1.3 位置变化快慢的描述——速度

本节学习目标

学完本节，需要能做到：

• 理解速度是描述物体位置变化快慢和方向的物理量，知道高中物理中的速度与日常“快慢”说法不完全相同。
• 会用 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 计算一段时间内的平均速度，并能说明 $v$、$\Delta x$、$\Delta t$ 的含义和单位。
• 知道速度是矢量，速度方向与对应时间内位移 $\Delta x$ 的方向相同。
• 区分平均速度、瞬时速度和速率，理解“速率是瞬时速度的大小”。
• 理解用很短时间内的平均速度近似表示某一时刻瞬时速度的思想。
• 会根据纸带点迹测量平均速度，并会用待测点附近一小段平均速度近似瞬时速度。
• 初步读懂 $v-t$ 图像，能从图像判断速度大小、方向、是否从静止开始、是否反向以及速度变化趋势。
• 知道位移传感器和计算机测速的基本思想：短时间内测出位移，再用速度公式计算速度。

核心知识点讲解

一、知识对象与物理情境

上一节已经用位移描述“位置变化了多少、方向怎样”。但只知道位移还不够，因为同样的位移可能用时不同，同样的时间内位置变化的方向也可能不同。

例如：

• 甲同学 $10\mathrm{s}$ 跑了 $50\mathrm{m}$，乙同学 $5\mathrm{s}$ 跑了 $50\mathrm{m}$。两人的位置变化大小相同，但乙更快。
• 一辆车 $10\mathrm{s}$ 内向东位移 $100\mathrm{m}$，另一辆车 $10\mathrm{s}$ 内向西位移 $100\mathrm{m}$。两者快慢相同，但方向相反。

所以描述运动时，需要一个既能表示“位置变化快慢”，又能表示“位置变化方向”的物理量，这就是速度。

要描述的问题	只用位移能否回答	需要速度回答的内容
物体从哪里到哪里	能	速度方向与位移方向有关
位置变化得快不快	不能	用位移与时间的比值比较
某一瞬间运动快慢	不能	用瞬时速度描述
运动快慢随时间怎样变	不能	用 $v-t$ 图像描述

二、核心概念与物理意义

1. 速度

速度表示物体位置变化的快慢和方向。如果物体在时间间隔 $\Delta t$ 内发生的位移为 $\Delta x$，速度可以表示为：

$$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

这个定义式的核心意思是：单位时间内位置变化越大，速度大小通常越大；由于 $\Delta x$ 是矢量，所以速度也有方向。

2. 速度的单位

在国际单位制中，位移单位是米 $\mathrm{m}$，时间单位是秒 $\mathrm{s}$，所以速度单位是米每秒，符号为 $m/s$ 或 $\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$。

常用速度单位还有 $km/h$、$cm/s$ 等。常见换算关系为：

$$1m/s=3.6km/h$$ $$1km/h=\frac{1}{3.6}m/s$$

例如：

$$72km/h=\frac{72}{3.6}m/s=20m/s$$

3. 速度是矢量

速度既有大小，又有方向，是矢量。速度方向与时间 $\Delta t$ 内位移 $\Delta x$ 的方向相同。

在一维直线运动中，速度的正负表示方向：

速度符号	物理意义
$v>0$	沿坐标轴正方向运动
$v<0$	沿坐标轴负方向运动
$v=0$	对应时刻或对应时间内位置没有变化

例如规定向东为正方向，$v=5m/s$ 表示向东运动，速率为 $5m/s$；$v=-5m/s$ 表示向西运动，速率仍为 $5m/s$。负号只表示方向，不表示“速度大小为负”。

4. 平均速度

实际运动中，物体快慢常常变化。用一段时间内的总位移除以这段时间，得到的是这段时间内的平均速度：

$$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

平均速度描述一段时间内位置变化的平均快慢和方向。它不表示物体在每一时刻都真的以这个速度运动。

例如汽车从 $x_1=0$ 到 $x_2=100\mathrm{m}$，用时 $20\mathrm{s}$，则

$$\Delta x=100\mathrm{m}-0=100\mathrm{m}$$ $$\bar{v}=\frac{100\mathrm{m}}{20\mathrm{s}}=5m/s$$

这表示汽车这 $20\mathrm{s}$ 内平均每秒位置变化 $5\mathrm{m}$，不代表每一瞬间速度都等于 $5m/s$。

5. 瞬时速度

平均速度描述一段时间内的运动情况。如果要描述某一时刻或某一位置的运动快慢和方向，就要用瞬时速度。

理解瞬时速度可以分三步：

1. 在某一时刻 $t$ 附近取一小段时间 $\Delta t$。
2. 计算这段时间内的平均速度 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$。
3. $\Delta t$ 取得越短，这个平均速度越接近该时刻的瞬时速度。

高中阶段重在理解这种思想：用足够短时间内的平均速度近似表示某一时刻的速度。

6. 匀速直线运动中的平均速度和瞬时速度

匀速直线运动是瞬时速度保持不变的运动。它有两个“不变”：速度大小不变，速度方向也不变。

在匀速直线运动中，任意一段时间内的平均速度都等于任意时刻的瞬时速度。例如列车始终以 $10m/s$ 向东匀速运动，则前 $1\mathrm{s}$、前 $10\mathrm{s}$ 的平均速度都为 $10m/s$ 向东，任意时刻的瞬时速度也为 $10m/s$ 向东。

若物体做变速运动，平均速度通常不等于某一时刻的瞬时速度。

7. 速率

瞬时速度的大小叫作速率。速率只有大小，没有方向，是标量。

汽车速度计通常只显示“多快”，不显示“向哪个方向运动”，因此它显示的通常是速率。

比较项目	速度	速率
是否有方向	有方向	无方向
类型	矢量	标量
正负	可正可负	不能为负
物理意义	位置变化快慢和方向	运动快慢
常见表达	$v=-5m/s$ 表示沿负方向	速率为 $5m/s$

日常生活中说“速度 $60km/h$”，很多时候只强调快慢，物理分析中要根据语境判断是否需要方向。

三、关键规律、公式与适用条件

1. 平均速度公式

$$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

其中：

符号	含义	单位	注意点
$\bar{v}$	平均速度	$m/s$	矢量，方向与 $\Delta x$ 相同
$\Delta x$	位移	$\mathrm{m}$	用末位置减初位置
$\Delta t$	时间间隔	$\mathrm{s}$	总为正值

若题目给出初、末位置坐标，则先计算：

$$\Delta x=x_2-x_1$$

再代入：

$$\bar{v}=\frac{x_2-x_1}{\Delta t}$$

2. 单位换算规律

速度计算前必须统一单位。常用换算：

换算方向	方法	例子
$m/s$ 到 $km/h$	乘 $3.6$	$10m/s=36km/h$
$km/h$ 到 $m/s$	除以 $3.6$	$72km/h=20m/s$

3. 平均速度与平均速率

平均速度用位移除以时间，平均速率用路程除以时间：

$$\text{平均速度}=\frac{\text{位移}}{\text{时间}}$$ $$\text{平均速率}=\frac{\text{路程}}{\text{时间}}$$

若物体往返运动或曲线运动，平均速度和平均速率往往不同。物体回到出发点时，总位移为 $0$，平均速度为 $0$，但路程不一定为 $0$，平均速率也不一定为 $0$。

四、典型模型与过程分析

1. 坐标法求平均速度模型

直线运动中，若已知初末坐标，按以下步骤求平均速度：

1. 明确正方向和研究时间段。
2. 写出初位置 $x_1$、末位置 $x_2$。
3. 求位移 $\Delta x=x_2-x_1$。
4. 求平均速度 $\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$。
5. 用正负号说明方向，用绝对值说明速度大小。

2. 平均速度与平均速率辨析模型

遇到往返、绕圈、折线运动时，先判断题目问的是速度还是速率：

问法	使用量	方法
平均速度	位移	找初末位置，算 $\Delta x$
平均速率	路程	沿实际路径累加
速度方向	位移方向	结合正方向判断正负
快慢比较	速度大小或速率	看绝对值，不看正负大小

3. 瞬时速度近似模型

某一时刻没有时间长度，不能直接用一个点计算速度。实验中常用待测点附近的一小段平均速度近似该点瞬时速度。

如果要估算纸带上 $E$ 点的瞬时速度，可以取 $E$ 前后的 $D$、$F$ 两点：

$$v_E\approx \frac{x_{DF}}{t_{DF}}$$

选点时要兼顾两个要求：

• $D$、$F$ 离 $E$ 越近，平均速度越接近 $E$ 点的瞬时速度。
• $D$、$F$ 太近，位移太小，刻度尺读数误差会明显增大。

五、图像、实验与数据理解

1. 用纸带测平均速度

打点计时器让纸带留下等时间间隔的点迹，纸带同时记录了时间和位移信息。计算某两个计数点之间的平均速度，只需要测出两点间位移 $\Delta x$ 和对应时间 $\Delta t$。

常见实验步骤：

1. 在纸带上选取一个清晰点作为起始点 $0$。
2. 每隔一定数量的点取一个计数点，如每 $5$ 个打点间隔取一个计数点，标为 $1$、$2$、$3$……
3. 测量各计数点到起始点的距离 $x$，记录在表格中。
4. 计算相邻计数点间的位移 $\Delta x$。
5. 根据打点周期确定对应时间 $\Delta t$。
6. 用 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 计算平均速度。

若打点计时器频率为 $50\mathrm{Hz}$，相邻打点时间间隔为：

$$T=\frac{1}{50}\mathrm{s}=0.02\mathrm{s}$$

每隔 $5$ 个打点间隔取一个计数点时，相邻计数点时间间隔为 $0.10\mathrm{s}$。

2. 用纸带近似测瞬时速度

要测纸带上某个计数点附近的瞬时速度，可选取包含该点的一小段纸带，求这段的平均速度。

例如点 $E$ 在 $D$、$F$ 两点之间，则可用 $D$ 到 $F$ 的平均速度近似表示 $E$ 点的瞬时速度。若取更短的 $D$ 到 $F$，结果通常更接近瞬时速度；但距离过短又会增大测量误差。因此实际测量要根据仪器精度和点迹清晰度选择合适区间。

3. $v-t$ 图像

物体速度随时间变化的情况可以用 $v-t$ 图像表示。横轴为时间 $t$，纵轴为速度 $v$。

作图时，根据实验得到的 $v$、$t$ 数据在坐标系中描点。由于实验数据存在误差，通常根据点的整体走向画一条平滑曲线，使图像更接近实际运动规律。

读图时关注四点：

图像信息	物理意义
纵坐标数值	某时刻速度大小和方向
图线在 $t$ 轴上方	速度为正，沿正方向运动
图线在 $t$ 轴下方	速度为负，沿负方向运动
图线过 $t$ 轴	速度方向发生改变
图线水平	速度保持不变
图线向上或向下	速度数值增大或减小

注意：$v-t$ 图像不是物体的运动轨迹，它只表示速度随时间怎样变化。

4. 位移传感器测速

现代实验中可以借助位移传感器和计算机测速度。核心思想仍是速度定义：短时间内测出位移，再用位移除以时间。

一种装置由发射器 $A$ 和接收器 $B$ 组成。发射器随运动物体一起运动，向接收器发出红外线脉冲和超声波脉冲。接收器利用两种信号到达的时间差测出 $A$、$B$ 间距离。经过短时间 $\Delta t$ 后再次测量位置，得到 $\Delta x$，计算机用

$$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

算出速度。若 $\Delta t$ 很短，如 $0.02\mathrm{s}$，这个平均速度就可以近似表示该时刻的瞬时速度。

另一类装置可由固定的小盒向运动物体发出超声波，超声波被物体反射后返回。根据发射和接收的时间差可测出距离变化，再计算速度。

六、题型应用与迁移

本节题型主要包括：

1. 定义计算题：由位移、时间或初末坐标求平均速度。
2. 概念辨析题：区分速度、速率、平均速度、瞬时速度、平均速率。
3. 方向判断题：由正负号判断运动方向，由绝对值比较快慢。
4. 纸带实验题：根据点迹间隔、时间间隔和位移求平均速度或近似瞬时速度。
5. $v-t$ 图像题：判断是否从静止开始、是否反向、速度大小是否变化。
6. 传感器测速题：理解“短时间平均速度近似瞬时速度”的实验思想。

重点梳理

重点一：速度定义式的物理意义

速度不是简单的“路程除以时间”，而是位移与时间的比值。它描述位置变化的快慢和方向，所以公式中必须用位移 $\Delta x$。

使用 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 时，要先明确研究的是哪一段时间、该段的初末位置在哪里、位移方向如何。只有这样，速度的大小和方向才有明确意义。

重点二：平均速度描述一段过程，不等于每一时刻速度

平均速度是对一段运动过程的整体描述。物体在这段时间内可能先快后慢，也可能先慢后快，平均速度只反映总位移与总时间的比值。

因此，不能把“平均速度为 $5m/s$”理解为物体每一秒都走 $5\mathrm{m}$。只有在匀速直线运动中，平均速度才等于任意时刻的瞬时速度。

重点三：瞬时速度体现“由平均到瞬时”的思想

瞬时速度不能通过一个孤立点直接计算，因为一个点没有时间间隔和位移。物理实验中常取某时刻附近很短一段时间，用这段平均速度近似该时刻的瞬时速度。

纸带测速和位移传感器测速都体现了这个思想。差别只是测量工具不同，核心公式仍是 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$。

重点四：速度、速率、平均速度、平均速率要分清

名称	定义或含义	是否有方向	常见计算
速度	位置变化快慢和方向	有	$v=\Delta x/\Delta t$
平均速度	一段时间内的速度	有	总位移/总时间
瞬时速度	某一时刻的速度	有	短时间平均速度近似
速率	瞬时速度大小	无	$
平均速率	一段时间内运动快慢	无	总路程/总时间

重点五：纸带实验要先确定时间间隔

纸带题中，点距表示位移，点与点之间的间隔对应时间。不能把“点数”直接当作“时间间隔数”。若相邻打点时间为 $0.02\mathrm{s}$，两个计数点之间有 $5$ 个打点间隔，则时间为 $0.10\mathrm{s}$。

点迹越来越疏表示相同时间内位移越来越大，速度增大；点迹越来越密表示相同时间内位移越来越小，速度减小。

重点六：$v-t$ 图像看纵坐标，不看成运动路线

$v-t$ 图像横轴是时间，纵轴是速度。判断方向看速度正负，判断快慢看速度大小，判断是否变速看速度是否随时间变化。

图线向下不一定表示反向运动。只有图线穿过 $t$ 轴进入负速度区域，速度方向才发生改变。

难点突破

难点一：为什么速度用位移除以时间，而不是路程除以时间

速度要描述位置变化的快慢和方向，所以必须用位移。路程只有大小没有方向，用路程除以时间只能得到平均速率。

例如某人从家出发到学校后又返回家，整个过程路程不为 $0$，但总位移为 $0$。若研究“位置整体改变了多少”，平均速度为 $0$；若研究“实际走得快不快”，才用路程除以时间求平均速率。

难点二：平均速度不是速度的简单平均值

平均速度的定义始终是总位移除以总时间：

$$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

不能随意把几个速度相加再除以个数。只有在某些特殊条件下，例如各段时间相等且方向关系明确时，算术平均才可能与定义结果一致。

特别要注意“前一半时间”和“前一半位移”的区别。前一半时间和后一半时间相等时，可以按时间平均；前一半位移和后一半位移相等时，必须分别求时间后再用总位移除以总时间。

难点三：瞬时速度的“极短时间”不是没有时间

瞬时速度描述某一时刻的状态，但实验测量必须借助一小段时间。$\Delta t$ 越小，平均速度越接近瞬时速度；但 $\Delta t$ 太小，位移也很小，测量误差会增大。

所以实验中并不是越短越好，而是要选取“足够接近待测点、又便于准确测量”的区间。

难点四：速度为负不表示变慢

速度的正负表示方向，快慢看速度大小。例如 $v=-6m/s$ 的速率是 $6m/s$，比 $v=2m/s$ 的速率更大。

比较快慢时要看 $|v|$；判断方向时才看正负号。

难点五：$v-t$ 图像向下不一定反向

图线向下说明速度数值在减小，但是否反向要看速度是否变为负值：

• 图线仍在 $t$ 轴上方：速度仍为正，物体仍沿正方向运动，只是速度变小。
• 图线到达 $t$ 轴：速度为 $0$，物体瞬时停下。
• 图线进入 $t$ 轴下方：速度为负，物体沿负方向运动。

难点六：纸带哪端连接重物或运动物体

当纸带被重物拉着加速下落时，越靠后的点通常间距越大，因为相同时间内位移越来越大。若纸带上点距沿某一方向逐渐增大，说明纸带运动方向大致指向点距增大的方向；与重物相连的一端通常是运动方向的前端。

判断时不要只看点的个数，而要看点距变化：点距越大，表示对应时刻速度越大。

例题讲解

例题 1：由初末坐标计算平均速度

题目：一辆小车沿直线运动，规定向右为正方向。小车从 $x_1=2\mathrm{m}$ 运动到 $x_2=14\mathrm{m}$，用时 $3\mathrm{s}$。求这段时间内小车的平均速度。

读题：已知初末坐标和时间，要求一段时间内的平均速度。

选对象：研究对象是小车。

判过程：小车沿直线从 $x_1$ 到 $x_2$，正方向向右。

建模型：用坐标法求位移，再用平均速度公式。

列方程：

$$\Delta x=x_2-x_1=14\mathrm{m}-2\mathrm{m}=12\mathrm{m}$$ $$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{12\mathrm{m}}{3\mathrm{s}}=4m/s$$

检查单位和方向：结果为正，方向沿正方向，即向右。

答案：小车的平均速度为 $4m/s$，方向向右。

反思：给出坐标时必须先求位移，不能直接把坐标值拿来相除。

例题 2：速度正负与方向

题目：某物体沿一条直线运动，规定向东为正方向。它在 $4\mathrm{s}$ 内从 $x_1=10\mathrm{m}$ 运动到 $x_2=-6\mathrm{m}$。求平均速度，并说明方向。

读题：已知正方向、初末坐标和时间。

选对象：研究对象是物体。

判过程：末位置在原点西侧，位移可能为负。

建模型：平均速度公式 $\bar{v}=\frac{x_2-x_1}{\Delta t}$。

列方程：

$$\Delta x=x_2-x_1=-6\mathrm{m}-10\mathrm{m}=-16\mathrm{m}$$ $$\bar{v}=\frac{-16\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=-4m/s$$

检查单位和方向：负号表示方向与向东的正方向相反，即向西。

答案：平均速度为 $-4m/s$，速度大小为 $4m/s$，方向向西。

反思：速度为负不是大小为负，而是方向与规定正方向相反。

例题 3：平均速度和平均速率

题目：一名同学沿直线从家出发向东走 $80\mathrm{m}$ 到文具店，又向西走 $30\mathrm{m}$ 到公交站，全程用时 $50\mathrm{s}$。规定向东为正方向。求全程的平均速度和平均速率。

读题：有往返，必须区分位移和路程。

选对象：研究对象是该同学。

判过程：先向东，后向西，末位置在家以东 $50\mathrm{m}$。

建模型：平均速度用总位移除以总时间，平均速率用总路程除以总时间。

列方程：

$$\Delta x=80\mathrm{m}-30\mathrm{m}=50\mathrm{m}$$ $$\bar{v}=\frac{50\mathrm{m}}{50\mathrm{s}}=1m/s$$

总路程为：

$$s=80\mathrm{m}+30\mathrm{m}=110\mathrm{m}$$

平均速率为：

$${\bar{v}}_{\text{率}}=\frac{110\mathrm{m}}{50\mathrm{s}}=2.2m/s$$

答案：全程平均速度为 $1m/s$，方向向东；平均速率为 $2.2m/s$。

反思：往返运动中，平均速度和平均速率常常不同。

例题 4：纸带求某点瞬时速度

题目：打点计时器频率为 $50\mathrm{Hz}$。某纸带上 $A$、$B$、$C$ 三个计数点相邻，每两个相邻计数点之间相隔 $5$ 个打点间隔。测得 $A$ 到 $C$ 的距离为 $0.048\mathrm{m}$。若用 $A$ 到 $C$ 这段的平均速度近似表示 $B$ 点的瞬时速度，求 $B$ 点的瞬时速度。

读题：要求用包含 $B$ 点附近一段的平均速度近似 $B$ 点瞬时速度。

选对象：研究对象是纸带上与运动物体相连的部分。

判过程：$A$ 到 $C$ 包含两个计数点间隔，每个计数点间隔为 $5$ 个打点间隔。

建模型：$v_B\approx \frac{x_{AC}}{t_{AC}}$。

列方程：相邻打点时间为：

$$T=\frac{1}{50}\mathrm{s}=0.02\mathrm{s}$$

$A$ 到 $B$ 时间为：

$$t_{AB}=5\times 0.02\mathrm{s}=0.10\mathrm{s}$$

$A$ 到 $C$ 时间为：

$$t_{AC}=0.20\mathrm{s}$$

所以：

$$v_B\approx \frac{0.048\mathrm{m}}{0.20\mathrm{s}}=0.24m/s$$

答案：$B$ 点的瞬时速度约为 $0.24m/s$。

反思：求某点瞬时速度时，常取该点前后一小段的平均速度来近似。

例题 5：读 $v-t$ 图像

题目：某物体沿直线运动，其 $v-t$ 图像可用文字描述：$0$ 到 $2\mathrm{s}$ 内速度从 $0$ 增大到 $4m/s$，$2\mathrm{s}$ 到 $5\mathrm{s}$ 内速度保持 $4m/s$，$5\mathrm{s}$ 到 $7\mathrm{s}$ 内速度从 $4m/s$ 减小到 $0$。判断物体是否改变运动方向，哪一段速度大小不变。

读题：速度始终不小于 $0$，需要判断是否反向和哪段速度不变。

选对象：研究对象是沿直线运动的物体。

判过程：三段速度分别为增大、不变、减小。

建模型：$v-t$ 图像中速度正负决定方向，速度是否改变看纵坐标是否变化。

分析：速度始终为正或为 $0$，没有变成负值，所以没有反向；$2\mathrm{s}$ 到 $5\mathrm{s}$ 速度保持 $4m/s$，速度大小不变。

答案：物体没有改变运动方向；$2\mathrm{s}$ 到 $5\mathrm{s}$ 内速度大小不变。

反思：速度减小不等于反向，速度过零并变为负值才表示反向运动。

易错点整理

易错点 1：把速度当成只表示快慢的标量

常见错误表现：只写速度大小，不说明方向；认为速度和速率完全一样。

错因分析：沿用了日常语言中“速度就是快慢”的说法，忽略高中物理中速度由位移定义。

正确处理：速度是矢量，既有大小又有方向；方向与位移方向相同。

易错点 2：把平均速度和平均速率混淆

常见错误表现：用总路程除以总时间求平均速度。

错因分析：没有区分位移和路程。

正确处理：平均速度用总位移除以总时间；平均速率用总路程除以总时间。遇到往返运动尤其要先画出初末位置。

易错点 3：认为平均速度一定等于初末速度的平均

常见错误表现：直接写 $\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}$。

错因分析：把后续特殊运动中的公式提前乱用。

正确处理：本节阶段优先回到定义 $\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$。没有明确适用条件时，不要随便平均初末速度。

易错点 4：认为速度为负表示物体变慢

常见错误表现：认为 $v=-3m/s$ 比 $v=2m/s$ 慢，因为 $-3<2$。

错因分析：把速度的代数值当成快慢大小。

正确处理：正负号表示方向，快慢看绝对值。$|-3m/s|=3m/s$，大于 $|2m/s|=2m/s$。

易错点 5：纸带瞬时速度取点不合理

常见错误表现：只取待测点和旁边一个点，或取离待测点很远的两点。

错因分析：没有理解“附近一小段平均速度近似瞬时速度”。

正确处理：通常取待测点前后较近的两个点；同时注意位移不能太小，否则读数误差会变大。

易错点 6：把 $v-t$ 图像当作运动轨迹

常见错误表现：看到 $v-t$ 图像向上弯，就认为物体真实路线也向上弯。

错因分析：没有看清坐标轴含义。

正确处理：$v-t$ 图像横轴是时间，纵轴是速度，只表示速度随时间变化，不表示空间路线。

易错点 7：单位没有统一就代入公式

常见错误表现：把 $72km/h$ 与秒、米直接混合计算。

错因分析：忽略国际单位制的一致性。

正确处理：计算前统一单位，位移用 $\mathrm{m}$，时间用 $\mathrm{s}$，速度用 $m/s$。

易错点 8：画 $v-t$ 图像时机械连折线或忽略误差

常见错误表现：实验数据点略有波动时，将所有点机械连成锯齿线。

错因分析：不理解实验测量存在误差，图像要反映整体规律。

正确处理：先观察数据点整体走向，再画平滑曲线或合适直线，使图像表达速度变化趋势。

考点考证点整理

考点一：速度定义式的理解与计算

• 出题思路：给出位移和时间、初末坐标和时间，要求求平均速度，或由平均速度反求位移、时间。
• 关键条件：研究时间段、初位置、末位置、正方向、单位是否统一。
• 解答要点：先求 $\Delta x=x_2-x_1$，再用 $\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$；结果要带单位和方向。
• 易扣分点：把路程当位移；初末坐标顺序写反；只写速度大小不写方向。
• 典型题型：坐标计算题、单位换算题、平均速度基础计算题。

考点二：速度方向与正负号

• 出题思路：给出正方向和速度值，要求判断运动方向；给出两个速度比较快慢；根据坐标变化判断速度正负。
• 关键条件：题目规定的正方向、速度符号、速度绝对值。
• 解答要点：正负号表示方向；速度大小为 $|v|$；方向必须结合正方向说明。
• 易扣分点：认为负速度一定更慢；只比较代数大小不比较绝对值；忘记说明“沿正方向”或“沿负方向”。
• 典型题型：判断题、选择题、方向说明题。

考点三：平均速度、瞬时速度、速率辨析

• 出题思路：给出汽车速度计、运动员冲线、某段运动平均情况等情境，要求判断对应概念。
• 关键条件：题目说的是“一段时间”还是“某一时刻”；是否包含方向；是否只显示大小。
• 解答要点：平均速度对应一段时间，瞬时速度对应某一时刻，速率是瞬时速度大小。
• 易扣分点：把速度计示数当成完整速度；把平均速度理解为每一时刻的速度；把速率写成负值。
• 典型题型：概念辨析题、生活情境题、填空题。

考点四：平均速度与平均速率

• 出题思路：常设置往返运动、绕操场运动、分段运动，要求同时求平均速度和平均速率。
• 关键条件：总位移、总路程、总时间、是否回到出发点。
• 解答要点：平均速度等于总位移除以总时间，平均速率等于总路程除以总时间；往返时要分别计算位移和路程。
• 易扣分点：用总路程求平均速度；回到出发点仍写平均速度不为 $0$；不写方向。
• 典型题型：往返运动计算题、跑道题、分段运动题。

考点五：纸带测平均速度和瞬时速度

• 出题思路：给出打点频率、计数点间隔、点间距离，要求求平均速度或近似瞬时速度；也可能要求说明误差来源。
• 关键条件：打点频率 $f$、打点周期 $T=1/f$、计数点之间包含几个时间间隔、测得位移。
• 解答要点：先由频率求时间间隔，再由点数确定 $\Delta t$，最后用 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$；求某点瞬时速度时取该点附近一小段平均速度。
• 易扣分点：把点数当间隔数；取点离待测点太远；忽略刻度尺读数误差、纸带摩擦、点迹不清等因素。
• 典型题型：实验计算题、纸带判断题、误差分析题。

考点六：$v-t$ 图像初步判断

• 出题思路：给出一条或多条 $v-t$ 图像，要求判断是否从静止开始、速度大小怎样变化、是否反向运动、运动方向是否改变。
• 关键条件：初始纵坐标、图线是否水平、图线在 $t$ 轴上方还是下方、是否穿过 $t$ 轴。
• 解答要点：纵坐标表示速度；起点纵坐标为 $0$ 表示从静止开始；图线水平表示速度不变；过 $t$ 轴表示方向改变。
• 易扣分点：把图线向下误认为一定反向；把 $v-t$ 图像当作运动路线；忽略速度的正负。
• 典型题型：图像选择题、图像描述题、图像与文字互译题。

考点七：传感器测速思想

• 出题思路：给出传感器两次测量位置和短时间间隔，要求说明如何求速度或为什么可近似瞬时速度。
• 关键条件：两次位置 $x_1$、$x_2$，短时间 $\Delta t$，测量时间足够短。
• 解答要点：先求 $\Delta x=x_2-x_1$，再用 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$；当 $\Delta t$ 很短时，平均速度可近似表示瞬时速度。
• 易扣分点：只说“机器直接测速度”而不说明物理原理；忽略平均速度与瞬时速度的近似关系。
• 典型题型：实验原理题、信息技术情境题、简答题。

练习题

基础训练

1. 某物体在 $4\mathrm{s}$ 内沿直线位移为 $20\mathrm{m}$，求这段时间内的平均速度。

2. 某汽车速度计显示 $72km/h$，换算成国际单位制是多少？

3. 判断下列说法是否正确，并说明理由：速度为负，说明物体运动得很慢。

4. 某物体沿直线运动，规定向右为正方向，速度为 $-6m/s$。请说明它的运动方向和速率。

5. 平均速度、瞬时速度和速率分别表示什么？

巩固训练

6. 某物体沿 $x$ 轴运动，从 $x_1=-3\mathrm{m}$ 运动到 $x_2=9\mathrm{m}$，用时 $6\mathrm{s}$。求平均速度。

7. 某人沿直线向东走 $100\mathrm{m}$，又向西走 $40\mathrm{m}$，全程用时 $30\mathrm{s}$。规定向东为正方向，求全程平均速度和平均速率。

8. 打点计时器频率为 $50\mathrm{Hz}$，某纸带上相邻两个计数点之间相隔 $5$ 个打点间隔，测得这两个计数点之间的距离为 $0.060\mathrm{m}$。求这段时间内纸带的平均速度。

9. 要测量纸带上某点的瞬时速度，为什么通常选取该点前后相邻的一小段，而不是选很长一段？为什么也不能把两点取得过近？

10. 某物体的 $v-t$ 图像始终在 $t$ 轴上方，但图线逐渐下降。物体的运动方向是否改变？速度大小如何变化？

11. 把纸带的下端固定在重物上，纸带穿过打点计时器，上端用手提着。接通电源后释放纸带，重物拉着纸带下落，纸带点迹沿某一方向逐渐变疏。怎样判断纸带哪端与重物相连？怎样估算纸带上某点的瞬时速度？

12. 甲、乙两物体沿同一直线运动。甲的 $v-t$ 图像从 $t=0$ 开始位于 $v=2m/s$，随后逐渐上升；乙的 $v-t$ 图像从原点开始，随后也逐渐上升。请从“是否从静止开始、速度大小是否变化、运动方向是否变化”三个方面描述两物体运动。

提升训练

13. 一辆汽车从制动开始到停止共用 $5\mathrm{s}$，每 $1\mathrm{s}$ 前进的距离分别为 $9\mathrm{m}$、$7\mathrm{m}$、$5\mathrm{m}$、$3\mathrm{m}$、$1\mathrm{m}$。求汽车前 $1\mathrm{s}$、前 $2\mathrm{s}$、前 $3\mathrm{s}$、前 $4\mathrm{s}$ 和全程的平均速度。哪一个最接近汽车刚制动时的瞬时速度？它比刚制动时的瞬时速度略大还是略小？再求最后 $2\mathrm{s}$ 的平均速度。

14. 某纸带上有连续计数点 $A$、$B$、$C$、$D$，相邻计数点时间间隔均为 $0.10\mathrm{s}$。测得 $A$ 到 $C$ 的距离为 $0.050\mathrm{m}$，$B$ 到 $D$ 的距离为 $0.070\mathrm{m}$。若分别用 $A-C$ 段平均速度近似表示 $B$ 点瞬时速度，用 $B-D$ 段平均速度近似表示 $C$ 点瞬时速度，求 $B$、$C$ 两点的瞬时速度，并判断纸带速度如何变化。

15. 某物体沿直线运动，规定向东为正方向。前 $4\mathrm{s}$ 向东运动 $20\mathrm{m}$，后 $6\mathrm{s}$ 向西运动 $12\mathrm{m}$。求全程平均速度和平均速率。

16. 某物体的速度先由 $0$ 增大到 $6m/s$，后又减小到 $0$，整个过程速度始终为正。请说明它是否发生反向运动，并解释原因。

17. 位移传感器每隔 $0.02\mathrm{s}$ 测一次某小车的位置。某次测得小车位置由 $x_1=0.136\mathrm{m}$ 变为 $x_2=0.142\mathrm{m}$。求这 $0.02\mathrm{s}$ 内小车的平均速度，并说明为什么这个结果可以近似看作该时刻的瞬时速度。

练习题答案

基础训练答案

1. 平均速度为：

$$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{20\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=5m/s$$

答案：平均速度为 $5m/s$。若题目规定了位移方向，还应说明方向。

2. 单位换算：

$$72km/h=\frac{72}{3.6}m/s=20m/s$$

答案：$72km/h=20m/s$。

3. 说法错误。速度为负只表示速度方向与规定正方向相反，不表示运动得慢。判断快慢要看速度大小，即看 $|v|$。

4. $v=-6m/s$ 表示物体沿规定正方向的反方向运动。速率为：

$$|v|=6m/s$$

若规定向右为正方向，则物体向左运动，速率为 $6m/s$。

5. 平均速度描述一段时间内的平均位置变化快慢和方向，计算式为 $\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$。瞬时速度描述某一时刻或某一位置的运动快慢和方向。速率是瞬时速度的大小，只有大小没有方向。

巩固训练答案

6. 先求位移：

$$\Delta x=x_2-x_1=9\mathrm{m}-(-3\mathrm{m})=12\mathrm{m}$$

再求平均速度：

$$\bar{v}=\frac{12\mathrm{m}}{6\mathrm{s}}=2m/s$$

答案：平均速度为 $2m/s$，方向沿 $x$ 轴正方向。

7. 总位移为：

$$\Delta x=100\mathrm{m}-40\mathrm{m}=60\mathrm{m}$$

平均速度为：

$$\bar{v}=\frac{60\mathrm{m}}{30\mathrm{s}}=2m/s$$

方向向东。

总路程为：

$$s=100\mathrm{m}+40\mathrm{m}=140\mathrm{m}$$

平均速率为：

$${\bar{v}}_{\text{率}}=\frac{140\mathrm{m}}{30\mathrm{s}}\approx 4.67m/s$$

答案：平均速度为 $2m/s$，方向向东；平均速率约为 $4.67m/s$。

8. 打点频率为 $50\mathrm{Hz}$，相邻打点时间间隔为：

$$T=\frac{1}{50}\mathrm{s}=0.02\mathrm{s}$$

两个计数点之间相隔 $5$ 个打点间隔，所以：

$$\Delta t=5\times 0.02\mathrm{s}=0.10\mathrm{s}$$

平均速度为：

$$\bar{v}=\frac{0.060\mathrm{m}}{0.10\mathrm{s}}=0.60m/s$$

答案：平均速度为 $0.60m/s$。

9. 瞬时速度表示某一点或某一时刻的速度。选取该点附近一小段，平均速度更接近该点瞬时速度；如果选很长一段，只能反映较长时间内的平均情况。两点也不能取得过近，因为位移太小会使刻度尺读数误差在结果中占比变大。

10. 运动方向没有改变，因为图像始终在 $t$ 轴上方，速度一直为正。图线逐渐下降，说明速度数值变小，速度大小逐渐减小。

11. 释放后重物拉纸带下落，速度通常越来越大，因此纸带点迹沿运动方向会越来越疏。点距逐渐变疏的一端通常更靠近运动后期，也就是与重物相连并被拉动前进的一端。估算某点瞬时速度时，取该点前后较近的两点，测出两点间位移和对应时间，用这段平均速度近似该点瞬时速度。

12. 甲的初始速度为 $2m/s$，不是从静止开始；图像逐渐上升，说明速度大小增大；若图像始终在 $t$ 轴上方，则方向不变，沿正方向运动。乙的图像从原点开始，表示从静止开始；随后图像上升，速度大小增大；若图像始终在 $t$ 轴上方，也没有改变方向。

提升训练答案

13. 前 $1\mathrm{s}$ 平均速度：

$${\bar{v}}_1=\frac{9\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=9m/s$$

前 $2\mathrm{s}$ 平均速度：

$${\bar{v}}_2=\frac{9\mathrm{m}+7\mathrm{m}}{2\mathrm{s}}=8m/s$$

前 $3\mathrm{s}$ 平均速度：

$${\bar{v}}_3=\frac{9\mathrm{m}+7\mathrm{m}+5\mathrm{m}}{3\mathrm{s}}=7m/s$$

前 $4\mathrm{s}$ 平均速度：

$${\bar{v}}_4=\frac{9\mathrm{m}+7\mathrm{m}+5\mathrm{m}+3\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=6m/s$$

全程平均速度：

$${\bar{v}}_5=\frac{9\mathrm{m}+7\mathrm{m}+5\mathrm{m}+3\mathrm{m}+1\mathrm{m}}{5\mathrm{s}}=5m/s$$

在这些平均速度中，前 $1\mathrm{s}$ 的平均速度最接近汽车刚制动时的瞬时速度，因为它对应的时间范围最靠近制动开始时刻。它比刚制动时的瞬时速度略小，因为汽车制动后速度逐渐减小，前 $1\mathrm{s}$ 的平均值已经包含减速后的较小速度。

最后 $2\mathrm{s}$ 的路程为 $3\mathrm{m}+1\mathrm{m}=4\mathrm{m}$，时间为 $2\mathrm{s}$，平均速度大小为：

$$\bar{v}=\frac{4\mathrm{m}}{2\mathrm{s}}=2m/s$$

若汽车一直沿原方向运动，则最后 $2\mathrm{s}$ 的平均速度方向与原运动方向相同。

14. $A-C$ 段包含两个相邻计数点间隔：

$$\Delta t_{AC}=0.20\mathrm{s}$$

所以 $B$ 点瞬时速度近似为：

$$v_B\approx \frac{0.050\mathrm{m}}{0.20\mathrm{s}}=0.25m/s$$

$B-D$ 段也包含两个相邻计数点间隔：

$$\Delta t_{BD}=0.20\mathrm{s}$$

所以 $C$ 点瞬时速度近似为：

$$v_C\approx \frac{0.070\mathrm{m}}{0.20\mathrm{s}}=0.35m/s$$

答案：$B$ 点瞬时速度约为 $0.25m/s$，$C$ 点瞬时速度约为 $0.35m/s$。因为 $C$ 点速度更大，所以纸带速度在增大。

15. 总位移为：

$$\Delta x=20\mathrm{m}-12\mathrm{m}=8\mathrm{m}$$

总时间为：

$$t=4\mathrm{s}+6\mathrm{s}=10\mathrm{s}$$

平均速度为：

$$\bar{v}=\frac{8\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}=0.8m/s$$

方向向东。

总路程为：

$$s=20\mathrm{m}+12\mathrm{m}=32\mathrm{m}$$

平均速率为：

$${\bar{v}}_{\text{率}}=\frac{32\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}=3.2m/s$$

答案：全程平均速度为 $0.8m/s$，方向向东；平均速率为 $3.2m/s$。

16. 没有发生反向运动。原因是速度虽然先增大后减小，但始终为正，说明物体一直沿规定正方向运动。只有速度变为负值，才表示物体沿反方向运动。速度减小到 $0$ 只表示物体停下，不等于已经反向。

17. 位移为：

$$\Delta x=x_2-x_1=0.142\mathrm{m}-0.136\mathrm{m}=0.006\mathrm{m}$$

平均速度为：

$$\bar{v}=\frac{0.006\mathrm{m}}{0.02\mathrm{s}}=0.30m/s$$

因为 $0.02\mathrm{s}$ 很短，这段时间内速度变化通常较小，所以这段平均速度可以近似表示该时刻的瞬时速度。答案：平均速度为 $0.30m/s$，可近似看作该时刻的瞬时速度。