相关知识
2.1 实验：探究小车速度随时间变化的规律
2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
2.4 自由落体运动
2.2 匀变速直线运动的速度与时间的关系
本节学习目标
学完本节，需要能做到：
- 理解匀变速直线运动的定义：沿直线运动且加速度不变。
- 能从 图像的直线特征判断物体是否做匀变速直线运动。
- 理解匀加速直线运动和匀减速直线运动的判断标准。
- 会推导并使用速度与时间关系式 。
- 能说明公式中 、、、 的物理意义、单位和方向属性。
- 会建立一维坐标系，带正负号代入速度、加速度等矢量量。
- 能处理列车加速、刹车减速、探测器下落等匀变速直线运动问题。
- 能根据 图像比较速度大小、速度方向、加速度大小和加速度方向。
核心知识点讲解
一、知识对象与物理情境
上一节通过小车实验得到一个重要现象：小车在重物牵引下运动时， 图像近似是一条倾斜直线。这个现象说明，小车的速度不是随意变化的，而是有稳定规律的。
本节要解决的问题是：
- 什么样的直线运动可以叫“匀变速直线运动”？
- 图像为什么能反映加速度是否不变？
- 怎样不用每次都画图，而用公式直接计算某时刻的速度？
- 遇到减速、刹车、反向运动时，速度和加速度的正负号怎样处理？
如果 C919 飞机沿直线做匀速运动，它的 图像是一条水平直线；如果小车的 图像是一条倾斜直线，就说明速度在随时间均匀变化。由图像到模型，再由模型到公式，是本节的学习主线。
二、核心概念与物理意义
1. 匀变速直线运动
沿着一条直线运动，并且加速度不变的运动，叫作匀变速直线运动。
这个定义有两个限制条件：
| 条件 | 含义 | 常见误解 |
|---|---|---|
| 沿直线运动 | 运动轨迹是一条直线，可用一维坐标描述 | 只看速度大小变化，忽略运动方向 |
| 加速度不变 | 速度随时间均匀变化， 恒定 | 把“匀变速”误解成“速度不变” |
“匀变速”中的“匀”指速度变化得均匀，不是速度本身保持不变。匀速直线运动的加速度为 ；匀变速直线运动的加速度可以不为 ，但必须恒定。
2. 匀加速直线运动和匀减速直线运动
在匀变速直线运动中，如果物体的速度随时间均匀增加，叫作匀加速直线运动；如果速度随时间均匀减小，叫作匀减速直线运动。
判断“加速”还是“减速”，真正依据是速度方向和加速度方向的关系：
| 速度与加速度方向 | 速度大小变化 | 运动类型 |
|---|---|---|
| 同向 | 速度大小增大 | 加速运动 |
| 反向 | 速度大小减小 | 减速运动 |
注意：加速度为正不一定表示加速，加速度为负也不一定表示减速。正负号只表示相对于所选正方向的方向。
三、关键规律、公式与适用条件
1. 从加速度定义推出速度公式
对匀变速直线运动，加速度保持不变。若把运动开始时刻取为 ，开始时速度为 ，经过时间 后速度为 ，则速度变化量为：
时间变化量为：
由加速度定义：
整理得：
这就是匀变速直线运动的速度与时间关系式。
2. 公式的物理意义
可以读成：
其中 表示 时间内速度的变化量：
| 符号 | 物理意义 | 单位 | 方向属性 |
|---|---|---|---|
| 初速度 | 矢量，代入时带正负号 | ||
| 时刻的速度 | 矢量，结果正负表示方向 | ||
| 加速度 | 矢量，正负表示加速度方向 | ||
| 运动时间 | 标量，通常取正值 |
3. 公式适用条件
只适用于匀变速直线运动，也就是：
- 运动轨迹为直线。
- 加速度 在研究时间内保持不变。
- 所有速度和加速度都在同一条直线上，可以用一维正负号表示方向。
若加速度随时间变化，不能直接套用这个公式；若运动不是直线运动，也不能只靠一个正负号处理方向。
四、典型模型与过程分析
1. 一维坐标模型
匀变速直线运动虽然可能向左、向右、向上或向下，但只要在一条直线上，就可以建立一维坐标系。
常用步骤：
- 选研究对象和研究过程。
- 沿运动直线建立坐标轴。
- 规定正方向，常取初速度方向为正方向。
- 判断 、、 的正负。
- 代入 计算。
- 根据结果的正负解释速度方向。
2. 刹车模型
刹车问题是匀减速直线运动的典型模型。若取初速度方向为正方向，刹车加速度通常为负。
停下时 ，由 得：
因为 ，所以 为正值。若题目给出的时间大于停止时间，物体已经停下，不能继续套公式算出“负速度”，除非题目明确说明物体反向运动。
五、图像、实验与数据理解
1. 图像中的斜率
匀变速直线运动的 图像是一条倾斜直线。任意一段时间内都有：
在 图像中，这个比值就是图线的斜率。
图像判断要点：
| 图像特征 | 物理意义 |
|---|---|
| 水平直线 | 速度不变，加速度为 |
| 向上倾斜直线 | 加速度为正，速度数值随时间增大 |
| 向下倾斜直线 | 加速度为负，速度数值随时间减小 |
| 图线越陡 | 加速度大小越大 |
| 图线过时间轴 | 速度变为 ，可能发生运动方向改变 |
2. 非直线 图像的判断
若 图像是曲线，说明斜率在变化，加速度也在变化。即使速度一直增大，只要速度变化得不均匀，就不是匀变速直线运动。
判断一个运动是否匀变速，可以用两条路径：
- 数据路径：相等时间内的 是否相等。
- 图像路径： 图像是否为直线。
六、题型应用与迁移
本节常见题型可以归纳为四类：
| 题型 | 已知条件 | 常用关系 | 关键提醒 |
|---|---|---|---|
| 求末速度 | 、、 | 先统一单位 | |
| 求时间 | 、、 | 减速时注意 的符号 | |
| 判断运动性质 | 图像或数据 | 直线表示加速度不变 | |
| 刹车问题 | 初速度、减速度、时间 | 先求 | 停止后不能继续套原公式 |
重点梳理
重点 1：匀变速直线运动的定义
匀变速直线运动必须同时满足“直线运动”和“加速度不变”。
为什么重要：这是后续所有匀变速公式的适用前提。只要运动不满足这个模型，、位移公式和速度位移公式都不能直接套用。
触发条件：题目给出“ 图像为倾斜直线”“相等时间内速度变化量相等”“加速度恒定”等信息时，通常可以判断为匀变速直线运动。
重点 2： 图像斜率表示加速度
在 图像中，斜率为：
这正是加速度 。因此：
- 图像是直线，斜率恒定，加速度恒定。
- 图像是曲线，斜率变化，加速度变化。
- 斜率正负表示加速度方向，斜率绝对值表示加速度大小。
为什么重要：图像题不会总是直接给公式，很多时候要从斜率读出加速度，再判断速度变化。
重点 3：速度与时间关系式
这个公式的核心不是机械记忆，而是理解 的意义：在加速度恒定时， 时间内速度变化量为 。
常用变形：
使用时必须保证速度单位为 、加速度单位为 、时间单位为 。
重点 4：正负号不是可有可无的装饰
速度和加速度都是矢量。在一维问题中，正负号承担“方向”的作用。
| 情况 | 若取初速度方向为正 | 运动表现 |
|---|---|---|
| ， | 速度和加速度同向 | 加速 |
| ， | 速度和加速度反向 | 减速 |
| 速度方向与正方向相反 | 已反向或本来向负方向运动 |
常见触发条件：题目出现“刹车”“上抛后返回”“向下为正”“沿相反方向”等信息时，必须先建立正方向再列式。
难点突破
难点 1：“速度随时间均匀变化”怎样理解
“均匀变化”指相等时间内速度变化量相等。例如每经过 ，速度都增加 ，则加速度为 ，这是匀加速直线运动。
如果每 速度增加量分别为 、、，速度虽然一直在增大，但变化不均匀，不是匀变速直线运动。
难点 2：为什么图像倾斜直线表示加速度不变
直线的斜率处处相同。 图像的斜率是 ，也就是加速度。因此倾斜直线表示加速度是一个不为 的常量。
水平直线也是直线，但斜率为 ，表示速度不变。它可以看作加速度为 的特殊情况。
难点 3：加速度为负不等于一定减速
例如规定向右为正方向，某物体向左运动，速度 ，加速度 。速度和加速度都向左，二者同向，速度大小会增大。
用公式验证：
经过 ，，速度大小从 增大到 ，所以是加速运动。
难点 4：刹车问题不能越过停止时刻乱算
汽车以 刹车，加速度为 。停止时间为：
若问 后速度，不能写：
这个结果表示物体反向运动，但普通刹车情境下汽车停下后不会自动倒退。正确回答是：汽车约在 时已经停止， 后速度仍为 。
例题讲解
例题 1：加速后末速度
题目：一辆汽车以 的速度在平直公路上匀速行驶。从某时刻起，它以 的加速度加速，求 末的速度。
读题：研究对象是汽车，研究过程是加速的 。
选对象与过程：汽车做匀加速直线运动。
建模型：用速度与时间关系式 。
列方程与计算：先统一单位：
取汽车运动方向为正方向，，，。
答案：汽车在 末的速度为 ，方向沿原运动方向。
检查：加速度与速度同向，速度应增大；结果 ，合理。
例题 2：刹车到停止所需时间
题目：汽车以 的速度开始紧急刹车，刹车时做匀减速直线运动，加速度大小为 。求汽车从刹车到停下来所用时间。
读题：研究对象是汽车，研究过程是从开始刹车到速度变为 。
选对象与过程：汽车做匀减速直线运动。
建模型：建立一维坐标系，取汽车原运动方向为正方向，则 ，末速度 ，加速度 。
列方程与计算：
答案：汽车从刹车到停下来约用 。
检查：时间为正，加速度方向与速度方向相反，符合刹车情境。
例题 3：列车通过下坡路所用时间
题目：列车原来的速度是 ，在一段下坡路上加速度为 。列车到达下坡路末端时速度增加到 ，求列车通过这段下坡路所用时间。
读题：已知初速度、末速度和加速度，求时间。
选对象与过程：列车在下坡路上做匀加速直线运动。
建模型：用 。
列方程与计算：
答案：列车通过这段下坡路所用时间为 。
检查：速度增加 ，每秒增加 ，所需时间 ，数量级合理。
例题 4：由非线性图像判断运动性质
题目：某物体的 图像不是直线，而是一条向上弯曲的曲线。它的速度随时间增大，但在相等时间间隔内，速度增加量越来越大。这个物体是否做匀变速直线运动？
分析：判断匀变速直线运动的关键不是“速度是否增大”，而是“加速度是否恒定”。
步骤：
- 相等时间间隔内速度增加量越来越大，说明 在变大。
- 图像为曲线，说明图像斜率在变化。
- 斜率表示加速度，因此加速度不恒定。
答案：不做匀变速直线运动。它是变加速直线运动。
反思：速度增大只能说明物体在加速，不能说明一定是匀加速。
易错点整理
易错点 1：把“匀变速”理解成“速度不变”
常见错误表现：看到“匀”就认为速度恒定。
错因分析：“匀速”是速度不变，“匀变速”是速度变化得均匀，即加速度不变。
正确处理：看到匀变速，要立即想到 恒定、 图像为直线、相等时间内 相等。
易错点 2：减速时把加速度大小直接代入正值
常见错误表现：汽车以 刹车，加速度大小为 ，经过 后误算为 。
错因分析：题目给的是加速度大小，大小没有方向；刹车时加速度方向与速度方向相反。
正确处理：若取初速度方向为正方向，刹车时 ，应写 。
易错点 3：认为图线向下倾斜就表示物体一定反向运动
常见错误表现：看到 图像向下倾斜，就说物体向反方向运动。
错因分析：图线向下倾斜只说明加速度为负，速度数值在减小。只有图线越过时间轴、速度变为负值时，运动方向才变为负方向。
正确处理：判断运动方向看速度 的正负；判断加速度方向看图线斜率正负。
易错点 4：刹车后继续套公式算出负速度
常见错误表现：汽车刹车已经停下，却继续代入更长时间，算出负速度并认为汽车倒退。
错因分析：公式描述的是“若加速度一直保持不变”的数学延伸，但普通刹车模型只研究停下前的过程。
正确处理：刹车问题先求 。题目时间超过 时，实际速度取 。
易错点 5：单位混用
常见错误表现：把 直接和 、 放进公式。
错因分析： 中三个量必须使用相互匹配的单位。
正确处理：常用换算为 ，所以 ，。
考点考证点整理
考点一：匀变速直线运动的判断
- 出题思路：给出运动描述、速度数据或 图像，要求判断是否为匀变速直线运动。
- 关键条件：直线运动；加速度不变；相等时间内速度变化量相等； 图像为直线。
- 解答要点：说明“沿直线运动且加速度不变”，必要时用 或图像斜率进行判断。
- 易扣分点：只写“速度变化”而没有说明“加速度不变”；把曲线图像误判为匀变速。
考点二：速度与时间关系式的计算
- 出题思路：给出 、、 中的若干量，求 、、 或 。
- 关键条件：运动必须是匀变速直线运动；速度单位要统一；加速度要带方向。
- 解答要点：先建立正方向，再列 或其变形，最后检查结果方向和单位。
- 易扣分点：漏写单位；未把 换成 ；减速运动把 当正值代入。
考点三：正负号和方向判断
- 出题思路：常在刹车、竖直下落、反向运动、图像过时间轴等情境中考查。
- 关键条件：正方向如何规定；速度和加速度是否同向；速度是否变号。
- 解答要点：说明“取某方向为正方向”，判断 、、 的符号，再解释结果正负的物理意义。
- 易扣分点：只看加速度正负判断加速或减速；忽略速度为负表示方向与正方向相反。
考点四： 图像分析
- 出题思路：给出图像，要求判断速度大小、方向、加速度大小、加速度方向和运动性质。
- 关键条件：纵坐标表示速度，斜率表示加速度，图线是否为直线，图线是否过时间轴。
- 解答要点：从纵坐标读速度，从斜率读加速度，从图线形状判断是否匀变速。
- 易扣分点：把图线高低当成加速度大小；把图线向下误判为物体一定反向。
考点五：刹车停止时间
- 出题思路：给出初速度和减速度，问停下时间、某时刻速度或判断是否已经停止。
- 关键条件：末速度 ；加速度方向与速度方向相反；题目给出的时间是否超过停止时间。
- 解答要点：先求 ，再决定能否继续用 。
- 易扣分点：没有先判断停止时间；把刹车后算出的负速度当成真实倒退。
练习题
基础训练
- 什么是匀变速直线运动？“匀变速”中的“匀”指什么？
- 匀变速直线运动的 图像有什么特点？图像斜率表示什么物理量？
- 写出匀变速直线运动的速度与时间关系式，并说明 、、、 的含义和单位。
- 某物体做匀加速直线运动，初速度为 ，加速度为 ，求 后的速度。
- 为什么使用 前要先规定正方向？
巩固训练
- 列车原来的速度是 ，在一段下坡路上加速度为 。列车行驶到下坡路末端时，速度增加到 。求列车通过这段下坡路所用的时间。
- 以 的速度行驶的列车，在驶近一座桥时做匀减速直线运动，加速度大小是 。列车减速行驶 后的速度是多少？
- 某物体初速度为 ，加速度为 ，经过 后速度是多少？速度大小如何变化？
- 汽车以 的速度开始刹车，加速度为 。汽车多久停下？刹车后 时速度是多少？
- 某物体的 图像是一条斜率为负、但始终在时间轴上方的直线。它的加速度方向怎样？运动方向是否改变？
提升训练
- 一辆汽车以 的速度在平直公路上匀速行驶。从某时刻起，它以 的加速度加速， 末因故紧急刹车，随后做加速度大小为 的匀减速运动直到停止。求：
- 汽车在 末的速度。
- 汽车从刹车到停下来所用的时间。
- 某探测器靠近月面后先悬停，随后关闭发动机，从静止开始以 的加速度竖直下落，经过 到达月面。求到达月面时的速度大小，并说明方向。
- 某物体沿直线运动，其 图像可用文字描述如下： 到 内速度从 均匀增大到 ； 到 内速度保持 ； 到 内速度从 均匀减小到 。
- 比较 、、 三个时刻速度的大小。
- 三个时刻速度方向是否相同？
- 三个时刻加速度的大小哪个最大？哪个最小？
- 和 的加速度方向是否相同？
- 某物体的 图像经过两点 和 ，且图像为直线。求物体的加速度和速度随时间变化的表达式。
练习题答案
基础训练答案
-
沿直线运动且加速度不变的运动叫匀变速直线运动。“匀”指速度变化得均匀，也就是相等时间内速度变化量相等，而不是速度不变。
-
匀变速直线运动的 图像是一条直线。图像斜率表示加速度，斜率的正负表示加速度方向，斜率绝对值表示加速度大小。
-
速度与时间关系式为：
其中 是 时刻的速度，单位 ； 是初速度，单位 ； 是加速度，单位 ； 是运动时间，单位 。、、 都要按正方向带符号代入。
- 由 ：
所以 后速度为 。
- 因为速度和加速度都是矢量，在一维公式中要用正负号表示方向。若不先规定正方向，就无法判断 、、 的正负，减速和反向运动容易算错。
巩固训练答案
- 先换单位：
由 ：
列车通过这段下坡路所用时间为 。
- 先换单位并统一时间：
取列车原运动方向为正方向，匀减速时 。
列车减速 后速度为 ，方向仍沿原运动方向。
- 由 ：
速度大小由 增大到 。因为速度和加速度都沿负方向，二者同向，所以物体做加速运动。
- 停下时 ：
汽车 后已经停下。刹车后 时，不能继续套公式得到负速度，实际速度为 。
- 图像斜率为负，说明加速度方向为所选正方向的反方向。图线始终在时间轴上方，说明速度始终为正，运动方向没有改变，只是速度在减小。
提升训练答案
- 先换单位：
加速过程：
所以汽车在 末的速度为 。
刹车过程取原运动方向为正方向，，，：
汽车从刹车到停下来约用 。
- 探测器从静止开始下落，取向下为正方向，，，。
到达月面时速度大小为 ，方向竖直向下。
- 根据题意：
- 时处在 到 的匀加速阶段，速度为 。
- 时处在 到 的匀速阶段，速度为 。
- 时处在 到 的匀减速阶段，速度为 。
所以速度大小： 最大， 次之， 最小。
三个时刻速度都为正，方向相同。
三个时刻的加速度：
按加速度大小比较， 时最大， 时最小。 加速度为正， 加速度为负，方向不同。
- 图像为直线，说明物体做匀变速直线运动。加速度为图像斜率：
初速度为 ，所以速度表达式为：
其中 的单位为 ， 的单位为 。