第21题｜集合递推：用奇偶排除，用逆推发现构造

用户确认收录整题；未提供学生具体作答。状态：待订正。
来源：逐题解题思路（源文第 418 行）。原练习。

原题

给定正整数 $N \geq 3$ ，设集合 $A = {a_{i} ∣ a_{i} \in N^{*}, i = 1, 2, \dots, N}$ ．任取 $A$ 中两个元素 $a_{i}, a_{j}$ ，记 $A_{1} = {a_{i}, a_{j}}$ ， $B_{1} = {a_{i} + a_{j}, a_{i} a_{j}}$ ， $T_{1} (A) = B_{1} \cup C_{A} A_{1}$ ；任取 $T_{1} (A)$ 中两个元素 $a_{k}, a_{l}$ ，记 $A_{2} = {a_{k}, a_{l}}$ ， $B_{2} = {a_{k} + a_{l}, a_{k} a_{l}}$ ， $T_{2} (A) = B_{2} \cup C_{T_{1} (A)} A_{2}$ ；…，以此类推：任取 $T_{k - 1} (A)$ 中两个元素 $a_{u}, a_{v}$ ，记 $A_{k} = {a_{u}, a_{v}}$ ， $B_{k} = {a_{u} + a_{v}, a_{u} a_{v}}$ ， $T_{k} (A) = B_{k} \cup C_{T_{k - 1} (A)} A_{k}$ ，其中 $k \geq 1$ ，规定 $T_{0} (A) = A$ ．

（1）当 $A = {3, 5, 7}$ 时，写出一组 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 和 $T_{1} (A)$ ；

（2）是否存在集合 $A$ 与正整数 $k$ ，使 $T_{k} (A) = {17, 37, 77}$ ？说明理由；

（3）当 $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ 时，是否存在正整数 $k$ ，使 $T_{k} (A) = {5, 9, 26, 120, 121}$ ？若存在，写出一组 $T_{1} (A), T_{2} (A), \dots, T_{k} (A)$ ；若不存在，说明理由．

读懂题意

每一步从当前集合选两个不同元素 $u, v$ ，删掉它们，再放入 $u + v$ 与 $uv$ ，未选元素保留；所有数按集合规则去重。第（1）问演示一次操作，第（2）问证明目标不可能达到，第（3）问若能达到就要写出完整合法操作链。

本题知识点与题型

一步操作为 $T (S) = (S ∖ {u, v}) \cup {u + v, uv}$ ， $u, v \in S$ 且 $u \neq = v$ 。
集合不保留重复元素，所以元素个数不一定不变；生成值等于被删值时，可以重新加入。
正整数 $u, v$ 若都奇，和为偶；若有偶数，积为偶。因此每一步新生成的值至少包含一个偶数。
已知和 $s$ 与积 $p$ 反求两数，可解 $z^{2} - sz + p = 0$ ；解必须是不同正整数，且要核对每一步真实集合。

分析与解题思路

复杂递推定义先用一组小数试做。第（2）问不必枚举所有起点，只看最后一步生成值的奇偶就能排除全奇目标。第（3）问中 $121$ 和 $120$ 提示和积来自 $1, 120$ ，而 $26$ 和 $120$ 提示 $6, 20$ ，于是逆向寻找中间数。逆推用来发现路线，最终仍须正向展示证据。

分步解答与结果检查

（1）给出一组即可。 选 $3, 5$ ，则

$A_{1} = {3, 5}, B_{1} = {8, 15}, T_{1} (A) = {7, 8, 15} .$

这里未选的 $7$ 被保留。

（2）不存在。 假设经过正整数步能达到 ${17, 37, 77}$ 。考察最后一步所选的正整数 $u, v$ ：若均奇，则 $u + v$ 为偶；否则 $uv$ 为偶。因此最后一步的结果一定含有一个偶数。即使这个偶数与未选元素重合，集合去重也只删重复次数，不会使该偶数消失。目标三数全奇，矛盾。此证明仅依赖最后一步，不必假设起始集合含偶数； $k \geq 1$ 是关键。

（3）存在，取 $k = 4$ 。 可先逆向发现最后两步：

$u + v = 121, uv = 120 \Rightarrow {u, v} = {1, 120};$
$u + v = 26, uv = 120 \Rightarrow {u, v} = {6, 20} .$

再把初始数 $2, 3$ 变成 $5, 6$ ， $4, 5$ 变成 $9, 20$ ，得到以下正向证据：

步	选取并删除	加入的和、积	当前结果集合
$1$	$4, 5$	$9, 20$	$T_{1} = {1, 2, 3, 9, 20}$
$2$	$2, 3$	$5, 6$	$T_{2} = {1, 5, 6, 9, 20}$
$3$	$6, 20$	$26, 120$	$T_{3} = {1, 5, 9, 26, 120}$
$4$	$1, 120$	$121, 120$	$T_{4} = {5, 9, 26, 120, 121}$

每一步所选两数都属于上一步集合且不同。末步删去 $120$ 后乘积又生成 $120$ ，合法。最终集合与目标完全相等，构成存在性证明。答案依据：独立逐步核验，与本地附录一致。

可复用的答题方法

先把定义写成“删两数、加和积、去重” → 不可达问题先找最后一步必须具有的性质 → 可达问题从目标中的和积配对逆推 → 检查整数与互异条件 → 从起点正向列完整集合链。奇偶条件只用于排除：目标含偶数并不能保证可达。

我的作答与错因

学生作答：未提供；个人错因待确认。用户确认了本题号，但尚无具体错误步骤可供判断。

常见易错点：默认集合大小恒定；认为生成值等于被删值就违规；把奇偶必要条件当充分条件；逆推后不核对未选元素是否保留。防错动作：每步分三列记“删除、加入、结果”，用集合并集核对而不凭印象删数。

后续巩固计划

先手算一次有重复的操作，掌握真实去重，再证明“正整数步后不可能全奇”，最后练和积逆推与构造。验收标准：能用最后一步证明不可能，能用完整操作链证明存在，并说明两类证明的证据要求不同。建议次日完成练习，约一周后不看表格复现原题四步并逐步核验。

分层巩固练习

基础巩固｜观察去重

原创巩固题。目标：理解集合大小可能减少。从 $S = {1, 2, 3}$ 中选 $1, 2$ 做一次操作，求结果；元素个数是否保持不变？

展开答案与解析

删去 $1, 2$ 后余下 ${3}$ ，生成和 $3$ 、积 $2$ ，结果为 ${2, 3}$ 。元素数由 $3$ 降为 $2$ ；新生成的 $3$ 与未选的 $3$ 合并为一个元素。

同型变式｜性质排除与一轮构造

原创巩固题。目标：区分不可达证明和存在性构造。仍用原题规则：① 能否从某个正整数集合经过正整数步得到 ${3, 7, 11}$ ？② 从 ${2, 3, 4}$ 能否一步得到 ${4, 5, 6}$ ？给出理由或操作。

展开答案与解析

① 不能。最后一步生成的和、积至少一个为偶数，所以结果不能全奇。② 能，选 $2, 3$ ，删后剩 $4$ ，加入 $5, 6$ ，得到 ${4, 5, 6}$ 。① 用必要性质反证，② 用实际合法一步证明，不凭“含偶数”作结论。

迁移验收：完成练习后口述条件变化时需重做的检查，不能只复述原题数字。

订正与复测记录

尚未提供订正或复测结果。学生实际作答日期、订正日期均未提供；档案生成日期不作学习日期。后续追加时记录：日期、题目来源、是否看提示、作答证据或用户反馈、结果及下一步。生成解析不代表已订正或复测通过。

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