第18题｜分段利润模型：各段求最大值，再全局比较
用户确认收录整题；未提供学生具体作答。状态：待订正。
材料确认：用户在本次对话中明确确认“其他成本”为 元（2026-10-18）；本次确认不代表已完成学生订正。
来源：逐题解题思路（源文第 354 行）。原练习。
原题
某农庄种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量 （单位：kg）与肥料成本 （单位：元）满足如下关系：
- 当 时，；
- 当 时，。
单株成熟除肥料成本 （单位：元）外，还需其他成本 （单位：元）．已知这种农作物的市场售价为 元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为 （单位：元）．
（1）求 的函数关系式；
（2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？
读懂题意
是单株肥料成本，产量为 kg，售价为每 kg 元，因此收入是 元。肥料成本 与其他成本 都要减去，总成本为 元。用户已确认其他成本确为 ，现可完成利润函数和最佳投入的计算。
本题知识点与题型
- 利润模型：。供不应求表示题给产量可按售价全部销售。
- 分段区间：， 属于第一段，第二段只在 使用。
- 二次函数最大值：开口向上的抛物线在闭区间求最大值，应比较端点；顶点给的是最小值。
- 基本不等式：正数 满足 ，等号要求 ，且该点必须在实际区间内。
- 任务型：题干给出分段产量、要求最佳利润，提示先建立两段利润式，各段求出可取到的最大值，最后比较全局。
分析与解题思路
先把收入和两项成本列清楚，两段都使用同一个模型 。第一段代入后是开口向上的二次式，最大值看两端；第二段是“常数减去 ”，要让利润最大，就使这一正数和最小，因此使用基本不等式。两段都求完才能选最佳投入，不能只因第二段能用基本不等式就认定它给出全局最大值。
现有产量公式在 时取 ，而从右侧趋近 ，两段不连续。分段函数允许不连续，按各自区间计算即可，不擅自修改产量公式。
分步解答与结果检查
（1）建立利润函数。 销售收入为 ，总成本为 ，因此
6\cdot\dfrac{x^2+40}{4}-3x=\dfrac32x^2-3x+60,&0\le x\le3,\\ 6\left(15-\dfrac{18}{x}\right)-3x=90-\dfrac{108}{x}-3x,&3<x\le10. \end{cases}$$ 函数值单位为元，自变量单位为元，定义域为 $[0,10]$。 **（2）分别求各段最大值。** 第一段： $$f(x)=\frac32(x-1)^2+\frac{117}{2},\qquad0\le x\le3.$$ 二次项系数为正，顶点是最小点。在区间内离对称轴 $x=1$ 最远的点给最大值，可比较两个端点： $$f(0)=60,\qquad f(3)=\frac32\cdot9-9+60=\frac{129}{2}=64.5.$$ 故第一段最大值为 $129/2$ 元，在 $x=3$ 元时取得。 第二段：因 $x>3>0$，$3x$ 与 $108/x$ 均为正数，且乘积固定为 $324$，所以 $$3x+\frac{108}{x}\ge2\sqrt{3x\cdot\frac{108}{x}}=36.$$ 于是 $$f(x)=90-\left(3x+\frac{108}{x}\right)\le54.$$ 等号条件为 $3x=108/x$，即 $x^2=36$。由 $x>0$ 得 $x=6$，且 $6\in(3,10]$，因此第二段的最大值确实能取到，为 $54$ 元。代回：$t(6)=12$ kg，收入 $72$ 元，成本 $18$ 元，利润 $54$ 元。 **全局比较**：$129/2>54$。因此 $$\boxed{\text{肥料成本为 }3\text{ 元时，单株利润最大，最大值为 }64.5\text{ 元。}}$$ 核验：$x=3$ 按第一段算，产量 $49/4$ kg，收入 $6\times49/4=73.5$ 元，总成本 $3+6=9$ 元，利润 $64.5$ 元。不能用第二段公式代入 $x=3$；第二段的 $x=6$ 仅是本段最佳点。两段覆盖完整定义域，且各自上界都已说明取等点，故全局比较充分。 答案依据：用户确认其他成本为 $2x$ 后独立推导，并与本地自学讲解附录核对一致。 ## 可复用的答题方法 列全收入与成本 → 统一写“利润＝售价×产量－全部成本” → 代入每段并保留区间 → 二次式看开口与区间，$px+q/x$ 型检查正性与等号 → 验证候选点合法 → 比较各段可取到的最大值。这个流程适用于产量或成本按投入范围分段的最优化问题；只有等号可取时，上界才是最大值。 ## 我的作答与错因 学生作答：未提供；**个人错因待确认**。用户已确认本题号与成本条件，尚无学生错误步骤可供判断。 常见易错点：只减肥料成本、把开口向上的顶点当最大值、使用第二段计算 $x=3$、只求出第二段最值就停止、使用基本不等式后不验等号点。以上是本题风险，不是已证实的个人错因。 防错动作：先列收入与两项成本；每段公式旁保留区间；用“本段最大值／取到位置”两列记录，再比较全局。自问：我的最佳点是某一段最优，还是全部允许投入中最优？ ## 后续巩固计划 1. **补知识**：口述 $6t(x)-x-2x$ 每一项的单位与意义，说明为什么二次式顶点不一定给最大值。 2. **练同型**：先做下面基础题，再做同型变式；每段都写最大值、取等点与区间检查。 3. **做迁移**：第二题已改变产量模型，最佳点从原题第一段转到第二段；先独立比较，再说明为何不能照背“投入3元最好”。 4. **延后复测**：首次独立订正后，可次日完成变式，约一周后遮住解析重做原题。验收标准为模型含全部成本、区间正确、等号条件与候选合法性完整、全局比较无遗漏。订正日期未提供，不预填实际日历或通过记录。 ## 分层巩固练习 ### 基础巩固｜利润建模与闭区间最大值 原创巩固题。目标：先列总成本，再根据二次函数开口判断最大值。设单株产量为 $t(x)=(x^2+16)/4$ kg，$0\le x\le3$，售价 $6$ 元/kg，肥料成本为 $x$ 元，其他成本为 $2x$ 元。求利润函数及最大利润和对应投入。 <details> <summary>展开答案与解析</summary> $f(x)=6t(x)-3x=\frac32x^2-3x+24=\frac32(x-1)^2+\frac{45}{2}$。开口向上，在 $[0,3]$ 上比较两端：$f(0)=24$、$f(3)=57/2=28.5$。最大利润为 $28.5$ 元，肥料投入为 $3$ 元。顶点 $x=1$ 给的是最小利润，不能用作最大值答案。 </details> ### 同型变式｜最优点换到另一分段 原创巩固题。目标：使用基本不等式并进行全局比较。产量关系改为 $$t(x)=\begin{cases}(x^2+16)/4,&0\le x\le3,\\12-8/x,&3<x\le10.\end{cases}$$ 售价仍为 $6$ 元/kg，肥料成本 $x$ 元，其他成本 $2x$ 元。求利润函数、最大利润及对应肥料投入。 <details> <summary>展开答案与解析</summary> 统一模型仍是 $f(x)=6t(x)-3x$，故 $$f(x)=\begin{cases}\frac32x^2-3x+24,&0\le x\le3,\\72-48/x-3x,&3<x\le10.\end{cases}$$ 第一段最大值由基础题知为 $57/2=28.5$，在 $x=3$ 取得。第二段中 $3x+48/x\ge2\sqrt{144}=24$，故 $f(x)\le48$；等号要求 $3x=48/x$，由 $x>0$ 得 $x=4$，且 $4\in(3,10]$。第二段最大值为 $48$，高于 $28.5$。因此全局最大利润为 $48$ 元，肥料投入为 $4$ 元。代回第二段产量为 $10$ kg，收入 $60$ 元，成本 $12$ 元，利润 $48$ 元，核验一致。 </details> ## 订正与复测记录 尚未提供订正或复测结果。学生实际作答日期、订正日期均未提供；档案生成日期不作学习日期。后续追加时记录：日期、题目来源、是否看提示、作答证据或用户反馈、结果及下一步。生成解析不代表已订正或复测通过。 ### 材料核实记录 2026-10-18，用户明确回复“确认是 2x 元”。已据此补齐两问解答与2道巩固题，状态由“待补材料”更新为“待订正”；尚无学生实际订正或复测反馈，不据此推进为“待复测”或“复测通过”。