4.5 牛顿运动定律的应用

相关知识

4.1 牛顿第一定律
4.2 实验：探究加速度与力、质量的关系
4.3 牛顿第二定律
4.4 力学单位制
4.6 超重和失重
第四章 运动和力的关系 复习与提高
第四章 运动和力的关系 学习导图

4.5 牛顿运动定律的应用

本节学习目标

学完本节，需要能做到：

• 理解牛顿第二定律是连接受力情况和运动情况的桥梁。
• 掌握“从受力确定运动情况”和“从运动情况确定受力”两类基本问题。
• 会把受力分析、$F_{\text{合}}=ma$ 和匀变速直线运动公式结合起来解题。
• 会处理水平面摩擦减速、斜面滑行、分段运动等典型情境。
• 能完整分析冰壶滑行、滑雪者下滑、气囊逃生、刹车车痕等应用问题。
• 理解分段运动中“前一段末速度等于后一段初速度”的衔接关系。

核心知识点讲解

一、知识对象与物理情境

列车进站要准确停靠在对应车门位置；冰壶运动员用毛刷摩擦冰面来调节冰壶滑行距离；汽车刹车后在路面留下车痕，由车痕长度可以反推动摩擦因数。这些问题都需要把“力”和“运动”联系起来。

牛顿第二定律 $F_{\text{合}}=ma$ 确定了运动和力的关系，使我们能够把物体的运动情况与受力情况联系起来。加速度 $a$ 是连接力和运动的桥梁。

二、核心概念与定义

动力学问题可分为两类：

类型	已知	求解	路径
第一类	受力情况	运动情况	受力分析 → $F_{\text{合}}$ → $a$ → 运动学公式
第二类	运动情况	受力情况	运动学公式 → $a$ → $F_{\text{合}}$ → 未知力

无论哪一类，加速度 $a$ 都是桥梁。求出加速度后，力和运动就相互打通了。

三、关键规律、公式与适用条件

1. 从受力确定运动情况

步骤：

1. 选研究对象。
2. 建立坐标系，规定正方向。
3. 受力分析，求合力。
4. 由 $F_{\text{合}}=ma$ 求加速度。
5. 用运动学公式求速度、位移或时间。

常用运动学公式：

$$v=v_0+at$$ $$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$ $$v^2-v_0^2=2ax$$

2. 从运动情况确定受力

步骤：

1. 选研究对象。
2. 由运动学公式求加速度。
3. 受力分析。
4. 由 $F_{\text{合}}=ma$ 求未知力。

3. 水平面摩擦减速模型

物体在水平面上滑动时，若只受滑动摩擦力，且 $F_N=mg$：

$$F_f=\mu F_N=\mu mg$$

由牛顿第二定律：

$$a=\frac{F_f}{m}=-\mu g$$

即加速度大小只与动摩擦因数和 $g$ 有关，与物体质量无关。

四、典型模型与过程分析

1. 水平面摩擦减速模型

冰壶被投出后，水平方向主要受滑动摩擦力，方向与运动方向相反，做匀减速直线运动。汽车刹车后在路面上滑行也是同类问题。

若外界条件使动摩擦因数改变（如冰壶前方被毛刷摩擦后 $\mu$ 减小），加速度随之改变，此时要分段处理。

2. 斜面滑行模型

物体在斜面上运动时，常沿斜面和垂直斜面建立坐标轴。把重力 $G=mg$ 分解：

• 沿斜面方向：$mg\sin \theta$
• 垂直斜面方向：$mg\cos \theta$

沿斜面方向列牛顿第二定律方程：

$$mg\sin \theta -F_f=ma$$

垂直斜面方向列平衡方程：

$$F_N-mg\cos \theta =0$$

3. 分段运动模型

当运动过程中受力情况发生变化时，加速度也随之改变，必须分段处理。关键衔接条件是：前一段的末速度等于后一段的初速度。

典型情境：

• 冰壶滑行 $10\text{m}$ 后开始刷冰，动摩擦因数改变。
• 汽车先加速再刹车。
• 物体先在一种接触面上运动，再进入另一种接触面。

分段问题的一般步骤：

1. 按受力变化分段。
2. 每段分别求加速度。
3. 前一段末速度作为后一段初速度。
4. 各段位移相加得总位移。

五、图像、实验与数据理解

1. 两类问题的对称性

从受力求运动和从运动求受力是互逆的两个方向。无论走哪个方向，都必须经过加速度这个中间环节。做题时先判断题目属于哪一类，再决定是先用牛顿第二定律还是先用运动学公式。

2. 刹车车痕推摩擦因数

汽车在水平路面上刹车后，车轮抱死滑行。由车痕长度（位移 $x$）、刹车前速度 $v_0$ 和末速度 $v=0$，可先求加速度：

$$a=\frac{0-v_0^2}{2x}$$

再由 $a=-\mu g$ 求动摩擦因数：

$$\mu =\frac{|a|}{g}$$

这就是用牛顿运动定律检测路面摩擦性能的原理。

3. 气囊逃生斜面

民航客机紧急出口的气囊构成一个斜面。人沿气囊滑下时受重力、支持力和阻力。已知斜面高度、长度和阻力大小，可以用斜面模型求人滑至底端的速度。

六、题型应用与迁移

动力学应用题要始终坚持四条原则：

1. 不画受力图不列动力学方程。
2. 受力改变就分段。
3. 每段内部确认加速度是否恒定。
4. 前后段用末速度、位移或时间衔接。

题型	关键方法
水平面摩擦减速	$a=-\mu g$，与质量无关
斜面滑行	沿斜面和垂直斜面建轴，分解重力
分段运动	各段加速度不同，用末速度衔接
刹车车痕	由位移和速度反推加速度和 $\mu$
多力合成后求运动	先用平行四边形定则求合力

重点梳理

重点 1：加速度是连接力和运动的桥梁

无论从力求运动还是从运动求力，都必须经过加速度。求出加速度后，力和运动之间的关系就建立起来了。

重点 2：两类问题的解题路径

• 从受力求运动：$F_{\text{合}}\to a\to v,x,t$
• 从运动求受力：$v,x,t\to a\to F_{\text{合}}\to$ 未知力

重点 3：斜面问题要分解重力

斜面上通常 $F_N=mg\cos \theta$，不是 $mg$。沿斜面方向的重力分力为 $mg\sin \theta$。

重点 4：分段运动不能混用加速度

匀变速公式只适用于加速度恒定的单一过程。受力改变时加速度改变，必须分段处理。

难点突破

难点 1：为什么要分段

匀变速公式只适用于加速度恒定的过程。刷冰后摩擦因数改变、撤去拉力后合力改变、电梯启动和制动加速度不同，都要分段处理。每段加速度可能不同，不能全程套用同一个加速度。

难点 2：斜面上为什么不能写 $F_N=mg$

支持力只平衡重力垂直斜面的分量。斜面倾角为 $\theta$ 时：

$$F_N=mg\cos \theta$$

只有 $\theta =0$（水平面）时才有 $F_N=mg$。

难点 3：已知运动求受力为什么不能直接从力入手

如果阻力或未知力不能直接由条件给出（如题目没有提供动摩擦因数），就先利用运动学信息（位移、时间、速度等）求加速度，再用牛顿第二定律反推合力或未知力。

难点 4：水平面摩擦减速中加速度为什么与质量无关

物体在水平面上只受滑动摩擦力时：

$$F_f=\mu mg$$ $$a=\frac{F_f}{m}=\frac{\mu mg}{m}=\mu g$$

质量 $m$ 被约去，所以加速度大小只取决于 $\mu$ 和 $g$。

难点 5：滑雪者受到的阻力方向

滑雪者沿山坡向下滑行，阻力（包括摩擦力和空气阻力）的方向与运动方向相反，即沿斜面向上。在列方程时，阻力写在沿斜面方程中，取负号。

例题讲解

例题 1：冰壶滑行距离（从受力求运动）

题目：运动员以 $3.4\text{m/s}$ 的速度投出冰壶，冰壶在水平冰面上自由滑行。冰壶和冰面的动摩擦因数为 $0.02$，取 $g=10{\text{m/s}}^2$。冰壶能滑行多远？

读题：冰壶在水平面上只受滑动摩擦力，做匀减速直线运动。

步骤：

设冰壶质量为 $m$，取运动方向为正方向。

滑动摩擦力：

$$F_f=-{\mu }_{1}mg=-0.02\times 10\times m=-0.2m$$

加速度：

$$a_1=\frac{F_f}{m}=-{\mu }_{1}g=-0.2{\text{m/s}}^2$$

由 $v^2-v_0^2=2a_1{x}_1$，$v=0$：

$$0-3.4^2=2\times (-0.2)\times x_1$$ $$x_1=\frac{3.4^2}{0.4}\text{m}=\frac{11.56}{0.4}\text{m}=28.9\text{m}$$

答案：冰壶滑行了 $28.9\text{m}$。

反思：冰壶加速度 $a=-\mu g$，与冰壶质量无关。

例题 2：冰壶刷冰后多滑行多少（分段运动）

题目：运动员仍以 $3.4\text{m/s}$ 的速度投出冰壶。冰壶自由滑行 $10\text{m}$ 后，队友开始在前方刷冰，动摩擦因数变为原来的 $90\%$。冰壶比第一次多滑行了多少距离？取 $g=10{\text{m/s}}^2$。

分析：分两段处理。第一段 ${\mu }_1=0.02$，滑行 $10\text{m}$ 后速度为 $v_{10}$；第二段 ${\mu }_2=0.9{\mu }_1=0.018$。

步骤：

第一段加速度 $a_1=-0.2{\text{m/s}}^2$。滑行 $10\text{m}$ 后：

$$v_{10}^2=v_0^2+2a_1{x}_{10}=3.4^2+2\times (-0.2)\times 10$$ $$v_{10}^2=11.56-4=7.56$$

第二段加速度：

$$a_2=-{\mu }_{2}g=-0.018\times 10=-0.18{\text{m/s}}^2$$

由 $0-v_{10}^2=2a_2{x}_2$：

$$x_2=\frac{-v_{10}^2}{2a_2}=\frac{-7.56}{2\times (-0.18)}=\frac{7.56}{0.36}=21\text{m}$$

第二次总滑行距离：

$$x_{\text{总}}=10+21=31\text{m}$$

比第一次多滑行：

$$31-28.9=2.1\text{m}$$

答案：冰壶比第一次多滑行了 $2.1\text{m}$。

反思：分段问题的关键是前一段末速度等于后一段初速度。

例题 3：滑雪者对雪面的压力和阻力（从运动求受力）

题目：一位滑雪者，人与装备的总质量为 $75\text{kg}$，以 $2\text{m/s}$ 的初速度沿山坡匀加速直线滑下，山坡倾角为 $30^{\circ }$，在 $5\text{s}$ 时间内滑下 $60\text{m}$。求滑雪者对雪面的压力及滑雪者受到的阻力。取 $g=10{\text{m/s}}^2$。

分析：不知道动摩擦因数和阻力，不能直接从力求解。先由运动学公式求加速度，再列牛顿第二定律方程。

步骤：

先求加速度。由 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$：

$$60=2\times 5+\frac{1}{2}a\times 25$$ $$60=10+12.5a$$ $$a=4{\text{m/s}}^2$$

沿斜面和垂直斜面建坐标轴。

$y$ 方向（垂直斜面）：

$$F_N=mg\cos 30^{\circ }=75\times 10\times 0.866\approx 650\text{N}$$

$x$ 方向（沿斜面向下为正）：

$$mg\sin 30^{\circ }-F_f=ma$$ $$F_f=m(g\sin 30^{\circ }-a)=75\times (5-4)=75\text{N}$$

由牛顿第三定律，滑雪者对雪面的压力大小等于雪面对滑雪者的支持力大小，为 $650\text{N}$，方向垂直斜面向下。

答案：滑雪者对雪面的压力大小为 $650\text{N}$，方向垂直斜面向下；滑雪者受到的阻力大小为 $75\text{N}$，方向沿斜面向上。

例题 4：气囊滑行速度

题目：民航客机紧急出口的气囊构成一条斜面。机舱口下沿距地面 $3.2\text{m}$，气囊斜面长度为 $6.5\text{m}$。一个质量为 $60\text{kg}$ 的人沿气囊滑下时所受阻力为 $240\text{N}$。人滑至气囊底端时的速度是多少？取 $g=10{\text{m/s}}^2$。

分析：先求斜面倾角的正弦值，再沿斜面列牛顿第二定律方程。

步骤：

斜面高度 $h=3.2\text{m}$，斜面长 $L=6.5\text{m}$：

$$\sin \theta =\frac{h}{L}=\frac{3.2}{6.5}$$

沿斜面方向（向下为正）：

$$mg\sin \theta -F_f=ma$$ $$60\times 10\times \frac{3.2}{6.5}-240=60a$$ $$\frac{1920}{6.5}-240=60a$$ $$295.4-240=60a$$ $$a=\frac{55.4}{60}\approx 0.92{\text{m/s}}^2$$

人从静止开始滑行，由 $v^2=2aL$：

$$v=\sqrt{2\times 0.92\times 6.5}\approx \sqrt{11.96}\approx 3.5\text{m/s}$$

答案：人滑至气囊底端时的速度约为 $3.5\text{m/s}$。

例题 5：刹车车痕推摩擦因数

题目：汽车以 $54\text{km/h}$ 的速度在水平直道上行驶，突然紧急刹车，车轮抱死后在路面上滑行直至停下。测得车痕长度为 $17.2\text{m}$。求路面和轮胎之间的动摩擦因数。取 $g=10{\text{m/s}}^2$。

分析：先换算单位，由位移和速度求加速度，再由 $a=-\mu g$ 求 $\mu$。

步骤：

$$v_0=54\text{km/h}=15\text{m/s}$$

由 $v^2-v_0^2=2ax$，$v=0$：

$$0-15^2=2a\times 17.2$$ $$a=\frac{-225}{34.4}\approx -6.54{\text{m/s}}^2$$

水平面刹车：

$$|a|=\mu g$$ $$\mu =\frac{6.54}{10}\approx 0.654$$

答案：路面和轮胎之间的动摩擦因数约为 $0.65$。

易错点整理

易错点 1：未选研究对象就列式

常见错误表现：直接写方程，不明确研究哪个物体。

错因分析：受力分析必须针对确定的研究对象。

正确处理：先写“以某物体为研究对象”，再画受力图、列方程。

易错点 2：把摩擦力方向写反

常见错误表现：物体减速时把摩擦力方向写成与加速度方向相同。

错因分析：滑动摩擦力方向与相对运动方向相反，不是与加速度方向相反。

正确处理：滑动摩擦力总是与相对滑动方向相反；加速度方向由合力方向决定。

易错点 3：斜面问题误写 $F_N=mg$

常见错误表现：在斜面上直接写支持力等于重力。

错因分析：重力方向竖直向下，支持力垂直斜面，二者方向不同。

正确处理：斜面上 $F_N=mg\cos \theta$。

易错点 4：分段题把前一段加速度用于后一段

常见错误表现：刷冰前后用同一个加速度计算全程位移。

错因分析：动摩擦因数改变后加速度也改变。

正确处理：分段列方程，各段用各自的加速度，前段末速度作为后段初速度。

易错点 5：只求数值不说明方向

常见错误表现：求出力或加速度后只写数字。

错因分析：力和加速度都是矢量。

正确处理：写出大小后说明方向，或在建立坐标时说明正方向。

考点考证点整理

考点一：从受力求运动

• 出题思路：给摩擦因数、拉力、质量等，求速度、位移或时间。
• 关键条件：合力方向、摩擦力表达式、初速度。
• 解答要点：受力分析 → $F_{\text{合}}$ → $a$ → 运动学公式。
• 易扣分点：不分清合力和单个力；忘记规定正方向。

考点二：从运动求受力

• 出题思路：给位移、时间、初速度，要求求阻力或压力。
• 关键条件：运动过程是否匀变速，坐标方向。
• 解答要点：先由运动学求 $a$，再用 $F_{\text{合}}=ma$ 求未知力。
• 易扣分点：直接套摩擦公式而忽略题目没有给动摩擦因数。

考点三：分段运动

• 出题思路：刷冰、撤力、变摩擦、分阶段加速制动。
• 关键条件：每段受力是否改变，前后段速度衔接。
• 解答要点：逐段列方程，前一段末速度作后一段初速度。
• 易扣分点：全程只用一个加速度。

考点四：斜面动力学

• 出题思路：斜面滑行、气囊滑梯、斜面拉力。
• 关键条件：倾角、重力分解、支持力方向、阻力方向。
• 解答要点：沿斜面和垂直斜面建轴，分别列方程。
• 易扣分点：把重力直接代替沿斜面分力；支持力写成 $mg$。

考点五：刹车车痕与摩擦检测

• 出题思路：由车痕长度和初速度反推动摩擦因数。
• 关键条件：末速度为零、水平面 $a=-\mu g$、单位换算。
• 解答要点：先由运动学求 $a$，再由 $\mu =|a|/g$ 求 $\mu$。
• 易扣分点：速度未换算为 $\text{m/s}$；忘记 $a$ 为负值。

练习题

基础训练

1. 牛顿运动定律应用中，什么物理量是连接力和运动的桥梁？
2. 从受力确定运动情况的解题步骤是什么？从运动确定受力情况的步骤是什么？
3. 物体在水平面上只受滑动摩擦力时，加速度大小为什么与质量无关？
4. 斜面上物体的支持力一般写成什么？为什么不写成 $mg$？
5. 分段运动问题中，前后两段用什么物理量衔接？

巩固训练

6. 质量为 $20\text{kg}$ 的物体静止在光滑水平面上。给它施加两个大小均为 $50\text{N}$、互成 $60^{\circ }$ 角的水平力，求 $3\text{s}$ 末速度和 $3\text{s}$ 内位移。
7. 一辆汽车以 $54\text{km/h}$ 的速度在水平直道上行驶时紧急刹车，车轮抱死后滑行 $17.2\text{m}$ 停下。求路面和轮胎之间的动摩擦因数。取 $g=10{\text{m/s}}^2$。
8. 运动员以 $3.4\text{m/s}$ 的速度投出冰壶，冰壶与冰面动摩擦因数为 $0.02$。冰壶能滑行多远？取 $g=10{\text{m/s}}^2$。

提升训练

9. 冰壶以 $3.4\text{m/s}$ 的速度被投出后，先自由滑行 $10\text{m}$，队友随后刷冰使动摩擦因数变为原来的 $90\%$。冰壶比不刷冰时多滑行了多少距离？取 $g=10{\text{m/s}}^2$。
10. 滑雪者人与装备总质量为 $75\text{kg}$，以 $2\text{m/s}$ 初速度沿倾角 $30^{\circ }$ 的山坡匀加速滑下，$5\text{s}$ 内滑下 $60\text{m}$。求滑雪者对雪面的压力和受到的阻力。取 $g=10{\text{m/s}}^2$。
11. 民航客机紧急出口的气囊斜面：机舱口下沿距地面 $3.2\text{m}$，气囊长 $6.5\text{m}$。质量 $60\text{kg}$ 的人沿气囊滑下时所受阻力为 $240\text{N}$，求人滑至底端时的速度。取 $g=10{\text{m/s}}^2$。
12. 一辆货车运载着圆柱形光滑空油桶。车厢底部一层油桶平整排列并固定，上层只有一只油桶 $C$，自由摆放在两固定油桶 $A$、$B$ 之间（三个桶截面圆心构成等边三角形，$A$、$B$ 在下方左右，$C$ 在上方）。当货车以加速度 $a$ 向左加速时，$A$ 对 $C$ 和 $B$ 对 $C$ 的支持力分别怎样变化？当加速度增大到何值时，桶 $C$ 恰好脱离 $A$？取 $g=10{\text{m/s}}^2$。

练习题答案

基础训练答案

1. 加速度 $a$ 是连接力和运动的桥梁。无论从力求运动还是从运动求力，都要先求加速度。

2. 从受力确定运动：受力分析 → 求合力 $F_{\text{合}}$ → 由 $F_{\text{合}}=ma$ 求 $a$ → 用运动学公式求 $v$、$x$、$t$。

   从运动确定受力：由运动学公式求 $a$ → 受力分析 → 由 $F_{\text{合}}=ma$ 求未知力。

3. 物体在水平面上只受滑动摩擦力时：

$$F_f=\mu mg$$ $$a=\frac{F_f}{m}=\frac{\mu mg}{m}=\mu g$$

质量 $m$ 被约去，所以加速度大小只与 $\mu$ 和 $g$ 有关。

4. 斜面上 $F_N=mg\cos \theta$。因为重力方向竖直向下，而支持力垂直斜面，二者方向不同。支持力只平衡重力垂直斜面的分量。

5. 前一段的末速度等于后一段的初速度。

巩固训练答案

6. 两力合力（$60^{\circ }$ 角平分线方向）：

$$F_{\text{合}}=2\times 50\times \cos 30^{\circ }=100\times 0.866=86.6\text{N}$$

加速度：

$$a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{86.6}{20}=4.33{\text{m/s}}^2$$

$3\text{s}$ 末速度：

$$v=at=4.33\times 3\approx 13.0\text{m/s}$$

$3\text{s}$ 内位移：

$$x=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\times 4.33\times 9\approx 19.5\text{m}$$

方向沿两力夹角的角平分线。

7. 单位换算：$v_0=54\text{km/h}=15\text{m/s}$。

由 $v^2-v_0^2=2ax$，$v=0$：

$$a=\frac{-15^2}{2\times 17.2}=\frac{-225}{34.4}\approx -6.54{\text{m/s}}^2$$

由 $|a|=\mu g$：

$$\mu =\frac{6.54}{10}\approx 0.654$$

路面和轮胎之间的动摩擦因数约为 $0.65$。

8. 加速度：

$$a=-\mu g=-0.02\times 10=-0.2{\text{m/s}}^2$$

由 $v^2-v_0^2=2ax$，$v=0$：

$$x=\frac{-v_0^2}{2a}=\frac{-3.4^2}{2\times (-0.2)}=\frac{11.56}{0.4}=28.9\text{m}$$

冰壶滑行了 $28.9\text{m}$。

提升训练答案

9. 第一段：$a_1=-0.2{\text{m/s}}^2$，滑行 $10\text{m}$ 后：

$$v_{10}^2=3.4^2+2\times (-0.2)\times 10=11.56-4=7.56$$

第二段：${\mu }_2=0.9\times 0.02=0.018$：

$$a_2=-0.018\times 10=-0.18{\text{m/s}}^2$$ $$x_2=\frac{-v_{10}^2}{2a_2}=\frac{-7.56}{2\times (-0.18)}=\frac{7.56}{0.36}=21\text{m}$$

总距离 $10+21=31\text{m}$，比不刷冰（$28.9\text{m}$）多滑行 $2.1\text{m}$。

10. 先求加速度。由 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$：

$$60=2\times 5+\frac{1}{2}a\times 25$$ $$a=4{\text{m/s}}^2$$

垂直斜面方向：

$$F_N=mg\cos 30^{\circ }=75\times 10\times 0.866\approx 650\text{N}$$

沿斜面方向：

$$F_f=m(g\sin 30^{\circ }-a)=75\times (5-4)=75\text{N}$$

由牛顿第三定律，滑雪者对雪面的压力大小为 $650\text{N}$，方向垂直斜面向下。滑雪者受到的阻力大小为 $75\text{N}$，方向沿斜面向上。

11. 斜面倾角满足 $\sin \theta =\frac{3.2}{6.5}$。

沿斜面方向：

$$mg\sin \theta -F_f=ma$$ $$60\times 10\times \frac{3.2}{6.5}-240=60a$$ $$295.4-240=60a$$ $$a\approx 0.92{\text{m/s}}^2$$

人从静止滑下 $6.5\text{m}$：

$$v=\sqrt{2aL}=\sqrt{2\times 0.92\times 6.5}\approx 3.5\text{m/s}$$

人滑至底端时的速度约为 $3.5\text{m/s}$。

12. 设每个桶截面半径为 $r$，$A$、$B$ 圆心连线在正下方，$C$ 在上方，$AC$ 连线与水平方向成 $30^{\circ }$ 角（等边三角形排列），$BC$ 连线也与水平方向成 $30^{\circ }$ 角。

$A$ 对 $C$ 的支持力 $F_{NA}$ 沿 $AC$ 方向（由 $A$ 指向 $C$，即斜向右上），$B$ 对 $C$ 的支持力 $F_{NB}$ 沿 $BC$ 方向（由 $B$ 指向 $C$，即斜向左上）。

以 $C$ 为研究对象，建立水平向左为 $x$ 轴正方向、竖直向上为 $y$ 轴正方向的坐标系。

$y$ 方向：

$$F_{NA}\sin 30^{\circ }+F_{NB}\sin 30^{\circ }=mg$$

$x$ 方向：

$$F_{NB}\cos 30^{\circ }-F_{NA}\cos 30^{\circ }=ma$$

由 $y$ 方向方程：

$$F_{NA}+F_{NB}=\frac{mg}{\sin 30^{\circ }}=2mg$$

由 $x$ 方向方程：

$$F_{NB}-F_{NA}=\frac{ma}{\cos 30^{\circ }}=\frac{2ma}{\sqrt{3}}$$

解得：

$$F_{NA}=mg-\frac{ma}{\sqrt{3}}$$ $$F_{NB}=mg+\frac{ma}{\sqrt{3}}$$

（1）汽车向左加速时，$A$ 对 $C$ 的支持力 $F_{NA}$ 减小，$B$ 对 $C$ 的支持力 $F_{NB}$ 增大。

（2）桶 $C$ 脱离 $A$ 时 $F_{NA}=0$：

$$mg-\frac{ma}{\sqrt{3}}=0$$ $$a=\sqrt{3}g=\sqrt{3}\times 10\approx 17.3{\text{m/s}}^2$$

当加速度增大到约 $17.3{\text{m/s}}^2$ 时，桶 $C$ 脱离 $A$。