5.2 三角函数的概念

本节学习目标

学完本节，你应该能够：

• 理解任意角三角函数的单位圆定义，明确 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$ 与单位圆上点 $P(x,y)$ 的对应关系。
• 掌握终边上任意一点 $P(x,y)$ 求三角函数值的方法，体会它与单位圆定义的一致性。
• 熟记三种三角函数的定义域，特别是正切函数的限制条件。
• 根据角所在象限判断三角函数值的符号，并能利用符号反推象限。
• 掌握公式一（终边相同角的三角函数值相等），能把任意角化归到 $0\sim 2\pi$（或 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$）内求值。
• 掌握同角三角函数的基本关系——平方关系与商数关系，能“知一求二”。
• 能进行简单的三角恒等式证明。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

在上一节中，我们把角的范围从 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 扩展到了任意角。现在要进一步回答：如何用一个函数来刻画单位圆上动点的位置？

如图，在单位圆 $\odot O$ 上，点 $P$ 从 $A(1,0)$ 出发，按逆时针方向旋转角 $\alpha$ 到达位置 $P(x,y)$。当 $\alpha$ 确定时，点 $P$ 的坐标 $(x,y)$ 就唯一确定。因此，$x$ 和 $y$ 都是关于角 $\alpha$ 的函数——这就是三角函数的来源。

二、核心概念与定义条件

1. 单位圆定义

   设 $\alpha$ 是一个任意角，$\alpha \in \mathbb{R}$，它的终边 $OP$ 与单位圆相交于点 $P(x,y)$，则定义：

   $$\sin \alpha =y,$$ $$\cos \alpha =x,$$ $$\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0).$$
   • 正弦 $\sin \alpha$ 对应点 $P$ 的纵坐标；
   • 余弦 $\cos \alpha$ 对应点 $P$ 的横坐标；
   • 正切 $\tan \alpha$ 对应纵坐标与横坐标的比值。

   由于每一个角 $\alpha$ 的终边与单位圆只有一个交点 $P$，所以 $x$、$y$ 被 $\alpha$ 唯一确定。因此，$\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$ 都是关于角 $\alpha$ 的函数。

2. 三角函数的定义域

   通常记为：

   $$y=\sin x,x\in \mathbb{R};$$ $$y=\cos x,x\in \mathbb{R};$$ $$y=\tan x,x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z}).$$

   正切函数没有定义的原因是：当 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 时，终边落在 $y$ 轴上，此时点 $P$ 的横坐标为 $0$，$\frac{y}{x}$ 无意义。

3. 终边上任意一点的定义

   如图，设角 $\alpha$ 的终边上任意一点 $P(x,y)$（$P$ 不与原点重合），记 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，则 $r>0$。

   可以证明：

   $$\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0).$$

   说明：把点 $P$ 沿着终边方向缩放 $\frac{1}{r}$ 倍，就得到单位圆上的点 $P_0\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r}\right)$。因此，$\sin \alpha =\frac{y}{r}$，$\cos \alpha =\frac{x}{r}$，与单位圆定义完全一致。这说明三角函数值只与终边位置有关，而与点 $P$ 在终边上的具体位置无关。

4. 与初中锐角三角函数的一致性

   当 $x$ 是锐角时，本节定义与初中所学的直角三角形定义结果相同。例如，在直角三角形中，若斜边为 $1$，则对边长为 $\sin x$，邻边长为 $\cos x$，对边与邻边之比为 $\tan x$。这说明高中定义是初中定义的推广。

三、符号语言与等价表示

1. 三角函数值符号表

   象限	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$
   第一象限	$+$	$+$	$+$
   第二象限	$+$	$-$	$-$
   第三象限	$-$	$-$	$+$
   第四象限	$-$	$+$	$-$

   记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

   原因：第一象限 $x>0,y>0$；第二象限 $x<0,y>0$；第三象限 $x<0,y<0$；第四象限 $x>0,y<0$。$\sin \alpha$ 与 $y$ 同号，$\cos \alpha$ 与 $x$ 同号，$\tan \alpha =\frac{y}{x}$ 由 $y$、$x$ 符号共同决定。

2. 公式一：终边相同角的三角函数值相等

   因为终边相同的角对应单位圆上的同一点 $P$，所以它们的三角函数值相同：

   $$\sin (\alpha +2k\pi )=\sin \alpha ,$$ $$\cos (\alpha +2k\pi )=\cos \alpha ,$$ $$\tan (\alpha +2k\pi )=\tan \alpha ,$$

   其中 $k\in \mathbb{Z}$。

   这个公式可以把任意角的三角函数值化归为 $0\sim 2\pi$（或 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$）内的角的三角函数值。

四、关键性质、定理与公式

1. 同角三角函数的基本关系

   设点 $P(x,y)$ 在单位圆上，则 $x^2+y^2=1$。代入 $x=\cos \alpha$，$y=\sin \alpha$，得到

   $${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$$

   当 $\cos \alpha \ne 0$ 时，由 $\tan \alpha =\frac{y}{x}$ 可得

   $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.$$

   这两个关系对任意使式子有意义的角都成立，是三角恒等变换的基础。

   常用变形：

   $${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha ,$$ $${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha ,$$ $$\sin \alpha =\cos \alpha \tan \alpha .$$

2. 象限与符号的等价条件

   利用基本关系和符号表，可以得到判断象限的常用条件：

   • 第一象限：$\sin \alpha >0$ 且 $\cos \alpha >0$；
   • 第二象限：$\sin \alpha >0$ 且 $\cos \alpha <0$；
   • 第三象限：$\sin \alpha <0$ 且 $\cos \alpha <0$；
   • 第四象限：$\sin \alpha <0$ 且 $\cos \alpha >0$。

   类似地，还可以用 $\sin \alpha \tan \alpha$、$\cos \alpha \tan \alpha$、$\sin \alpha \cos \alpha$ 的符号综合判断象限。

五、典型模型与解题方法

1. 定义法求三角函数值

   已知终边上一点的坐标 $(x,y)$，先计算 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，再代入

   $$\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\tan \alpha =\frac{y}{x}$$

   即可。

2. 公式一化归法

   遇到大角或负角，先用公式一减去或加上整数个 $2\pi$（或 $360^{\circ }$），把它化为 $0\sim 2\pi$（或 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$）内的角，再求值。

3. 符号判断法

   判断三角函数值符号时，先确定角所在的象限，再查符号表；或根据 $x$、$y$ 的符号直接判断。

4. “知一求二”模型

   已知 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$ 中的一个，结合象限，用

   $${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$$

   求另外两个。注意开平方时要根据象限定正负。

5. 恒等式证明模型

   常用方法：

   • 从复杂的一边化到简单的一边；
   • 将正切化为正弦、余弦；
   • 两边交叉相乘，化为平方关系；
   • 注意保证分母不为零。

六、题型应用与迁移

本节知识可用于：

• 求特殊角的三角函数值；
• 由终边上一点坐标求三角函数值；
• 判断任意角三角函数值的符号；
• 已知一个三角函数值，求其余两个；
• 证明同角三角函数关系相关的恒等式；
• 为后续学习诱导公式、三角恒等变换、三角函数图象与性质打下基础。

重点梳理

1. 单位圆定义是核心

   $\sin \alpha =y$、$\cos \alpha =x$、$\tan \alpha =\frac{y}{x}$ 把三角函数完全几何化。学习时一定要能在单位圆上画出对应的点 $P$，并直观读出 $x$、$y$ 的符号和大小。

2. 三角函数值只与终边有关

   无论取终边上哪个点，只要用 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 归一化，得到的三角函数值都相同。因此，单位圆上的定义和一般点定义本质上是一回事。

3. 定义域必须牢记

   $y=\tan x$ 的定义域是 $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$。在坐标轴上，$y$ 轴上的角不是正切函数的定义点。

4. 符号表要熟练

   “一全正，二正弦，三正切，四余弦”是快速判断符号的工具。建议不要死记，而是理解 $x$、$y$ 在各象限的符号。

5. 公式一体现了三角函数的周期性

   $2\pi$ 是正弦函数和余弦函数的周期。公式一说明，三角函数值具有“周而复始”的规律，这是后面学习三角函数图象的重要基础。

6. 同角基本关系是“知一求二”的钥匙

   $|\sin \alpha |$ 和 $|\cos \alpha |$ 可由平方关系确定，但 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$ 的符号必须结合象限。没有象限条件时，通常需要分情况讨论。

难点突破

难点 1：为什么终边上任意一点的坐标都能用来求三角函数值

设终边上一点 $P(x,y)$，到原点距离 $r=\sqrt{x^2+y^2}$。把 $P$ 沿终边向原点方向缩放 $\frac{1}{r}$ 倍，得到单位圆上的点 $P_0\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r}\right)$。根据单位圆定义，

$$\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r}.$$

这说明三角函数值只取决于终边方向，与点 $P$ 到原点的远近无关。

难点 2：如何判断一个角的三角函数值符号

步骤：

1. 把角化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$（或 $0\sim 2\pi$）内；
2. 确定终边所在象限；
3. 根据符号表或 $x$、$y$ 符号判断。

例如：判断 $\sin (-672^{\circ })$ 的符号。先用公式一：

$$-672^{\circ }=48^{\circ }-2\times 360^{\circ },$$

所以 $-672^{\circ }$ 与 $48^{\circ }$ 终边相同，是第一象限角，因此 $\sin (-672^{\circ })>0$。

难点 3：已知一个三角函数值如何求其他值

以已知 $\sin \alpha =-\frac{3}{5}$ 为例：

由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 得

$${\cos }^2\alpha =1-{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25},$$

所以 $|\cos \alpha |=\frac{4}{5}$。此时必须知道象限：

• 若 $\alpha$ 是第三象限角，$\cos \alpha <0$，则 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，$\tan \alpha =\frac{3}{4}$；
• 若 $\alpha$ 是第四象限角，$\cos \alpha >0$，则 $\cos \alpha =\frac{4}{5}$，$\tan \alpha =-\frac{3}{4}$。

如果没有象限条件，还要考虑终边在 $y$ 轴负半轴等情况（$\sin \alpha =-1$ 时 $\cos \alpha =0$，$\tan \alpha$ 无意义）。

难点 4：三角恒等式证明的思路

证明 $\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ 有两种常用方法：

方法一：化左边。由 $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$，得

$$\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}.$$

方法二：交叉相乘。因为

$$(1-\sin x)(1+\sin x)=1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x=\cos x\cdot \cos x,$$

且 $\cos x\ne 0$、$1-\sin x\ne 0$ 时，两边同时除以 $(1-\sin x)\cos x$ 即得。

无论哪种方法，都要注意分母不为零的条件。

例题讲解

例题 1：用单位圆定义求特殊角的三角函数值

求 $\sin \frac{5\pi }{3}$、$\cos \frac{5\pi }{3}$、$\tan \frac{5\pi }{3}$ 的值。

分析：$\frac{5\pi }{3}$ 在第四象限。在单位圆上，终边与单位圆交点的坐标为 $\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

解：

$$\sin \frac{5\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2},\tan \frac{5\pi }{3}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}.$$

反思：只要知道终边与单位圆的交点坐标，就可以直接读出正弦和余弦，再用比值求正切。

例题 2：由终边上一点坐标求三角函数值

已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(-12,5)$，求 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$。

分析：点 $P$ 不在单位圆上，先用一般点定义求 $r$。

解：

$$r=\sqrt{(-12{)}^2+5^2}=\sqrt{169}=13.$$

因此

$$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{5}{13},\cos \alpha =\frac{x}{r}=-\frac{12}{13},\tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{5}{-12}=-\frac{5}{12}.$$

反思：因为 $P(-12,5)$ 在第二象限，所以 $\sin \alpha >0$，$\cos \alpha <0$，$\tan \alpha <0$，结果与符号表一致。

例题 3：判断三角函数值的符号

确定下列各三角函数值的符号：

（1）$\cos 250^{\circ }$；　（2）$\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$；　（3）$\tan (-672^{\circ })$；　（4）$\tan 3\pi$。

分析：先判断每个角所在的象限或终边位置，再查符号表。

解：

（1）$250^{\circ }$ 是第三象限角，所以 $\cos 250^{\circ }<0$。

（2）$-\frac{\pi }{4}$ 是第四象限角，所以 $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)<0$。

（3）因为 $-672^{\circ }=48^{\circ }-2\times 360^{\circ }$，与 $48^{\circ }$ 终边相同，是第一象限角，所以 $\tan (-672^{\circ })>0$。

（4）$3\pi$ 的终边在 $x$ 轴负半轴上，$\tan 3\pi =\tan \pi =0$。

反思：判断符号时，利用公式一把大角或负角化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内，能大大降低出错率。

例题 4：利用公式一求三角函数值

求下列各三角函数值：

（1）$\sin 1480^{\circ }10^{\prime }$（精确到 $0.001$）；
（2）$\cos \frac{9\pi }{4}$；
（3）$\tan \left(-\frac{11\pi }{6}\right)$。

分析：先用公式一化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 或 $0\sim 2\pi$ 内，再求值。

解：

（1）

$$\sin 1480^{\circ }10^{\prime }=\sin (40^{\circ }10^{\prime }+4\times 360^{\circ })=\sin 40^{\circ }10^{\prime }\approx \mathrm{0.645.}$$

（2）

$$\cos \frac{9\pi }{4}=\cos \left(\frac{\pi }{4}+2\pi \right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

（3）

$$\tan \left(-\frac{11\pi }{6}\right)=\tan \left(-2\pi +\frac{\pi }{6}\right)=\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

反思：公式一可以把求任意角的三角函数值转化为求 $0\sim 2\pi$（或 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$）内的角的三角函数值。使用计算器时，要注意当前是角度制还是弧度制。

例题 5：用符号判断象限

求证：角 $\theta$ 为第三象限角的充要条件是

$$\{\begin{array}{l}\sin \theta <0,\\ \tan \theta >0.\end{array}$$

分析：分别证明充分性和必要性。利用符号表：$\sin \theta <0$ 说明 $\theta$ 在第三、第四象限或 $y$ 轴负半轴；$\tan \theta >0$ 说明 $\theta$ 在第一、第三象限。两个条件同时满足只能在第三象限。

解：

充分性：若 $\sin \theta <0$ 且 $\tan \theta >0$，则 $\theta$ 的终边只能在第三象限，所以 $\theta$ 是第三象限角。

必要性：若 $\theta$ 是第三象限角，则 $x<0$、$y<0$，因此 $\sin \theta =y/r<0$，$\tan \theta =y/x>0$。

综上，原命题成立。

反思：用符号判断象限时，要学会把“每个不等式”对应到“终边可能所在的区域”，再取交集。

例题 6：已知一个三角函数值求其他值

已知 $\sin \alpha =-\frac{3}{5}$，求 $\cos \alpha$、$\tan \alpha$ 的值。

分析：$\sin \alpha =-\frac{3}{5}<0$ 且 $\sin \alpha \ne -1$，所以 $\alpha$ 可能是第三或第四象限角。需要分情况讨论。

解：

由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 得

$${\cos }^2\alpha =1-{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25},$$

所以 $|\cos \alpha |=\frac{4}{5}$。

• 若 $\alpha$ 是第三象限角，则 $\cos \alpha <0$，所以 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，于是

  $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}.$$

• 若 $\alpha$ 是第四象限角，则 $\cos \alpha >0$，所以 $\cos \alpha =\frac{4}{5}$，于是

  $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}.$$

反思：如果题目只给出三角函数值而没有象限，通常要分情况；如果给出象限，开方后直接定号。

例题 7：三角恒等式证明

求证：$\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}$。

分析：左边分母是 $1-\sin x$，可乘以 $1+\sin x$ 利用平方差公式化简。

解：

左边

$$\begin{array}{rl}\frac{\cos x}{1-\sin x}& =\frac{\cos x(1+\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\ & =\frac{\cos x(1+\sin x)}{1-{\sin }^{2}x}\\ & =\frac{\cos x(1+\sin x)}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{1+\sin x}{\cos x}=\text{右边}.\end{array}$$

所以原等式成立。注意：这里默认 $\cos x\ne 0$ 且 $1-\sin x\ne 0$，即 $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$。

反思：证明恒等式时，既要掌握变形方向，也要说明等式成立的前提条件。

易错点整理

1. 混淆正弦与余弦对应的坐标

   • 错误表现：把 $\sin \alpha$ 当作横坐标，$\cos \alpha$ 当作纵坐标。
   • 错因分析：没有记牢单位圆定义。
   • 正确处理：$\sin \alpha =y$（纵坐标），$\cos \alpha =x$（横坐标）。

2. 忽略正切函数的定义域

   • 错误表现：认为 $\tan \frac{\pi }{2}=0$ 或存在某个值。
   • 错因分析：忘记终边在 $y$ 轴上时 $x=0$。
   • 正确处理：$y=\tan x$ 的定义域是 $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$。

3. 符号判断不化归直接看原角

   • 错误表现：判断 $\sin (-672^{\circ })$ 符号时不知如何下手。
   • 错因分析：没有先用公式一化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内。
   • 正确处理：大角或负角先化归，再判断象限。

4. “知一求二”时漏掉象限符号

   • 错误表现：已知 $\sin \alpha =-\frac{3}{5}$，直接写 $\cos \alpha =\frac{4}{5}$。
   • 错因分析：忘记由象限确定 $+$、$-$。
   • 正确处理：先由 $\sin \alpha$ 判断可能的象限，再确定 $\cos \alpha$、$\tan \alpha$ 的符号。

5. 混淆 ${\sin }^2\alpha$ 与 $\sin {\alpha }^2$

   • 错误表现：把 ${\sin }^2\alpha$ 写成 $(\sin \alpha {)}^2$ 时出错，或者把 $\sin {\alpha }^2$ 理解为 ${\sin }^2\alpha$。
   • 错因分析：符号不规范。
   • 正确处理：${\sin }^2\alpha =(\sin \alpha {)}^2$，而 $\sin {\alpha }^2$ 表示 $\sin ({\alpha }^2)$，两者不同。

6. 证明恒等式时不说明前提条件

   • 错误表现：在等式两边同除以 $1-\sin x$ 或 $\cos x$ 时不考虑是否为零。
   • 错因分析：分母为零时变形不成立。
   • 正确处理：注明等式在分母不为零时成立。

考点考证点整理

考点一：单位圆定义求三角函数值

• 出题思路：给出特殊角（如 $\frac{5\pi }{3}$、$-\frac{\pi }{4}$ 等），要求用单位圆定义直接写出三个三角函数值。
• 关键条件：角的终边与单位圆交点坐标；$\sin \alpha =y$，$\cos \alpha =x$，$\tan \alpha =\frac{y}{x}$（$x\ne 0$）。
• 解答要点：
  1. 画出或想象角在坐标系中的位置；
  2. 写出终边与单位圆交点坐标；
  3. 按定义写出 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$。
• 易扣分点：符号错误；正切漏写 $x\ne 0$；把正弦、余弦对应反。

考点二：终边上任意一点坐标求三角函数值

• 出题思路：给出终边上一点 $P(x,y)$（不一定是单位圆上的点），求三个三角函数值。
• 关键条件：$r=\sqrt{x^2+y^2}$，$r>0$；$\sin \alpha =\frac{y}{r}$，$\cos \alpha =\frac{x}{r}$，$\tan \alpha =\frac{y}{x}$（$x\ne 0$）。
• 解答要点：
  1. 计算 $r$；
  2. 按定义写出三个值；
  3. 检查结果符号是否与点所在象限一致。
• 易扣分点：忘记求 $r$ 直接用 $x$、$y$ 当作 $\cos$、$\sin$；$r$ 计算错误；符号判断错误。

考点三：三角函数的定义域

• 出题思路：判断函数 $y=\tan x$ 的定义域，或指出某个角使正切无意义。
• 关键条件：$y=\tan x$ 在 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 处无定义。
• 解答要点：
  1. 写出 $y=\tan x$ 的定义域集合；
  2. 把给定角化为 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 的形式判断。
• 易扣分点：写成 $x\ne k\pi$；漏写 $k\in \mathbb{Z}$；角度制与弧度制混用。

考点四：三角函数值符号的判断

• 出题思路：判断给定三角函数值的符号，或根据符号判断象限。
• 关键条件：符号表“一全正，二正弦，三正切，四余弦”；公式一化归。
• 解答要点：
  1. 把角化到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$（或 $0\sim 2\pi$）内；
  2. 判断象限；
  3. 根据符号表下结论。
• 易扣分点：没有化归直接判断；把轴线角当成象限角；符号表记错。

考点五：公式一（周期性）的应用

• 出题思路：求大角或负角的三角函数值。
• 关键条件：$\sin (\alpha +2k\pi )=\sin \alpha$，$\cos (\alpha +2k\pi )=\cos \alpha$，$\tan (\alpha +2k\pi )=\tan \alpha$（$k\in \mathbb{Z}$）。
• 解答要点：
  1. 观察角与 $0\sim 2\pi$ 内哪个角相差 $2k\pi$；
  2. 把原式化为该角的三角函数值；
  3. 若为近似值，注意计算器模式设置。
• 易扣分点：周期写错（如正切写成 $2\pi$ 虽然也对，但化简时不够简洁）；角度制与弧度制换算错误。

考点六：同角三角函数基本关系——“知一求二”

• 出题思路：已知 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$ 中的一个，结合象限条件，求另外两个。
• 关键条件：${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$；$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$（$\cos \alpha \ne 0$）。
• 解答要点：
  1. 用平方关系求 $|\cos \alpha |$ 或 $|\sin \alpha |$；
  2. 根据象限定正负；
  3. 用商数关系求 $\tan \alpha$；
  4. 无象限时分类讨论。
• 易扣分点：开平方只取正；忽略象限；未说明无象限需讨论；$\tan \alpha$ 无意义的情况遗漏。

考点七：同角三角函数关系的恒等证明

• 出题思路：证明形如 $\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ 的恒等式。
• 关键条件：${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$；分母不为零。
• 解答要点：
  1. 从复杂的一边化到另一边；
  2. 常用技巧：$1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$、$1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$；
  3. 说明等式成立的前提条件。
• 易扣分点：证明过程中未说明分母不为零；变形方向错误导致循环论证。

练习题

基础训练

1. 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(5,12)$，求 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$。
2. 求下列三角函数值：
   （1）$\sin \frac{5\pi }{3}$；　（2）$\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)$；　（3）$\tan \pi$。
3. 判断下列三角函数值的符号：
   （1）$\sin 156^{\circ }$；　（2）$\cos \frac{4\pi }{3}$；　（3）$\tan (-672^{\circ })$。
4. 写出 $y=\tan x$ 的定义域，并用集合表示。
5. 把下列各角化为 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 内的终边相同角，并指出象限：
   （1）$395^{\circ }$；　（2）$-1000^{\circ }$；　（3）$1500^{\circ }$。

巩固训练

6. 已知角 $\alpha$ 终边上一点 $P(3a,4a)$，其中 $a\ne 0$，求 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$。
7. 已知 $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$，且 $\alpha$ 是第二象限角，求 $\sin \alpha$、$\tan \alpha$。
8. 已知 $\sin \alpha =-\frac{5}{13}$，且 $\alpha$ 是第四象限角，求 $\cos \alpha$、$\tan \alpha$。
9. 求证：$\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}$（说明成立条件）。
10. 化简：
    （1）$\cos \theta \tan \theta$；
    （2）$\frac{2{\cos }^2\alpha -1}{1-2{\sin }^2\alpha }$；
    （3）$(1+{\tan }^2\alpha ){\cos }^2\alpha$。

提升训练

11. 已知 $\tan \alpha =2$，求 $\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$ 的值。
12. 已知 $\sin \theta =0.35$，求 $\cos \theta$、$\tan \theta$ 的值（精确到 $0.01$）。
13. 求证：角 $\theta$ 为第二或第三象限角的充要条件是 $\sin \theta \tan \theta <0$。
14. 已知 $\cos x=\frac{1}{3}$，且 $x$ 是第四象限角，求 $\sin x$、$\tan x$ 以及 $\frac{\cos x}{1-\sin x}-\frac{1+\sin x}{\cos x}$ 的值。

练习题答案

基础训练

1. 答案：

   $r=\sqrt{5^2+12^2}=13$。

   $$\sin \alpha =\frac{12}{13},\cos \alpha =\frac{5}{13},\tan \alpha =\frac{12}{5}.$$

2. 答案：

   （1）$\sin \frac{5\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
   （2）$\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
   （3）$\tan \pi =0$。

3. 答案：

   （1）$156^{\circ }$ 在第二象限，$\sin 156^{\circ }>0$；
   （2）$\frac{4\pi }{3}$ 在第三象限，$\cos \frac{4\pi }{3}<0$；
   （3）$-672^{\circ }=48^{\circ }-2\times 360^{\circ }$，在第一象限，$\tan (-672^{\circ })>0$。

4. 答案：

   $$\left\{x|x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

5. 答案：

   （1）$395^{\circ }=35^{\circ }+360^{\circ }$，第一象限；
   （2）$-1000^{\circ }=80^{\circ }-3\times 360^{\circ }$，第一象限；
   （3）$1500^{\circ }=60^{\circ }+4\times 360^{\circ }$，第一象限。

巩固训练

6. 答案：

   $r=\sqrt{(3a{)}^2+(4a{)}^2}=5|a|$。

   • 若 $a>0$，点 $P$ 在第一象限，$r=5a$，则 $$\sin \alpha =\frac{4}{5},\cos \alpha =\frac{3}{5},\tan \alpha =\frac{4}{3}.$$
   • 若 $a<0$，点 $P$ 在第三象限，$r=-5a$，则 $$\sin \alpha =-\frac{4}{5},\cos \alpha =-\frac{3}{5},\tan \alpha =\frac{4}{3}.$$

   注意：$\tan \alpha$ 与 $a$ 的符号无关，但 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$ 的符号由 $a$ 决定。

7. 答案：

   因为 $\alpha$ 是第二象限角，$\sin \alpha >0$。由

   $${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25},$$

   得

   $$\sin \alpha =\frac{4}{5}.$$

   于是

   $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}.$$

8. 答案：

   因为 $\alpha$ 是第四象限角，$\cos \alpha >0$。由

   $${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{5}{13}\right)}^2=\frac{144}{169},$$

   得

   $$\cos \alpha =\frac{12}{13}.$$

   于是

   $$\tan \alpha =\frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=-\frac{5}{12}.$$

9. 答案：

   左边

   $$\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}=\text{右边}.$$

   成立条件：$\cos x\ne 0$ 且 $1-\sin x\ne 0$，即 $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$。

10. 答案：

    （1）$\cos \theta \tan \theta =\cos \theta \cdot \frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\sin \theta$（$\cos \theta \ne 0$）。

    （2）由 $2{\cos }^2\alpha -1=\cos 2\alpha$，$1-2{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha$，得

    $$\frac{2{\cos }^2\alpha -1}{1-2{\sin }^2\alpha }=\frac{\cos 2\alpha }{\cos 2\alpha }=1$$

    （$\cos 2\alpha \ne 0$ 时）。

    （3）

    $$(1+{\tan }^2\alpha ){\cos }^2\alpha =\left(1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }\right){\cos }^2\alpha ={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1.$$

提升训练

11. 答案：

    因为 $\tan \alpha =2$，所以 $\cos \alpha \ne 0$。分子分母同除以 $\cos \alpha$，得

    $$\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }=\frac{\tan \alpha +1}{\tan \alpha -1}=\frac{2+1}{2-1}=3.$$

12. 答案：

    由 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 得

    $${\cos }^2\theta =1-0.35^2=1-0.1225=0.8775,$$

    所以 $|\cos \theta |\approx 0.9368$。由于题目未给象限，通常取 $0\le \theta \le \pi$ 时 $|\cos \theta |=\sqrt{0.8775}\approx 0.94$。

    若 $\theta$ 为锐角，$\cos \theta \approx 0.94$，$\tan \theta =\frac{0.35}{0.94}\approx 0.37$；
    若 $\theta$ 为钝角，$\cos \theta \approx -0.94$，$\tan \theta \approx -0.37$。

    若按 $0\le \theta \le \pi$ 的常规约定，答案为 $\cos \theta \approx 0.94$、$\tan \theta \approx 0.37$ 或 $\cos \theta \approx -0.94$、$\tan \theta \approx -0.37$。

13. 答案：

    $\sin \theta \tan \theta =\sin \theta \cdot \frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }$。

    • 若 $\theta$ 在第二象限，$\sin \theta >0$，$\cos \theta <0$，则 $\sin \theta \tan \theta <0$；
    • 若 $\theta$ 在第三象限，$\sin \theta <0$，$\cos \theta <0$，$\tan \theta >0$，则 $\sin \theta \tan \theta <0$；
    • 在其他象限或坐标轴上，$\sin \theta \tan \theta \ge 0$ 或无意义。

    因此，$\sin \theta \tan \theta <0$ 当且仅当 $\theta$ 在第二或第三象限。

14. 答案：

    因为 $x$ 在第四象限，$\sin x<0$。由

    $${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{9},$$

    得

    $$\sin x=-\frac{2\sqrt{2}}{3},\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-2\sqrt{2}.$$

    又因为已证 $\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}$（$\cos x\ne 0$），所以

    $$\frac{\cos x}{1-\sin x}-\frac{1+\sin x}{\cos x}=0.$$