1.2 集合间的基本关系：核心知识点讲解

本节整体知识信息结构图

本节学习目标

学完本节，需要掌握：

什么是子集、真子集、空集。
如何判断两个集合之间的包含关系、真包含关系和相等关系。
如何区分元素与集合的“属于关系”和集合与集合的“包含关系”。
如何写出一个有限集合的所有子集、真子集。
如何用 Venn 图理解集合间的关系。

这一节的核心问题是：两个集合之间是什么关系？
在 1.1 中，我们关注“元素和集合”的关系；从 1.2 开始，我们关注“集合和集合”的关系。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

本节的知识对象是“集合与集合之间的关系”。在 1.1 中，重点是判断一个对象是不是某个集合的元素；到了 1.2，要进一步判断两个集合之间是否存在包含、相等或真包含关系。

最常见的问题情境有三类：

两个列举法集合之间的关系，例如 ${1, 2}$ 与 ${1, 2, 3}$ 。
描述法集合之间的关系，例如 ${x ∣ x^{2} = x}$ 与 ${0, 1}$ 。
几何、数集或实际对象集合之间的关系，例如“正方形集合”和“矩形集合”。

解题时的核心问题可以统一成一句话：

一个集合中的元素，是否都在另一个集合中？

二、核心概念与定义条件

1. 子集

对于两个集合 $A, B$ ，如果集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 的元素，就称 $A$ 是 $B$ 的子集，记作：

A \subseteq B .

也可以读作：

A 包含于 B

或者说 $B$ 包含 $A$ ，记作：

B \supseteq A .

符号化理解：

A \subseteq B ⟺ 任意 x \in A, 都有 x \in B .

例如：

A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5} .

因为 $A$ 中的 $1, 2, 3$ 都在 $B$ 中，所以：

A \subseteq B .

2. 用生活例子理解子集

设：

C = {某班全体女生},

D = {某班全体学生} .

每一名女生都是这个班的学生，所以：

C \subseteq D .

这就是“局部属于整体”的集合表达。

3. 集合相等

如果集合 $A$ 的任意一个元素都是集合 $B$ 的元素，同时集合 $B$ 的任意一个元素都是集合 $A$ 的元素，那么 $A$ 与 $B$ 相等，记作：

A = B .

也就是说：

A \subseteq B, B \subseteq A ⟹ A = B .

反过来，如果：

A = B,

那么一定有：

A \subseteq B, B \subseteq A .

因此，证明两个集合相等，常用方法是：

先证 A 是 B 的子集，再证 B 是 A 的子集。

例如：

E = {x ∣ x 是有两条边相等的三角形},

F = {x ∣ x 是等腰三角形} .

“有两条边相等的三角形”就是“等腰三角形”，所以：

E = F .

4. 真子集

如果 $A \subseteq B$ ，并且 $B$ 中至少有一个元素不属于 $A$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作：

A ⫋ B .

也可以说 $B$ 真包含 $A$ ，记作：

B ⫌ A .

符号化理解：

A ⫋ B

表示两件事同时成立：

A \subseteq B,

并且：

\exists x \in B, x \in / A .

例如：

A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5} .

因为 $A$ 中的元素都在 $B$ 中，而且 $4 \in B$ 但 $4 \in / A$ ，所以：

A ⫋ B .

子集、真子集、集合相等三联图

5. 空集

不含任何元素的集合叫做空集，记作：

\emptyset .

例如，方程

x^{2} + 1 = 0

没有实数根，所以它的实数根组成的集合是：

\emptyset .

规定：

\emptyset \subseteq A .

也就是说，空集是任何集合的子集。

如果 $A \neq = \emptyset$ ，那么：

\emptyset ⫋ A .

三、符号语言与等价表示

本节常用符号可以分为两层：元素与集合之间用“属于”关系，集合与集合之间用“包含”关系。

符号	读法	左边对象	右边对象	含义
$a \in A$	$a$ 属于 $A$	元素	集合	$a$ 是 $A$ 的元素
$a \in / A$	$a$ 不属于 $A$	元素	集合	$a$ 不是 $A$ 的元素
$A \subseteq B$	$A$ 包含于 $B$	集合	集合	$A$ 中任意元素都在 $B$ 中
$A ⫋ B$	$A$ 真包含于 $B$	集合	集合	$A \subseteq B$ 且 $A \neq = B$
$A = B$	$A$ 与 $B$ 相等	集合	集合	两个集合元素完全相同

几个重要等价表示要熟练掌握：

A \subseteq B ⟺ \forall x, x \in A \Rightarrow x \in B .

A = B ⟺ A \subseteq B 且 B \subseteq A .

A ⫋ B ⟺ A \subseteq B 且存在 x \in B, x \in / A .

四、关键性质、定理与公式

6. 子集关系的基本性质

任何集合都是它本身的子集：

A \subseteq A .

子集关系具有传递性：

A \subseteq B, B \subseteq C ⟹ A \subseteq C .

例如：

{正方形} \subseteq {矩形} \subseteq {平行四边形},

所以：

{正方形} \subseteq {平行四边形} .

子集传递关系图

五、典型模型与解题方法

7. 属于关系与包含关系

这是本节最容易混淆的地方。

关系	符号	左边	右边	例子
属于	$\in$	元素	集合	$a \in A$
不属于	$\in /$	元素	集合	$a \in / A$
包含于	$\subseteq$	集合	集合	${a} \subseteq A$
真包含于	$⫋$	集合	集合	${a} ⫋ A$

特别注意：

a \in A

表示 $a$ 是集合 $A$ 的一个元素。

而：

{a} \subseteq A

属于与包含符号辨析图

表示只含有元素 $a$ 的单元素集合是 $A$ 的子集。

例如，设：

A = {a, b, c} .

则：

a \in A,

并且：

{a} \subseteq A .

但是不能写成：

a \subseteq A .

也不能写成：

{a} \in A .

因为 $A$ 的元素是 $a, b, c$ ，不是集合 ${a}$ 。

8. 子集个数

如果一个集合有 $n$ 个元素，那么：

子集个数为 $2^{n}$ 。
真子集个数为 $2^{n} - 1$ 。
非空子集个数为 $2^{n} - 1$ 。
非空真子集个数为 $2^{n} - 2$ 。

例如集合：

A = {a, b}

有 $2$ 个元素，所以子集个数是：

2^{2} = 4.

所有子集为：

\emptyset, {a}, {b}, {a, b} .

真子集为：

\emptyset, {a}, {b} .

子集个数生成方法图

六、题型应用与迁移

本节题型可以归纳为三条主线：

关系判断：先化简集合，再判断 $A \subseteq B$ 和 $B \subseteq A$ 两个方向。
符号填空：先看左边对象是元素还是集合，再选择 $\in$ 、 $\in /$ 、 $\subseteq$ 或 $⊈$ 。
子集列举与计数：每个元素都有“选”或“不选”两种状态，先确定总数，再按元素个数有序列举。

重点梳理

集合关系判断流程图

重点 1：判断 $A \subseteq B$

判断 $A \subseteq B$ 时，只需要问一句：

A 中的每一个元素都在 B 中吗？

如果答案是“是”，则：

A \subseteq B .

如果能找到一个元素属于 $A$ 但不属于 $B$ ，则：

A ⊈ B .

例如：

A = {1, 2, 3}, B = {x ∣ x 是 8 的约数} .

因为 $8$ 的正约数为 $1, 2, 4, 8$ ，而：

3 \in A, 3 \in / B,

所以：

A ⊈ B .

重点 2：判断 $A = B$

判断两个集合相等，不能只看形式，要看元素。

例如：

A = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0},

B = {1, 2} .

因为：

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2),

所以：

A = {1, 2} = B .

重点 3：判断 $A ⫋ B$

判断真子集要同时满足两个条件：

$A$ 中每一个元素都在 $B$ 中。
$B$ 中至少有一个元素不在 $A$ 中。

例如：

{1, 2} ⫋ {1, 2, 3} .

但：

{1, 2, 3} \neq ⫋ {1, 2, 3} .

因为两个集合相等，不是真子集关系。

重点 4：空集不要漏掉

写一个集合的所有子集时，必须包含：

\emptyset

和集合本身。

例如：

{a, b, c}

的子集一共有：

2^{3} = 8

个，分别是：

\emptyset, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} .

难点突破

难点 1： $\emptyset$ 与 ${\emptyset}$ 不一样

空集：

\emptyset

里面没有任何元素。

集合：

{\emptyset}

里面有一个元素，这个元素是空集。

所以：

\emptyset \neq = {\emptyset} .

并且：

\emptyset \in {\emptyset} .

同时：

\emptyset \subseteq {\emptyset} .

这两个式子都对，但含义不同。

难点 2：元素和单元素集合不能混用

设：

A = {0, 1} .

正确的是：

0 \in A, {0} \subseteq A .

错误的是：

0 \subseteq A, {0} \in A .

原因：

$0$ 是元素，所以用 $\in$ 。
${0}$ 是集合，所以用 $\subseteq$ 。

难点 3：由条件表示的集合要先化简

设：

A = {x ∣ x^{2} = x} .

判断：

{0} \subseteq A

是否成立。

不能只看形式，要先解方程：

x^{2} = x ⟺ x (x - 1) = 0.

所以：

A = {0, 1} .

因此：

{0} \subseteq A

成立。

例题讲解

例题 1：写出集合 ${a, b}$ 的所有子集

写出集合：

A = {a, b}

的所有子集，并指出哪些是真子集。

解析：

集合 $A$ 有两个元素，所以子集个数为：

2^{2} = 4.

从“不选元素、选一个元素、选两个元素”三种情况列出：

不选任何元素： $\emptyset$ 。
只选一个元素： ${a}, {b}$ 。
选两个元素： ${a, b}$ 。

所以 $A$ 的所有子集为：

\emptyset, {a}, {b}, {a, b} .

其中真子集是不等于 $A$ 本身的子集，所以真子集为：

\emptyset, {a}, {b} .

例题 2：判断集合 $A$ 是否为集合 $B$ 的子集

设：

A = {1, 2, 3}, B = {x ∣ x 是 8 的约数} .

判断 $A$ 是否为 $B$ 的子集。

解析：

$8$ 的正约数是：

1, 2, 4, 8.

所以：

B = {1, 2, 4, 8} .

虽然：

1 \in B, 2 \in B,

但是：

3 \in / B .

而：

3 \in A .

所以 $A$ 中并不是每一个元素都属于 $B$ 。

答案：

A ⊈ B .

例题 3：几何集合中的子集关系

设：

A = {x ∣ x 是长方形},

B = {x ∣ x 是两条对角线相等的平行四边形} .

判断 $A$ 是否为 $B$ 的子集。

解析：

长方形一定是平行四边形，并且长方形的两条对角线相等。

也就是说，任何一个长方形都满足“是两条对角线相等的平行四边形”。

所以：

A \subseteq B .

事实上，在平面几何中，“两条对角线相等的平行四边形”也是长方形，因此这里还有：

B \subseteq A .

所以：

A = B .

例题 4：用适当的符号填空

设：

A = {x ∣ x^{2} = x} .

用 $\in, \in /, \subseteq, ⊈$ 填空：

1 A, {1} A, - 1 A, {- 1} A .

解析：

先化简集合 $A$ ：

x^{2} = x ⟺ x (x - 1) = 0.

所以：

A = {0, 1} .

因此：

1 \in A,

{1} \subseteq A,

- 1 \in / A,

{- 1} ⊈ A .

答案：

1 \in A, {1} \subseteq A, - 1 \in / A, {- 1} ⊈ A .

例题 5：根据包含关系求参数范围

区间包含求参数解题路径图

已知：

A = {x ∣ 0 < x < a}, B = {x ∣ 1 < x < 2} .

若：

B \subseteq A,

求实数 $a$ 的取值范围。

解析：

$B \subseteq A$ 表示 $B$ 中每一个数都必须属于 $A$ 。

集合 $B$ 是区间：

(1, 2) .

集合 $A$ 是区间：

(0, a) .

要让：

(1, 2) \subseteq (0, a),

右端必须至少覆盖到 $2$ 。

注意 $B$ 中不包含 $2$ ，所以只要：

a \geq 2

就可以。

答案：

a \geq 2.

易错点整理

易错点 1：漏写空集

写所有子集时，最容易漏掉：

\emptyset .

例如 ${a, b}$ 的所有子集不是只有 ${a}, {b}, {a, b}$ ，还必须有：

\emptyset .

易错点 2：把“属于”和“包含于”混用

设：

A = {1, 2, 3} .

正确：

1 \in A, {1} \subseteq A .

错误：

1 \subseteq A, {1} \in A .

易错点 3：把子集误认为真子集

任何集合都是它本身的子集：

A \subseteq A .

但集合不是它本身的真子集：

A \neq ⫋ A .

易错点 4：认为空集不是任何集合的子集

规定：

\emptyset \subseteq A .

空集是任何集合的子集。

如果 $A$ 非空，那么：

\emptyset ⫋ A .

易错点 5：不先化简集合就判断关系

例如：

{2, 1}

与

{x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}

其实相等，因为方程的根是 $1, 2$ 。

判断集合关系时，要先把描述法中的集合化简。

考点考证点整理

考点一：判断子集、真子集与集合相等

出题思路：给出两个用列举法、描述法、区间或几何对象表示的集合，要求判断 $A \subseteq B$ 、 $B \subseteq A$ 、 $A = B$ 、 $A ⫋ B$ 或 $B ⫋ A$ 。
关键条件：是否任意 $x \in A$ 都有 $x \in B$ ；是否任意 $x \in B$ 都有 $x \in A$ ；是否存在一方集合中多出的元素；描述法集合是否需要先解方程、不等式或识别几何定义。
解答要点：先化简集合，再分别判断 $A \subseteq B$ 和 $B \subseteq A$ 两个方向；两个方向都成立则写 $A = B$ ；只一个方向成立且两个集合不相等，则写真子集；若能找到反例元素，则说明不包含。
易扣分点：只看元素个数不看元素本身；只判断一个方向就写相等；把 $A \subseteq B$ 误写成 $B \subseteq A$ ；描述法集合没有先化简。

考点二：属于关系与包含关系的符号辨析

出题思路：用 $\in$ 、 $\in /$ 、 $\subseteq$ 、 $⊈$ 填空，常把 $a$ 、 ${a}$ 、 $\emptyset$ 、 ${\emptyset}$ 放在同一题中考查对象层级。
关键条件：左边是元素还是集合；右边是否是集合；集合 $A$ 的元素到底是普通元素还是集合；空集 $\emptyset$ 和单元素集合 ${\emptyset}$ 是否被区分。
解答要点：元素对集合用 $\in$ 或 $\in /$ ，集合对集合用 $\subseteq$ 或 $⊈$ ；先判断符号类型，再判断关系真假。例如 $a \in A$ 和 ${a} \subseteq A$ 是不同层级的关系。
易扣分点：写出 $a \subseteq A$ 、 ${a} \in A$ 这类对象层级错误；把 $\emptyset$ 当成普通数字或字母；看到花括号就忽略集合中真实元素。

考点三：空集相关判断

出题思路：判断 $\emptyset$ 、 ${\emptyset}$ 与某个集合之间的属于、包含、相等或真包含关系，也常出现在子集个数、符号填空和真假命题中。
关键条件： $\emptyset$ 不含任何元素； ${\emptyset}$ 含有一个元素，这个元素是 $\emptyset$ ；空集是任何集合的子集；当 $A \neq = \emptyset$ 时， $\emptyset ⫋ A$ 。
解答要点：先写出基本结论 $\emptyset \subseteq A$ ；再判断 $\emptyset$ 是否作为元素出现在右边集合中；遇到 ${\emptyset}$ 时要明确它不是空集。
易扣分点：认为空集没有元素所以不是任何集合的子集；把 $\emptyset \in {\emptyset}$ 与 $\emptyset \subseteq {\emptyset}$ 混为一谈；漏写空集这个子集。

考点四：列举子集、真子集与计算子集个数

出题思路：给出有限集合，要求写出所有子集、所有真子集、非空子集或非空真子集，也可能只要求计算数量。
关键条件：集合中不同元素的个数 $n$ ；是否要求排除空集；是否要求排除集合本身；题目是否要求“写出”而不是只“求个数”。
解答要点：每个元素都有“选”或“不选”两种状态，所以子集数为 $2^{n}$ ；真子集数为 $2^{n} - 1$ ；非空子集数为 $2^{n} - 1$ ；非空真子集数为 $2^{n} - 2$ 。列举时按元素个数从少到多写，先写 $\emptyset$ ，最后写集合本身。
易扣分点：漏写 $\emptyset$ 或集合本身；重复列出同一个集合；把元素顺序不同误认为不同集合；把“真子集”写成包含集合本身。

考点五：由包含关系求参数范围或参数值

出题思路：给出含参数的集合、区间或方程根集合，并给出 $A \subseteq B$ 、 $B \subseteq A$ 或 $A = B$ ，要求求参数范围或参数值。
关键条件：谁包含谁；区间端点是否能取到；方程根集合是否需要先求出；集合中元素的互异性是否影响列举法集合。
解答要点：区间题先画数轴，看被包含的集合是否被另一个集合完全覆盖；列举法题把包含关系转化为“每个元素都要落入目标集合”；相等题要两个方向都满足，并检查参数代入后集合是否真的相同。
易扣分点：开区间、闭区间端点判断错误；只得到必要条件没有回代检验；忽略集合元素互异性；把 $B \subseteq A$ 看反。

练习题

A 组：基础巩固

判断下列关系是否正确。

2 \in {1, 2, 3}

{2} \subseteq {1, 2, 3}

2 \subseteq {1, 2, 3}

{2} \in {1, 2, 3}

写出集合 ${a, b, c}$ 的所有子集。
写出集合 ${a, b, c}$ 的所有真子集。
判断下列集合之间的关系。

A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} .

判断下列集合之间的关系。

C = {x ∣ x^{2} - 1 = 0}, D = {- 1, 1} .

B 组：能力提升

用适当的符号 $\in, \in /, \subseteq, ⊈$ 填空。

设：

A = {x ∣ x^{2} = x} .

填空：

0 A, {0} A, - 1 A, {- 1} A .

判断集合 $A$ 是否为集合 $B$ 的子集。

A = {1, 2, 3}, B = {x ∣ x 是 12 的约数} .

判断下列两个集合之间的关系。

A = {x ∣ x < 0}, B = {x ∣ x < 1} .

判断下列两个集合之间的关系。

A = {x ∣ x = 6 k, k \in N},

B = {x ∣ x = 3 m, m \in N} .

C 组：综合应用

已知：

A = {x ∣ 0 < x < a}, B = {x ∣ 1 < x < 2} .

若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围。

已知：

A = {1, 3, a^{2}}, B = {1, a + 2} .

若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的可能取值。

判断下列说法是否正确，并说明理由。

\emptyset \in {\emptyset}

\emptyset \subseteq {\emptyset}

{\emptyset} \subseteq \emptyset

教材习题补充

教材习题 1.2 第 1 题：选用适当符号填空。
(1) $A = {x ∣ 2 x - 3 < 3 x}$ ， $B = {x ∣ x \geq 2}$ ，判断 $- 4$ 与 $B$ 、 $- 3$ 与 $A$ 、 ${2}$ 与 $B$ 、 $B$ 与 $A$ 的关系。
(2) $A = {x ∣ x^{2} - 1 = 0}$ ，判断 $1$ 、 ${- 1}$ 、 $\emptyset$ 、 ${1, - 1}$ 与 $A$ 的关系。
(3) 判断菱形集合与平行四边形集合、等腰三角形集合与等边三角形集合的关系。
教材习题 1.2 第 2 题：指出 $A = {四边形}$ 、 $B = {平行四边形}$ 、 $C = {矩形}$ 、 $D = {正方形}$ 之间的关系，并用 Venn 图表示。
教材习题 1.2 第 3 题：分别举出“立德中学学生”“三角形”“ ${0}$ ”“ ${x \in Z ∣ 3 < x < 30}$ ”的一个子集。
教材习题 1.2 第 4 题：集合 $C = {(x, y) ∣ y = x}$ 表示直线 $y = x$ 。集合 $D = {(x, y) ∣ 2 x - y = 1, x + 4 y = 5}$ 表示什么？ $C, D$ 有什么关系？
教材习题 1.2 第 5 题：若 $P = {1, a}$ ， $Q = {- 1, - b}$ ，且 $P = Q$ ，求 $a - b$ ；若 $A = {x ∣ 0 < x < a}$ ， $B = {x ∣ 1 < x < 2}$ ，且 $B \subseteq A$ ，求 $a$ 的取值范围。

练习题答案

正确；正确；错误；错误。

\emptyset, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} .

\emptyset, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} .

A ⫋ B .

因为 $x^{2} - 1 = 0$ 的解是 $x = - 1$ 或 $x = 1$ ，所以：

C = D .

因为 $A = {0, 1}$ ，所以：

0 \in A, {0} \subseteq A, - 1 \in / A, {- 1} ⊈ A .

$12$ 的正约数为 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ ，所以：

A \subseteq B .

A ⫋ B .

因为小于 $0$ 的数都小于 $1$ ，但例如 $0 \in B$ 且 $0 \in / A$ 。

A \subseteq B .

因为 $x = 6 k = 3 (2 k)$ ，所以 $6$ 的倍数一定是 $3$ 的倍数。若 $N$ 含 $0$ ，两个集合都含 $0$ 。并且 $3 \in B$ 但 $3 \in / A$ ，所以：

A ⫋ B .

a \geq 2.

因为 $B \subseteq A$ ，所以 $a + 2$ 必须属于 $A$ 。即：

a + 2 = 1, a + 2 = 3, 或 a + 2 = a^{2} .

分别得：

a = - 1, a = 1, a = 2 或 a = - 1.

检查：

$a = - 1$ 时， $A = {1, 3}$ ， $B = {1}$ ，满足。
$a = 1$ 时， $A = {1, 3}$ ， $B = {1, 3}$ ，满足。
$a = 2$ 时， $A = {1, 3, 4}$ ， $B = {1, 4}$ ，满足。

所以：

a = - 1, 1, 2.

\emptyset \in {\emptyset}

正确，因为 ${\emptyset}$ 的唯一元素是 $\emptyset$ 。

\emptyset \subseteq {\emptyset}

正确，因为空集是任何集合的子集。

{\emptyset} \subseteq \emptyset

错误，因为左边集合有一个元素，右边空集没有元素。

教材习题 1.2 第 1 题答案：
(1) $A = {x ∣ x > - 3}$ ，所以 $- 4 \in / B$ ， $- 3 \in / A$ ， ${2} \subseteq B$ ， $B \subseteq A$ 。
(2) $A = {- 1, 1}$ ，所以 $1 \in A$ ， ${- 1} \subseteq A$ ， $\emptyset \subseteq A$ ， ${1, - 1} = A$ 。
(3) ${菱形} \subseteq {平行四边形}$ ； ${等边三角形} \subseteq {等腰三角形}$ ，所以若按题目顺序写“等腰三角形集合与等边三角形集合”，应为后者是前者的真子集。
教材习题 1.2 第 2 题答案： $D \subseteq C \subseteq B \subseteq A$ 。Venn 图应画成四层嵌套：最外层四边形，内部依次为平行四边形、矩形、正方形。
教材习题 1.2 第 3 题答案示例：高一学生集合是立德中学学生集合的子集；等边三角形集合是三角形集合的子集； $\emptyset$ 或 ${0}$ 是 ${0}$ 的子集； ${4, 5}$ 是 ${x \in Z ∣ 3 < x < 30}$ 的子集。
教材习题 1.2 第 4 题答案：解方程组 $2 x - y = 1$ 、 $x + 4 y = 5$ 得 $(x, y) = (1, 1)$ ，所以 $D = {(1, 1)}$ ，表示两条直线的交点集合。由于 $(1, 1)$ 在直线 $y = x$ 上，所以 $D \subseteq C$ 。
教材习题 1.2 第 5 题答案：由 $P = Q$ 且 $1 \in P$ ，应有 $1 = - b$ ，所以 $b = - 1$ ；另一个元素对应 $a = - 1$ ，故 $a - b = 0$ 。第二问要使 $(1, 2)$ 被 $(0, a)$ 覆盖，需 $a \geq 2$ 。

Quartz 5

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1.2 集合间的基本关系：核心知识点讲解

1.2 集合间的基本关系：核心知识点讲解

本节学习目标

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

二、核心概念与定义条件

1. 子集

2. 用生活例子理解子集

3. 集合相等

4. 真子集

5. 空集

三、符号语言与等价表示

四、关键性质、定理与公式

6. 子集关系的基本性质

五、典型模型与解题方法

7. 属于关系与包含关系

8. 子集个数

六、题型应用与迁移

重点梳理

重点 1：判断 A⊆B

重点 2：判断 A=B

重点 3：判断 A⫋B

重点 4：空集不要漏掉

难点突破

难点 1：∅ 与 {∅} 不一样

难点 2：元素和单元素集合不能混用

难点 3：由条件表示的集合要先化简

例题讲解

例题 1：写出集合 {a,b} 的所有子集

例题 2：判断集合 A 是否为集合 B 的子集

例题 3：几何集合中的子集关系

例题 4：用适当的符号填空

例题 5：根据包含关系求参数范围

易错点整理

易错点 1：漏写空集

易错点 2：把“属于”和“包含于”混用

易错点 3：把子集误认为真子集

易错点 4：认为空集不是任何集合的子集

易错点 5：不先化简集合就判断关系

考点考证点整理

考点一：判断子集、真子集与集合相等

考点二：属于关系与包含关系的符号辨析

考点三：空集相关判断

考点四：列举子集、真子集与计算子集个数

考点五：由包含关系求参数范围或参数值

练习题

A 组：基础巩固

B 组：能力提升

C 组：综合应用

教材习题补充

练习题答案

Graph View

Table of Contents

重点 1：判断 $A \subseteq B$

重点 2：判断 $A = B$

重点 3：判断 $A ⫋ B$

难点 1： $\emptyset$ 与 ${\emptyset}$ 不一样

例题 1：写出集合 ${a, b}$ 的所有子集

例题 2：判断集合 $A$ 是否为集合 $B$ 的子集