q003

第3题｜同一函数：先查定义域，再查对应关系

用户确认收录整题；未提供学生具体作答。状态：待订正。
来源：逐题解题思路（源文第 61 行）。原练习。

原题

下列各组函数表示同一函数的是（　　）

A. $f(x)=x$，$g(x)=\sqrt{x^2}$

B. $f(x)=|x-1|$；$g(x)$ 在 $x>1$ 时为 $x-1$，在 $x<1$ 时为 $1-x$

C. $f(x)=x+1$，$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

D. $f(x)=\frac{x^0}{x}$，$g(x)=\frac{x}{x^2}$

读懂题意

题目要求在四组函数中选出一组：允许输入的数完全相同，而且每个合法输入产生的输出也完全相同。只看化简结果是否一样，不能完成判断。

本题知识点与题型

• 定义域是函数允许输入的所有数。分母不得为零，分段式未覆盖的点没有定义。
• 对应关系规定每个输入如何得到输出；定义域相同仍可能输出不同。
• $\sqrt{x^2}=|x|$ 对所有实数成立；$x^0=1$ 在 $x\ne 0$ 时使用。
• 本题的任务型由“表示同一函数”触发：先比较输入范围，再比较输出，不能用几个相同的样本证明处处相同。

分析与解题思路

先查定义域最省步骤，因为定义域不同即可排除。定义域相同的组，再用恒等变形证明对应关系相同；要排除某一组，则找一个合法输入使输出不同即可。约分前先记下禁值，避免把函数图象上的缺点补回。

分步解答与结果检查

选项	两函数的定义域	对应关系核验	判断
A	均为 $\mathbb{R}$	$x=-1$ 时，前者为 $-1$，后者为 $1$	不同
B	前者为 $\mathbb{R}$，后者为 $\mathbb{R}\setminus \{1\}$	后者的两段都不包含 $x=1$；前者在此有值 $0$	不同
C	前者为 $\mathbb{R}$，后者为 $\mathbb{R}\setminus \{1\}$	后者仅在 $x\ne 1$ 时可化为 $x+1$	不同
D	均为 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$	在此域内，$x^0/x=1/x$，$x/x^2=1/x$	相同

答案：D。 D 同时满足同域和同值；A 的反例与 B、C 的缺点分别解释了排除理由。答案依据：独立推导，并与本地自学讲解附录核对一致。

可复用的答题方法

“同一函数” → 分别写原式定义域 → 不同则排除 → 相同则比较对应关系。证明相同要覆盖全部合法输入；证明不同只需一个反例。分式、根式、分段函数都适用。

我的作答与错因

学生作答：未提供；个人错因待确认。用户确认了本题号，但尚无具体错误步骤可供判断。

常见易错点：把 $\sqrt{x^2}$ 当作 $x$；给分段式遗漏的端点自行补值；约分后忘记原分母的禁值。

防错动作：在每个解析式旁先写定义域；化简时把“$x\ne \cdots$”随式保留。诊断自问：我判断的是“两个式子化简相同”，还是“两个函数同域同值”？

后续巩固计划

先口述同一函数的两个条件，再独立完成下面两题。验收时须能指出每个被排除选项的具体输入或定义域差异，并自举一个“化简同式、原定义域不同”的例子。首次独立订正后可次日做同型题，约一周后遮住解析重做原题；这些是建议时点，不代表已完成订正。

分层巩固练习

基础巩固｜根式与原定义域

原创巩固题。目标：分清根式化简和定义域。求 $F(x)=\sqrt{(x-2{)}^2}$ 的定义域并化简；它与 $G(x)=x-2$ 是否为同一函数？

展开答案与解析

定义域为 $\mathbb{R}$，$F(x)=|x-2|$。两者不同：取 $x=1$，$F(1)=1$ 而 $G(1)=-1$。只有把两函数的定义域都限制为 $[2,+\infty )$ 时才同域同值。

同型变式｜禁值与分段端点

原创巩固题。目标：执行同域同值检查。判断以下两组是否为同一函数，并说明理由：① $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，$g(x)=x+2$；② $p(x)=|x|$，$q(x)=\{\begin{array}{ll}-x,& x<0,\\ x,& x\ge 0.\end{array}$

展开答案与解析

① 不同，$f$ 的定义域为 $\mathbb{R}\setminus \{2\}$，$g$ 为 $\mathbb{R}$。② 相同，两者定义域均为 $\mathbb{R}$，且分段规则恰是绝对值定义，端点 $0$ 也已覆盖。

迁移验收：完成练习后口述条件变化时需重做的检查，不能只复述原题数字。

订正与复测记录

尚未提供订正或复测结果。学生实际作答日期、订正日期均未提供；档案生成日期不作学习日期。后续追加时记录：日期、题目来源、是否看提示、作答证据或用户反馈、结果及下一步。生成解析不代表已订正或复测通过。