3.4 力的合成和分解
本节学习目标
学完本节，需要能做到：
- 理解合力、分力、力的合成和力的分解。
- 知道共点力的含义。
- 掌握平行四边形定则。
- 会用作图法求两个互成角度力的合力。
- 理解同一个力可以分解为无数对分力，实际分解要根据问题需要。
- 会把力沿指定方向分解。
- 理解矢量和标量的区别。
- 知道力、位移、速度、加速度是矢量。
核心知识点讲解
1. 共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。
本节主要研究共点力的合成和分解。
在很多题目中，物体可以看作质点，作用在物体上的力也常近似看作共点力。
2. 合力和分力
如果一个力单独作用的效果与几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力。
如果几个力共同作用的效果与一个力单独作用的效果相同，这几个力叫作那个力的分力。
关键是：
合力和分力是等效替代关系，不是多出来的力。在受力分析图中，通常不能既画分力又画它们的合力，否则会重复计算。
3. 力的合成
求几个力的合力的过程叫力的合成。
如果两个力在同一直线上：
- 同向：合力大小相加。
- 反向：合力大小相减，方向沿较大的力。
如果两个力互成角度，不能简单相加，要用平行四边形定则。
4. 平行四边形定则
两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边所夹的对角线就表示合力的大小和方向。
步骤：
- 选定标度。
- 从同一点画出两个力的有向线段。
- 以这两条线段为邻边作平行四边形。
- 从共同起点画对角线。
- 测量对角线长度和方向，得到合力。
5. 合力大小范围
两个力 F1、F2 的合力大小 F 满足：
|F1 - F2| ≤ F ≤ F1 + F2特殊情况：
- 两力同向：合力最大，
F = F1 + F2。 - 两力反向：合力最小，
F = |F1 - F2|。 - 两力垂直：
F = √(F1^2 + F2^2)。
两个力夹角越小，合力越大；夹角越大，合力越小。
6. 力的分解
求一个力的分力的过程叫力的分解。
力的分解也遵从平行四边形定则。
如果没有限制，同一个力可以分解成无数对分力。
实际解题中，要根据研究问题的需要分解。例如在斜面问题中，常把重力分解为：
- 沿斜面方向的分力。
- 垂直斜面方向的分力。
7. 沿坐标轴分解力
在很多题目中，会建立两个互相垂直的坐标轴，把力分解到两个方向上。
例如一个力 F 与 x 轴夹角为 θ：
Fx = F cosθ
Fy = F sinθ如果角度是与 y 轴夹角，则正弦和余弦位置会互换。
判断正弦余弦的实用方法：
邻边用 cos，对边用 sin。8. 斜面上重力的分解
物体在倾角为 θ 的斜面上，常把重力 G 分解为：
Gx = G sinθ
Gy = G cosθ其中：
Gx沿斜面向下。Gy垂直斜面向下压斜面。
这是后面学习斜面平衡和动力学问题的基础。
9. 矢量和标量
既有大小又有方向，合成时遵从平行四边形定则的物理量叫矢量。
只有大小、没有方向，运算时遵从普通算术法则的物理量叫标量。
常见矢量：
- 力。
- 位移。
- 速度。
- 加速度。
常见标量：
- 质量。
- 时间。
- 路程。
- 温度。
- 功。
重点梳理
核心概念
- 合力：等效替代几个力共同作用的一个力。
- 分力：等效替代一个力的几个力。
- 力的合成：求合力。
- 力的分解：求分力。
平行四边形定则
两个互成角度的力合成时，以两个力为邻边作平行四边形，对角线表示合力。
合力范围
|F1 - F2| ≤ F ≤ F1 + F2斜面重力分解
Gx = G sinθ
Gy = G cosθ难点突破
难点 1：合力是不是实际多出来的力
不是。
合力是几个力共同作用效果的等效替代。分析时，如果已经用合力替代分力，就不能再把分力也算进去。
难点 2：两个力的合力一定比每个分力大吗
不一定。
如果两个力方向相反，合力可能比其中某个分力小。
例如 10 N 和 8 N 反向，合力只有 2 N。
难点 3：分解力为什么不唯一
一个已知力作为平行四边形的对角线，可以作出无数个平行四边形，所以可以分解为无数对分力。
实际分解必须服从题目需要，如沿运动方向、垂直接触面方向、水平竖直方向等。
难点 4：斜面分解为什么是 G sinθ 和 G cosθ
斜面倾角为 θ 时，重力与垂直斜面方向的夹角也是 θ。
在由重力构成的直角三角形中：
- 沿斜面方向的分力是
θ的对边，所以是G sinθ。 - 垂直斜面方向的分力是
θ的邻边，所以是G cosθ。
难点 5：矢量相加为什么不能直接加大小
矢量有方向。两个大小相同的力，同向时合力最大，反向时合力可能为 0。
所以矢量相加必须考虑方向。
例题讲解
例题 1：垂直二力合成
题目：
物体同时受到水平向右 30 N 和竖直向上 40 N 的两个力。求合力大小。
分析：
两个力互相垂直，用勾股定理。
步骤：
F = √(30^2 + 40^2) = 50 N答案：
合力大小为 50 N，方向斜向右上。
例题 2：合力范围
题目：
两个力大小分别为 10 N 和 2 N，合力可能为 5 N、10 N、15 N 吗？
分析：
合力范围：
|10 - 2| ≤ F ≤ 10 + 2
8 N ≤ F ≤ 12 N答案：
5 N 不可能，10 N 可能，15 N 不可能。
例题 3：斜面上重力分解
题目：
质量为 5 kg 的物体放在倾角 30° 的斜面上，取 g = 10 N/kg。求重力沿斜面方向和垂直斜面方向的分力。
分析：
重力 G = mg = 50 N。
步骤：
Gx = G sin30° = 50 × 0.5 = 25 N
Gy = G cos30° ≈ 50 × 0.866 = 43.3 N答案：
沿斜面向下分力为 25 N，垂直斜面向下分力约为 43.3 N。
例题 4：力沿指定方向分解
题目：
一个 100 N 的拉力与水平方向成 45° 角。求它的水平分力和竖直分力。
步骤：
Fx = F cos45° ≈ 100 × 0.707 = 70.7 N
Fy = F sin45° ≈ 100 × 0.707 = 70.7 N答案：
水平分力和竖直分力都约为 70.7 N。
易错点整理
易错点 1：把合力和分力同时画在受力图里
合力是分力的等效替代，不能重复计算。
易错点 2：认为合力一定大于分力
合力大小取决于夹角，不一定大于每个分力。
易错点 3：斜面分解中正弦余弦写反
画出直角三角形，找清楚角 θ 的对边和邻边。
易错点 4：分解方向随意
分解应服务于解题，常沿运动方向、垂直接触面方向或坐标轴方向。
易错点 5：标量和矢量混淆
路程是标量，位移是矢量；质量是标量，力是矢量。
考点考证点整理
考点 1：合力范围
常考两个力合力最大值、最小值和可能值判断。
考点 2：作图法合成
常考按标度画平行四边形求合力大小和方向。
考点 3：正交分解
常考把力分解到水平竖直方向或斜面方向。
考点 4：斜面重力分解
G sinθ 和 G cosθ 是斜面问题高频基础。
考点 5：矢量与标量
常考判断某物理量是矢量还是标量。
练习题
基础题
- 什么是合力？
- 什么是力的分解？
- 两个力大小为
6 N和8 N，合力最大值和最小值是多少？ - 力、速度、质量、路程中哪些是矢量？
- 同一个力能否分解为多组不同分力？
巩固题
- 两个互相垂直的力分别为
5 N和12 N，求合力大小。 - 两个力大小为
10 N和10 N，夹角从0°增大到180°，合力如何变化？ 80 N的力与水平方向成30°，求水平分力和竖直分力。- 重
100 N的物体在倾角30°的斜面上，求重力沿斜面方向的分力。 - 两个力的合力为 0，这两个力有什么特点？
提升题
- 两个力大小分别为
90 N和120 N，互相垂直，求合力大小。 - 一个竖直向下
180 N的力分解为一个水平240 N的分力和另一个分力，求另一个分力大小。 - 倾角
15°的斜面上，用100 N的拉力斜向上拉木箱，拉力与水平方向成45°。若沿斜面和垂直斜面建立坐标轴，拉力与斜面夹角是多少？两个分力大小如何表示？
练习题答案
基础题答案
-
一个力单独作用的效果与几个力共同作用的效果相同，这个力叫那几个力的合力。
-
求一个力的分力的过程叫力的分解。
Fmax = 6 + 8 = 14 N
Fmin = |8 - 6| = 2 N-
力和速度是矢量；质量和路程是标量。
-
能。如果没有限制，一个力可以分解为无数组分力。
巩固题答案
F = √(5^2 + 12^2) = 13 N-
合力逐渐减小，从最大
20 N变到最小0。
Fx = 80 cos30° ≈ 69.3 N
Fy = 80 sin30° = 40 NGx = G sin30° = 100 × 0.5 = 50 N方向沿斜面向下。
- 大小相等、方向相反、作用在同一直线上。
提升题答案
F = √(90^2 + 120^2) = 150 N- 两个分力互相垂直，合力为竖直
180 N，一个分力水平240 N，另一个分力应与它组成直角三角形：
F = √(180^2 + 240^2) = 300 N另一个分力大小为 300 N，方向斜向下，与水平分力合成后得到竖直向下的合力。
- 斜面与水平成
15°，拉力与水平成45°，所以拉力与斜面夹角为：
45° - 15° = 30°沿斜面分力：
Fx = 100 cos30°垂直斜面分力：
Fy = 100 sin30°