判断子集关系与计数

专题定位

解决元素与集合、子集与真子集、空集和有限集合计数问题。核心动作是按定义逐一核对元素，而不是仅凭图形大小或符号外观判断。

1 分钟自测

若 $A=\varnothing$，$B=\{0\}$，判断 $A⊊B$、$0\in A$、$\varnothing \in B$ 的真假。若把后两项混淆，先补元素与集合的层级。

自测核对： 依次为真、假、假；$B$ 的元素是数字 $0$，不是空集。

必备知识与知识网络

• $A\subseteq B$：$A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素；$A⊊B$ 还要求 $A\ne B$。
• $A=B$ 等价于 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。
• $\varnothing \subseteq A$ 对任何集合 $A$ 成立；只有 $A\ne \varnothing$ 时，$\varnothing ⊊A$。
• 含 $n$ 个不同元素的有限集合有 $2^n$ 个子集、$2^n-1$ 个真子集、$2^n-2$ 个非空真子集（最后一式适用于 $n\ge 1$）。

看对象层级 → 写出元素 → 判断包含 → 检查是否相等 → 若计数，区分必选/可选/禁选

读图提示： 图中的 $3$ 是证明 $A\ne B$ 的证据；数子集时，先确认集合里有几个不同元素。

识题信号与解题步骤

题目出现	做法
符号填空	先判左侧是元素还是集合，再选 $\in$ 或 $\subseteq$ 等。
$A\subseteq B$ 且 $A$ 含参数	先判断 $A$ 是否可能为空，再处理非空情形。
求中间集合 $X$ 的个数	锁定必选元素，给其余可选元素各两种状态，再排除不允许的端点集合。
证明集合相等	分别证明两个方向的包含。

例题精讲

例 1｜中间集合计数。 已知 $\{1\}\subseteq X⊊\{1,2,3,4\}$，求 $X$ 的个数。

识别： $1$ 必选，$2,3,4$ 可选，但 $X$ 不能等于右侧集合。求解： $2^3-1=7$。检查： $X=\{1\}$ 可以，$X=\{1,2,3,4\}$ 不可以。

例 2｜层级辨析。 设 $A=\{\varnothing ,\{0\}\}$。则 $\varnothing \in A$ 与 $\{0\}\in A$ 都成立；$0\notin A$。由于空集是任何集合的子集，$\varnothing \subseteq A$ 也成立。同一个符号在不同语句中可以扮演元素或集合，须看关系号两侧。

易错反例

• 由 $A⊈B$、$B⊈C$ 不能推出 $A⊈C$。取 $A=\{1\}$、$B=\{2\}$、$C=\{1\}$：前两句真，结论假。
• $\varnothing$、$\{\varnothing \}$、$\{0\}$ 是三个不同的集合；后两个都只有一个元素，但元素不同。
• 数子集前先去重：$\{1,1,2\}$ 有两个元素，因此有 $2^2=4$ 个子集。

考法总结

考题常用“至少包含”“真包含”“非空”等限制改变计数。把每个限制翻译为必选、可选或禁选，比直接套 $2^n$ 安全。

专题练习

1. 概念检查： 判断 $\varnothing \in \{\varnothing \}$、$\varnothing \subseteq \{\varnothing \}$、$0\in \{\varnothing \}$。
2. 方法应用： 求满足 $\{a,b\}\subseteq X\subseteq \{a,b,c,d\}$ 的集合 $X$ 的个数，四个字母互不相同。
3. 进阶迁移： 四个字母互不相同。求满足 $\{a\}⊊X⊊\{a,b,c,d\}$ 且 $b\notin X$ 的 $X$ 的个数。

练习答案与解析

1. 真、真、假。$\{\varnothing \}$ 的唯一元素是 $\varnothing$，不是数字 $0$。
2. $a,b$ 必选，$c,d$ 各可选或不选，共 $2^2=4$ 个。
3. $a$ 必选、$b$ 禁选，$c,d$ 可选；左端必须真包含，故不能同时不选。右端全集含 $b$，无论如何不会取到。共 $2^2-1=3$ 个。

继续学习

• 前置详解：1.2-集合间的基本关系
• 下一步：03-完成集合运算与计数、05-判断充分必要条件
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