4.2 实验：探究加速度与力、质量的关系

本节学习目标

学完本节，需要能做到：

• 理解为什么要探究加速度 $a$ 与合力 $F$、质量 $m$ 的定量关系。
• 掌握控制变量法：研究 $a$ 与 $F$ 时保持 $m$ 不变，研究 $a$ 与 $m$ 时保持 $F$ 不变。
• 知道用槽码牵引小车、打点计时器、纸带研究运动的基本实验装置。
• 理解平衡阻力、槽码质量远小于小车质量、用纸带测加速度等实验要点。
• 会用 $a=\frac{2x}{t^2}$、纸带处理或位移比方法测量/比较加速度。
• 会根据 $a-F$ 图像和 $a-\frac{1}{m}$ 图像判断定量关系。
• 会处理教材中的表格数据、纸带数据和图像作图题。

核心知识点讲解

一、知识对象与物理情境

加速度描述物体运动状态变化的快慢。上一节已经知道，力是改变物体运动状态的原因，质量越大物体运动状态越难改变。因此，物体获得的加速度应当与力和质量有关。

本实验要回答的问题是：

$$a、F、m\text{ 三者之间有什么定量关系？}$$

二、核心概念与定义

控制变量法：当一个物理量可能同时受多个因素影响时，先固定其中一些因素，只让一个因素改变，研究它与目标物理量的关系。

本实验分两步：

1. 保持小车质量 $m$ 不变，改变拉力 $F$，研究 $a$ 与 $F$ 的关系。
2. 保持小车所受拉力 $F$ 不变，改变小车质量 $m$，研究 $a$ 与 $m$ 的关系。

实验中的 $F$ 应理解为小车所受合力。通过平衡阻力后，细线拉力可以近似作为小车所受合力；当槽码质量远小于小车质量时，细线拉力又可近似等于槽码重力。

三、关键规律、公式与适用条件

如果小车从静止开始做匀加速直线运动，可由位移公式：

$$x=\frac{1}{2}a{t}^2$$

得到：

$$a=\frac{2x}{t^2}$$

如果两辆小车都从静止开始运动，并且运动时间相同，则：

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{x_1}{x_2}$$

这说明在比较加速度关系时，可以把测量加速度转化为测量位移。

实验最终得到的规律是：

$$m\text{ 一定时， }a\propto F$$ $$F\text{ 一定时， }a\propto \frac{1}{m}$$

四、典型模型与分析方法

教材给出两类参考方案。

参考案例 1：槽码牵引小车 + 打点计时器

1. 木板上放小车，细线跨过滑轮连接槽码。
2. 小车拖动纸带，打点计时器记录位置和时间。
3. 垫高木板一端，使小车不受牵引时能拖着纸带匀速运动，从而平衡阻力。
4. 改变槽码个数，改变拉力，研究 $a-F$ 关系。
5. 保持槽码不变，增减小车中重物，研究 $a-m$ 关系。

参考案例 2：两辆小车同时运动，比较位移比

两辆小车同时开始、同时停止，运动时间 $t$ 相同。若初速度均为 $0$，由 $x=\frac{1}{2}a{t}^2$ 可知：

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{a_1}{a_2}$$

这种方法不一定要直接求出每个加速度数值，只要比较位移即可比较加速度。

五、图像、实验与数据理解

实验数据要用图像判断规律。

研究 $a$ 与 $F$：

• 横轴取 $F$，纵轴取 $a$。
• 如果数据点大致落在过原点直线附近，说明 $a\propto F$。

研究 $a$ 与 $m$：

• 直接作 $a-m$ 图像可能是双曲线，不容易判断。
• 如果猜想 $a\propto \frac{1}{m}$，应作 $a-\frac{1}{m}$ 图像。
• 若 $a-\frac{1}{m}$ 图像是过原点直线，说明 $a$ 与 $\frac{1}{m}$ 成正比，即 $a$ 与 $m$ 成反比。

六、题型应用与迁移

本节题目常考三类能力：

1. 实验设计：控制哪些量，改变哪些量，如何平衡阻力。
2. 数据处理：由纸带求加速度，由表格拆分 $a-F$ 和 $a-m$ 数据。
3. 图像判断：根据 $a-F$、$a-\frac{1}{m}$ 图像得出正比或反比结论。

重点梳理

• 本实验采用控制变量法。
• 平衡阻力的目的是使小车所受合力近似等于细线拉力。
• 槽码质量远小于小车质量时，细线拉力才可近似等于槽码重力。
• 用纸带求加速度时，要先确定计数点时间间隔，再处理位移数据。
• $a-F$ 图像过原点直线：$a\propto F$。
• $a-\frac{1}{m}$ 图像过原点直线：$a\propto \frac{1}{m}$。

难点突破

难点 1：为什么要平衡阻力？

小车运动时受到摩擦力和纸带阻力。如果不平衡阻力，小车所受合力不是细线拉力，而是：

$$F_{\text{合}}=F_{\text{拉}}-F_{\text{阻}}$$

这样会使 $a-F$ 图像不过原点，影响实验结论。

难点 2：为什么槽码质量要远小于小车质量？

槽码也在加速运动，细线拉力并不严格等于槽码重力。只有槽码质量远小于小车质量时，误差较小，才可近似认为：

$$F_{\text{拉}}\approx G_{\text{槽码}}$$

难点 3：为什么研究 $a$ 与 $m$ 要作 $a-\frac{1}{m}$ 图像？

如果 $a$ 与 $m$ 成反比，那么 $a-m$ 图像是曲线，不容易准确判断；把横轴换成 $\frac{1}{m}$ 后，若图像为过原点直线，就能更清楚地验证：

$$a\propto \frac{1}{m}$$

难点 4：实验点不完全在直线上怎么办？

真实实验存在读数、摩擦、纸带、释放操作等误差。作图时应根据整体趋势画拟合直线，使数据点大致均匀分布在直线两侧，不应机械折线连接。

例题讲解

例题 1：由位移和时间求加速度

题目：小车从静止开始做匀加速直线运动，$3.0s$ 内位移 $4.5m$，求加速度。

分析：已知初速度为 $0$，可用 $x=\frac{1}{2}a{t}^2$。

步骤：

$$a=\frac{2x}{t^2}=\frac{2\times 4.5}{3.0^2}=1.0m/s^2$$

答案：小车加速度为 $1.0m/s^2$。

例题 2：判断 $a-F$ 图像

题目：小车质量一定时，实验得到 $a-F$ 图像为过原点直线，说明什么？

答案：说明小车质量一定时，加速度 $a$ 与合力 $F$ 成正比。

例题 3：判断 $a-\frac{1}{m}$ 图像

题目：小车所受拉力一定时，实验得到 $a-\frac{1}{m}$ 图像为过原点直线，说明什么？

答案：说明 $a$ 与 $\frac{1}{m}$ 成正比，即合力一定时，加速度 $a$ 与质量 $m$ 成反比。

例题 4：位移比法比较加速度

题目：两辆小车从静止同时开始运动，同时停止，位移分别为 $0.40m$ 和 $0.60m$，求加速度之比。

分析：两车运动时间相同，初速度均为 $0$。

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{x_1}{x_2}=\frac{0.40}{0.60}=\frac{2}{3}$$

答案：加速度之比为 $2:3$。

易错点整理

• 忘记控制变量，同时改变 $F$ 和 $m$。
• 未平衡阻力，导致合力不等于拉力。
• 把槽码重力无条件当作细线拉力，没有注意近似条件。
• 研究 $a$ 与 $m$ 时只作 $a-m$ 图像，不会转化为 $a-\frac{1}{m}$ 图像。
• 纸带题中数错计数点间隔，导致时间间隔错误。
• 把所有实验点机械连成折线，而不是画反映总体趋势的拟合线。

考点考证点整理

考点 1：控制变量法

• 出题思路：给出实验目的，要求判断保持什么不变、改变什么、测量什么。
• 关键条件：研究 $a-F$ 时 $m$ 不变；研究 $a-m$ 时 $F$ 不变。
• 解答要点：明确控制变量对象，说明只让一个自变量变化。
• 易扣分点：把“保持质量不变”和“保持拉力不变”说反。

考点 2：实验装置和平衡阻力

• 出题思路：给出槽码牵引小车装置，问为什么垫高木板、怎样判断阻力已平衡。
• 关键条件：小车不受牵引时能拖着纸带匀速运动。
• 解答要点：平衡阻力后，小车所受合力近似等于细线拉力；判断依据是小车能匀速运动。
• 易扣分点：说成“消除所有阻力”，或漏写“拖着纸带”。

考点 3：纸带求加速度

• 出题思路：给纸带、计数点和频率，要求求速度或加速度。
• 关键条件：电源频率、相邻计数点之间有几个打点间隔、位移单位换算。
• 解答要点：先求时间间隔，再由纸带位移计算速度或加速度；必要时用逐差法或图像法。
• 易扣分点：把“相邻计数点间有四个点未画出”误算为 $4T$ 而不是 $5T$。

考点 4：$a-F$ 图像和 $a-\frac{1}{m}$ 图像

• 出题思路：给数据或图像，要求判断正比、反比关系。
• 关键条件：图像是否过原点、坐标轴选取的是 $m$ 还是 $\frac{1}{m}$。
• 解答要点：$a-F$ 过原点直线说明 $a\propto F$；$a-\frac{1}{m}$ 过原点直线说明 $a\propto \frac{1}{m}$。
• 易扣分点：看到曲线就说没有规律，或把 $a-m$ 曲线误判为正比。

考点 5：实验误差和近似条件

• 出题思路：问图像不过原点、拉力近似等于槽码重力的条件、数据点偏离直线原因。
• 关键条件：阻力是否平衡、槽码质量是否远小于小车质量、纸带摩擦和读数误差。
• 解答要点：说明误差来源，并指出改进方法，如充分平衡阻力、减小槽码质量比例、规范读数。
• 易扣分点：只写“实验误差”而不说明具体来源。

练习题

教材练习与应用

1. 教材练习与应用第 1 题：某同学在做“探究加速度与力的关系”和“探究加速度与质量的关系”实验时，把两个实验的数据都记录在同一个表中。数据按加速度大小排列，其中有两个加速度数据模糊不清。请把数据拆分填入“探究加速度与力的关系”的表和“探究加速度与质量的关系”的表，并根据规律补出模糊数据。题目依赖教材表 3、表 4、表 5，需回看原文表格确认全部数值。
2. 教材练习与应用第 2 题（1）：某同学用图 $4.2-2$ 所示装置探究小车加速度与质量的关系，交变电流频率为 $50Hz$。图 $4.2-6$ 是某次实验纸带，每两个计数点间有四个点未画出，部分数据如图所示，求小车的加速度。题目依赖图 $4.2-6$，需回看原图确认各段位移。
3. 教材练习与应用第 2 题（2）：保持小车所受拉力不变，改变小车质量 $m$，分别测得不同质量时小车加速度 $a$ 的数据如表 6。请在图 $4.2-7$ 的坐标纸中作出 $a-\frac{1}{m}$ 图像，并根据图像得到实验结论。表 6 数据为：$m/kg$ 分别为 $0.25,0.29,0.33,0.40,0.50,0.71,1.00,1.67$；$a/(m\cdot s^{-2})$ 分别约为 $0.618,0.557,0.482,0.403,0.317,0.235,0.152,0.086$；$\frac{1}{m}/k{g}^{-1}$ 分别约为 $4.00,3.45,3.03,2.50,2.00,1.41,1.00,0.60$。

巩固题

4. 研究 $a$ 与 $F$ 的关系时，为什么必须保持小车质量不变？
5. 研究 $a$ 与 $m$ 的关系时，为什么不直接根据 $a-m$ 曲线下结论，而要作 $a-\frac{1}{m}$ 图像？
6. 若 $a-F$ 图像不过原点，在 $F$ 轴上有正截距，可能说明什么？

练习题答案

1. 教材练习与应用第 1 题答案：按控制变量分组。质量相同而拉力不同的数据归入“探究加速度与力的关系”；拉力相同而质量不同的数据归入“探究加速度与质量的关系”。补模糊数据时应分别利用 $a\propto F$ 和 $a\propto \frac{1}{m}$ 判断。由于源文表格 OCR 有缺损，完整数值需回看教材表 3、表 4、表 5 确认。
2. 教材练习与应用第 2 题（1）答案：交变电流频率 $50Hz$，相邻打点时间 $T=0.02s$；每两个计数点间有四个点未画出，所以相邻计数点时间间隔为 $5T=0.10s$。再根据图 $4.2-6$ 中连续相等时间内位移的变化，用逐差法或速度图像法求加速度。源图 OCR 未完整保留全部位置数据，需回看原图确认后计算。
3. 教材练习与应用第 2 题（2）答案：以 $\frac{1}{m}$ 为横轴、$a$ 为纵轴描点，数据点大致落在过原点直线附近，说明保持拉力不变时，加速度 $a$ 与 $\frac{1}{m}$ 成正比，即 $a$ 与质量 $m$ 成反比。
4. 因为加速度同时受合力和质量影响。若质量也变化，就不能判断加速度变化到底由拉力变化还是质量变化引起。
5. 若 $a$ 与 $m$ 成反比，$a-m$ 图像是曲线，不易判断；作 $a-\frac{1}{m}$ 图像可把反比例关系转化为正比例直线关系。
6. 可能说明阻力没有平衡或平衡不足，只有当拉力超过一定值后小车才开始获得明显加速度。