi -\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha ,\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha ,\cos \left(\frac{11\pi }{2}-\alpha \right)=-\sin \alpha .$$

（最后一个：$\frac{11\pi }{2}-\alpha =6\pi -\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)$，所以 $\cos =-\sin \alpha$。）

分母各因子：

$$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha ,\sin (3\pi -\alpha )=\sin \alpha ,\sin (-\pi -\alpha )=\sin \alpha ,\sin \left(\frac{9\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha .$$

（最后一个：$\frac{9\pi }{2}+\alpha =4\pi +\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)$，所以 $\sin =\cos \alpha$。）

因此，原式

$$\begin{array}{rl}& =\frac{(-\sin \alpha )(-\cos \alpha )(-\sin \alpha )(-\sin \alpha )}{(-\cos \alpha )(\sin \alpha )(\sin \alpha )(\cos \alpha )}\\ & =\frac{{\sin }^3\alpha \cos \alpha }{-{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }\\ & =-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\tan \alpha .\end{array}$$

反思：复杂分式化简时，建议先把每个因子单独化简写在旁边，再整体代入，避免遗漏符号。

例题 5：利用互余关系求值

已知 $\sin (53^{\circ }-\alpha )=\frac{1}{2}$，且 $-270^{\circ }<\alpha <-90^{\circ }$，求 $\sin (37^{\circ }+\alpha )$ 的值。

分析：注意到 $(53^{\circ }-\alpha )+(37^{\circ }+\alpha )=90^{\circ }$，所以两个角互余。利用公式五把 $\sin (37^{\circ }+\alpha )$ 转化为 $\cos (53^{\circ }-\alpha )$，再根据范围定号。

解：

因为

$$(53^{\circ }-\alpha )+(37^{\circ }+\alpha )=90^{\circ },$$

所以

$$\sin (37^{\circ }+\alpha )=\sin [90^{\circ }-(53^{\circ }-\alpha )]=\cos (53^{\circ }-\alpha ).$$

由 $-270^{\circ }<\alpha <-90^{\circ }$，得

$$143^{\circ }<53^{\circ }-\alpha <323^{\circ }.$$

又因为 $\sin (53^{\circ }-\alpha )=\frac{1}{2}>0$，所以 $53^{\circ }-\alpha$ 只能在第二象限，即

$$143^{\circ }<53^{\circ }-\alpha <180^{\circ }.$$

因此 $\cos (53^{\circ }-\alpha )<0$，故

$$\cos (53^{\circ }-\alpha )=-\sqrt{1-{\sin }^2(53^{\circ }-\alpha )}=-\sqrt{1-\frac{1}{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

所以

$$\sin (37^{\circ }+\alpha )=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

反思：本题的关键是发现两个角的和为 $90^{\circ }$，从而利用互余关系。同时要注意根据给定范围确定余弦的符号。

易错点整理

1. 把 $\cos (-\alpha )$ 的符号写错

   • 错误表现：$\cos (-\alpha )=-\cos \alpha$。
   • 错因分析：余弦是偶函数，符号应不变。
   • 正确处理：$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$。

2. $\sin (\pi -\alpha )$ 与 $\sin (\pi +\alpha )$ 混淆

   • 错误表现：$\sin (\pi -\alpha )=-\sin \alpha$。
   • 错因分析：$\pi -\alpha$ 在第二象限，第二象限正弦为正。
   • 正确处理：$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$。

3. 使用“奇变偶不变”时函数名变错

   • 错误表现：$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$。
   • 错因分析：$k=1$ 为奇数，函数名必须改变。
   • 正确处理：$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$。

4. 符号判断时把 $\alpha$ 当成实际角而非锐角

   • 错误表现：若 $\alpha$ 是钝角，仍直接用“锐角象限”判断符号。
   • 错因分析：口诀里的“符号看象限”只是辅助判断，最终依据是诱导公式本身。
   • 正确处理：口诀用于快速判断，但对特殊角最好直接用公式验证。

5. 大角没有先化小

   • 错误表现：对 $\sin 1480^{\circ }$ 直接找 $1800^{\circ }$ 附近的关系。
   • 错因分析：没有优先用公式一。
   • 正确处理：先减去 $360^{\circ }$ 的整数倍，把角化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内。

6. 化简时忽略定义域

   • 错误表现：在分式化简中默认 $\tan \alpha$ 总有意义。
   • 错因分析：分母可能为零。
   • 正确处理：在最终结果中说明成立条件，如 $\cos \alpha \ne 0$、$\tan \alpha \ne 0$ 等。

考点考证点整理

考点一：利用诱导公式求任意角三角函数值

• 出题思路：给出大角、负角或含 $\pi$、$180^{\circ }$ 的角，要求化为锐角三角函数求值。
• 关键条件：公式一 ~ 六；$360^{\circ }=2\pi$；角度制与弧度制统一。
• 解答要点：
  1. 负角先化正角；
  2. 大角减去整数个周期；
  3. 钝角用 $\pi \pm \alpha$ 或 $2\pi -\alpha$；
  4. 最后化为锐角三角函数，注意符号。
• 易扣分点：符号判断错误；角度与弧度混用；周期算错。

考点二：利用诱导公式化简三角式

• 出题思路：给出含有 $\pi \pm \alpha$、$-\alpha$、$\frac{\pi }{2}\pm \alpha$、$\frac{3\pi }{2}\pm \alpha$ 的分式或乘积式，要求化简。
• 关键条件：熟记六组公式；注意函数名变化和符号变化。
• 解答要点：
  1. 逐个化简每个因子；
  2. 统一化为 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$；
  3. 约分并整理；
  4. 说明成立条件。
• 易扣分点：漏掉一个负号；函数名该变没变；约分错误。

考点三：口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用

• 出题思路：判断 $\sin \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right)$、$\cos \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right)$ 化简结果。
• 关键条件：$k$ 的奇偶决定函数名是否改变；把 $\alpha$ 看成锐角判断原函数符号。
• 解答要点：
  1. 把角写成 $\frac{k\pi }{2}\pm \alpha$；
  2. 判断 $k$ 奇偶；
  3. 判断原函数在原象限的符号；
  4. 写出结果。
• 易扣分点：$k$ 算错；符号取的是变换后函数的符号；把 $\alpha$ 当成实际角。

考点四：诱导公式与三角形内角关系

• 出题思路：在 $△ABC$ 中，判断 $\sin (A+B)$、$\cos (A+B)$、$\tan (A+B)$ 与 $C$ 的关系。
• 关键条件：$A+B+C=\pi$，所以 $A+B=\pi -C$。
• 解答要点：
  1. 用 $A+B=\pi -C$ 转化；
  2. 用诱导公式得到 $\sin (A+B)=\sin C$，$\cos (A+B)=-\cos C$；
  3. 注意 $\tan (A+B)=-\tan C$（若 $C\ne \frac{\pi }{2}$）。
• 易扣分点：符号错误；未说明 $C$ 不能为直角。

考点五：已知一角三角函数值与范围，求另一角的三角函数值

• 出题思路：给出 $\sin (\theta -\alpha )$ 或 $\cos (\theta +\alpha )$，以及角的范围，求 $\sin (\varphi \pm \alpha )$。
• 关键条件：发现两个角的互余、互补或和差关系；根据范围确定符号。
• 解答要点：
  1. 找出角之间的关系；
  2. 用诱导公式转化；
  3. 用同角关系求值；
  4. 根据范围确定正负。
• 易扣分点：未确定符号；范围分析错误。

考点六：诱导公式与三角恒等证明

• 出题思路：证明含有 $\pi \pm \alpha$、$\frac{\pi }{2}\pm \alpha$ 的恒等式。
• 关键条件：熟记公式；善于把角拆成 $2k\pi +\beta$ 或 $\pi +\beta$ 等形式。
• 解答要点：
  1. 从复杂一边开始化简；
  2. 或两边化为同一表达式；
  3. 注意定义域。
• 易扣分点：化简方向错误；定义域未说明。

练习题

基础训练

1. 求下列三角函数值：
   （1）$\cos 225^{\circ }$；　（2）$\sin \frac{8\pi }{3}$；　（3）$\tan (-2040^{\circ })$。
2. 求下列三角函数值：
   （1）$\cos (-420^{\circ })$；　（2）$\sin \left(-\frac{17\pi }{6}\right)$；　（3）$\tan 315^{\circ }$。
3. 把下列三角函数化为锐角三角函数：
   （1）$\cos \left(\pi +\frac{\pi }{3}\right)$；　（2）$\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$；　（3）$\tan \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)$。
4. 求下列三角函数值：
   （1）$\sin \frac{13\pi }{6}$；　（2）$\cos \frac{7\pi }{4}$；　（3）$\tan \frac{19\pi }{6}$。
5. 填空：
   $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=$；$\cos (\pi -\alpha )=$；$\tan (-\alpha )=$______。

巩固训练

6. 化简： $$\frac{\cos (180^{\circ }+\alpha )\sin (\alpha +360^{\circ })}{\tan (-\alpha -180^{\circ })\cos (-180^{\circ }+\alpha )}.$$
7. 证明：
   （1）$\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha$；
   （2）$\cos \left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \alpha$。
8. 化简： $$\frac{\sin (2\pi -\alpha )\cos (\pi +\alpha )\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)\cos \left(\frac{11\pi }{2}-\alpha \right)}{\cos (\pi -\alpha )\sin (3\pi -\alpha )\sin (-\pi -\alpha )\sin \left(\frac{9\pi }{2}+\alpha \right)}.$$
9. 已知 $\sin (\pi +\alpha )=-\frac{1}{3}$，求：
   $\sin (5\pi -\alpha ),\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right),\cos \left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right),\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right).$
10. 在 $△ABC$ 中，判断下列关系是否成立，并说明理由：
    （1）$\cos (A+B)=\cos C$；
    （2）$\sin (A+B)=\sin C$。

提升训练

11. 已知 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\frac{1}{3}$，且 $0<x<\frac{\pi }{2}$，求 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$ 和 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$ 的值。
12. 化简：$1+\sin (\alpha -2\pi )\sin (\pi +\alpha )-2{\cos }^2(-\alpha )$。
13. 已知 $\sin (53^{\circ }-\alpha )=\frac{1}{2}$，且 $-270^{\circ }<\alpha <-90^{\circ }$，求 $\sin (37^{\circ }+\alpha )$ 的值。
14. 设 $n\in \mathbb{Z}$，化简：
    （1）$\sin \left(\frac{n\pi }{2}+\alpha \right)$；
    （2）$\cos \left(\frac{n\pi }{2}-\alpha \right)$。

练习题答案

基础训练

1. 答案：

   （1）$\cos 225^{\circ }=\cos (180^{\circ }+45^{\circ })=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；

   （2）$\sin \frac{8\pi }{3}=\sin \left(2\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；

   （3）$\tan (-2040^{\circ })=-\tan 2040^{\circ }=-\tan (6\times 360^{\circ }-120^{\circ })=\tan 120^{\circ }=\tan (180^{\circ }-60^{\circ })=-\tan 60^{\circ }=-\sqrt{3}$。

2. 答案：

   （1）$\cos (-420^{\circ })=\cos 420^{\circ }=\cos (360^{\circ }+60^{\circ })=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$；

   （2）$\sin \left(-\frac{17\pi }{6}\right)=-\sin \frac{17\pi }{6}=-\sin \left(2\pi +\frac{5\pi }{6}\right)=-\sin \frac{5\pi }{6}=-\sin \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$；

   （3）$\tan 315^{\circ }=\tan (360^{\circ }-45^{\circ })=-\tan 45^{\circ }=-1$。

3. 答案：

   （1）$\cos \left(\pi +\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}$；

   （2）$\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\sin \frac{\pi }{4}$；

   （3）$\tan \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\tan \frac{\pi }{6}$。

4. 答案：

   （1）$\sin \frac{13\pi }{6}=\sin \left(2\pi +\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$；

   （2）$\cos \frac{7\pi }{4}=\cos \left(2\pi -\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；

   （3）$\tan \frac{19\pi }{6}=\tan \left(3\pi +\frac{\pi }{6}\right)=\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

5. 答案：

   $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha ;\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha ;\tan (-\alpha )=-\tan \alpha .$

巩固训练

6. 答案：$-\cos \alpha$（过程见例题 2）。

7. 答案：证明过程见例题 3。

8. 答案：$-\tan \alpha$（过程见例题 4）。

9. 答案：

   由 $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha =-\frac{1}{3}$，得 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$。

   • $\sin (5\pi -\alpha )=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha =\frac{1}{3}$；
   • $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$；
   • $\cos \left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=-\sin \alpha =-\frac{1}{3}$；
   • $\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=3\cos \alpha$。

   由于题目未给 $\alpha$ 的象限，$\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以
   $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3},\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\pm 2\sqrt{2}.$

10. 答案：

    因为 $A+B+C=\pi$，所以 $A+B=\pi -C$。

    （1）$\cos (A+B)=\cos (\pi -C)=-\cos C$，所以 $\cos (A+B)=\cos C$ 一般不成立，只有当 $\cos C=0$（即 $C=90^{\circ }$）时才成立。

    （2）$\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$，所以 $\sin (A+B)=\sin C$ 恒成立。

提升训练

11. 答案：

    由 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=\frac{1}{3}$，且 $0<x<\frac{\pi }{2}$，得
    $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

    因此
    $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x=\frac{1}{3},$
    $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\sin x=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

12. 答案：

    $$\begin{array}{r}\breve{0}0261+\sin (\alpha -2\pi )\sin (\pi +\alpha )-2{\cos }^2(-\alpha )\\ =\breve{0}0261+\sin \alpha \cdot (-\sin \alpha )-2{\cos }^2\alpha \\ =\breve{0}0261-{\sin }^2\alpha -2{\cos }^2\alpha \\ =\breve{0}026{\cos }^2\alpha -2{\cos }^2\alpha \\ =\breve{0}026-{\cos }^2\alpha .\end{array}$$

13. 答案：$-\frac{\sqrt{3}}{2}$（过程见例题 5）。

14. 答案：

    按 $n=4k,4k+1,4k+2,4k+3$（$k\in \mathbb{Z}$）分类讨论：

    （1）$\sin \left(\frac{n\pi }{2}+\alpha \right)$：

    • $n=4k$：$\sin \alpha$；
    • $n=4k+1$：$\cos \alpha$；
    • $n=4k+2$：$-\sin \alpha$；
    • $n=4k+3$：$-\cos \alpha$。

    （2）$\cos \left(\frac{n\pi }{2}-\alpha \right)$：

    • $n=4k$：$\cos \alpha$；
    • $n=4k+1$：$\sin \alpha$；
    • $n=4k+2$：$-\cos \alpha$；
    • $n=4k+3$：$-\sin \alpha$。

    也可以统一写成：当 $n$ 为偶数时函数名不变，$n$ 为奇数时函数名改变；符号由 $n$ 所在情况确定。