q009

第9题｜恰有一个整数解：分类找区间，再卡格点

用户确认收录整题；未提供学生具体作答。状态：待订正。
来源：逐题解题思路（源文第 190 行）。原练习。

原题

已知关于 $x$ 的不等式 $a(x^2-x)+1<x^2$ 恰有一个整数解，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A. $\frac{4}{3}\le a<\frac{3}{2}$
B. $\frac{4}{3}<a\le \frac{3}{2}$
C. $\frac{4}{3}\le a<2$
D. $\frac{4}{3}\le a<\frac{3}{2}$ 或 $a<0$

读懂题意

参数 $a$ 决定关于 $x$ 的解集。要求的不是“只有一个实数解”，而是所有实数解中恰好有一个整数。先求实数区间，再检查区间中有哪些整数。

本题知识点与题型

• 移项不改变不等式解集；乘除未知符号的量必须分情况。
• 二次式的符号由开口与两个根的位置共同决定；二次项系数为零时要降为一次式。
• 开区间不包含端点。例如 $(1,3)$ 仅含整数 $2$，而 $(1,2)$ 不含整数。
• “恰有一个”既要证明一个整数在内，也要证明其他整数全在外，单独检验 $2$ 不够。

分析与解题思路

移项后常数项为 $1$，代 $x=1$ 得零，可因式分解为 $(x-1)((a-1)x-1)$。固定根 $1$ 为数轴锚点。先排除解集无界的参数，再对有界开区间判断第一个整数 $2$ 是否进入、第二个整数 $3$ 是否进入。

分步解答与结果检查

原不等式等价于

$(a-1)x^2-ax+1=(x-1)((a-1)x-1)<0.$

按二次项系数和根序穷尽分类，记 $r=1/(a-1)$（仅当 $a\ne 1$）：

参数	实数解集或理由	整数解情况
$a<1$	开口向下，$r<0<1$，解为 $(-\infty ,r)\cup (1,+\infty )$	无穷多个
$a=1$	$1-x<0$，即 $x>1$	无穷多个
$1<a<2$	开口向上，$r>1$，解为 $(1,r)$	可能恰有一个
$a=2$	$(x-1{)}^2<0$ 无解	$0$ 个
$a>2$	$0<r<1$，解为 $(r,1)$	$0$ 个

因此只看 $1<a<2$。区间左端为 $1$，最先可能进入的整数是 $2$；要它进入而 $3$ 不进入，充要条件是

$2<r\le 3⟺2<\frac{1}{a-1}\le 3.$

由于 $a-1>0$，分别化得 $a-1<1/2$ 与 $a-1\ge 1/3$，故

$\boxed{\frac{4}{3}\le a<\frac{3}{2}}.$

答案：A。 检查两端：$a=4/3$ 时解为 $(1,3)$，恰含 $2$；$a=3/2$ 时解为 $(1,2)$，没有整数，必须排除。分类覆盖所有实数参数。答案依据：独立推导，与本地附录一致。

可复用的答题方法

遇到“整数解恰有若干个” → 先解实数不等式并处理降次 → 画区间和相邻整数 → 写“目标整数在内、相邻整数在外” → 换算参数并验临界值。只有确认区间结构后，才能用相邻格点卡边界。

我的作答与错因

学生作答：未提供；个人错因待确认。用户确认了本题号，但尚无具体错误步骤可供判断。

常见易错点：漏掉 $a=1$；不判断开口就一律取两根之间；把 $3$ 不进入写成 $r<3$，漏掉 $r=3$；只证明 $2$ 是解而不排除其他整数。

防错动作：先列 $a=1$、根重合 $a=2$ 两个分类点；对每个最终端点写出实际解区间。

后续巩固计划

先复习乘积不等式的符号表，再练开区间整数计数，最后把两者合并。验收标准：能解释左闭右开的参数范围从何而来，且能逐类说明为何其他参数无效。建议次日完成同型变式，约一周后重做原题，必须保留分类表而不只写选项。

分层巩固练习

基础巩固｜开区间格点

原创巩固题。目标：理解严格端点。求实数 $r$ 的范围，使区间 $(1,r)$ 恰有两个整数。

展开答案与解析

必须恰含 $2,3$ 而不含 $4$，所以 $3<r\le 4$。$r=4$ 时 $4$ 是端点，不是区间内元素。

同型变式｜整数个数改变

原创巩固题。目标：保留参数分类并改变计数要求。求 $a$ 的范围，使 $a(x^2-x)+1<x^2$ 恰有两个整数解。

展开答案与解析

$a\le 1$ 有无穷多整数解，$a\ge 2$ 无整数解；仅 $1<a<2$ 时解为 $(1,1/(a-1))$。恰含 $2,3$ 要求 $3<1/(a-1)\le 4$，所以 $5/4\le a<4/3$。端点对应 $(1,4)$ 与 $(1,3)$，前者两个整数，后者仅一个。

迁移验收：完成练习后口述条件变化时需重做的检查，不能只复述原题数字。

订正与复测记录

尚未提供订正或复测结果。学生实际作答日期、订正日期均未提供；档案生成日期不作学习日期。后续追加时记录：日期、题目来源、是否看提示、作答证据或用户反馈、结果及下一步。生成解析不代表已订正或复测通过。