q020

第20题｜三类参数任务：定系数、区间最小值、恒成立

用户确认收录整题；未提供学生具体作答。状态：待订正。
来源：逐题解题思路（源文第 397 行）。原练习。

原题

已知二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ 满足 $f(0)=1$，$f(x+1)-f(x)=2x$．

（1）求 $f(x)$ 的解析式；

（2）若函数 $g(x)=f(x)-kx$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最小值为 $-3$，求实数 $k$ 的值；

（3）若对任意 $x\in [1,4]$，有不等式 $f(x)\ge (m+1)x^2-(2+m)x-1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

读懂题意

第（1）问用函数恒等式确定三个系数；第（2）问给定区间最小值反求 $k$，最小点可能在端点；第（3）问要求区间内每个 $x$ 都满足不等式，求共同允许的 $m$。三问条件逐层使用。

本题知识点与题型

• 多项式对所有 $x$ 恒等，才可比较同次项系数。
• 向上抛物线在区间上的最小点是区间内离对称轴最近的点。轴在区间外时应取靠近它的端点。
• 对所有 $x$ 要求 $m\le H(x)$，就必须让 $m$ 不超过 $H$ 的最小值。
• 除以含变量的式子前须判断符号并单独处理零点；得到的参数候选还须符合所属分类区间。

分析与解题思路

第一问展开差分，$x^2$ 项会抵消，留下容易比系数的一次恒等式。第二问将 $g$ 配方，用轴的位置分三段，不能一开始就把顶点值当作区间最小值。第三问先移项，把参数集中在一侧；在 $x=1$ 特判后除以正量，再找最严格的限制。

分步解答与结果检查

（1）定解析式。 由 $f(0)=1$ 得 $c=1$。展开

$f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x,$

比较系数得 $a=1$、$a+b=0$，所以 $b=-1$，即 $\boxed{f(x)=x^2-x+1}$。代回差分为 $2x$，且 $f(0)=1$，满足全部条件。

（2）区间最小值。

$g(x)=x^2-(k+1)x+1={\left(x-\frac{k+1}{2}\right)}^2+1-\frac{(k+1{)}^2}{4}.$

对称轴 $h=(k+1)/2$。按其在 $[-1,2]$ 中的位置分类：

参数范围	合法最小点与最小值	令最小值为 $-3$ 并回验
$k<-3$	$x=-1$，值为 $k+3$	$k=-6$，符合本类
$-3\le k\le 3$	$x=h$，值为 $1-(k+1{)}^2/4$	得 $k=3$ 或 $-5$，仅 $3$ 符合本类
$k>3$	$x=2$，值为 $3-2k$	得 $k=3$，不符合本类，舍去

故 $\boxed{k=-6\text{ 或 }3}$。直接核验：$k=-6$ 时轴为 $-5/2$，区间最小值为 $g(-1)=-3$；$k=3$ 时轴为 $2$，最小值为 $g(2)=-3$。

（3）恒成立。 将第（1）问所得 $f$ 代入，整理得

$-m{x}^2+(m+1)x+2\ge 0(1\le x\le 4).$

当 $x=1$ 时左侧为 $3$，不限制 $m$。当 $1<x\le 4$ 时 $x(x-1)>0$，可等价整理为

$m\le H(x)=\frac{x+2}{x(x-1)}.$

用作差确定下界，无需导数：

$H(x)-\frac{1}{2}=\frac{2(x+2)-x(x-1)}{2x(x-1)}=\frac{(4-x)(x+1)}{2x(x-1)}\ge 0.$

在 $x=4$ 取等，故 $H$ 的最小值为 $1/2$。必要性：代 $x=4$ 得 $m\le 1/2$。充分性：若 $m\le 1/2$，则对 $1<x\le 4$ 均有 $m\le 1/2\le H(x)$，再结合 $x=1$ 的检验，原不等式全区间成立。

$\boxed{m\in (-\infty ,1/2]}.$

答案依据：独立推导，与本地附录一致。三个候选计算和参数边界均已回验。

可复用的答题方法

恒等式先展开比系数；区间二次最值先定位轴再列值；恒成立先判可除因子的符号与零点，再将参数范围转为所有输入限制的交集。用某一点得到范围只是必要条件，还要证明对整个区间充分。

我的作答与错因

学生作答：未提供；个人错因待确认。用户确认了本题号，但尚无具体错误步骤可供判断。

常见易错点：顶点在区间外仍套顶点值；解出 $k$ 后不回验所属类；直接除以 $x-1$ 漏掉 $x=1$；把“任意”误成“存在”，错取 $H$ 的最大值。防错动作：每一行分类都保留参数范围，并在候选后写“有效/舍去＋原因”；最后把必要性和充分性分别检查。

后续巩固计划

按“恒等式展开→配方定位轴→恒成立取交集”的先修顺序练习，不按未经证实的个人错因排序。验收标准：换区间后能重新列轴的位置分类；能解释为什么参数必须服从最小上界，且不遗漏可除因子的零点。建议次日做两题，约一周后分小问遮住解析复测原题，提交完整分类与充分性说明。

分层巩固练习

基础巩固｜由差分确定函数

原创巩固题。目标：正确使用恒等式比较系数。二次函数 $F(x)=a{x}^2+bx+c$ 满足 $F(0)=2$、$F(x+1)-F(x)=4x+1$，求 $F$。

展开答案与解析

$c=2$，差分为 $2ax+a+b$。比较得到 $2a=4$、$a+b=1$，故 $a=2,b=-1$，$F(x)=2x^2-x+2$。代回两条件成立。

同型变式｜区间最值与恒成立

原创巩固题。目标：轴位置分类并区分存在与任意。设 $G_k(x)=x^2-kx+1$。① 若在 $[0,2]$ 上的最小值为 $0$，求 $k$；② 若 $G_k(x)\ge 0$ 对所有 $x\in [0,2]$ 成立，求 $k$。

展开答案与解析

轴为 $k/2$。$k<0$ 时最小值 $1$；$0\le k\le 4$ 时最小值 $1-k^2/4$；$k>4$ 时最小值 $5-2k$。① 中段给 $k=2$（负根不在中段），右段给 $k=5/2$ 不在该类，舍去，因此仅 $k=2$。② 左段全满足，中段要求 $k\le 2$，右段无满足者，合并为 $k\le 2$。可代 $x=1$ 得必要条件 $k\le 2$，并以分类证明充分。

迁移验收：完成练习后口述条件变化时需重做的检查，不能只复述原题数字。

订正与复测记录

尚未提供订正或复测结果。学生实际作答日期、订正日期均未提供；档案生成日期不作学习日期。后续追加时记录：日期、题目来源、是否看提示、作答证据或用户反馈、结果及下一步。生成解析不代表已订正或复测通过。