q017

第17题｜从“不属于”到补集并集：找未覆盖点

用户确认收录整题；未提供学生具体作答。状态：待订正。
来源：逐题解题思路（源文第 335 行）。原练习。

原题

已知集合 $A=\{x|x^2-ax+4>0\}$，$B=\{x|b+2<x<2b\}$．若 $1\in A$，$2\notin A$，则 $a$ 的取值集合为 $C$．

（1）求集合 $C$；

（2）若 $C\cup {\complement }_{\mathbb{R}}B\ne \mathbb{R}$，求实数 $b$ 的取值范围．

读懂题意

第（1）问中的 $1,2$ 是代入多项式的数，$a$ 才是要求范围的参数。第（2）问先使用求出的参数集合 $C$，再问哪些 $b$ 使 $C$ 与 $B$ 的补集不能覆盖全部实数。

本题知识点与题型

• $x\in A$ 表示定义 $A$ 的条件成立；$x\notin A$ 表示该条件不成立。$>0$ 的否定是 $\le 0$。
• $C\cup B^c\ne \mathbb{R}$ 表示至少有一点既不在 $C$，也不在 $B^c$，即在 $B\setminus C$。
• 区间 $(L,R)$ 非空的条件为 $L<R$。先判断非空，再比较位置。
• 本题是集合条件反求参数，并不要求求出整个集合 $A$，代入指定元素即可。

分析与解题思路

第一问只需要把 $1\in A$、$2\notin A$ 翻成两个关于 $a$ 的条件。第二问若直接把补集拆成两条射线，符号容易变多；找一个“没有被并集覆盖的点”，就把目标改写成 $B\setminus C\ne \varnothing$，只需看 $B$ 是否伸出 $C$。

分步解答与结果检查

（1）求 $C$。 由 $1\in A$ 得 $1-a+4>0$，所以 $a<5$；由 $2\notin A$ 得 $4-2a+4\le 0$，所以 $a\ge 4$。两条件同时成立，故

$\boxed{C=[4,5)}.$

核对：$a=4$ 时 $x=2$ 代入为 $0$，确实不在由严格正值定义的 $A$ 中；$a=5$ 时 $x=1$ 代入为 $0$，不满足 $1\in A$。

（2）求 $b$。 用 $\mathbb{R}\setminus (C\cup B^c)=B\setminus C$，题设等价于 $B\setminus C\ne \varnothing$。

• 若 $b\le 2$，则 $b+2\ge 2b$，$B=\varnothing$，不成立。
• 若 $b>2$，则 $B=(b+2,2b)$ 非空，且左端 $b+2>4$，不可能从 $C$ 的左侧伸出。要有元素不在 $[4,5)$，只能有 $B$ 中的点达到或超过 $5$。因为右端 $2b$ 不包含在 $B$ 内，这等价于 $2b>5$，即 $b>5/2$。

充分性也需核验：当 $b>5/2$，$b+2<2b$ 且 $5<2b$，可在 $(\max \{b+2,5\},2b)$ 内取一点，它属于 $B$ 而不属于 $C$。反之，若 $2<b\le 5/2$，$B\subset [4,5)$，没有遗漏点。

$\boxed{b\in (5/2,+\infty )}.$

边界 $b=5/2$ 时 $B=(9/2,5)\subset C$，故不取。答案依据：独立推导，与本地附录一致。

可复用的答题方法

指定成员关系 → 代入原条件并正确否定 → 取参数条件交集。遇到“并集不等于全集” → 写出遗漏点的成员条件 → 区间先验非空 → 比较端点 → 回验临界参数。

我的作答与错因

学生作答：未提供；个人错因待确认。用户确认了本题号，但尚无具体错误步骤可供判断。

常见易错点：把 $2\notin A$ 写成严格小于；把并集不全误判为交集非空；不验区间非空；因 $5\notin C$ 就误收右端恰为 $5$ 的开区间。

防错动作：先写逻辑等价式，再画数轴；在 $b=5/2$ 时用实际区间验证。

后续巩固计划

先复习集合成员关系与交并补，再练“存在一个遗漏点”的翻译。验收标准：不展开二次不等式的完整解集也能求 $C$；能解释为何第二问只需看右端，且能证明所求条件既必要又充分。建议次日做两道练习，约一周后复测整题。

分层巩固练习

基础巩固｜不属于的正确否定

原创巩固题。目标：把成员条件变成参数条件。设 $A_p=\{x\mid x^2-px+1>0\}$，且 $1\in A_p$、$2\notin A_p$，求 $p$ 的范围。

展开答案与解析

$1\in A_p\Rightarrow 2-p>0\Rightarrow p<2$；$2\notin A_p\Rightarrow 5-2p\le 0\Rightarrow p\ge 5/2$。两者无交集，因此不存在这样的 $p$，参数集合为空集。不要因“题目给定”就强行写一个非空区间。

同型变式｜更换区间边界

原创巩固题。目标：用遗漏点解释补集并集条件。设 $C=[0,2)$，$B=(b,b+1)$，求满足 $C\cup {\complement }_{\mathbb{R}}B\ne \mathbb{R}$ 的 $b$。

展开答案与解析

要求 $B\setminus C\ne \varnothing$。$B$ 总非空；它含负数当且仅当 $b<0$，含大于等于 $2$ 的数当且仅当 $b+1>2$ 即 $b>1$。故 $b\in (-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$。$b=0$ 或 $1$ 时 $B$ 都包含于 $C$，端点不取。

迁移验收：完成练习后口述条件变化时需重做的检查，不能只复述原题数字。

订正与复测记录

尚未提供订正或复测结果。学生实际作答日期、订正日期均未提供；档案生成日期不作学习日期。后续追加时记录：日期、题目来源、是否看提示、作答证据或用户反馈、结果及下一步。生成解析不代表已订正或复测通过。