第一章 运动的描述 核心知识点大纲

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• 所属章节：第一章 运动的描述
• 建模基础：质点与参考系
• 时空描述：时间、位置与位移
• 运动快慢：速度
• 速度变化：加速度

复习使用说明

这份大纲按“建模 → 时空坐标 → 位移 → 速度 → 加速度 → 图像与实验 → 题型应用”组织，而不是简单重复教材顺序。建议用 30～45 分钟完成一轮快速通道复习；快速通道只包括主线正文、核心对照表、十二类题型标题与全章自测，详细插图注释和展开答案不计入这段时间：

1. 5 分钟抓主线：先看全章认知链，明确每个物理量分别解决什么问题。
2. 15～20 分钟过概念与公式：重点看定义、方向、单位、适用条件和易错辨析。
3. 5～10 分钟走题型路径：遇题先定研究对象、参考系和正方向，再选物理量。
4. 10 分钟完成自测：先独立作答，再展开答案；错误处按文末索引回查原笔记。

复习时不要只背公式。每看到一个量，都要追问四件事：它描述什么？是矢量还是标量？正负号表示什么？公式在什么条件下使用？

一、先建立研究模型

1. 机械运动：本章研究的基本现象

• 核心结论：物体的空间位置随时间发生变化，叫作机械运动，简称运动。
• 物理意义：判断物体是否运动，实质是在比较它相对某一参照物的位置是否随时间改变。
• 易错辨析：“物体在运动”不是无条件的绝对描述；没有说明相对谁，运动和静止的判断就不完整。
• 典型题型提示：题目出现“地面上的人看”“车内乘客看”“相对河岸”等信息时，先圈出参考系，再判断位置关系是否变化。

2. 质点：突出主要因素的理想化模型

• 核心结论：在某些问题中，可以忽略物体的大小和形状，把它简化为一个具有质量的点，这个理想化模型叫作质点。
• 成立条件：物体的大小、形状以及各部分运动差异，对当前研究问题的影响可以忽略。
• 判断关键：能否视为质点只取决于研究问题，与物体本身的绝对大小无关。同一物体在不同问题中，结论可能不同。
• 例：研究地球绕太阳公转的轨道时，地球大小相对轨道尺度可忽略，可视为质点；研究地球自转或昼夜更替时，地球的形状和各部分位置不可忽略，不能视为质点。
• 易错辨析：
  • “体积小的物体一定能看成质点”——错误，若研究它的转动或姿态，形状仍不可忽略。
  • “质量很大的物体不能看成质点”——错误，质点保留质量，质量大小不是判断标准。
• 典型题型提示：不要先看物体大不大，要先问“题目研究的是整体平动，还是转动、姿态、形变或各部分差异”。

3. 参考系：运动描述的基准

• 核心结论：描述物体运动时，被选作参考、认为其位置不变的物体叫作参考系。
• 运动的相对性：同一物体相对不同参考系，位置变化可能不同，因此运动状态的描述也可能不同。
• 例：匀速行驶的列车中，坐着的乘客相对车厢静止，相对地面却在运动；车外树木相对地面静止，在乘客看来却向后运动。
• 使用规则：
  1. 先说明研究对象，再明确参考系。
  2. 题目未特别说明时，常以地面或相对地面静止的物体为参考系。
  3. 同一分析过程中不能无说明地更换参考系，否则位置、位移和速度的含义会混乱。
• 典型题型提示：判断“谁相对谁运动”，可比较研究对象与参考系之间的相对位置是否随时间变化。

二、建立时间与空间坐标

1. 时刻与时间间隔：时间轴上的“点”和“段”

概念	时间轴表示	回答的问题	常见表达
时刻	一个点	什么时候	第 $n\mathrm{s}$ 末、$8:00$、计时开始时
时间间隔	一段线段	经历多久	第 $n\mathrm{s}$ 内、前 $n\mathrm{s}$、用时 $5\mathrm{s}$

• 两个时刻 $t_1$、$t_2$ 之间的时间间隔为

$$\Delta t=t_2-t_1$$

其中 $t_1$、$t_2$ 是时刻，$\Delta t$ 是时间间隔，常用单位均为秒（$\mathrm{s}$）。

• “第 $n\mathrm{s}$ 内”指从 $(n-1)\mathrm{s}$ 末到第 $n\mathrm{s}$ 末，长度恒为 $1\mathrm{s}$。
• “前 $n\mathrm{s}$”指从计时起点 $t=0$ 到第 $n\mathrm{s}$ 末，长度为 $n\mathrm{s}$。
• 易错辨析：“第 $3\mathrm{s}$”通常指第三个 $1\mathrm{s}$ 的时间间隔，不是时刻 $t=3\mathrm{s}$；“第 $3\mathrm{s}$ 末”才是时刻。
• 典型题型提示：遇到“初、末、时、内、前、经过”等词，先在时间轴上标点或涂线段，再计算 $\Delta t$。

2. 位置与一维坐标系：把“在哪里”变成可计算的量

描述直线运动中的位置，应先建立一维坐标系，并明确四个要素：

1. 原点 $O$：位置坐标的基准点。
2. 正方向：决定坐标和位移的正负。
3. 单位长度：例如米（$\mathrm{m}$）。
4. 坐标轴：通常记为 $x$ 轴，物体的位置用坐标 $x$ 表示。

例如规定向东为正方向，$x=30\mathrm{m}$ 表示物体在原点以东 $30\mathrm{m}$，$x=-20\mathrm{m}$ 表示物体在原点以西 $20\mathrm{m}$；负号表示方向，不表示距离为负。

• 更换原点：同一位置的坐标会改变，但同一运动过程的位移 $\Delta x=x_2-x_1$ 不变，因为初、末坐标同时平移了相同的量。
• 改变正方向：位置坐标和位移的正负号都会改变，但实际位置、位移大小和物理过程不变。
• 典型题型提示：计算前先在草图上写出“原点—正方向—单位”，再标初、末状态点，能避免坐标正负和“末减初”出错。

三、用位移描述位置变化

1. 路程与位移：一个看轨迹，一个看初末位置

物理量	定义与物理意义	属性	与路径的关系
路程 $s$	物体实际运动轨迹的长度，回答“实际走了多远”	标量，只有大小且非负	与具体路径有关
位移 $\Delta x$	从初位置指向末位置的有向线段，回答“位置怎样变化”	矢量，有大小和方向	只由初、末位置决定

一般有

$$s\ge |\Delta x|$$

只有物体沿同一直线单向运动且不返回时，路程才等于位移大小。曲线运动、绕圈或直线往返时，通常有 $s>|\Delta x|$；若回到出发点，位移为 $0$，但路程不为 $0$。

• 易错辨析：位移不是“最短路程”，而是从初位置指向末位置的有向线段；它不是物体实际经过的路线。
• 典型题型提示：题目问“走过多远、全程、轨迹长度”时求路程；问“位置变化、从 A 到 B”时求位移。

2. 直线运动中的位移计算

在已经建立的一维坐标系中，初位置为 $x_1$，末位置为 $x_2$，则

$$\Delta x=x_2-x_1$$

• $x_1$、$x_2$ 和 $\Delta x$ 的国际单位均为米（$\mathrm{m}$）。
• $\Delta x>0$：位移沿规定的正方向；$\Delta x<0$：位移沿规定的负方向。
• 位移大小为 $|\Delta x|$，永远非负；“位移为 $-3\mathrm{m}$”表示大小为 $3\mathrm{m}$、方向沿负方向。
• 计算流程：规定正方向 → 写初、末坐标 → 末减初 → 用正负说明方向 → 取绝对值得大小。
• 易错辨析：不能为了得到正数而用“大坐标减小坐标”；位移是矢量，必须坚持“末位置减初位置”。

3. 矢量与标量：正负号不是“大小的正负”

• 标量只有大小，没有方向，如时间间隔、质量、温度、路程。
• 矢量既有大小又有方向，如位移；后续的速度、加速度也都是矢量。
• 在一维问题中，矢量可用带正负号的代数量表示：绝对值表示大小，正负号表示相对规定正方向的方向。
• 比较矢量时要区分“矢量本身”和“矢量大小”。例如 $\Delta x_A=-5\mathrm{m}$、$\Delta x_B=3\mathrm{m}$，有 $|\Delta x_A|>|\Delta x_B|$，但不能简单说“$-5>3$”。
• 典型题型提示：若题目问“方向”，答案必须写“沿规定的正/负方向”或具体方位；若问“大小”，结果应取非负值并带单位。

4. 独立判读 $x-t$ 图像：位置随时间怎样变化

• 图线上一点给出某时刻的位置；有限时间区间两端点连成的割线斜率 $\Delta x/\Delta t$ 给出该区间的平均速度，某点处的切线斜率给出该时刻的瞬时速度。
• 直线段斜率不变，表示该段速度不变；曲线的斜率随时间变化，表示速度在变化。水平线表示位置不变，即物体静止。
• 两个对象的 $x-t$ 图线相交，表示它们在同一一维坐标系中、同一时刻位置相同；若两个对象可以占据同一位置，即发生相遇。
• 图线向下只表示位置坐标随时间减小，不能脱离斜率绝对值的变化判断速率增减；图线不是空间轨迹。

四、用速度描述位置变化的快慢

1. 速度与平均速度：位移的变化率

• 核心结论：速度描述物体位置变化的快慢和方向。在一段时间内，用平均速度描述这一过程：

$$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

• 物理意义：$\bar{v}$ 表示这段时间内位置变化的平均快慢和方向；它是过程量，不代表物体在每一时刻都以该速度运动。
• 矢量与方向：速度是矢量。因为 $\Delta t>0$，该段平均速度与该段总位移同向。在一维运动中，$\bar{v}>0$ 表示沿正方向，$\bar{v}<0$ 表示沿负方向，平均速度大小为 $|\bar{v}|$；瞬时速度方向则是物体在该时刻的运动方向，不能用一段较长时间的总位移方向代替。
• 单位：国际单位是米每秒（$m/s$），常用换算为

$$1m/s=3.6km/h,1km/h=\frac{1}{3.6}m/s$$

从 $m/s$ 换到 $km/h$ 乘 $3.6$，反向换算除以 $3.6$。代入公式前应先统一单位。

• 易错辨析：平均速度的定义式中用的是位移而不是路程；速度为负只表示方向沿负方向，不表示“运动得慢”或“速度大小为负”。
• 典型题型提示：已知初、末坐标时，先求 $\Delta x=x_2-x_1$，再算 $\bar{v}=\Delta x/\Delta t$，最后用正负号说明方向。

2. 瞬时速度与速率：描述“某一瞬间”

• 瞬时速度描述物体在某一时刻或某一位置的运动快慢和方向。它仍是矢量；当 $v\ne 0$ 时，瞬时速度方向就是该时刻物体的运动方向；当 $v=0$ 时，瞬时速度方向未定义。
• 在目标时刻附近取一段很短的时间 $\Delta t$，计算 $\Delta x/\Delta t$；$\Delta t$ 越短，这段平均速度通常越接近该时刻的瞬时速度。这体现了“用短时过程逼近瞬时状态”的思想。
• 速率是瞬时速度的大小，是标量，不能为负。例如 $v=-8m/s$ 表示沿负方向运动，速率为 $8m/s$。
• 汽车速度表通常只显示快慢，读数反映的是速率；若要完整描述速度，还需说明方向。
• 易错辨析：“瞬时速度为零”只说明该时刻运动快慢为零；不能仅凭这一点断言物体此前和此后都静止。

3. 平均速度与平均速率：先分清位移和路程

比较项	平均速度	平均速率
公式	$\bar{v}=\frac{\text{总位移}}{\text{总时间}}$	$\frac{\text{总路程}}{\text{总时间}}$
属性	矢量，有方向	标量，只有大小
计算关键	只看初、末位置	沿实际路径累计
往返回原点	总位移为 $0$，平均速度为 $0$	总路程不为 $0$，平均速率不为 $0$

通常 $\text{平均速率}\ne |\text{平均速度}|$。只有全程沿同一直线单向运动、不返回时，总路程等于总位移大小，两者数值才相等。

• 公式边界：一般问题中，不能把平均速度写成初、末速度的算术平均。公式

$$\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}$$

只适用于本书后续学习的匀变速直线运动，且 $v_0$、$v$ 必须是同一正方向下的带符号速度；本章只依据定义式 $\bar{v}=\Delta x/\Delta t$。

• 典型题型提示：往返、绕圈或分段运动题先画路径，分别求总位移、总路程和总时间，再根据题目问“速度”还是“速率”选公式。

五、用加速度描述速度变化的快慢

1. 速度变化量：先比较末速度与初速度

速度变化量表示速度改变了多少：

$$\Delta v=v_2-v_1$$

• $v_1$、$v_2$ 必须是同一正方向下的带正负号速度；变化量始终是“末量减初量”。
• $\Delta v$ 是矢量。在一维运动中，$\Delta v>0$ 表示速度变化量沿正方向，$\Delta v<0$ 表示沿负方向，其大小为 $|\Delta v|$。
• 速度从 $-2m/s$ 变到 $4m/s$ 时，$\Delta v=4-(-2)=6m/s$，方向沿正方向；不能只用两个速度的大小相减。
• 易错辨析：$\Delta v$ 的方向不是简单看末速度方向，而由矢量差 $v_2-v_1$ 决定。

2. 平均加速度与瞬时加速度：速度的变化率

• 核心结论：加速度描述速度变化的快慢。物体从时刻 $t_1$ 到 $t_2$，有限时间区间内的平均加速度为

$$\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$$

• 物理意义：$\bar{a}=3m/{\mathrm{s}}^2$ 表示这段时间内速度平均每秒沿正方向变化 $3m/s$；“变化”包含大小变化或方向变化，不能只理解为速率增加。
• 单位：国际单位为米每二次方秒（$m/{\mathrm{s}}^2$ 或 $\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$）。
• 瞬时量边界：某一时刻的瞬时加速度，是该时刻附近时间区间不断缩短时平均加速度的极限；在 $v-t$ 图像上，它对应该点切线的斜率。
• 矢量与方向：因为 $\Delta t>0$，平均加速度方向与该段 $\Delta v$ 方向一致，但不一定与某时刻的速度 $v$ 方向一致。
• 比较规则：比较有限区间的平均加速度大小必须同时考虑 $|\Delta v|$ 和 $\Delta t$。速度变化量相同，用时越短，$|\bar{a}|$ 越大；用时相同，$|\Delta v|$ 越大，$|\bar{a}|$ 越大。

3. 加速还是减速：看 $v$ 与 $a$ 的方向关系

速度 $v$	加速度 $a$	方向关系	速率变化
$v>0$	$a>0$	同向	增大，加速
$v>0$	$a<0$	反向	减小，减速
$v<0$	$a<0$	同向	增大，加速
$v<0$	$a>0$	反向	减小，减速
$v\ne 0$	$a=0$	无加速度	速率不变
$v=0$	任意 $a$	此刻速度方向未定义	仅凭该瞬间不能称“加速”或“减速”，看前后时段

记住：$v$ 与 $a$ 同向，速率增大；$v$ 与 $a$ 反向，速率减小。 因而不能用 $a$ 的正负单独判断加速或减速。正加速度可能对应沿负方向的减速运动，负加速度也可能对应沿负方向的加速运动。

上述“同向增速、反向减速”只在 $v\ne 0$ 时直接适用。$v=0$ 时瞬时速度没有方向，不能在该点直接套“同向/反向”；若过程跨过 $v=0$，应以零点为界分时段判断。$a=0$ 时速度保持不变，因而速率不变；若同时 $v=0$，物体保持静止。若减速过程持续到 $v=0$ 后加速度方向仍不变，物体可能反向并逐渐加速。

4. 三个“大小”必须分开判断

问题	对应物理量	判断方法	反例提示
运动得快不快	速度大小 $	v	$
速度改变得多不多	速度变化量大小 $	\Delta v	$
速度改变得快不快	平均加速度大小 $	\bar a	$或瞬时加速度大小$

• 概念辨析：$v=0$ 时速度方向未定义，$a$ 不一定为 $0$；$a=0$ 时速度（包括方向）保持不变，速率不变，而 $v$ 不一定为 $0$；$\Delta v=0$ 时该段平均加速度为 $0$，但不能仅凭初、末速度相同断言中间每一时刻 $a=0$，物体仍可能在区间内发生过速度变化。
• 典型题型提示：题目说“速度很大”“速度变化很大”“速度变化很快”时，分别圈出 $|v|$、$|\Delta v|$、$|a|$，不要混用。

5. 速度与加速度的统一方向判断流程

直线运动方向题统一按以下顺序处理：

1. 规定正方向：把题目中的具体方位转化为正、负方向。
2. 速度代数化：将 $v_1$、$v_2$ 写成带正负号的量，并统一为 $m/s$。
3. 求速度变化量：严格使用 $\Delta v=v_2-v_1$，由结果正负判断 $\Delta v$ 方向。
4. 求平均加速度：有限区间用 $\bar{a}=\Delta v/\Delta t$，结果正负表示该段平均加速度方向，单位写 $m/{\mathrm{s}}^2$；若问某时刻的瞬时加速度，还需瞬时信息。
5. 判断速率增减：先检查零值。若 $a=0$，速度与速率不变；若 $v=0$，该时刻速度方向未定义，不能直接判加减速；若过程跨过 $v=0$，以零点为界分时段比较 $v$ 与 $a$，同向时速率增大、反向时速率减小。
6. 完整作答与检查：写出大小、方向、单位，并检查“末减初”、单位换算和结论是否符合实际过程。

例如规定向右为正，物体在该段做匀变速直线运动，速度从 $v_1=6m/s$ 变到 $v_2=2m/s$，且全段 $v>0$、未经过 $v=0$。此时 $\Delta v=-4m/s$，平均加速度与恒定的瞬时加速度相同，即 $\bar{a}=a<0$；该段 $v>0$ 与 $a<0$ 反向，所以速率单调减小。

六、图像、实验与数据贯通

1. 两类运动图像：先看纵轴，再读斜率

判读运动图像的第一步不是看图线“向上还是向下”，而是先确认纵轴物理量。

判读角度	$x-t$ 图像	$v-t$ 图像
纵坐标	位置 $x$，单位 $\mathrm{m}$	速度 $v$，单位 $m/s$
图线上一点	某时刻物体所处的位置	某时刻物体的速度大小和方向
图线斜率	有限区间割线斜率 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 是该区间平均速度；某点切线斜率是该时刻瞬时速度	有限区间割线斜率 $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 是该区间平均加速度；某点切线斜率是该时刻瞬时加速度
水平线	位置不变，物体静止	速度不变，物体做匀速直线运动；若与时间轴重合则静止
图线交点	两对象在同一一维坐标系中、同一时刻位置相同；若可占同一位置，即相遇	两物体同一时刻速度相同，不一定相遇
时间轴上方/下方	$x>0$/$x<0$，表示位置在原点哪一侧	$v>0$/$v<0$，表示沿正方向/负方向运动

• $x-t$ 图像中，有限区间割线斜率给该区间平均速度，某点切线斜率给该时刻瞬时速度；斜率正负判方向，绝对值判相应速度大小。图线向下表示位置坐标随时间减小，不等于“物体在减速”。
• $v-t$ 图像中，有限区间割线斜率给该区间平均加速度，某点切线斜率给该时刻瞬时加速度；斜率正负判加速度方向，绝对值判相应加速度大小。图线向下仅表示速度随时间减小，若速度本来为负，其速率反而可能增大。
• 交点辨析：$x-t$ 图像交点表示两个对象在同一一维坐标系中、同一时刻位置相同；若两个对象可以占据同一位置，即发生相遇。$v-t$ 图像交点只表示“同一时刻、速度相同”。
• 轨迹辨析：两类图像的横轴都是时间，图线是物理量随时间的变化关系，都不是物体在空间中的运动轨迹。曲线图像也不代表物体沿曲线运动。
• 本章边界：这里重点读取点、斜率和交点；$v-t$ 图像与时间轴围成面积的位移意义将在后续直线运动规律中系统学习。

2. 打点计时器与纸带：把点迹变成运动数据

打点计时器按照相等的时间间隔在纸带上留下点迹。若所接交变电源频率为 $f$，相邻两个点之间的时间间隔为

$$T=\frac{1}{f}$$

例如 $f=50\mathrm{Hz}$ 时，$T=0.02\mathrm{s}$。若每隔四个点取一个计数点，则相邻计数点之间含五个打点间隔，时间为 $5T=0.10\mathrm{s}$。

• 数间隔而非只数点：$n$ 个连续点之间只有 $n-1$ 个时间间隔，因此总时间为 $(n-1)T$。从 A 点到 E 点共 5 个点，却只有 4 个间隔。
• 求某段平均速度：测出该段位移 $\Delta x$，数清对应的间隔数 $k$，则 $\Delta t=kT$，再用 $\bar{v}=\Delta x/\Delta t$。
• 近似某点瞬时速度：要求 B 点速度，可选 B 两侧较短且尽量对称的 A、C 两点，用

$$v_B\approx \frac{x_C-x_A}{t_C-t_A}=\frac{x_C-x_A}{2T}$$

区间越短，且测量误差仍可控制，所得平均速度越接近 B 点瞬时速度；不能只用“一个点”直接计算速度。

• 用间距判断速率趋势：相等时间内点迹间距逐渐增大，说明速率总体增大；间距逐渐减小，说明速率总体减小；间距近似相等，说明速率近似不变。若纸带运动方向已知，还可结合正方向给速度标正负。
• 实验检查：刻度尺读数要估读并统一单位；纸带数据通常先保留足够有效数字，最终再按题目要求取值；点迹模糊或异常时不应强行当作可靠测量点。

3. 位移传感器：从离散点迹走向连续采样

位移传感器可连续测量物体相对探头的位置，计算机把“时间—位置”数据形成 $x-t$ 图像，并可进一步得到速度信息。它与纸带实验的共同思想是：先测位置和时间，再由位置变化求速度；区别在于纸带给出离散点，传感器能以较高频率连续采样并实时显示图像。

• 探头、运动物体和选定方向共同确定参考系与正方向，改变物体到探头的距离会反映为位置数据变化。
• 图像异常时应先检查遮挡、反射面、测量范围和采样是否稳定，再解释运动规律。
• 无论仪器多自动，仍要明确纵轴物理量、单位和计算依据，不能把软件生成的曲线当作运动轨迹。

七、核心概念与公式对照

先判断题目描述的是时空状态、位置变化、变化快慢，还是速度变化快慢，再选物理量。下面的表应连同“条件和误区”一起记忆。

概念组	对象与属性	核心公式或图像意义	方向规则	高频误区
时刻 / 时间间隔	时刻对应时间轴上的点；时间间隔是标量，对应线段	$\Delta t=t_2-t_1$，单位 $\mathrm{s}$	无方向	把“第 $n\mathrm{s}$ 内”当作 $n\mathrm{s}$；把“第 $n\mathrm{s}$ 末”和“前 $n\mathrm{s}$”混淆
位置 / 位移 / 路程	位置用坐标表示；位移是矢量；路程是非负标量	$\Delta x=x_2-x_1$；$s\ge	\Delta x	$
速度 / 速率	速度是矢量；速率是瞬时速度的大小，是标量	瞬时速度可由极短时间平均速度近似；速率为 $	v	$
平均速度 / 平均速率	平均速度是矢量，研究总位移；平均速率是标量，研究总路程	有限区间 $\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$；平均速率 $=\frac{s}{\Delta t}$	该段平均速度与该段总位移同向；平均速率无方向	往返题中混用位移和路程；一般情形误用 $(v_0+v)/2$
速度 / 速度变化量 / 加速度	$v$ 描述运动快慢和方向；$\Delta v$ 描述速度改变量；$a$ 描述速度变化快慢，三者均为矢量	$\Delta v=v_2-v_1$；有限区间 $\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$，单位 $m/{\mathrm{s}}^2$	$\bar{a}$ 与该段 $\Delta v$ 同向；$v\ne 0$ 时与 $a$ 同向速率增大、反向速率减小；$a=0$ 时速率不变	认为速度大则加速度大；只看 $a$ 正负判断加减速；跨 $v=0$ 不分时段；用速度大小相减代替矢量差
$x-t$ / $v-t$ 图像	都是物理量随时间的关系图，不是运动轨迹	$x-t$：区间割线斜率是平均速度、点切线斜率是瞬时速度；$v-t$：区间割线斜率是平均加速度、点切线斜率是瞬时加速度	$x$ 正负表示位置在原点两侧；$v$ 正负表示运动方向	看到图线向下就判减速；把 $v-t$ 交点判为相遇；把曲线当空间路径

公式使用前的五项检查

1. 对象一致：所列位置、速度和时间属于同一研究对象、同一过程。
2. 参考系一致：全过程没有无说明地更换参考系。
3. 正方向一致：$x_1$、$x_2$、$v_1$、$v_2$ 均按同一正方向带符号代入。
4. 单位一致：长度统一为米、时间统一为秒、速度统一为米每秒。
5. 公式条件匹配：求平均速度用位移，求平均速率用路程；本章一般问题不套用尚未满足条件的特殊公式。

八、典型题型解题路径

1. 通用五步法

无论是概念题、计算题、图像题还是实验题，都可先执行这条主线：

读情境与设问 → 定研究对象、参考系和正方向 → 选对应物理量 → 用定义式、图像斜率或实验数据 → 检查方向、单位与结论是否符合情境

2. 十二类高频题型速查

题型一：质点模型判断

• 读情境：圈出题目真正研究的运动特征。
• 定对象：判断物体大小、形状是否影响所求量。
• 路径：若影响可忽略，则视为质点；若研究转动姿态、各部分差异或几何尺寸，则不能忽略。
• 检查：结论必须针对当前问题，不能按物体“大或小”机械判断。

题型二：参考系与运动相对性

• 读情境：找“相对谁看”和描述运动的词语。
• 定参考系：分别写出研究对象相对各参照物的位置是否变化。
• 路径：位置变化则运动，位置不变则静止；比较两种说法时先看参考系是否相同。
• 检查：答案写全“以……为参考系”。

题型三：时刻与时间间隔辨析

• 读情境：抓住“初、末、第几秒末、第几秒内、前几秒”。
• 建时间轴：时刻画点，时间间隔画线段。
• 路径：用 $\Delta t=t_2-t_1$；“第 $n\mathrm{s}$ 内”为 $n-1\mathrm{s}$ 末到 $n\mathrm{s}$ 末，长度 $1\mathrm{s}$。
• 检查：结果是时间轴位置还是线段长度。

题型四：坐标法求位置和位移

• 读情境：标出初、末位置和单位。
• 定坐标系：明确原点、正方向、单位。
• 路径：写 $x_1$、$x_2$，用 $\Delta x=x_2-x_1$。
• 检查：正负写方向，$|\Delta x|$ 才是大小；不能改成“大减小”。

题型五：路程与位移综合

• 读情境：画出实际路线并标初、末位置。
• 选量：沿轨迹分段累计求路程；只看初末位置求位移。
• 路径：检验 $s\ge |\Delta x|$，往返原点时 $\Delta x=0$ 但 $s>0$。
• 检查：只有同一直线单向运动时二者大小相等。

题型六：平均速度与平均速率

• 读情境：先判断题目问“速度”还是“速率”。
• 选量：分别求总位移、总路程和总时间。
• 路径：$\bar{v}=\Delta x/\Delta t$；平均速率 $=s/\Delta t$。
• 检查：平均速度要说明方向；一般不能用初末速度算术平均。

题型七：$x-t$ 图像判读

• 认轴：纵轴为位置 $x$。
• 路径：读点得位置；有限区间割线斜率给平均速度，某点切线斜率给瞬时速度；水平线表示静止；交点表示两个对象在同一一维坐标系中、同一时刻位置相同，若可占同一位置即相遇。
• 迁移：斜率正负判运动方向，绝对值判速率大小。
• 检查：图线向下表示位置减小，不直接表示减速；图线不是轨迹。

题型八：$v-t$ 图像判读

• 认轴：纵轴为速度 $v$。
• 路径：读点得速度；有限区间割线斜率给平均加速度，某点切线斜率给瞬时加速度；时间轴上下判速度方向，交点只表示速度相同。
• 迁移：联合 $v$、$a$ 的正负判断速率增减。
• 检查：不能把图线位置理解为空间位置，不能把交点直接判为相遇。

题型九：纸带时间与平均速度

• 读数据：确认电源频率 $f$、是否舍点取计数点、点数和位移单位。
• 定时间：$T=1/f$；$n$ 个连续点对应 $(n-1)T$，跳点时数清实际打点间隔。
• 路径：某段 $\bar{v}=\Delta x/(kT)$。
• 检查：长度换成米、时间间隔不多算一个，结果单位为 $m/s$。

题型十：纸带瞬时速度与运动趋势

• 定目标点：在目标点两侧选短而尽量对称的区间。
• 路径：用两侧点间的平均速度近似目标点瞬时速度，如 $v_B\approx (x_C-x_A)/(2T)$。
• 判趋势：等时点距增大表示速率总体增大，点距减小表示速率总体减小。
• 检查：不能用一个点“除以时间”，也不能忽略异常点和测量误差。

题型十一：加速度计算

• 读情境：写出同一正方向下带符号的 $v_1$、$v_2$ 和 $\Delta t$。
• 路径：先算 $\Delta v=v_2-v_1$，有限时间区间再算平均加速度 $\bar{a}=\Delta v/\Delta t$；求某时刻瞬时加速度则需相应瞬时信息或 $v-t$ 点切线斜率。
• 检查：速度反向时特别注意减负数；单位为 $m/{\mathrm{s}}^2$，结果正负表示方向。

题型十二：加速、减速与反向运动

• 定方向：从文字、图像或计算结果确定 $v$、$a$ 的方向。
• 路径：$v\ne 0$ 时同向则速率增大、反向则速率减小；$a=0$ 时速率不变；$v=0$ 时速度方向未定义，若此后加速度不为零，运动方向由后续速度决定。
• 检查：不能只看 $a>0$ 或 $a<0$；跨过 $v=0$ 必须以零点为界分时段判断。

3. 考前一分钟知识网络

质点简化研究对象 → 参考系确定运动描述基准 → 坐标系定量表示位置 → 位移连接初、末位置 → 速度描述位移变化的快慢和方向 → 加速度描述速度变化的快慢和方向 → $x-t$、$v-t$ 图像与纸带/传感器提供运动数据证据 → 定义式、方向规则和条件检查完成题型应用。

最后用三组问题自查：研究的是谁、相对谁？初末状态和正方向是什么？所求是位置变化、变化快慢，还是速度变化快慢？

九、全章快速自测

自测 1

研究一列长为 $200\mathrm{m}$ 的列车从北京开往上海所需的时间时，可以把列车视为质点吗？研究它完全通过一座长为 $800\mathrm{m}$ 的桥所需的时间时呢？

查看答案

**结论：**研究京沪行程时间时通常可以把列车视为质点；研究列车完全过桥的时间时不能。

**依据：**质点模型的判断标准不是物体本身“大不大”，而是其大小和形状在当前问题中能否忽略。京沪距离远大于列车长度，求行程时间时列车长度通常不影响结果；完全过桥时，列车前端需要走过“桥长＋车长”，车长直接进入计算，不能忽略。若桥长为 $L$、车长为 $l$、列车做匀速直线运动，完全过桥时间为 $t=(L+l)/v$。

**方向与单位检查：**本题的核心是建模条件，不涉及矢量方向；代入公式时 $L$、$l$ 应统一为米，$v$ 用 $m/s$，所得 $t$ 为秒。

**易错提醒：**不能因为列车很长就断言“永远不能视为质点”，也不能因为研究的是平动就无条件忽略车长。

自测 2

列车以恒定速度向东行驶，坐在车厢内座位上的乘客相对列车和相对地面分别处于什么运动状态？

查看答案

**结论：**以列车为参考系，乘客静止；以地面为参考系，乘客向东运动。

**依据：**机械运动是物体相对参考系的位置随时间发生变化。同一乘客相对列车的位置不变，而相对地面的位置不断向东改变，所以描述不同。若地面系中列车速度为 $v$，乘客相对列车速度为 $0$，则在这一简单同向平动情境中，乘客相对地面的速度也是 $v$。

方向与单位检查：“向东”是相对地面规定的方向；若取东为正，地面系速度写为 $+v$，单位通常为 $m/s$。

易错提醒：“运动”或“静止”不是脱离参考系的绝对结论，答题时必须说明“相对谁”。

自测 3

计时从 $t=0$ 开始：“第 $3\mathrm{s}$ 末”“第 $3\mathrm{s}$ 内”“前 $3\mathrm{s}$”分别表示时刻还是时间间隔？对应时间轴上的什么范围？

查看答案

结论：“第 $3\mathrm{s}$ 末”是时刻 $t=3\mathrm{s}$；“第 $3\mathrm{s}$ 内”是从 $t=2\mathrm{s}$ 到 $t=3\mathrm{s}$ 的时间间隔；“前 $3\mathrm{s}$”是从 $t=0$ 到 $t=3\mathrm{s}$ 的时间间隔。

**依据：**时刻对应时间轴上的点，时间间隔对应时间轴上的线段，且 $\Delta t=t_2-t_1$。因此后两个时间间隔分别为 $3-2=1\mathrm{s}$ 和 $3-0=3\mathrm{s}$。

**方向与单位检查：**时间是标量，不涉及空间方向；时刻与时间间隔的单位都可用秒，但二者物理意义不同。

易错提醒：“第 $n\mathrm{s}$ 内”始终长 $1\mathrm{s}$，不能误认为从 $0$ 到 $n\mathrm{s}$。

自测 4

运动员沿半径为 $R$ 的半圆形跑道从直径一端 $A$ 跑到另一端 $B$。求路程和位移大小，并说明位移方向。

查看答案

**结论：**路程为 $s=\pi R$，位移大小为 $|\Delta \mathbf{x}|=2R$，位移方向由 $A$ 指向 $B$。

**依据：**路程是实际轨迹长度，所以等于半圆弧长；位移是从初位置指向末位置的有向线段，所以其大小等于直径。二者满足 $s\ge |\Delta \mathbf{x}|$，本题因轨迹不是直线单向路径而严格大于。

**方向与单位检查：**路程是非负标量，没有方向；位移是矢量，必须写“从 $A$ 指向 $B$”。若 $R$ 用米，路程和位移大小都用米。

**易错提醒：**不能把“位移”写成半圆弧长，也不能只写位移大小而漏掉方向。

自测 5

某人沿直线从家向东走 $100\mathrm{m}$，用时 $50\mathrm{s}$，随后原路返回家中，用时 $100\mathrm{s}$。求全程平均速度和平均速率。

查看答案

**结论：**全程平均速度为 $0$，平均速率为 $\frac{4}{3}m/s$，约为 $1.33m/s$。

**依据：**回到出发点后总位移 $\Delta x=0$，总路程 $s=100+100=200\mathrm{m}$，总时间 $\Delta t=50+100=150\mathrm{s}$。因此

$$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=0,\text{平均速率}=\frac{s}{\Delta t}=\frac{200}{150}=\frac{4}{3}m/s.$$

**方向与单位检查：**平均速度为零时没有确定方向；平均速率是非负标量。路程用米、时间用秒，商的单位为 $m/s$。

**易错提醒：**往返题中平均速度为零不表示物体没有运动，也不表示平均速率为零；不能把两段速度直接做算术平均。

自测 6

规定水平向右为正方向，物体在 $2\mathrm{s}$ 内从 $x_1=5\mathrm{m}$ 运动到 $x_2=-1\mathrm{m}$。求平均速度，并说明其方向。

查看答案

**结论：**平均速度为 $-3m/s$，方向水平向左。

**依据：**先求位移：$\Delta x=x_2-x_1=-1-5=-6\mathrm{m}$；再用定义式

$$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-6}{2}=-3m/s.$$

负号表示平均速度方向与规定的正方向相反。

**方向与单位检查：**取右为正，所以结果为负即向左；$\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 化为 $m/s$，数值和单位匹配。

**易错提醒：**速度的负号表示方向，不表示“运动得慢”或速度大小为负；速率应写为 $3m/s$。

自测 7

某物体的 $x-t$ 图像由两段组成：$0$ 到 $3\mathrm{s}$ 内，图线从 $(0\mathrm{s},0\mathrm{m})$ 匀直上升到 $(3\mathrm{s},6\mathrm{m})$；$3$ 到 $5\mathrm{s}$ 内图线水平。分别判断两段运动状态和速度。

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**结论：**前 $3\mathrm{s}$ 物体沿正方向做速度为 $2m/s$ 的匀速直线运动；后 $2\mathrm{s}$ 物体静止，速度为 $0$。

依据：$x-t$ 图像中，有限区间割线斜率表示该区间平均速度，某点切线斜率表示瞬时速度。本题第一段是直线，斜率处处相同，故区间平均速度与各时刻瞬时速度相同：

$$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{6-0}{3-0}=2m/s,$$

斜率恒正；第二段位置保持 $6\mathrm{m}$ 不变，斜率为零，所以速度为零。

**方向与单位检查：**第一段速度为正，方向与坐标轴正方向一致；斜率单位为 $m/s$。第二段的“$6\mathrm{m}$”是位置，不是路程。

易错提醒：$x-t$ 图像不是物体的空间轨迹；水平线表示静止，而不是“沿水平方向运动”。

自测 8

某物体的 $v-t$ 图像是一条直线：$t=0$ 时 $v=4m/s$，$t=3\mathrm{s}$ 时 $v=-2m/s$。求加速度，指出速度何时为零，并说明速率如何变化。

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**结论：**加速度为 $-2m/{\mathrm{s}}^2$；$t=2\mathrm{s}$ 时速度为零；$0$ 到 $2\mathrm{s}$ 速率减小，$2$ 到 $3\mathrm{s}$ 速率增大且运动方向变为负方向。

依据：$v-t$ 图像中有限区间割线斜率表示平均加速度，某点切线斜率表示瞬时加速度。本题图线为直线，二者相同且为常量：

$$\bar{a}=a=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}=\frac{-2-4}{3}=-2m/{\mathrm{s}}^2.$$

由 $v=4-2t$ 得 $v=0$ 时 $t=2\mathrm{s}$。此前 $v>0$、$a<0$，二者反向，速率减小；此后 $v<0$、$a<0$，二者同向，速率增大。

**方向与单位检查：**负加速度表示方向沿负方向；斜率单位 $(m/s)/\mathrm{s}=m/{\mathrm{s}}^2$。

**易错提醒：**图线下降不等于全程减速；图线在时间轴下方表示速度为负，不表示物体位于空间坐标轴下方。

自测 9

规定向右为正方向，物体在 $3\mathrm{s}$ 内速度由 $v_1=-2m/s$ 均匀变为 $v_2=4m/s$。求加速度及其方向，并判断这段时间内物体是一直加速还是一直减速。

查看答案

**结论：**平均加速度为 $+2m/{\mathrm{s}}^2$；由于题设说明速度均匀变化，瞬时加速度也恒为 $+2m/{\mathrm{s}}^2$，方向向右。物体先减速，速度减到零后再向右加速，并非一直加速或一直减速。

依据：

$$\Delta v=v_2-v_1=4-(-2)=6m/s,\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{6}{3}=2m/{\mathrm{s}}^2.$$

初段 $v<0$、$a>0$，二者反向，速率减小；因速度均匀变化，$v=-2+2t$，在 $t=1\mathrm{s}$ 时速度为零；之后 $v>0$、$a>0$，二者同向，速率增大。

方向与单位检查：$a>0$ 表示加速度向右；单位为 $m/{\mathrm{s}}^2$。速度由负变正说明运动方向发生反转。

**易错提醒：**不能仅凭 $a>0$ 判断物体“加速”；加速或减速要比较速度与加速度的方向。

自测 10

实验小组研究小车沿水平直轨的运动。研究“小车整体的位置随时间怎样变化”时，把小车视为质点，以轨道为参考系，规定向右为 $x$ 轴正方向。频率为 $50\mathrm{Hz}$ 的打点计时器在纸带上依次留下连续点 $A、B、C、D、E$，纸带始终向右运动；已知 $x_A=-0.10\mathrm{m}$、$AC=4.0\mathrm{cm}$、$CE=6.0\mathrm{cm}$。请完成以下综合辨析：小车能否视为质点？求 A 到 E 的位移和该段平均速度；估算 B、D 两点的瞬时速度及 B 到 D 的平均加速度；能否由这些结果断言 A 到 E 全过程中速率始终单调增大或小车做匀加速直线运动？

查看答案

**结论：**在本研究问题中可把小车视为质点。A 到 E 的位移为 $+0.10\mathrm{m}$，平均速度为 $+1.25m/s$；$v_B\approx +1.0m/s$，$v_D\approx +1.5m/s$，B 到 D 的平均加速度约为 $+12.5m/{\mathrm{s}}^2$。这些区间量和局部近似量不足以证明 A 到 E 全过程中速率始终单调增大，也不足以证明小车做匀加速直线运动。

**依据：**题目只研究小车整体的平动位置，小车各部分差异不影响所求量，因此可使用质点模型。轨道作为参考系，向右为正；纸带始终向右运动，故

$$\Delta x_{AE}=AC+CE=0.040+0.060=+0.100\mathrm{m}.$$

相邻点的时间间隔为 $T=1/f=0.020\mathrm{s}$，A 到 E 共四个间隔，因此

$${\bar{v}}_{AE}=\frac{\Delta x_{AE}}{4T}=\frac{0.100}{0.080}=+1.25m/s.$$

用目标点两侧的短区间平均速度近似瞬时速度：

$$v_B\approx \frac{AC}{2T}=\frac{0.040}{0.040}=+1.0m/s,v_D\approx \frac{CE}{2T}=\frac{0.060}{0.040}=+1.5m/s.$$

B 到 D 跨两个间隔，故该有限区间的平均加速度为

$${\bar{a}}_{BD}\approx \frac{v_D-v_B}{2T}=\frac{1.5-1.0}{0.040}=+12.5m/{\mathrm{s}}^2.$$

$v_D>v_B$ 只说明两个局部速度估计中后者较大，不能排除 B、D 之间或 A、E 其他时段发生波动；两个时刻的速度也不足以确定 $v-t$ 图线形状。要判断速率是否全过程单调或加速度是否恒定，需要更多连续或等时间速度数据，并检验速度序列的变化规律。

**方向与单位检查：**题目明确纸带向右运动且向右为正，因此位移、平均速度、B/D 点速度近似值及 B 到 D 的平均加速度均取正号；$x_A=-0.10\mathrm{m}$ 只表示 A 点位于原点左侧，不改变 A 到 E 位移由“末减初”或沿正向长度相加得到的结果。厘米必须换算为米，速度单位为 $m/s$，加速度单位为 $m/{\mathrm{s}}^2$。

**易错提醒：**五个连续点只有四个时间间隔；$AC$、$CE$ 和 $BD$ 各含两个间隔。不能由两个时刻的速度近似值断言中间全过程单调，更不能直接推出匀加速；有限区间的 $\Delta v/\Delta t$ 是平均加速度，不等同于区间内每一时刻的瞬时加速度。

十、知识点回查索引

做完自测后，先根据错题定位知识点，再沿下表回到对应小节的完整讲解、例题和练习。表内链接均指向本章现有笔记及其真实标题。

来源笔记	可回查的核心知识点	建议重点回看
1.1 质点 参考系	质点、理想化模型、参考系、运动相对性	质点模型的判断标准；不同参考系下的运动判断
1.2 时间 位移	时刻与时间间隔、位置与坐标系、路程与位移、矢量与标量、$x-t$ 图像、打点计时器	坐标法求位移；路程与位移的等量条件；纸带点数与时间间隔数
1.3 位置变化快慢的描述——速度	速度、平均速度、瞬时速度、速率、纸带测速、$v-t$ 图像、位移传感器	平均速度与平均速率辨析；纸带近似测瞬时速度；平均速度公式的使用边界
1.4 速度变化快慢的描述——加速度	速度变化量、加速度、加速度方向、加速与减速的方向判断、$v-t$ 图像斜率、变化率思想	三个物理量的辨析；加减速判断规则；图像斜率与纵坐标辨析