2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系

本节学习目标

学完本节，需要能做到：

• 理解匀变速直线运动的位移可以由 v-t 图像面积表示。
• 掌握位移与时间关系式 x = v0t + 1/2 at^2。
• 知道初速度为 0 时公式可化为 x = 1/2 at^2。
• 掌握速度与位移关系式 v^2 - v0^2 = 2ax。
• 会根据题目是否涉及时间选择合适公式。
• 能正确建立正方向，处理位移、速度和加速度的正负号。
• 会解决刹车、起飞、进站等典型匀变速直线运动问题。

核心知识点讲解

1. 位移可以从 v-t 图像中看出来

匀速直线运动中：

x = vt

在 v-t 图像中，这正好对应一个矩形面积：

矩形面积 = 速度 × 时间 = 位移

对匀变速直线运动，速度随时间均匀变化，v-t 图像是一条倾斜直线。此时图线与时间轴围成的图形是梯形。

这个梯形面积表示这段时间内的位移。

2. 位移与时间关系式

匀变速直线运动中，初速度为 v0，t 时刻速度为 v。

由 v-t 图像的梯形面积：

x = 1/2 (v0 + v)t

又因为：

v = v0 + at

代入得到：

x = v0t + 1/2 at^2

这就是匀变速直线运动的位移与时间关系式。

3. 公式中各量的含义

x = v0t + 1/2 at^2

其中：

• x：位移，单位 m。
• v0：初速度，单位 m/s。
• t：时间，单位 s。
• a：加速度，单位 m/s^2。

公式中的两部分可以这样理解：

• v0t：如果物体一直保持初速度，原本会走的位移。
• 1/2 at^2：由于加速度造成的额外位移变化。

4. 初速度为 0 的特殊形式

如果物体从静止开始运动：

v0 = 0

位移公式变成：

x = 1/2 at^2

这说明从静止开始做匀加速直线运动时，位移与时间的平方成正比。

例如时间变为原来的 2 倍，位移变为原来的 4 倍。

5. 平均速度公式

匀变速直线运动中，由梯形面积还可得到：

x = 1/2 (v0 + v)t

因此这一段运动的平均速度为：

v平均 = x/t = (v0 + v)/2

这个公式只适用于匀变速直线运动。

6. 速度与位移的关系

有些题目不涉及时间，例如：

• 已知初速度、末速度、位移，求加速度。
• 已知初速度、加速度，求刹车距离。
• 已知加速度和位移，求末速度。

这时用 v = v0 + at 和 x = v0t + 1/2 at^2 会比较绕。

把时间 t 消去，可以得到：

v^2 - v0^2 = 2ax

这就是匀变速直线运动的速度与位移关系式。

7. 什么时候用哪个公式

常用公式选择：

已知或未知情况	优先公式
涉及速度和时间	v = v0 + at
涉及位移和时间	x = v0t + 1/2 at^2
不涉及时间	v^2 - v0^2 = 2ax
已知初末速度和时间求位移	x = 1/2(v0 + v)t

解题时不要先背题型，而要看题目中出现了哪些物理量。

8. 符号问题仍然很重要

位移、速度、加速度都是一维矢量，代入公式时要带正负号。

常用做法：

取初速度方向为正方向。

则：

• 沿初速度方向的位移为正。
• 与初速度方向相反的加速度为负。
• 刹车时末速度通常为 0。

如果算出的位移为负，说明位移方向与规定正方向相反。

重点梳理

核心公式

速度公式：

v = v0 + at

位移公式：

x = v0t + 1/2 at^2

平均速度求位移：

x = 1/2 (v0 + v)t

速度与位移关系：

v^2 - v0^2 = 2ax

初速度为 0：

x = 1/2 at^2
v^2 = 2ax

图像意义

• v-t 图线下方与时间轴围成的面积表示位移。
• 图像在时间轴上方，面积对应正位移。
• 图像在时间轴下方，面积对应负位移。

解题选择

• 要时间，用 v = v0 + at 或 x = v0t + 1/2 at^2。
• 不要时间，用 v^2 - v0^2 = 2ax。
• 已知初末速度和时间，用平均速度公式更快。

难点突破

难点 1：为什么 v-t 图像面积表示位移

可以把运动时间分成很多很短的小段。

每小段内，速度变化很小，可近似看作匀速运动：

小位移 ≈ 速度 × 小时间

在图像中，这就是一个很窄的小矩形面积。

把所有小矩形面积加起来，就得到总位移。分得越细，结果越精确。对于匀变速直线运动，最后正好得到梯形面积。

难点 2：位移公式中为什么有 1/2

匀变速运动中，速度从 v0 均匀变到 v。

这段时间的平均速度是：

v平均 = (v0 + v)/2

所以：

x = v平均 t = 1/2(v0 + v)t

当 v = v0 + at 时，就得到：

x = v0t + 1/2 at^2

其中的 1/2 来自“平均”的过程。

难点 3：刹车位移为什么不能随便代入任意时间

刹车运动中，物体速度减到 0 后就停止。

如果题目问“刹车后 10 s 内位移”，但物体 4 s 就停下，那么实际运动时间只能取 4 s。

所以刹车题要先求停止时间，或者用：

0 - v0^2 = 2ax

直接求刹车距离。

难点 4：公式多，怎样不乱

抓住一个核心：

匀变速直线运动由 v0、v、a、t、x 五个量描述。

每个公式都少一个量：

• v = v0 + at：没有 x。
• x = v0t + 1/2 at^2：没有 v。
• v^2 - v0^2 = 2ax：没有 t。
• x = 1/2(v0 + v)t：没有 a。

题目缺哪个量，就优先选不含这个量的公式。

难点 5：速度平方公式中的正负怎么处理

公式：

v^2 - v0^2 = 2ax

虽然速度被平方，但 a 和 x 仍然要带正负号。

例如刹车时，取运动方向为正：

• v0 > 0
• v = 0
• a < 0
• x > 0

这样左右两边都是负值，符号才一致。

例题讲解

例题 1：已知时间求位移

题目：

飞机起飞时初速度为 10 m/s，加速度为 25 m/s^2，匀加速滑行 2.4 s。求滑行距离。

分析：

已知 v0、a、t，求 x，用位移与时间关系式。

步骤：

x = v0t + 1/2 at^2
x = 10 × 2.4 + 1/2 × 25 × 2.4^2
x = 24 + 72 = 96 m

答案：

滑行距离为 96 m。

反思：

初速度不为 0 时，不能只用 1/2 at^2。

例题 2：刹车距离

题目：

汽车以 20 m/s 的速度开始刹车，加速度为 -5 m/s^2。求刹车到停止的位移。

分析：

题目不需要时间，用速度与位移关系更简便。

步骤：

v^2 - v0^2 = 2ax
0 - 20^2 = 2 × (-5)x
-400 = -10x
x = 40 m

答案：

刹车距离为 40 m。

反思：

刹车时加速度方向与运动方向相反，要取负号。

例题 3：求加速度

题目：

动车速度由 35 m/s 减小到 15 m/s，经过位移 3000 m。求加速度。

分析：

不涉及时间，用 v^2 - v0^2 = 2ax。

步骤：

a = (v^2 - v0^2) / 2x
a = (15^2 - 35^2) / (2 × 3000)
a = (225 - 1225) / 6000
a = -0.167 m/s^2

答案：

加速度约为 -0.167 m/s^2，方向与动车运动方向相反。

反思：

加速度为负说明正在减速。

例题 4：已知初末速度和时间求位移

题目：

飞机着舰时速度为 80 m/s，经过 2.5 s 匀减速停下。求滑行距离。

分析：

已知初末速度和时间，用平均速度公式最简便。

步骤：

x = 1/2(v0 + v)t
x = 1/2 × (80 + 0) × 2.5 = 100 m

答案：

滑行距离为 100 m。

反思：

匀变速直线运动中，平均速度等于初末速度的平均值。

易错点整理

易错点 1：初速度不为 0 时乱用 x = 1/2 at^2

只有 v0 = 0 时，才能把位移公式简化为 x = 1/2 at^2。

易错点 2：刹车时间超过停止时间

物体停下后不再继续按负速度运动，必须先判断是否已经停止。

易错点 3：速度平方公式忘记符号

a 和 x 都要按方向带正负号。

易错点 4：把路程和位移混淆

匀变速公式中的 x 是位移，不是任意路径长度。

易错点 5：公式选择混乱

先列已知量和未知量，再选“不含无关量”的公式。

考点考证点整理

考点 1：位移公式计算

常考已知 v0、a、t 求位移，注意初速度是否为 0。

考点 2：速度位移公式

常考不涉及时间的问题，如刹车距离、进站距离、起飞速度。

考点 3：图像面积

常考用 v-t 图像面积求位移，梯形、三角形、矩形面积都要会。

考点 4：刹车类问题

常考停止时间和刹车距离，重点防止“停了还继续算”。

考点 5：多过程运动

航母起飞、列车进站常分成多个匀变速过程，要分段列式。

练习题

基础题

1. 写出匀变速直线运动的位移与时间关系式。
2. 初速度为 0 时，位移公式如何简化？
3. 写出速度与位移关系式。
4. v-t 图像中面积表示什么？
5. 什么时候优先使用 v^2 - v0^2 = 2ax？

巩固题

6. 物体初速度 4 m/s，加速度 2 m/s^2，运动 5 s，求位移。
7. 汽车以 18 m/s 开始刹车，加速度为 -3 m/s^2，求刹车距离。
8. 物体从静止开始以 3 m/s^2 加速，4 s 内位移是多少？
9. 某物体初速度 6 m/s，末速度 14 m/s，运动时间 5 s，求位移。
10. 物体速度由 20 m/s 减小到 10 m/s，位移为 150 m，求加速度。

提升题

11. 汽车以 20 m/s 行驶，刹车加速度为 -4 m/s^2。求刹车后 3 s 内和 8 s 内的位移。
12. 飞机从静止开始分两段匀加速，第一段加速度 4 m/s^2、位移 50 m，第二段加速度 2 m/s^2、位移 75 m。求末速度。
13. 某 v-t 图像中，物体从 0 到 6 s 速度由 2 m/s 均匀增大到 14 m/s。求这段位移。

练习题答案

基础题答案

1. x = v0t + 1/2 at^2。

2. x = 1/2 at^2。

3. v^2 - v0^2 = 2ax。

4. v-t 图像与时间轴围成的面积表示位移。

5. 当题目不涉及时间 t 时，优先使用速度与位移关系式。

巩固题答案

x = 4 × 5 + 1/2 × 2 × 5^2 = 20 + 25 = 45 m

0 - 18^2 = 2 × (-3)x
x = 54 m

x = 1/2 × 3 × 4^2 = 24 m

x = 1/2(v0 + v)t = 1/2 × (6 + 14) × 5 = 50 m

a = (10^2 - 20^2) / (2 × 150) = -300 / 300 = -1 m/s^2

提升题答案

11. 停止时间：

0 = 20 - 4t
t = 5 s

刹车后 3 s 内：

x = 20 × 3 + 1/2 × (-4) × 3^2 = 60 - 18 = 42 m

刹车后 8 s 内，汽车已在 5 s 时停止：

x = 20 × 5 + 1/2 × (-4) × 5^2 = 100 - 50 = 50 m

12. 第一段末速度：

v1^2 = 2 × 4 × 50 = 400
v1 = 20 m/s

第二段末速度：

v2^2 - 20^2 = 2 × 2 × 75
v2^2 = 700
v2 ≈ 26.5 m/s

x = 1/2(2 + 14) × 6 = 48 m