3.5 共点力的平衡
本节学习目标
学完本节，需要能做到：
- 理解平衡状态的含义。
- 掌握共点力平衡条件：合力为 0。
- 会判断物体是否处于平衡状态。
- 会用力的合成观点解决三力平衡问题。
- 会用正交分解法列平衡方程。
- 能分析斜面、绳结、墙面支持等典型平衡问题。
- 会区分研究对象，正确画受力示意图。
- 初步形成“受力分析 -> 建坐标 -> 列方程 -> 求解”的解题流程。
核心知识点讲解
1. 什么是平衡状态
物体保持静止或匀速直线运动状态，就说物体处于平衡状态。
平衡状态包括：
- 静止。
- 匀速直线运动。
注意：速度为 0 的瞬间不一定是平衡状态。只有保持静止，或保持匀速直线运动，才是平衡状态。
2. 共点力平衡条件
物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，这些力的合力为 0。
共点力平衡条件：
F合 = 0如果用正交分解法，就是：
Fx合 = 0
Fy合 = 0也就是说，任意两个互相垂直方向上的合力都为 0。
3. 二力平衡
如果物体只受两个力而平衡，这两个力必须：
- 大小相等。
- 方向相反。
- 作用在同一直线上。
- 作用在同一物体上。
例如静止在水平桌面上的书受到重力和支持力，这两个力平衡。
4. 三力平衡
如果物体受三个共点力作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力：
- 大小相等。
- 方向相反。
- 作用在同一直线上。
这可以用力的合成来理解：
F1 + F2 + F3 = 0所以：
F1 和 F2 的合力 = -F3三力平衡问题常用两种方法：
- 合成法。
- 正交分解法。
5. 正交分解法
正交分解法是解决平衡问题最常用的方法。
基本步骤：
- 选研究对象。
- 画受力示意图。
- 建立互相垂直的坐标轴。
- 把不在坐标轴上的力分解到两个方向。
- 分别列方程：
ΣFx = 0
ΣFy = 0- 联立求解。
6. 坐标轴怎么选
坐标轴的选择影响计算难度。
常见选择：
- 水平面问题：选水平、竖直方向。
- 斜面问题：选沿斜面、垂直斜面方向。
- 绳结问题：常选水平、竖直方向，或沿某个已知力方向。
原则：
让尽量多的力落在坐标轴上，减少分解。7. 斜面平衡
物体在倾角为 θ 的斜面上平衡时，常把重力分解为：
Gx = G sinθ
Gy = G cosθ其中：
Gx沿斜面向下。Gy垂直斜面向下。
若物体沿斜面匀速下滑：
G sinθ = Ff
FN = G cosθ若滑动摩擦力：
Ff = μFN8. 绳结平衡
绳结或轻环平衡题常见于多根绳连接同一点。
选择绳结为研究对象时：
- 每根绳对绳结的拉力都沿绳并指向绳远离绳结的方向。
- 若下方悬挂重物，竖直向下的拉力大小通常等于重物重力。
- 绳结静止时，所有拉力合力为 0。
例如一根斜绳和一根水平绳拉住重物时，可通过正交分解求斜绳拉力和水平绳拉力。
重点梳理
平衡状态
静止或匀速直线运动共点力平衡条件
F合 = 0正交形式：
ΣFx = 0
ΣFy = 0解题流程
选对象 -> 画受力 -> 建坐标 -> 分解力 -> 列方程 -> 求结果常用分解
斜面重力分解：
Gx = G sinθ
Gy = G cosθ难点突破
难点 1：静止和瞬时速度为 0 有什么区别
静止是持续不动，是平衡状态。
瞬时速度为 0 只是某一刻速度为零，不一定平衡。例如竖直上抛物体到最高点时速度为 0，但仍受重力作用，合力不为 0，不是平衡状态。
难点 2：为什么平衡条件是合力为 0
如果合力不为 0，物体的运动状态就会发生改变。
平衡状态要求物体保持静止或匀速直线运动，运动状态不变，所以合力必须为 0。
难点 3：三力平衡怎样快速判断
三个共点力平衡时，其中任意两个力的合力一定与第三个力等大反向。
如果三个力首尾相接能组成闭合三角形，也说明它们合力为 0。
难点 4：正交分解中符号怎么处理
先规定坐标轴正方向。
沿正方向的分力取正，沿负方向的分力取负。
列方程时不要只写大小，要体现方向。
难点 5：为什么斜面问题常沿斜面建轴
因为物体可能沿斜面运动或有沿斜面运动趋势，摩擦力也沿斜面，支持力垂直斜面。
这样只有重力需要分解，方程更简单。
例题讲解
例题 1：水平面平衡
题目：
木箱在水平拉力 50 N 作用下沿水平地面匀速运动。求木箱受到的摩擦力大小和方向。
分析：
匀速运动是平衡状态，水平方向合力为 0。
步骤：
F拉 - Ff = 0
Ff = 50 N答案：
摩擦力大小为 50 N，方向与拉力相反。
例题 2：斜面上匀速下滑
题目：
重为 100 N 的物体沿倾角 30° 的斜面匀速下滑。求物体受到的摩擦力大小和支持力大小。
分析：
沿斜面和垂直斜面建轴。匀速下滑，合力为 0。
步骤：
Gx = G sin30° = 100 × 0.5 = 50 N
Gy = G cos30° ≈ 100 × 0.866 = 86.6 N平衡条件：
Ff = Gx = 50 N
FN = Gy = 86.6 N答案：
摩擦力 50 N，沿斜面向上；支持力约 86.6 N。
例题 3：绳结平衡
题目：
重物重力为 G，悬绳 AO 与竖直方向夹角为 θ，水平绳 BO 拉住结点 O，使系统静止。求 AO 和 BO 的拉力。
分析：
研究对象取结点 O。它受三个力：AO 拉力 F1、BO 拉力 F2、下方绳的拉力 G。
沿水平、竖直方向列平衡方程：
F1 cosθ = G
F2 = F1 sinθ解得：
F1 = G / cosθ
F2 = G tanθ答案：
AO 绳拉力为 G / cosθ，BO 绳拉力为 G tanθ。
例题 4：滑梯高度
题目：
滑梯水平跨度为 6 m，儿童与滑板间动摩擦因数 0.4。若儿童能在滑板上匀速下滑，滑梯高度至少多少？
分析：
沿斜面匀速下滑时：
G sinθ = Ff
FN = G cosθ
Ff = μFN所以：
G sinθ = μG cosθ
tanθ = μ而：
tanθ = h / b步骤：
h / 6 = 0.4
h = 2.4 m答案：
滑梯至少高 2.4 m。
易错点整理
易错点 1：把“静止瞬间”当平衡
速度瞬时为 0 不代表合力为 0。
易错点 2：受力分析对象不清
先明确研究对象，否则容易把别的物体受力也画进来。
易错点 3：正交分解时漏分力
不在坐标轴上的力都要分解，不能只分解重力而漏掉拉力。
易错点 4：斜面支持力误写为 mg
斜面上通常 FN = G cosθ，不是 G。
易错点 5：三力平衡中随意使用二力平衡
物体受三个力时，任意两个力一般不平衡。要看它们的合力与第三个力平衡。
考点考证点整理
考点 1：平衡状态判断
常考静止、匀速直线运动、瞬时速度为 0 的区别。
考点 2：共点力平衡条件
核心公式是 F合 = 0 或 ΣFx = 0、ΣFy = 0。
考点 3：斜面平衡
常考支持力、摩擦力、拉力与重力分解。
考点 4：绳结平衡
常考斜绳拉力、水平绳拉力，注意选结点为研究对象。
考点 5：正交分解法
常考建立坐标、列两个方向平衡方程。
练习题
基础题
- 什么叫平衡状态？
- 共点力平衡条件是什么？
- 正交分解法中两个方向的平衡方程怎么写？
- 物体静止在水平桌面上，受到哪两个力？它们关系如何？
- 竖直上抛物体到最高点时是否处于平衡状态？
巩固题
- 物体受水平向右
20 N拉力并保持静止，求静摩擦力大小和方向。 - 重
80 N的物体在30°斜面上静止且无其他沿斜面外力，求沿斜面向下的重力分力。 - 质量
5 kg的物体静止在水平地面上，取g = 10 N/kg，求支持力。 - 物体在水平面上受
30 N拉力匀速运动，动摩擦因数0.2，求支持力。 - 三个共点力平衡，其中两个力的合力为
15 N向东，第三个力应多大、方向如何？
提升题
- 重
100 N的物体沿倾角37°的斜面匀速上滑，动摩擦因数0.25。取sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，若拉力沿斜面向上，求拉力大小。 - 一个重物重
50 N，用一根与竖直方向成60°的绳和一根水平绳固定结点。求斜绳和水平绳拉力。 - 重
40 N的物体用细绳悬挂，另一水平力把绳结缓慢拉开。当悬绳与竖直方向夹角为37°时，求水平拉力大小。取tan37° = 0.75。
练习题答案
基础题答案
-
物体保持静止或匀速直线运动状态。
-
合力为 0。
ΣFx = 0
ΣFy = 0-
受重力和支持力，二者大小相等、方向相反，是一对平衡力。
-
不处于平衡状态。最高点速度瞬时为 0，但仍受重力，合力不为 0。
巩固题答案
-
静止则水平合力为 0，静摩擦力大小为
20 N，方向向左。
Gx = G sin30° = 80 × 0.5 = 40 NG = mg = 5 × 10 = 50 N
FN = 50 N- 匀速运动时滑动摩擦力等于拉力：
Ff = 30 N
Ff = μFN
FN = 30 / 0.2 = 150 N- 第三个力应为
15 N，方向向西。
提升题答案
- 沿斜面方向平衡：
F = G sin37° + Ff
FN = G cos37° = 100 × 0.8 = 80 N
Ff = μFN = 0.25 × 80 = 20 N
G sin37° = 100 × 0.6 = 60 N
F = 60 + 20 = 80 N斜绳拉力：
F1 cos60° = 50
F1 = 100 N水平绳拉力：
F2 = F1 sin60° ≈ 86.6 N- 绳结平衡时：
F水平 = G tan37° = 40 × 0.75 = 30 N