2.2 匀变速直线运动的速度与时间的关系

本节学习目标

学完本节，需要能做到：

• 理解什么是匀变速直线运动。
• 知道匀变速直线运动的 v-t 图像是一条倾斜直线。
• 理解匀加速直线运动和匀减速直线运动的区别。
• 掌握速度与时间关系式 v = v0 + at。
• 会用公式求末速度、初速度、加速度或时间。
• 会在解题中建立正方向，正确处理速度和加速度的正负号。
• 能结合 v-t 图像判断速度大小、方向和加速度。

核心知识点讲解

1. 从实验图像到运动模型

上一节实验中，小车在重物牵引下运动，得到的 v-t 图像大致是一条倾斜直线。

这说明：

• 速度随时间变化。
• 相等时间内速度变化量大致相等。
• 加速度大致保持不变。

物理学把这种规律抽象成一种重要模型：匀变速直线运动。

2. 匀变速直线运动的定义

沿一条直线运动，并且加速度不变的运动，叫作匀变速直线运动。

关键词有两个：

• 直线运动：运动轨迹是一条直线。
• 加速度不变：速度随时间均匀变化。

“匀变速”中的“匀”不是速度不变，而是速度变化得均匀，也就是加速度不变。

3. 匀加速和匀减速

匀变速直线运动可以分为两类：

• 匀加速直线运动：速度大小随时间均匀增大。
• 匀减速直线运动：速度大小随时间均匀减小。

判断加速还是减速，不能只看加速度正负，而要看速度和加速度方向：

速度与加速度同向：速度大小增大
速度与加速度反向：速度大小减小

例如，规定向右为正方向：

• v0 > 0，a > 0：向右匀加速。
• v0 > 0，a < 0：向右匀减速。
• v0 < 0，a < 0：向左匀加速。
• v0 < 0，a > 0：向左匀减速。

4. v-t 图像特点

匀变速直线运动的 v-t 图像是一条倾斜直线。

原因是加速度不变：

a = Δv / Δt

如果任意相等时间内速度变化量都相等，图像就会是一条直线。

在 v-t 图像中：

• 纵坐标表示速度。
• 图线斜率表示加速度。
• 图线向上倾斜，斜率为正，加速度为正。
• 图线向下倾斜，斜率为负，加速度为负。
• 图线越陡，加速度大小越大。

5. 速度与时间关系式的推导

由加速度定义：

a = Δv / Δt

把运动开始时刻取为 0，初速度为 v0，经过时间 t 后速度为 v。

则：

Δv = v - v0
Δt = t

代入：

a = (v - v0) / t

整理得到：

v = v0 + at

这就是匀变速直线运动的速度与时间关系式。

6. 公式中各量的含义

v = v0 + at

其中：

• v：t 时刻的速度，单位 m/s。
• v0：初速度，单位 m/s。
• a：加速度，单位 m/s^2。
• t：运动时间，单位 s。

公式中的 at 表示 t 时间内速度的变化量：

Δv = at

所以公式可以理解为：

末速度 = 初速度 + 速度变化量

7. 使用公式前必须建立正方向

速度和加速度都是矢量，代入公式时必须带正负号。

解题步骤通常是：

1. 选定一条直线作为坐标轴。
2. 规定正方向。
3. 判断 v0、v、a 的正负。
4. 代入 v = v0 + at。
5. 根据结果的正负解释方向。

如果题目没有特殊要求，常取初速度方向为正方向。

8. 公式适用条件

v = v0 + at 只适用于匀变速直线运动，即：

• 运动是直线运动。
• 加速度恒定。

如果加速度变化，这个公式不能直接套用。

重点梳理

核心定义

沿直线运动且加速度不变的运动，叫作匀变速直线运动。

核心公式

v = v0 + at

变形：

v0 = v - at
a = (v - v0) / t
t = (v - v0) / a

图像特点

• 匀变速直线运动的 v-t 图像是倾斜直线。
• 斜率表示加速度。
• 纵截距表示初速度。
• 图像与横轴交点可能表示速度变为 0。

解题步骤

• 统一单位。
• 建立正方向。
• 写出已知量和未知量。
• 带符号代入公式。
• 检查结果方向和物理意义。

难点突破

难点 1：“匀变速”是不是速度不变

不是。

匀速直线运动是速度不变；匀变速直线运动是加速度不变。

“匀变速”表示速度均匀变化，即相等时间内速度变化量相等。

难点 2：加速度为负是不是一定匀减速

不一定。

加速度为负只表示加速度方向沿规定负方向。

如果速度也为负，速度和加速度同向，物体反而做加速运动。

判断加速或减速要看：

v 和 a 是否同向。

难点 3：刹车问题为什么要注意停止时间

刹车时，物体速度减小到 0 后就停止了，不会继续按原来的匀减速公式反向运动，除非题目明确说明反向。

所以遇到刹车问题，常先求停止时间：

t停 = (0 - v0) / a

如果题目给的时间大于停止时间，实际运动时间只能取停止时间。

难点 4：为什么要带正负号

公式 v = v0 + at 是矢量式在一维情况下的代数表达。

正负号表示方向，如果不带正负号，减速运动、反向运动就容易算错。

难点 5：怎样从图像判断是否匀变速

看 v-t 图像是不是直线。

• 直线：斜率不变，加速度不变，是匀变速直线运动。
• 曲线：斜率变化，加速度变化，不是匀变速直线运动。
• 水平直线：速度不变，加速度为 0，是匀速直线运动，也可看作加速度为 0 的特殊匀变速运动。

例题讲解

例题 1：求末速度

题目：

汽车以 10 m/s 的速度行驶，从某时刻开始以 0.8 m/s^2 的加速度加速，经过 6 s 后速度是多少？

分析：

已知初速度、加速度和时间，求末速度，直接用 v = v0 + at。

步骤：

v0 = 10 m/s
a = 0.8 m/s^2
t = 6 s
v = v0 + at = 10 + 0.8 × 6 = 14.8 m/s

答案：

6 s 后汽车速度为 14.8 m/s。

反思：

加速时，如果取运动方向为正方向，加速度通常为正。

例题 2：求减速后的速度

题目：

列车以 20 m/s 的速度行驶，做匀减速直线运动，加速度大小为 0.2 m/s^2，减速 30 s 后速度是多少？

分析：

取列车运动方向为正方向，匀减速时加速度为负。

步骤：

v0 = 20 m/s
a = -0.2 m/s^2
t = 30 s
v = v0 + at = 20 - 0.2 × 30 = 14 m/s

答案：

减速 30 s 后速度为 14 m/s，方向仍沿原运动方向。

反思：

速度仍为正，说明列车还没有反向，只是在变慢。

例题 3：求加速时间

题目：

列车速度由 36 km/h 增大到 54 km/h，加速度为 0.2 m/s^2。求所用时间。

分析：

先换单位，再用 t = (v - v0) / a。

步骤：

36 km/h = 10 m/s
54 km/h = 15 m/s
t = (v - v0) / a = (15 - 10) / 0.2 = 25 s

答案：

所用时间为 25 s。

反思：

速度单位必须统一为 m/s。

例题 4：刹车停止时间

题目：

汽车以 16 m/s 的速度开始刹车，加速度为 -6 m/s^2。求汽车停下所用时间。

分析：

停下时末速度 v = 0。

步骤：

0 = 16 - 6t
t = 16 / 6 ≈ 2.67 s

答案：

汽车停下需要约 2.67 s。

反思：

若题目问刹车后 5 s 的速度，不能代入得到负速度，而应说明汽车已停止。

易错点整理

易错点 1：把 a 的大小直接当作正值代入

减速运动中，如果取运动方向为正，加速度应为负。

易错点 2：速度单位不统一

km/h 必须先换成 m/s，再与 m/s^2、s 配合使用。

易错点 3：认为图线向下就一定反向

图线向下表示速度数值减小。只有速度过零变为负值时，运动方向才改变。

易错点 4：刹车后继续套公式

物体停下后通常不再继续反向运动，除非题目明确说明。

易错点 5：忘记公式适用条件

v = v0 + at 适用于加速度恒定的直线运动，不能随意用于变加速运动。

考点考证点整理

考点 1：匀变速直线运动定义

常考判断某运动是否为匀变速直线运动。抓住“直线”和“加速度不变”。

考点 2：速度公式计算

常考四类量互求：v、v0、a、t。关键是带符号代入。

考点 3：单位换算

36 km/h = 10 m/s，72 km/h = 20 m/s 是高频换算。

考点 4：图像题

从 v-t 图像读初速度、末速度、加速度方向和大小。

考点 5：刹车问题

先求停止时间，再判断题目给出的时间是否超过停止时间。

练习题

基础题

1. 什么是匀变速直线运动？
2. 匀变速直线运动的 v-t 图像有什么特点？
3. 写出速度与时间关系式，并说明各物理量含义。
4. 物体初速度 5 m/s，加速度 2 m/s^2，4 s 后速度是多少？
5. 为什么使用公式前要规定正方向？

巩固题

6. 列车速度从 10 m/s 增大到 18 m/s，用时 20 s，求加速度。
7. 汽车以 72 km/h 行驶，做加速度大小为 0.5 m/s^2 的匀减速运动，10 s 后速度是多少？
8. 某物体初速度 -3 m/s，加速度 -2 m/s^2，经过 4 s 后速度是多少？速度大小如何变化？
9. 汽车以 12 m/s 开始刹车，加速度为 -3 m/s^2，多久停下？
10. 某 v-t 图像是一条斜率为负的直线，说明加速度有什么特点？

提升题

11. 汽车以 36 km/h 的速度匀速行驶，随后以 0.6 m/s^2 加速 10 s，接着以 -6 m/s^2 刹车至停止。求加速末速度和刹车时间。
12. 某物体沿直线运动，t=0 时速度为 6 m/s，加速度为 -2 m/s^2。求 1 s、3 s、5 s 时的速度，并说明运动方向变化情况。
13. 一个物体的 v-t 图像经过 (0 s, 2 m/s) 和 (4 s, 10 m/s)，求加速度和速度表达式。

练习题答案

基础题答案

1. 沿直线运动且加速度不变的运动叫匀变速直线运动。

2. v-t 图像是一条倾斜直线，斜率表示加速度。

3. v = v0 + at。v 是末速度，v0 是初速度，a 是加速度，t 是时间。

v = 5 + 2 × 4 = 13 m/s

5. 因为速度和加速度是矢量，代入公式时必须用正负号表示方向。

巩固题答案

a = (18 - 10) / 20 = 0.4 m/s^2

7. 72 km/h = 20 m/s，取运动方向为正：

v = 20 - 0.5 × 10 = 15 m/s

v = -3 + (-2) × 4 = -11 m/s

速度和加速度同向，速度大小增大。

0 = 12 - 3t
t = 4 s

10. 加速度恒定且为负。

提升题答案

11. 36 km/h = 10 m/s。

加速末速度：

v = 10 + 0.6 × 10 = 16 m/s

刹车时间：

0 = 16 - 6t
t = 16 / 6 ≈ 2.67 s

v1 = 6 - 2 × 1 = 4 m/s
v3 = 6 - 2 × 3 = 0
v5 = 6 - 2 × 5 = -4 m/s

3 s 时速度为 0，之后速度为负，说明运动方向改变。

a = (10 - 2) / 4 = 2 m/s^2
v = 2 + 2t