4.3 牛顿第二定律

本节学习目标

• 理解牛顿第二定律是从实验事实推广出来的一般规律。
• 掌握牛顿第二定律内容和表达式 $F_{\text{合}}=ma$。
• 知道式中的 $F$ 指物体所受合力。
• 理解加速度方向与合力方向相同。
• 知道 $1N=1kg\cdot m/s^2$ 的来源。
• 会用牛顿第二定律处理阻力、牵引力、悬线小球和动力学测质量问题。

核心知识点讲解

一、知识对象与物理情境

赛车质量小、动力大，容易获得较大的加速度。上节实验发现，小车加速度与受力成正比、与质量成反比。本节把这种实验结论推广到一般物体，形成牛顿第二定律。

二、核心概念与定义

牛顿第二定律：物体加速度的大小跟它受到的合力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟合力方向相同。

式中 $F$ 必须是物体所受合力，不是某一个单独的力。

三、关键规律、公式与适用条件

牛顿第二定律可以写成：

$$a\propto \frac{F_{\text{合}}}{m}$$

在国际单位制中取比例系数为 $1$，得到：

$$F_{\text{合}}=ma$$

其中：

• $F_{\text{合}}$：合力，单位 $N$；
• $m$：质量，单位 $kg$；
• $a$：加速度，单位 $m/s^2$。

力的单位由牛顿第二定律定义：

$$1N=1kg\cdot m/s^2$$

四、典型模型与分析方法

使用牛顿第二定律的一般步骤：

1. 选研究对象。
2. 明确运动方向和坐标正方向。
3. 对研究对象受力分析。
4. 求合力。
5. 根据 $F_{\text{合}}=ma$ 列方程。
6. 检查单位、方向和结果是否合理。

五、图像、实验与材料信息

教材图 $4.3-1$ 用多个 $a-F$ 图像说明：实验点会有偏差，但若多次实验都接近过原点直线，规律就有较强可信度。科学定律不是一次实验的简单总结，而是大量实验和观察事实共同支持的结果。

教材例题中的汽车测试体现了两个典型过程：

• 取消动力：汽车只受阻力，做匀减速直线运动。
• 重新起步：汽车受牵引力和阻力，合力为 $F_{\text{牵}}-F_{\text{阻}}$。

教材悬线小球例题说明：当小球相对加速列车静止时，小球与列车具有相同加速度，可由受力合成或正交分解得到：

$$a=g\tan \theta$$

六、题型应用与迁移

本节常见题型：

• 已知合力和质量求加速度；
• 已知运动情况求阻力或牵引力；
• 多个力共同作用时先求合力；
• 利用 $F=ma$ 在太空等失重环境中测质量；
• 悬挂小球偏角测加速度。

重点梳理

• $F_{\text{合}}=ma$ 中的 $F_{\text{合}}$ 是合力。
• 合力方向就是加速度方向。
• 合力为 $0$，加速度为 $0$，物体保持静止或匀速直线运动。
• $1N$ 是使 $1kg$ 物体产生 $1m/s^2$ 加速度的力。
• 质量越大，在同样合力下加速度越小，惯性越大。

难点突破

难点 1：很小的力一定能产生加速度吗？

如果这个力不是合力，就不一定。提很重的箱子提不动，是因为箱子还受到重力、支持力等作用，最终合力仍为 $0$。

难点 2：为什么加速度方向与速度方向不一定相同？

速度描述物体当前怎样运动，加速度描述速度怎样改变。合力与速度同向时加速，反向时减速，成角度时速度方向改变。

难点 3：为什么定律建立需要谨慎？

单次实验有误差。只有大量实验和观察事实都支持 $a\propto F$、$a\propto \frac{1}{m}$，且由此推出的新结论也与事实一致，规律才能成为定律。

例题讲解

例题 1：汽车阻力和起步加速度

题目：质量 $1100kg$ 的汽车速度达 $100km/h$ 后取消动力，经过 $70s$ 停下。若重新起步牵引力 $2000N$，阻力不变，求阻力和重新起步加速度。

分析：取消动力后只考虑阻力；重新起步时合力为牵引力减阻力。

步骤：

$$100km/h=27.8m/s$$ $$a_1=\frac{0-27.8}{70}\approx -0.397m/s^2$$ $$F_{\text{阻}}=m{a}_1\approx 1100\times (-0.397)\approx -437N$$

阻力大小约 $437N$，方向与运动方向相反。

重新起步：

$$F_{\text{合}}=2000-437=1563N$$ $$a_2=\frac{1563}{1100}\approx 1.42m/s^2$$

例题 2：悬线小球测加速度

题目：列车启动时，车厢顶部小球悬线与竖直方向夹角为 $\theta$，求列车加速度。

分析：小球相对车厢静止，和列车有相同水平加速度。

竖直方向：

$$T\cos \theta =mg$$

水平方向：

$$T\sin \theta =ma$$

两式相除：

$$a=g\tan \theta$$

易错点整理

• 把牵引力、拉力、重力等单个力直接当作合力。
• 不规定正方向，导致加速度和力的正负号混乱。
• 忘记把 $km/h$ 换成 $m/s$。
• 认为速度方向就是加速度方向。
• 静止或匀速时说“没有力”，正确说法是“合力为零”。

考点考证点整理

考点 1：牛顿第二定律内容

• 出题思路：直接考定律表述或给实验结论要求写公式。
• 关键条件：合力、质量、加速度、方向。
• 解答要点：写出 $F_{\text{合}}=ma$，说明加速度方向与合力方向相同。
• 易扣分点：把 $F$ 写成某一个力，没有说明合力。

考点 2：由运动求受力

• 出题思路：给速度、时间、位移等运动量，先求加速度，再求力。
• 关键条件：初末速度、时间、质量、正方向。
• 解答要点：先用运动学公式求 $a$，再用 $F_{\text{合}}=ma$ 求合力或未知力。
• 易扣分点：未统一单位，或漏写力的方向。

考点 3：多个力的合力

• 出题思路：给水平面、斜面或互成角度的力，要求求加速度。
• 关键条件：各力方向、夹角、是否光滑、是否有阻力。
• 解答要点：先作受力分析并求合力，再代入牛顿第二定律。
• 易扣分点：把两个力大小直接相加，忽略方向。

考点 4：悬线小球与动力学测量

• 出题思路：利用偏角、已知力和加速度测未知量。
• 关键条件：小球相对车厢静止、合力水平、加速度相同。
• 解答要点：分解拉力，列 $T\cos \theta =mg$ 和 $T\sin \theta =ma$。
• 易扣分点：把小球当作平衡状态，漏掉水平加速度。

练习题

教材练习与应用

1. 教材练习与应用第 1 题：从牛顿第二定律知道，无论怎样小的力都可以使物体产生加速度。可是用力提一个很重的箱子却提不动。这是否矛盾？怎样解释？
2. 教材练习与应用第 2 题：甲、乙两辆小车放在水平桌面上，在相同拉力作用下，甲车加速度为 $1.5m/s^2$，乙车加速度为 $4.5m/s^2$，不考虑阻力，甲车质量是乙车的几倍？
3. 教材练习与应用第 3 题：一个物体受到合力 $4N$ 时，产生加速度 $2m/s^2$。若该物体加速度为 $6m/s^2$，它受到的合力是多大？
4. 教材练习与应用第 4 题：光滑水平桌面上有一个质量 $2kg$ 的物体，在水平方向受到两个互成 $90^{\circ }$、大小均为 $14N$ 的力，求加速度大小和方向。
5. 教材练习与应用第 5 题：平直路面上质量 $30kg$ 的手推车，受 $60N$ 水平推力时做加速度 $1.5m/s^2$ 的匀加速直线运动。撤去推力后，车的加速度大小和方向如何？
6. 教材练习与应用第 6 题：装满石块的货车以加速度 $a$ 向前加速，货箱中石块 $B$ 的质量为 $m$。求石块 $B$ 周围接触物对它作用力的合力。题目依赖教材图 $4.3-8$，需回看图确认石块接触关系。

练习题答案

1. 不矛盾。很小的力能使物体产生加速度的前提是这个力是合力。箱子提不动说明箱子所受合力仍为 $0$，支持力、重力和拉力共同平衡。
2. 相同拉力下 $a\propto \frac{1}{m}$，所以 $\frac{m_{\text{甲}}}{m_{\text{乙}}}=\frac{a_{\text{乙}}}{a_{\text{甲}}}=\frac{4.5}{1.5}=3$。
3. 先求质量 $m=\frac{F}{a}=\frac{4}{2}=2kg$，再求 $F^{\prime }=m{a}^{\prime }=2\times 6=12N$。
4. 两力合力 $F_{\text{合}}=\sqrt{14^2+14^2}=14\sqrt{2}N$，加速度 $a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=7\sqrt{2}m/s^2$，方向沿两力夹角的角平分线。
5. 受推力时合力 $F_{\text{合}}=ma=30\times 1.5=45N$，说明阻力大小 $60-45=15N$。撤去推力后合力为阻力，$a=\frac{15}{30}=0.5m/s^2$，方向与原运动方向相反。
6. 石块与货车一起向前加速，接触物对石块的合力提供加速度，因此合力大小为 $ma$，方向与货车加速度方向相同。