1.4 速度变化快慢的描述——加速度

相关知识

1.1 质点 参考系
1.2 时间 位移
1.3 位置变化快慢的描述——速度
第一章 运动的描述 学习导图

1.4 速度变化快慢的描述——加速度

本节学习目标

学完本节，需要能做到：

• 理解加速度是描述速度变化快慢的物理量，不把它误认为“速度大小”。
• 会用 $\Delta v=v_2-v_1$ 和 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 计算直线运动中的加速度。
• 知道加速度单位是 $m/{\mathrm{s}}^2$ 或 $\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$，并能解释其含义。
• 理解加速度是矢量，方向与速度变化量 $\Delta v$ 的方向相同。
• 能区分速度、速度变化量和加速度，知道“速度大”“速度变化大”“速度变化快”是三个不同问题。
• 会判断直线运动中速度与加速度同向、反向时物体是加速还是减速。
• 能从 $v-t$ 图像的斜率判断加速度大小和方向。
• 理解变化率思想，知道速度是位置的变化率，加速度是速度的变化率。
• 能用加速度知识分析交通工具起步、刹车、匀速飞行、子弹出膛等实际情境。

核心知识点讲解

一、知识对象与物理情境

速度能描述物体运动得快不快，但不能直接描述“速度变化得快不快”。例如小汽车和火车都从 $0$ 加速到 $100km/h$，速度变化量相同；小汽车若用 $10\mathrm{s}$，火车若用 $300\mathrm{s}$，两者的运动状态变化明显不同。小汽车提速更快，需要用新的物理量描述。

本节的核心问题是：当速度发生变化时，怎样比较变化快慢？

情境	只看速度是否足够	需要比较什么
小汽车和火车都达到 $100km/h$	不够	谁更快达到这个速度
两车速度变化量不同、用时也不同	不够	单位时间内速度变化量
汽车急刹车	不够	速度减小得有多快，方向如何
$v-t$ 图像倾斜程度不同	不够	图线斜率，即加速度

二、核心概念与物理意义

1. 加速度的定义

加速度描述速度变化的快慢。若物体在时间间隔 $\Delta t$ 内速度变化量为 $\Delta v$，则加速度为：

$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$

速度变化量为：

$$\Delta v=v_2-v_1$$

所以加速度也可以写成：

$$a=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}$$

这个公式说明：单位时间内速度变化越多，加速度大小越大。

例如汽车在 $5\mathrm{s}$ 内速度从 $2m/s$ 增大到 $17m/s$：

$$\Delta v=17m/s-2m/s=15m/s$$ $$a=\frac{15m/s}{5\mathrm{s}}=3m/{\mathrm{s}}^2$$

含义是：这段时间内汽车速度平均每秒增加 $3m/s$。

2. 加速度的单位

加速度的国际单位是米每二次方秒，符号为 $m/{\mathrm{s}}^2$ 或 $\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$。

单位来源为：

$$\frac{m/s}{\mathrm{s}}=m/{\mathrm{s}}^2$$

$1m/{\mathrm{s}}^2$ 表示速度每秒变化 $1m/s$。若某物体加速度为 $2m/{\mathrm{s}}^2$，可以理解为：在加速度保持不变的情况下，速度每秒变化 $2m/s$。这里的“变化”可能是增加，也可能是减小，方向要由符号和速度变化量决定。

3. 加速度是矢量

加速度既有大小又有方向，是矢量。加速度方向与速度变化量 $\Delta v$ 的方向相同，而不一定与速度方向相同。

因为 $\Delta t$ 是正值，所以 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 的方向由 $\Delta v$ 决定。

在直线运动中：

速度变化量	加速度方向	物理意义
$\Delta v>0$	沿正方向	速度在正方向上增加或向负方向运动时速度大小减小
$\Delta v<0$	沿负方向	速度在负方向上增加或向正方向运动时速度大小减小
$\Delta v=0$	无加速度	速度不变，$a=0$

4. 加速运动与减速运动

在直线运动中，物体速度大小是增大还是减小，取决于速度 $v$ 与加速度 $a$ 是否同向：

• $v$ 与 $a$ 同向：速度大小增大，物体做加速运动。
• $v$ 与 $a$ 反向：速度大小减小，物体做减速运动。

这条规则比“加速度正负”更可靠。不能简单说“$a>0$ 就加速、$a<0$ 就减速”。

速度方向	加速度方向	速度大小变化	运动特点
正方向	正方向	增大	加速
正方向	负方向	减小	减速
负方向	负方向	增大	加速
负方向	正方向	减小	减速

5. 速度、速度变化量、加速度的区别

速度、速度变化量和加速度是三个层次不同的物理量：

物理量	符号	描述什么	常用表达
速度	$v$	位置变化快慢和方向	$v=\Delta x/\Delta t$
速度变化量	$\Delta v$	速度改变了多少	$\Delta v=v_2-v_1$
加速度	$a$	速度改变得多快	$a=\Delta v/\Delta t$

例如一辆车从 $0$ 加速到 $20m/s$，用时 $10\mathrm{s}$，速度变化量是 $20m/s$，加速度是 $2m/{\mathrm{s}}^2$。另一辆车也从 $0$ 加速到 $20m/s$，但只用 $5\mathrm{s}$，速度变化量仍是 $20m/s$，加速度变为 $4m/{\mathrm{s}}^2$。速度变化量相同，加速度可以不同，因为所用时间不同。

6. 加速度大不等于速度大

加速度描述速度变化快慢，不描述速度本身大小。因此：

• 速度大，加速度不一定大。
• 速度小，加速度也可能很大。
• 加速度为 $0$，速度不一定为 $0$。
• 速度变化量大，加速度不一定大，还要看用时。

例如匀速飞行的高空侦察机速度可能接近 $1000m/s$，但速度不变时加速度为 $0$。枪筒中的子弹刚开始运动时速度接近 $0$，但速度增加极快，加速度可达很大数值。

三、关键规律、公式与适用条件

1. 速度变化量公式

$$\Delta v=v_2-v_1$$

其中 $v_1$ 是初速度，$v_2$ 是末速度。变化量永远是“末量减初量”，不能写反。

2. 加速度公式

$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}$$

公式使用注意：

项目	要点
适用对象	一段时间内速度变化快慢的计算
时间间隔	$\Delta t>0$
方向	由 $\Delta v$ 的方向决定
单位	若速度用 $m/s$、时间用 $\mathrm{s}$，加速度单位为 $m/{\mathrm{s}}^2$
计算前	先统一单位，如 $km/h$ 要换成 $m/s$

3. 从 $v-t$ 图像求加速度

$v-t$ 图像中，纵坐标表示速度，图线斜率表示加速度：

$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$

如果图线是直线，加速度恒定；如果图线是曲线，加速度可能随时间变化，某点附近的切线斜率反映该时刻附近的加速度。

图像特征	加速度含义
图线向上倾斜	$a>0$
图线向下倾斜	$a<0$
图线水平	$a=0$
图线越陡	$
两条直线斜率不同	加速度大小或方向不同

四、典型模型与过程分析

1. 加速度计算模型

直线运动中求加速度，按以下步骤进行：

1. 规定正方向，写出初速度 $v_1$ 和末速度 $v_2$。
2. 统一速度单位和时间单位。
3. 计算速度变化量 $\Delta v=v_2-v_1$。
4. 计算加速度 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$。
5. 根据正负号说明加速度方向。
6. 结合 $v$ 与 $a$ 的方向判断加速还是减速。

2. 加速/减速判断模型

判断运动是加速还是减速，不要只看 $a$ 的正负，要看 $v$ 与 $a$ 的方向关系：

同向加速，反向减速。

若 $v>0$、$a<0$，物体沿正方向运动但速度大小减小。若 $v<0$、$a<0$，物体沿负方向运动且速度大小增大。

3. 概念辨析模型

遇到“速度大、速度变化大、速度变化快”这三类表述时，应分别对应：

表述	对应物理量	判断方法
运动得快	速度大小	看 $
速度改变多	速度变化量大小	看 $
速度改变快	加速度大小	看 $

4. 变化率模型

变化率描述某个量随时间变化得快不快。设某个量为 $D$，变化量为 $\Delta D$，经历时间为 $\Delta t$，则变化率为：

$$\frac{\Delta D}{\Delta t}$$

本章中两个重要变化率是：

变化率	公式	物理意义
位置的变化率	$v=\Delta x/\Delta t$	速度
速度的变化率	$a=\Delta v/\Delta t$	加速度

番茄大小变化、水位变化、商品价格变化、人口数量变化等，都可以用变化率思想描述“变化得快不快”。

五、图像、实验与数据理解

1. 从 $v-t$ 图像比较加速度

在同一张 $v-t$ 图像中比较多个物体加速度时，比较图线斜率即可。若两条图线都是直线，斜率越大，加速度越大；斜率为负，加速度方向沿负方向。

读图时要分清：

• 图线高度表示速度大小和方向。
• 图线斜率表示加速度。
• 图线是否过 $t$ 轴表示速度方向是否改变。

一条位于 $v=10m/s$ 的水平直线，速度很大，但斜率为 $0$，加速度为 $0$。

2. 一些运动物体的加速度

常见运动的加速度差别很大。例如：

运动物体或过程	加速度近似值 $/(\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2})$	说明
子弹在枪筒中	$5\times 10^4$	初速度可能小，但速度增加极快
赛车起步	$4.5$	提速能力强
汽车起步	$2$	日常起步加速度较小
高速列车起步	$0.35$	起步平稳，用时较长
汽车急刹车	$-5$	方向与原速度相反
伞兵着陆	$-25$	速度迅速减小，缓冲很重要

表中负号表示加速度方向与所选正方向相反，不直接表示“大小为负”。比较加速度大小时看绝对值。

3. 交通工具速度与社会发展

交通工具速度提高，改变了城市规模、物资运输、人员往来和社会组织方式。城市的空间尺度往往与当时主要交通工具在一定时间内能到达的范围有关。交通速度提高能缩短时空距离，促进交流和经济发展。

但速度并非越快越好。大量汽车也可能带来交通拥堵、事故、能源消耗、尾气和噪声污染等问题。合理发展交通需要兼顾速度、效率、安全、能源和环境。例如发展轨道交通、立体交通、绿色汽车，以及根据城市规模优化交通规划。

这一材料提示我们：物理量可以帮助分析技术性能，如速度和加速度；但工程与社会决策还要综合安全、资源、环境和可持续发展。

六、题型应用与迁移

本节常见题型包括：

1. 定义计算题：由初速度、末速度、时间求加速度。
2. 方向判断题：由 $v_1$、$v_2$ 求 $\Delta v$，判断加速度方向。
3. 加速/减速判断题：根据 $v$ 与 $a$ 的方向关系判断速度大小变化。
4. 概念辨析题：区分速度、速度变化量、加速度。
5. $v-t$ 图像题：由斜率求加速度，比较多条图线的加速度。
6. 实际情境题：汽车起步、刹车、交通工具性能、子弹和伞兵等。
7. 变化率迁移题：把“某量变化快慢”转化为“变化量/时间”。

重点梳理

重点一：加速度是速度的变化率

加速度不是速度，也不是速度变化量，而是速度变化量与时间的比值。速度变化量相同，所用时间越短，加速度越大；所用时间相同，速度变化量越大，加速度越大。

重点二：计算前必须先求速度变化量

加速度计算的关键是：

$$\Delta v=v_2-v_1$$

变化量是末速度减初速度。顺序写反会导致加速度方向错误。

重点三：加速度方向由 $\Delta v$ 决定

加速度方向不一定与速度方向相同，也不由末速度单独决定。由于 $\Delta t$ 为正，加速度方向与 $\Delta v$ 方向相同。

例如速度从 $6m/s$ 减小到 $2m/s$，$\Delta v=-4m/s$，加速度沿负方向，即使初、末速度都沿正方向。

重点四：判断加速还是减速看 $v$ 与 $a$ 是否同向

“同向加速，反向减速”是本节最重要的判断方法。正加速度不一定加速，负加速度不一定减速。关键要看速度方向。

重点五：$v-t$ 图像斜率表示加速度

读 $v-t$ 图像时，纵坐标表示速度，斜率表示加速度。图线位置高只说明速度大，不说明加速度大；图线越陡，才说明加速度大小越大。

重点六：速度大、速度变化大、加速度大不能混用

• 速度大：表示运动快。
• 速度变化大：表示速度改变得多。
• 加速度大：表示速度改变得快。

例如高速匀速飞机速度大但加速度为 $0$；慢速起步的子弹速度小但加速度可以很大。

难点突破

难点一：速度大，加速度一定大吗

不一定。速度描述运动快慢，加速度描述速度变化快慢。若飞机以很大速度匀速飞行，速度不变，$\Delta v=0$，所以 $a=0$。判断加速度时要问“速度是否变化、变化用了多久”。

难点二：速度变化量大，加速度一定大吗

不一定。加速度还与时间有关。例如物体 A 速度变化 $20m/s$ 用 $2\mathrm{s}$，物体 B 速度变化 $30m/s$ 用 $30\mathrm{s}$：

$$a_A=\frac{20}{2}m/{\mathrm{s}}^2=10m/{\mathrm{s}}^2$$ $$a_B=\frac{30}{30}m/{\mathrm{s}}^2=1m/{\mathrm{s}}^2$$

虽然 B 的速度变化量更大，但 A 的速度变化更快。

难点三：加速度为负一定减速吗

不一定。负加速度只表示加速度沿规定负方向。若物体本来向负方向运动，$v<0$ 且 $a<0$，速度与加速度同向，速度大小会增大，是加速运动。

判断是否减速时必须比较 $v$ 与 $a$ 的方向，而不是只看 $a$ 的正负。

难点四：加速度方向为什么与速度变化量方向相同

加速度定义为：

$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$

时间间隔 $\Delta t$ 是正数，不改变方向，所以 $a$ 的方向由 $\Delta v$ 决定。速度变化量表示“速度往哪个方向变化”。例如规定向右为正方向，速度从 $2m/s$ 到 $6m/s$，$\Delta v=+4m/s$，加速度向右；速度从 $6m/s$ 到 $2m/s$，$\Delta v=-4m/s$，加速度向左。

难点五：$v-t$ 图像中斜率和高度不能混淆

在 $v-t$ 图像中：

• 纵坐标读速度。
• 斜率读加速度。

水平线即使位于很高的位置，也表示速度大但加速度为 $0$。倾斜线即使速度数值不大，只要斜率大，加速度也可能很大。

难点六：加速度变小，速度一定变小吗

不一定。如果加速度和速度仍同向，即使加速度变小，速度仍会继续增大，只是增大得越来越慢。汽车起步后加速度可能逐渐减小，但速度仍在增加。

难点七：交通工具速度是不是越快越好

从物理性能看，提高速度能缩短出行和运输时间；但从社会系统看，还要考虑安全、能耗、污染、城市拥堵、道路容量和可持续发展。速度和加速度只是技术评价的一部分，不能替代综合判断。

例题讲解

例题 1：计算加速度

题目：一辆汽车从静止开始做直线加速运动，$5\mathrm{s}$ 后速度达到 $20m/s$。求汽车的加速度。

读题：已知初速度、末速度和时间，求加速度。

选对象：研究对象是汽车。

判过程：汽车从静止开始，速度增大，取运动方向为正方向。

建模型：用 $a=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}$。

列方程：

$$\Delta v=v_2-v_1=20m/s-0=20m/s$$ $$a=\frac{20m/s}{5\mathrm{s}}=4m/{\mathrm{s}}^2$$

检查：单位为 $m/{\mathrm{s}}^2$，结果为正，表示沿运动方向。

答案：汽车的加速度为 $4m/{\mathrm{s}}^2$，表示速度平均每秒增加 $4m/s$。

例题 2：计算减速运动的加速度

题目：某汽车沿直线向东运动，规定向东为正方向。汽车速度从 $20m/s$ 减小到 $0$，用时 $4\mathrm{s}$。求汽车的加速度，并说明方向。

读题：已知正方向、初速度、末速度和时间。

选对象：研究对象是汽车。

判过程：汽车向东运动并逐渐停下，速度大小减小。

建模型：加速度方向由 $\Delta v$ 决定。

列方程：

$$\Delta v=0-20m/s=-20m/s$$ $$a=\frac{-20m/s}{4\mathrm{s}}=-5m/{\mathrm{s}}^2$$

检查：加速度为负，方向向西，与汽车速度方向相反。

答案：汽车的加速度为 $-5m/{\mathrm{s}}^2$，方向向西。

反思：减速运动中，加速度方向通常与速度方向相反。

例题 3：负加速度不一定减速

题目：规定向东为正方向。某物体向西运动，速度从 $-2m/s$ 变为 $-8m/s$，用时 $3\mathrm{s}$。求加速度，并判断物体是加速还是减速。

读题：速度为负，说明物体向西运动。

选对象：研究对象是该物体。

判过程：速度大小从 $2m/s$ 变为 $8m/s$，速度大小增大。

建模型：先算加速度，再比较 $v$ 与 $a$ 方向。

列方程：

$$\Delta v=-8m/s-(-2m/s)=-6m/s$$ $$a=\frac{-6m/s}{3\mathrm{s}}=-2m/{\mathrm{s}}^2$$

检查：速度和加速度都沿负方向，同向。

答案：加速度为 $-2m/{\mathrm{s}}^2$，方向向西；物体做加速运动。

反思：负加速度只表示方向为负方向，不等于减速。

例题 4：比较速度变化快慢

题目：物体 A 的速度在 $2\mathrm{s}$ 内从 $0$ 增大到 $12m/s$；物体 B 的速度在 $6\mathrm{s}$ 内从 $0$ 增大到 $18m/s$。哪个物体速度变化更快？

读题：比较速度变化快慢，就是比较加速度大小。

选对象：研究对象是 A、B 两物体。

建模型：分别计算加速度。

列方程：

$$a_A=\frac{12m/s-0}{2\mathrm{s}}=6m/{\mathrm{s}}^2$$ $$a_B=\frac{18m/s-0}{6\mathrm{s}}=3m/{\mathrm{s}}^2$$

答案：物体 A 的加速度更大，速度变化更快。

反思：B 的速度变化量更大，但用时也更长，所以加速度反而较小。

例题 5：从 $v-t$ 图像求加速度

题目：某物体的 $v-t$ 图像是一条直线，$t=0\mathrm{s}$ 时速度为 $2m/s$，$t=4\mathrm{s}$ 时速度为 $10m/s$。求物体的加速度。

读题：给出 $v-t$ 图像上两点数据，要求加速度。

选对象：研究对象是该物体。

建模型：$v-t$ 图像斜率表示加速度。

列方程：

$$\Delta v=10m/s-2m/s=8m/s$$ $$\Delta t=4\mathrm{s}-0=4\mathrm{s}$$ $$a=\frac{8m/s}{4\mathrm{s}}=2m/{\mathrm{s}}^2$$

答案：物体的加速度为 $2m/{\mathrm{s}}^2$。

反思：从 $v-t$ 图像求加速度，本质就是求斜率。

例题 6：汽车刹车加速度

题目：一个物体在水平面上向东运动，某时刻速度大小为 $20m/s$，然后开始减速，$2\min$ 后速度减小为 $0$。规定向东为正方向，求加速度大小及方向。

读题：已知初速度、末速度和时间，注意 $2\min$ 要换成秒。

选对象：研究对象是该物体。

判过程：物体向东运动后停下，做减速运动。

建模型：加速度公式，方向由符号判断。

列方程：

$$2\min =120\mathrm{s}$$ $$\Delta v=0-20m/s=-20m/s$$ $$a=\frac{-20m/s}{120\mathrm{s}}=-\frac{1}{6}m/{\mathrm{s}}^2\approx -0.17m/{\mathrm{s}}^2$$

答案：加速度大小约为 $0.17m/{\mathrm{s}}^2$，方向向西，即与运动方向相反。

反思：时间单位必须统一，且负号表示方向，不表示大小为负。

易错点整理

易错点 1：把加速度理解为“速度很大”

常见错误表现：认为加速度大就是速度大。

错因分析：没有区分速度与速度变化率。

正确处理：加速度大表示速度变化快，不表示速度本身大。匀速高速运动的加速度可以为 $0$。

易错点 2：只看速度变化量，不看时间

常见错误表现：谁的速度变化量大，就认为谁的加速度大。

错因分析：忽略加速度是 $\Delta v$ 与 $\Delta t$ 的比值。

正确处理：比较加速度必须比较 $\frac{\Delta v}{\Delta t}$。

易错点 3：认为加速度为负一定减速

常见错误表现：看到 $a<0$ 就判断物体减速。

错因分析：把负号理解成“变小”，没有联系正方向。

正确处理：$a<0$ 只表示加速度沿负方向。是否减速要看 $v$ 与 $a$ 是否反向。

易错点 4：速度变化量顺序写反

常见错误表现：写成 $\Delta v=v_1-v_2$。

错因分析：没有掌握变化量的定义。

正确处理：变化量永远是“末量减初量”，即 $\Delta v=v_2-v_1$。

易错点 5：从 $v-t$ 图像读错加速度

常见错误表现：认为图线位置越高，加速度越大。

错因分析：混淆了纵坐标和斜率。

正确处理：纵坐标读速度，斜率读加速度。水平线加速度为 $0$，即使速度不为 $0$。

易错点 6：忽略单位换算

常见错误表现：把 $100km/h$ 直接与秒一起代入 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$。

错因分析：速度单位和时间单位不匹配。

正确处理：若时间用秒，速度优先统一为 $m/s$。例如 $100km/h\approx 27.78m/s$。

易错点 7：加速度变小就认为速度变小

常见错误表现：汽车起步时加速度减小，就认为汽车速度减小。

错因分析：把“速度增加得慢一些”误认为“速度在减小”。

正确处理：只要 $v$ 与 $a$ 同向，速度大小仍在增大；加速度变小只表示速度增加得没那么快。

易错点 8：把生活中的“快慢”混用

常见错误表现：把“车开得快”“提速快”“刹车快”都当成速度大。

错因分析：生活语言中的“快”可能指速度，也可能指加速度。

正确处理：车开得快通常指速度大；提速快、刹车猛通常指加速度大小大。

考点考证点整理

考点一：加速度定义式计算

• 出题思路：给出初速度、末速度和时间，求加速度；或给出加速度和时间，反求速度变化量。
• 关键条件：初速度 $v_1$、末速度 $v_2$、时间间隔 $\Delta t$、单位是否统一。
• 解答要点：先写 $\Delta v=v_2-v_1$，再写 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$；结果带单位和方向。
• 易扣分点：速度变化量顺序写反；$km/h$ 未换成 $m/s$；只写大小不写方向。
• 典型题型：汽车起步、刹车、交通工具性能比较。

考点二：加速度方向判断

• 出题思路：给定正方向和速度变化，要求判断加速度方向；或给定 $v$、$a$ 的正负判断加速减速。
• 关键条件：正方向、速度变化量 $\Delta v$、速度 $v$ 与加速度 $a$ 的方向关系。
• 解答要点：加速度方向与 $\Delta v$ 方向相同；判断加速减速用“同向加速，反向减速”。
• 易扣分点：认为负加速度一定减速；认为加速度方向一定与速度方向相同。
• 典型题型：方向判断题、正负号辨析题、加速减速判断题。

考点三：速度、速度变化量、加速度辨析

• 出题思路：判断“速度大，加速度是否一定大”“速度变化量大，加速度是否一定大”“加速度为 $0$，速度是否一定为 $0$”。
• 关键条件：速度大小、速度是否变化、变化用时。
• 解答要点：速度描述运动快慢，速度变化量描述速度改变多少，加速度描述速度改变快慢。
• 易扣分点：把三者混为一谈；只凭生活经验判断。
• 典型题型：概念判断题、举例说明题、反例辨析题。

考点四：从 $v-t$ 图像求加速度

• 出题思路：给出 $v-t$ 图像上的两点或多条直线，要求求加速度、比较加速度大小、判断方向。
• 关键条件：两点纵坐标差 $\Delta v$、横坐标差 $\Delta t$、图线斜率正负和陡缓。
• 解答要点：$v-t$ 图像斜率等于加速度；斜率为正则 $a>0$，斜率为负则 $a<0$，斜率为 $0$ 则 $a=0$。
• 易扣分点：用图线高度判断加速度；忽略时间刻度；不说明方向。
• 典型题型：图像计算题、图像比较题、图像描述题。

考点五：实际情境中的加速度

• 出题思路：用汽车起步、急刹车、赛车、高速列车、子弹、伞兵着陆等情境考查加速度意义。
• 关键条件：速度变化快慢、速度方向、是否匀速、是否减速。
• 解答要点：“提速快”对应加速度大；“刹车猛”对应加速度大小大且方向与速度相反；“匀速”对应加速度为 $0$。
• 易扣分点：看到速度大就判断加速度大；忽略减速时加速度方向。
• 典型题型：情境选择题、简答题、估算题。

考点六：变化率思想迁移

• 出题思路：给出水位、价格、身高、位移、速度等随时间变化的情境，要求理解变化率。
• 关键条件：变化量和发生变化所用时间。
• 解答要点：变化率等于变化量除以时间；速度是位置变化率，加速度是速度变化率。
• 易扣分点：只看变化量，不看时间；把“大”与“变化快”混淆。
• 典型题型：类比题、阅读理解题、开放举例题。

考点七：交通速度与社会影响

• 出题思路：结合交通工具发展，要求从物理和社会角度分析速度提高的利弊。
• 关键条件：速度、通行效率、城市规模、安全、能源、环境、交通规划。
• 解答要点：速度提高能缩短时空距离、促进交流，但不是越快越好；还要考虑安全、拥堵、能源消耗和污染。
• 易扣分点：只从“快”一个角度回答；忽略社会和环境约束。
• 典型题型：STSE 简答题、综合讨论题。

练习题

基础训练

1. 某物体速度从 $0$ 增大到 $12m/s$，用时 $4\mathrm{s}$。求加速度。

2. 某汽车速度从 $20m/s$ 减小到 $5m/s$，用时 $3\mathrm{s}$。规定汽车运动方向为正方向，求加速度。

3. 判断下列说法是否正确，并说明理由：加速度越大，物体速度一定越大。

4. 加速度单位 $m/{\mathrm{s}}^2$ 表示什么含义？

5. 在 $v-t$ 图像中，图线水平表示什么？

6. 速度、速度变化量、加速度分别描述什么？

巩固训练

7. 规定向右为正方向，某物体速度从 $-4m/s$ 变为 $-10m/s$，用时 $2\mathrm{s}$。求加速度，并判断物体是加速还是减速。

8. 小汽车从静止加速到 $100km/h$ 用时 $10\mathrm{s}$。求它的加速度大小，结果保留两位小数。

9. A、B、C 三种型号轿车从静止加速到 $100km/h$ 所用最短时间分别为 $11.3\mathrm{s}$、$13.2\mathrm{s}$、$15.5\mathrm{s}$。分别计算它们的加速度大小，并按加速度从大到小排序。

10. 甲物体速度在 $5\mathrm{s}$ 内变化 $20m/s$，乙物体速度在 $2\mathrm{s}$ 内变化 $12m/s$。哪个物体速度变化更快？

11. 某物体沿直线运动，速度为正，加速度为负。它一定向反方向运动吗？它的速度大小如何变化？

12. 某 $v-t$ 图像是一条向下倾斜的直线，这说明物体加速度有什么特点？

13. 请分别举出符合下列说法的实例：

    1. 加速度等于 $0$，速度不等于 $0$。
    2. 一个物体速度变化量较大，但加速度较小。
    3. 物体具有向东的加速度，但速度方向向西。
    4. 物体后一阶段加速度比前一阶段小，但速度比前一阶段大。

提升训练

14. 规定向东为正方向，某物体初速度为 $12m/s$，经过 $4\mathrm{s}$ 后速度变为 $-4m/s$。求加速度，并说明运动方向是否发生改变。

15. A、B 两辆车都从静止开始加速。A 车 $8\mathrm{s}$ 后达到 $24m/s$，B 车 $5\mathrm{s}$ 后达到 $20m/s$。比较两车加速度大小。

16. 某汽车向东行驶，速度大小为 $20m/s$，然后开始刹车，$2\min$ 后停止。规定向东为正方向，求加速度大小及方向。

17. 某物体的 $v-t$ 图像经过两点 $(0\mathrm{s},6m/s)$ 和 $(3\mathrm{s},0m/s)$。求加速度，并判断物体在这 $3\mathrm{s}$ 内做加速运动还是减速运动。

18. 以下四个运动过程：A. 超音速飞机以 $500m/s$ 沿直线匀速飞行 $10\mathrm{s}$；B. 自行车以 $3m/s$ 从坡顶加速冲下，$3\mathrm{s}$ 后速度为 $12m/s$；C. 蜗牛由静止开始爬行，$0.2\mathrm{s}$ 后速度为 $0.002m/s$；D. 动车用 $100\mathrm{s}$ 使速度由 $72km/h$ 增加到 $144km/h$。分别比较四个过程的速度大小、速度变化量大小和加速度大小。

19. 一条 $v-t$ 图像中有三条直线：直线 a 从 $(0\mathrm{s},1m/s)$ 到 $(10\mathrm{s},3m/s)$；直线 b 从 $(0\mathrm{s},1m/s)$ 到 $(10\mathrm{s},4m/s)$；直线 c 从 $(0\mathrm{s},4m/s)$ 到 $(10\mathrm{s},1m/s)$。分别计算三条图线对应的加速度，并说明方向。

20. 交通工具的速度是不是越快越好？请从出行效率、安全、能源、环境和城市规划中任选三个角度说明。

练习题答案

基础训练答案

1. 加速度为：

$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{12m/s-0}{4\mathrm{s}}=3m/{\mathrm{s}}^2$$

答案：加速度为 $3m/{\mathrm{s}}^2$。

2. 速度变化量为：

$$\Delta v=v_2-v_1=5m/s-20m/s=-15m/s$$

加速度为：

$$a=\frac{-15m/s}{3\mathrm{s}}=-5m/{\mathrm{s}}^2$$

答案：加速度为 $-5m/{\mathrm{s}}^2$，方向与汽车运动方向相反。

3. 说法错误。加速度描述速度变化快慢，不描述速度大小。物体速度很大时，如果速度不变，加速度可以为 $0$。

4. $m/{\mathrm{s}}^2$ 是加速度单位。$1m/{\mathrm{s}}^2$ 表示速度每秒变化 $1m/s$。

5. $v-t$ 图像中图线水平，表示速度不随时间变化，加速度为 $0$。

6. 速度描述位置变化快慢和方向；速度变化量描述速度改变了多少；加速度描述速度改变得多快。

巩固训练答案

7. 速度变化量为：

$$\Delta v=-10m/s-(-4m/s)=-6m/s$$

加速度为：

$$a=\frac{-6m/s}{2\mathrm{s}}=-3m/{\mathrm{s}}^2$$

物体速度为负，加速度也为负，二者同向，所以速度大小增大，是加速运动。

答案：加速度为 $-3m/{\mathrm{s}}^2$，物体做加速运动。

8. 先换单位：

$$100km/h=\frac{100}{3.6}m/s\approx 27.78m/s$$

加速度大小为：

$$a=\frac{27.78m/s}{10\mathrm{s}}=2.78m/{\mathrm{s}}^2$$

答案：加速度大小约为 $2.78m/{\mathrm{s}}^2$。

9. $100km/h\approx 27.78m/s$。

A 车：

$$a_A=\frac{27.78}{11.3}m/{\mathrm{s}}^2\approx 2.46m/{\mathrm{s}}^2$$

B 车：

$$a_B=\frac{27.78}{13.2}m/{\mathrm{s}}^2\approx 2.10m/{\mathrm{s}}^2$$

C 车：

$$a_C=\frac{27.78}{15.5}m/{\mathrm{s}}^2\approx 1.79m/{\mathrm{s}}^2$$

排序：A 车 $>$ B 车 $>$ C 车。

10. 甲的加速度大小为：

$$a_{甲}=\frac{20}{5}m/{\mathrm{s}}^2=4m/{\mathrm{s}}^2$$

乙的加速度大小为：

$$a_{乙}=\frac{12}{2}m/{\mathrm{s}}^2=6m/{\mathrm{s}}^2$$

答案：乙物体速度变化更快。

11. 不一定向反方向运动。速度为正，说明物体仍沿正方向运动；加速度为负，说明加速度方向与速度方向相反，因此速度大小减小。只要速度还没有变为负值，就没有向反方向运动。

12. $v-t$ 图像向下倾斜，说明斜率为负，因此加速度为负。如果图线是直线，说明加速度恒定且为负。

13. 示例：

    1. 匀速直线运动的汽车，速度不为 $0$，但加速度为 $0$。
    2. 高速列车从 $0$ 增加到较大速度可能用时很长，速度变化量大但加速度不一定大。
    3. 一个物体向西运动并逐渐减速，若规定向东为正方向，则速度向西，加速度向东。
    4. 汽车起步后一段时间加速度减小，但只要加速度仍与速度同向，速度仍比前一阶段大。

提升训练答案

14. 加速度为：

$$\Delta v=-4m/s-12m/s=-16m/s$$ $$a=\frac{-16m/s}{4\mathrm{s}}=-4m/{\mathrm{s}}^2$$

答案：加速度为 $-4m/{\mathrm{s}}^2$，方向向西。运动方向发生了改变，因为速度从正值变成负值，说明物体先向东运动，后来向西运动。

15. A 车加速度为：

$$a_A=\frac{24m/s}{8\mathrm{s}}=3m/{\mathrm{s}}^2$$

B 车加速度为：

$$a_B=\frac{20m/s}{5\mathrm{s}}=4m/{\mathrm{s}}^2$$

答案：B 车加速度更大。

16. $2\min =120\mathrm{s}$。规定向东为正方向，$v_1=20m/s$，$v_2=0$。

$$a=\frac{0-20m/s}{120\mathrm{s}}=-\frac{1}{6}m/{\mathrm{s}}^2\approx -0.17m/{\mathrm{s}}^2$$

答案：加速度大小约为 $0.17m/{\mathrm{s}}^2$，方向向西，即与汽车运动方向相反。

17. 加速度等于 $v-t$ 图像斜率：

$$a=\frac{0-6}{3-0}m/{\mathrm{s}}^2=-2m/{\mathrm{s}}^2$$

物体初速度为正，加速度为负，速度与加速度反向，所以速度大小减小，在这 $3\mathrm{s}$ 内做减速运动。

18. 分析如下：

• A 过程：速度为 $500m/s$，匀速运动，速度变化量为 $0$，加速度为 $0$。
• B 过程：速度从 $3m/s$ 到 $12m/s$，速度变化量为 $9m/s$，加速度为 $\frac{9}{3}=3m/{\mathrm{s}}^2$。
• C 过程：速度从 $0$ 到 $0.002m/s$，速度变化量为 $0.002m/s$，加速度为 $\frac{0.002}{0.2}=0.01m/{\mathrm{s}}^2$。
• D 过程：$72km/h=20m/s$，$144km/h=40m/s$，速度变化量为 $20m/s$，加速度为 $\frac{20}{100}=0.20m/{\mathrm{s}}^2$。

速度大小比较可按对应阶段的速度数值比较，A 最大；末速度排序为 A $>$ D $>$ B $>$ C。速度变化量大小排序为 D $>$ B $>$ C $>$ A。加速度大小排序为 B $>$ D $>$ C $>$ A。

19. 三条图线的加速度分别为：

直线 a：

$$a_a=\frac{3-1}{10-0}m/{\mathrm{s}}^2=0.20m/{\mathrm{s}}^2$$

方向沿正方向。

直线 b：

$$a_b=\frac{4-1}{10-0}m/{\mathrm{s}}^2=0.30m/{\mathrm{s}}^2$$

方向沿正方向。

直线 c：

$$a_c=\frac{1-4}{10-0}m/{\mathrm{s}}^2=-0.30m/{\mathrm{s}}^2$$

方向沿负方向。

加速度大小：b 与 c 相同，均大于 a；方向上，a、b 为正方向，c 为负方向。

20. 交通工具速度不是越快越好。示例分析：

• 出行效率：速度提高可以缩短通勤和运输时间，扩大活动范围。
• 安全：速度越高，对制动距离、反应时间、道路条件和驾驶控制要求越高，事故风险和后果可能增大。
• 能源与环境：高速交通往往伴随更高能耗、噪声和排放，需要绿色能源和合理规划配合。
• 城市规划：交通速度提高会影响城市扩张，但若缺少公共交通和道路管理，可能造成拥堵和“摊大饼”式扩张。

因此，合理交通发展要综合速度、加速度、安全、能耗、环境和城市结构，而不是单纯追求越快越好。