3.4 力的合成和分解

相关知识

3.1 重力与弹力
3.2 摩擦力
3.3 牛顿第三定律
3.5 共点力的平衡

3.4 力的合成和分解

本节学习目标

学完本节，需要能做到：

• 理解共点力的含义，知道本节主要研究共点力的合成与分解。
• 理解合力、分力、力的合成、力的分解的概念，知道它们体现的是等效替代关系。
• 掌握平行四边形定则，会用作图法求两个互成角度力的合力。
• 知道两个力的合力大小与两力夹角有关，会判断合力的最大值、最小值和可能范围。
• 理解力的分解遵从平行四边形定则，知道若没有限制，一个力可分解为无数组分力。
• 会根据实际问题把力沿指定方向分解，尤其是水平/竖直方向和斜面方向。
• 理解矢量和标量的区别，知道力、位移、速度、加速度是矢量。
• 避免在受力图中同时计入合力和分力造成重复计算。

核心知识点讲解

一、知识对象与物理情境

一个物体可能同时受到多个力。若直接分析多个力共同作用的效果，问题会变复杂。物理学常用“等效替代”的思想：用一个力代替几个力，或者用几个力代替一个力，只要作用效果相同，就可以简化问题。

例如两个小孩共同提一桶水，和一个大人单独提这桶水，如果水桶保持同样状态，那么一个大人的拉力就可以看作两个小孩拉力的合力。又如一盏吊灯用一根线悬挂和用两根线共同悬挂，两根线的拉力可以看作某个等效拉力的分力。

本节要解决的问题是：几个力怎样合成为一个力？一个力又怎样分解为几个力？为什么不能简单把互成角度的两个力大小直接相加？

二、核心概念与物理意义

1. 共点力

几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。

高中阶段许多问题会把物体看作质点，此时作用在物体上的力通常可以看作共点力。本节主要研究共点力的合成和分解。

2. 合力和分力

如果一个力单独作用的效果跟几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力。

如果几个力共同作用的效果跟某一个力单独作用的效果相同，这几个力叫作那个力的分力。

关键提醒：合力和分力不是同时额外存在的一组新力，而是等效替代关系。在受力分析或计算中，如果已经用合力代替了几个分力，就不能再把这些分力重复计入。

3. 力的合成和力的分解

求几个力的合力的过程叫力的合成；求一个力的分力的过程叫力的分解。

同一直线上的力可以按方向进行代数运算：

• 同向：大小相加，方向相同。
• 反向：大小相减，方向沿较大的力。

互成角度的力不能直接把大小相加，必须考虑方向关系。

三、关键规律、公式与适用条件

1. 平行四边形定则

两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边所夹的对角线就表示合力的大小和方向。这就是平行四边形定则。

作图步骤：

1. 选定标度，例如 $1\text{cm}$ 表示 $10\text{N}$。
2. 从同一点按方向画出两个分力的有向线段。
3. 以这两个有向线段为邻边作平行四边形。
4. 从共同起点画出对角线。
5. 用标度读出合力大小，用量角器读出合力方向。

2. 合力大小范围

两个力大小分别为 $F_1$、$F_2$，合力大小 $F$ 满足：

$$|F_1-F_2|\le F\le F_1+F_2$$

特殊情况：

两力夹角	合力大小
$0^{\circ }$，同向	$F=F_1+F_2$，最大
$180^{\circ }$，反向	$F=
$90^{\circ }$，垂直	$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$

当两个力大小不变时，夹角越小，合力越大；夹角越大，合力越小。

3. 力的分解也遵从平行四边形定则

若把一个力作为平行四边形的对角线，那么平行四边形的两条邻边就可以表示它的一组分力。

如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形，所以同一个力可以分解为无数组大小、方向不同的分力。

实际分解要根据问题需要确定方向，例如：

• 沿运动方向和垂直运动方向分解。
• 沿接触面和垂直接触面分解。
• 沿水平和竖直方向分解。
• 沿题目指定的两个坐标轴方向分解。

4. 正交分解公式

若一个力 $F$ 与 $x$ 轴正方向夹角为 $\theta$，把它分解到互相垂直的 $x$、$y$ 方向上，则：

$$F_x=F\cos \theta$$ $$F_y=F\sin \theta$$

如果题目给的是力与 $y$ 轴的夹角，正弦和余弦的位置会互换。判断方法是：靠近角的一边用余弦，对着角的一边用正弦。

5. 斜面上重力分解

物体在倾角为 $\theta$ 的斜面上时，常把重力 $G$ 分解为：

$$G_x=G\sin \theta$$ $$G_y=G\cos \theta$$

其中 $G_x$ 沿斜面向下，$G_y$ 垂直斜面向下压斜面。

四、典型模型与过程分析

1. 探究二力合成规律的实验

实验核心是“等效作用效果”。让橡皮条一端固定，另一端连小圆环。先用两个弹簧测力计共同拉小圆环，使橡皮条伸长到某一位置；再用一个弹簧测力计单独拉小圆环，也使它到同一位置。

若两次橡皮条伸长相同，说明橡皮条对小圆环的作用效果相同。一个拉力 $F$ 与两个拉力 $F_1$、$F_2$ 对小圆环的作用效果相同，$F$ 就是 $F_1$、$F_2$ 的合力。

实验后按同一标度画出 $F_1$、$F_2$、$F$，可以发现 $F$ 与以 $F_1$、$F_2$ 为邻边作出的平行四边形对角线基本重合。

2. 作图法求合力

作图法适合初学阶段，步骤是：选标度、画分力、作平行四边形、量对角线长度、换算合力大小、量角度确定方向。

例如水平向右 $32\text{N}$ 与竖直向上 $44\text{N}$ 合成，若用 $1.0\text{cm}$ 表示 $10\text{N}$，则两分力线段长分别为 $3.2\text{cm}$ 和 $4.4\text{cm}$。作平行四边形后，对角线约 $5.4\text{cm}$，合力约 $54\text{N}$，方向斜向右上。

3. 正交分解模型

在复杂问题中，常把力沿两个互相垂直的坐标轴分解。这样做的好处是：不同方向上的作用可以分别分析，尤其适合后面学习平衡和牛顿第二定律。

常见坐标轴选择：

• 水平、竖直方向。
• 沿斜面、垂直斜面方向。
• 沿运动方向、垂直运动方向。

五、图像、实验与数据理解

1. 合力随夹角变化的理解

两个力大小不变时，夹角越小，两个力“配合”越充分，合力越大；夹角越大，两个力相互抵消的成分越多，合力越小。

这可以用平行四边形对角线长度直观理解：邻边长度不变，夹角从 $0^{\circ }$ 增大到 $180^{\circ }$，对角线逐渐变短。

2. 矢量和标量

既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量叫矢量。只有大小、没有方向，相加时遵从算术法则的物理量叫标量。

矢量	标量
力	质量
位移	路程
速度	时间
加速度	功、温度

位移和路程的区别很典型：人从 $A$ 到 $B$，再从 $B$ 到 $C$，总路程是两段路径长度相加；合位移是从初位置 $A$ 指向末位置 $C$ 的有向线段，遵从矢量合成规则。

六、题型应用与迁移

本节题型可按“合成、分解、辨析”三类处理：

题型	方法
判断合力可能值	用 $
垂直二力合成	用 $F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$
作图法求合力	选标度，作平行四边形，量对角线
沿坐标轴分解	看夹角，邻边用余弦，对边用正弦
斜面重力分解	沿斜面 $G\sin \theta$，垂直斜面 $G\cos \theta$
矢量标量辨析	看是否有方向、合成是否遵从平行四边形定则

重点梳理

重点 1：合力和分力是等效替代

合力不是在原有几个力之外额外多出来的力，分力也不是和原力同时重复存在的力。它们是在效果相同的前提下进行替代。

受力图中不能既画一个力，又画它的两个分力参与同一计算，否则会重复计算。

重点 2：平行四边形定则

互成角度的两个力合成时，必须按平行四边形定则求合力。对角线同时给出合力大小和方向。

它不仅适用于力，也适用于位移、速度、加速度等矢量的合成。

重点 3：合力范围

$$|F_1-F_2|\le F\le F_1+F_2$$

判断某个合力是否可能时，先求最大值和最小值。若给定值落在范围内，就可能；否则不可能。

重点 4：力的分解要服务问题

同一个力可分解为无数组分力，所以不能随意分解。常见分解方向是题目需要分析的方向：斜面方向、垂直斜面方向、水平竖直方向、运动方向等。

难点突破

难点 1：合力一定大于分力吗

不一定。合力大小取决于两个分力的夹角。

例如 $10\text{N}$ 和 $8\text{N}$ 同向时，合力为 $18\text{N}$；反向时，合力为 $2\text{N}$。所以合力可能大于分力，也可能小于某个分力。

难点 2：为什么一个力可以分解为无数组分力

把一个力看成平行四边形的对角线，只要不限制两条邻边方向，就可以作出无数个不同的平行四边形。因此一个力可分解为无数组不同的分力。

所以分解力时，必须问：为了研究哪个方向的效果？要沿哪些方向建立坐标轴？

难点 3：斜面分解中为什么是 $G\sin \theta$ 和 $G\cos \theta$

斜面倾角为 $\theta$ 时，重力与垂直斜面方向的夹角也是 $\theta$。在重力分解形成的直角三角形中，沿斜面方向分力是这个角的对边，所以为 $G\sin \theta$；垂直斜面方向分力是邻边，所以为 $G\cos \theta$。

难点 4：力的分解和实际受力有什么区别

分力是人为引入的等效量，用来分析某个力在不同方向上的作用效果。物体实际受到的是原来的力，不是又额外受到分力。

例如斜面上的物体实际受到重力 $G$，我们把它分解为 $G\sin \theta$ 和 $G\cos \theta$，只是为了分别研究沿斜面和垂直斜面的作用效果。

难点 5：矢量相加为什么不能只加大小

矢量有方向。两个同样大小的位移，方向不同，合位移不同；两个同样大小的力，夹角不同，合力不同。只有标量才按普通算术规则相加。

例题讲解

例题 1：作图法求合力

题目：某物体受到一个 $32\text{N}$ 的力，方向水平向右，还受到一个 $44\text{N}$ 的力，方向竖直向上。用作图法求合力大小和方向。

分析：两个力互相垂直，也可用计算法；题目要求作图法，就按标度作平行四边形。

步骤：选 $1.0\text{cm}$ 表示 $10\text{N}$。

• 水平向右力画 $3.2\text{cm}$。
• 竖直向上力画 $4.4\text{cm}$。
• 以两力为邻边作平行四边形。
• 对角线表示合力。

测得对角线约为 $5.4\text{cm}$，则：

$$F\approx 5.4\times 10=54\text{N}$$

方向斜向右上，与水平向右力约成 $54^{\circ }$。

答案：合力约为 $54\text{N}$，方向斜向右上，与水平向右力约成 $54^{\circ }$。

反思：作图法结果受作图精度影响，计算法可得到更精确数值。

例题 2：判断合力可能值

题目：两个力大小分别为 $10\text{N}$ 和 $2\text{N}$，它们的合力可能等于 $5\text{N}$、$10\text{N}$、$15\text{N}$ 吗？合力最大值和最小值是多少？

分析：先求合力范围。

步骤：

$$F_{\max }=10+2=12\text{N}$$ $$F_{\min }=|10-2|=8\text{N}$$

所以：

$$8\text{N}\le F\le 12\text{N}$$

答案：$5\text{N}$ 不可能，$10\text{N}$ 可能，$15\text{N}$ 不可能。合力最大值为 $12\text{N}$，最小值为 $8\text{N}$。

例题 3：斜向拉力沿斜面分解

题目：倾角为 $15^{\circ }$ 的斜面上放着木箱，用 $100\text{N}$ 的拉力斜向上拉木箱，拉力与水平方向成 $45^{\circ }$。若沿平行斜面和垂直斜面方向建立坐标轴，求拉力在两个方向上的分力表达式。

分析：斜面与水平成 $15^{\circ }$，拉力与水平成 $45^{\circ }$，所以拉力与斜面方向夹角为：

$$45^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }$$

步骤：沿斜面方向是邻边，垂直斜面方向是对边。

$$F_x=100\cos 30^{\circ }\approx 86.6\text{N}$$ $$F_y=100\sin 30^{\circ }=50\text{N}$$

答案：沿斜面向上的分力约为 $86.6\text{N}$，垂直斜面向外的分力为 $50\text{N}$。

反思：先找拉力与所选坐标轴的夹角，再判断正弦余弦。

例题 4：斜面上重力分解

题目：物体重力为 $G$，放在倾角为 $\theta$ 的斜面上。把重力沿平行斜面和垂直斜面方向分解，求两个分力大小和方向。

分析：斜面问题通常选沿斜面和垂直斜面为坐标轴。

答案：

沿斜面方向：

$$G_x=G\sin \theta$$

方向沿斜面向下。

垂直斜面方向：

$$G_y=G\cos \theta$$

方向垂直斜面向内。

反思：$G\sin \theta$ 是使物体沿斜面下滑趋势的分力，$G\cos \theta$ 与支持力大小关系密切。

例题 5：一个力分解为水平分力和另一个分力

题目：一个竖直向下的 $180\text{N}$ 的力分解为两个分力，其中一个分力水平向右，大小为 $240\text{N}$。求另一个分力的大小和方向。

分析：两个分力的合力竖直向下。已知一个分力水平向右，那么另一个分力必须有水平向左的分量抵消 $240\text{N}$，并有竖直向下的分量形成 $180\text{N}$。

步骤：另一个分力的大小为：

$$F=\sqrt{240^2+180^2}=300\text{N}$$

方向：斜向左下，与水平方向夹角满足：

$$\tan \alpha =\frac{180}{240}=\frac{3}{4}$$

所以 $\alpha \approx 36.9^{\circ }$，即该力斜向左下，与水平向左方向约成 $36.9^{\circ }$。

答案：另一个分力大小为 $300\text{N}$，方向斜向左下。

反思：不要只用勾股定理求大小，还要判断方向，否则两个分力不能合成为竖直向下的力。

易错点整理

易错点 1：把合力和分力同时计入

常见错误表现：受力图中既画重力 $G$，又画 $G\sin \theta$ 和 $G\cos \theta$，还一起参与计算。

错因分析：没有理解合力与分力是等效替代关系。

正确处理：要么用原力，要么用分力替代原力，不能重复计入。

易错点 2：认为合力一定比分力大

常见错误表现：看到“合力”就认为一定最大。

错因分析：忽略了力的方向。

正确处理：用 $|F_1-F_2|\le F\le F_1+F_2$ 判断。合力可能小于某个分力。

易错点 3：斜面分解正弦余弦写反

常见错误表现：把沿斜面方向写成 $G\cos \theta$。

错因分析：没有画出重力分解三角形，或把角找错。

正确处理：画图确认角 $\theta$，沿斜面分力是对边，写 $G\sin \theta$；垂直斜面分力是邻边，写 $G\cos \theta$。

易错点 4：力的分解方向随意

常见错误表现：没有根据题目需求，任意把力分成两部分。

错因分析：误以为只要分解就能解题。

正确处理：分解方向要服务分析目标，常沿坐标轴、运动方向、接触面方向或垂直接触面方向。

易错点 5：矢量和标量混淆

常见错误表现：把位移大小当路程相加，或把两个力大小直接相加。

错因分析：没有区分是否有方向。

正确处理：矢量合成考虑方向并遵从平行四边形定则；标量按算术法则相加。

考点考证点整理

考点一：合力与分力概念

• 出题思路：判断合力、分力是否为真实额外受力，或解释等效替代。
• 关键条件：作用效果相同。
• 解答要点：合力和分力是替代关系，不可重复计入。
• 易扣分点：受力图中同时画原力和分力。

考点二：平行四边形定则

• 出题思路：用作图法求两个互成角度力的合力大小和方向。
• 关键条件：标度、方向、共同起点、对角线。
• 解答要点：按标度画分力，以分力为邻边作平行四边形，对角线表示合力。
• 易扣分点：没有标度；把两力首尾相接却读错合力方向；角度测量不清。

考点三：合力范围与夹角关系

• 出题思路：判断某合力是否可能，求最大值和最小值，判断夹角变化时合力变化。
• 关键条件：两力大小是否固定，夹角如何变化。
• 解答要点：使用 $|F_1-F_2|\le F\le F_1+F_2$；夹角越小合力越大。
• 易扣分点：认为合力总大于分力；忽略最小值不是 $0$ 的情况。

考点四：力的正交分解

• 出题思路：把斜向力分解到水平/竖直或沿斜面/垂直斜面方向。
• 关键条件：力与坐标轴的夹角。
• 解答要点：画直角三角形，邻边用余弦，对边用正弦。
• 易扣分点：正弦余弦写反；没有判断分力方向。

考点五：矢量与标量

• 出题思路：判断物理量类型，比较位移和路程、力和质量等。
• 关键条件：是否有方向；相加遵从何种规则。
• 解答要点：矢量有大小和方向，按平行四边形定则合成；标量只有大小，按算术法则相加。
• 易扣分点：把速度、加速度当成标量；把路程当成位移。

练习题

基础训练

1. 什么是合力？什么是分力？
2. 什么是力的合成？什么是力的分解？
3. 两个力大小为 $6\text{N}$ 和 $8\text{N}$，合力最大值和最小值分别是多少？
4. 力、速度、质量、路程中哪些是矢量？哪些是标量？
5. 同一个力能否分解为多组不同分力？为什么实际解题中不能随意分解？

巩固训练

6. 两个互相垂直的力分别为 $5\text{N}$ 和 $12\text{N}$，求合力大小。
7. 两个大小均为 $10\text{N}$ 的力，夹角从 $0^{\circ }$ 增大到 $180^{\circ }$，合力怎样变化？最大值和最小值分别是多少？
8. 一个 $80\text{N}$ 的力与水平方向成 $30^{\circ }$，求它的水平分力和竖直分力。
9. 重 $100\text{N}$ 的物体放在倾角 $30^{\circ }$ 的斜面上，求重力沿斜面方向和垂直斜面方向的分力。
10. 两个力的合力为 $0$，这两个力应满足什么条件？

提升训练

11. 两个力大小分别为 $10\text{N}$ 和 $2\text{N}$，它们的合力有可能等于 $5\text{N}$、$10\text{N}$、$15\text{N}$ 吗？说明理由。
12. 两个力大小分别为 $90\text{N}$ 和 $120\text{N}$，互相垂直，求合力大小。
13. 一个竖直向下的 $180\text{N}$ 的力分解为两个分力，一个分力水平向右且大小为 $240\text{N}$，求另一个分力大小和方向。
14. 倾角为 $15^{\circ }$ 的斜面上放着木箱，用 $100\text{N}$ 的拉力斜向上拉木箱，拉力与水平方向成 $45^{\circ }$。分别以平行斜面和垂直斜面方向为坐标轴，求拉力两个分力大小。
15. 判断下列说法是否正确，并说明理由：
    • 合力总比每个分力大。
    • 两力大小不变时，夹角越小，合力越大。
    • 若夹角不变，$F_1$ 大小不变，$F_2$ 增大，则合力一定增大。

练习题答案

基础训练答案

1. 一个力单独作用的效果与几个力共同作用的效果相同，这个力叫那几个力的合力。几个力共同作用的效果与一个力单独作用的效果相同，这几个力叫那个力的分力。

2. 求几个力的合力的过程叫力的合成；求一个力的分力的过程叫力的分解。

3. 合力最大值：

$$F_{\max }=6+8=14\text{N}$$

合力最小值：

$$F_{\min }=|8-6|=2\text{N}$$

4. 力和速度是矢量；质量和路程是标量。

5. 能。因为以一个力为对角线可以作出无数个平行四边形，对应无数组分力。实际解题中分解方向必须服务问题需要，如沿坐标轴、斜面方向或垂直接触面方向。

巩固训练答案

6. 两力垂直：

$$F=\sqrt{5^2+12^2}=13\text{N}$$

7. 两力大小不变，夹角从 $0^{\circ }$ 增大到 $180^{\circ }$，合力逐渐减小。最大值为：

$$F_{\max }=10+10=20\text{N}$$

最小值为：

$$F_{\min }=|10-10|=0$$

8. 以水平向右和竖直向上为正方向：

$$F_x=80\cos 30^{\circ }\approx 69.3\text{N}$$ $$F_y=80\sin 30^{\circ }=40\text{N}$$

9. 沿斜面方向：

$$G_x=G\sin 30^{\circ }=100\times 0.5=50\text{N}$$

方向沿斜面向下。

垂直斜面方向：

$$G_y=G\cos 30^{\circ }\approx 100\times 0.866=86.6\text{N}$$

方向垂直斜面向内。

10. 两个力大小相等、方向相反、作用在同一直线上。

提升训练答案

11. 两力合力范围为：

$$|10-2|\le F\le 10+2$$

即：

$$8\text{N}\le F\le 12\text{N}$$

所以 $5\text{N}$ 不可能，$10\text{N}$ 可能，$15\text{N}$ 不可能。

12. 两力互相垂直：

$$F=\sqrt{90^2+120^2}=150\text{N}$$

13. 另一个分力必须有水平向左的 $240\text{N}$ 分量和竖直向下的 $180\text{N}$ 分量，所以大小为：

$$F=\sqrt{240^2+180^2}=300\text{N}$$

方向斜向左下，与水平向左方向的夹角满足：

$$\tan \alpha =\frac{180}{240}=\frac{3}{4}$$

所以 $\alpha \approx 36.9^{\circ }$。

14. 拉力与斜面方向夹角为：

$$45^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }$$

沿斜面方向分力：

$$F_x=100\cos 30^{\circ }\approx 86.6\text{N}$$

垂直斜面方向分力：

$$F_y=100\sin 30^{\circ }=50\text{N}$$

15. （1）错误。合力不一定大于每个分力，例如两个力反向时合力可能很小。

（2）正确。两个力大小不变时，夹角越小，平行四边形对角线越长，合力越大。

（3）不一定正确。若 $F_2$ 的方向与合力方向关系特殊，增大 $F_2$ 不一定使合力增大；例如当两个力反向且 $F_2$ 原本较小，增大 $F_2$ 会先使合力减小到 $0$，再增大。