q019

第19题｜恒非负与根序分类：降次、开口、重根逐项检查

用户确认收录整题；未提供学生具体作答。状态：待订正。
来源：逐题解题思路（源文第 378 行）。原练习。

原题

已知函数 $f(x)=a{x}^2+(a-2)x+\frac{1}{4}(a\in \mathbb{R})$．

（1）若关于 $x$ 的不等式 $f(x)\ge 0$ 的解集是实数集 $\mathbb{R}$，求 $a$ 的取值范围；

（2）当 $a<0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f(x)-\frac{9}{4}\le 0$．

读懂题意

第（1）问要求 $f(x)\ge 0$ 对所有实数都成立，是求参数 $a$；第（2）问固定某个满足 $a<0$ 的参数，求所有使不等式成立的 $x$。要把“求参数”与“求未知数解集”分开。

本题知识点与题型

• 真正二次式在全实数上恒非负，充要条件是二次项系数 $>0$ 且判别式 $\Delta \le 0$。
• 二次项系数为 $0$ 时降次，不能继续套二次式条件；一次式斜率非零时不可能处处非负。
• 开口向下、两根不同的二次式，根外非正，根内为正；非严格不等式包含根。
• 根为含参数表达式时须先排顺序；重根时单独查看平方形式。

分析与解题思路

第一问从整体图象入手，先排除降次和开口向下，再控制判别式。第二问减去 $9/4$ 后常数变成 $-2$，可以直接因式分解；根序在 $a=-2$ 处变化，先找这一分类点再写区间，比机械使用求根公式更清晰。

分步解答与结果检查

（1）全实数恒非负。

若 $a=0$，$f(x)=-2x+1/4$，例如 $f(1)<0$，不合要求。若 $a<0$，当 $|x|$ 足够大时 $f(x)<0$，也不合要求。

因此 $a>0$，且须有

$\Delta =(a-2{)}^2-4a\cdot \frac{1}{4}=a^2-5a+4=(a-1)(a-4)\le 0.$

由开口向上的参数二次式判号，$1\le a\le 4$，此范围已保证 $a>0$。故 $\boxed{a\in [1,4]}$。端点处 $a=1$ 得 $(x-1/2{)}^2$，$a=4$ 得 $(2x+1/2{)}^2$，都恒非负，端点可以保留。

（2）在 $a<0$ 时解不等式。

$f(x)-\frac{9}{4}=a{x}^2+(a-2)x-2=(x+1)(ax-2)\le 0.$

根是 $-1$ 与 $2/a$。比较根序可看

$\frac{2}{a}-(-1)=\frac{a+2}{a}.$

分母已知为负，因此在 $a=-2$ 两侧符号相反。结合开口向下，得到：

参数条件	根序/形式	解集
$a<-2$	$-1<2/a$	$(-\infty ,-1]\cup [2/a,+\infty )$
$a=-2$	$-2(x+1{)}^2\le 0$	$\mathbb{R}$
$-2<a<0$	$2/a<-1$	$(-\infty ,2/a]\cup [-1,+\infty )$

检查：分别取 $a=-4,-2,-1$ 可核对根序和重根情形；“$\le$”使不同根均计入解集。这三类覆盖全部 $a<0$。答案依据：独立推导，与本地附录一致。

可复用的答题方法

全实数恒非负 → 先分降次 → 控制开口 → 再用判别式。解含参数二次不等式 → 因式分解找根 → 找重根和换序参数 → 排根序 → 按开口判号 → 核对端点和分类覆盖。

我的作答与错因

学生作答：未提供；个人错因待确认。用户确认了本题号，但尚无具体错误步骤可供判断。

常见易错点：只写 $\Delta \le 0$ 而漏 $a>0$；把非负当严格正而排除重根；负参数下根序比反；遗漏 $a=-2$。防错动作：先单列最高次系数为零的情况；把“两个根相等”的方程写出来，再开始分类。

后续巩固计划

先能画出二次式与横轴的三种关系，再完成基础题；随后练含参数两根换序。验收标准：解释为何恒非负允许 $\Delta =0$，并能不看原题数字完整分类重根、根外区间。建议次日做同型练习，约一周后独立复测两问，须保留降次讨论与分类依据。

分层巩固练习

基础巩固｜非负与严格正

原创巩固题。目标：区分判别式边界。求 $x^2-2x+c\ge 0$ 对一切实数 $x$ 成立时 $c$ 的范围；若改为严格大于零，范围如何变化？

展开答案与解析

$x^2-2x+c=(x-1{)}^2+c-1$，最小值为 $c-1$。恒非负要求 $c\ge 1$；恒严格正要求 $c>1$，因为 $x=1$ 时可取得最小值。

同型变式｜更换根序临界值

原创巩固题。目标：以根序为依据分类。已知 $a<0$，解 $(x-2)(ax+1)\le 0$。

展开答案与解析

根为 $2$ 和 $-1/a$，重合时 $a=-1/2$。若 $a<-1/2$，$-1/a<2$，解为 $(-\infty ,-1/a]\cup [2,+\infty )$；若 $a=-1/2$，原式为 $-\frac{1}{2}(x-2{)}^2$，解为 $\mathbb{R}$；若 $-1/2<a<0$，$2<-1/a$，解为 $(-\infty ,2]\cup [-1/a,+\infty )$。负二次项系数决定非正部分在根外。

迁移验收：完成练习后口述条件变化时需重做的检查，不能只复述原题数字。

订正与复测记录

尚未提供订正或复测结果。学生实际作答日期、订正日期均未提供；档案生成日期不作学习日期。后续追加时记录：日期、题目来源、是否看提示、作答证据或用户反馈、结果及下一步。生成解析不代表已订正或复测通过。