题目

集合新定义｜题目

共 4 题。先完成题目，再打开答案与思路。

难度按基础、巩固、提升、综合标注；题号固定，后续增补不重排。

CH01-011

• 来源：高中必刷题数学必修第一册狂K重点 132，集合新定义，例1
• 题型：解答｜难度：巩固
• 训练目标：把差与对称差转换为常规集合运算
• 关联知识点：交并补运算

对非空集合 $A,B$ 定义 $A-B=\{x\mid x\in A,x\notin B\}$，$A\ast B=\{x\mid x\in A\cup B,x\notin A\cap B\}$。

（1）$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{3,4,5,6\}$；（2）$A=[1,3]$，$B=[2,+\infty )$。分别求 $A-B$ 和 $A\ast B$。

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CH01-012

• 来源：高中必刷题数学必修第一册狂K重点 132，集合新定义，例2
• 题型：填空｜难度：提升
• 训练目标：逐条检验新定义的封闭性
• 关联知识点：交并补运算

设 $X=\{a,b,c\}$，$\Gamma$ 是以 $X$ 的某些子集为元素的集合。若 $X,\varnothing \in \Gamma$，且 $\Gamma$ 中任意多个元素的并集、交集仍属于 $\Gamma$，称 $\Gamma$ 为 $X$ 上的拓扑。判断下列哪些是拓扑：

① $\{\varnothing ,\{a\},\{c\},X\}$；② $\{\varnothing ,\{b\},\{c\},\{b,c\},X\}$；③ $\{\varnothing ,\{a\},\{a,b\},\{a,c\}\}$；④ $\{\varnothing ,\{a,c\},\{b,c\},\{c\},X\}$。

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CH01-023

• 来源：高一数学10月诊断练习，第10题
• 题型：选择｜难度：提升
• 训练目标：用四种成员状态检验集合特征函数
• 关联知识点：交并补运算

对于全集 $U$ 的子集 $A$，定义函数 $f_A(x)$：当 $x\in A$ 时，$f_A(x)=1$；当 $x\in {\complement }_{U}A$ 时，$f_A(x)=0$．称其为 $A$ 的特征函数．设 $A,B$ 为全集 $U$ 的子集，下列结论中错误的是（　　）

A. 若 $A\subseteq B$，则 $f_A(x)\le f_B(x)$
B. $f_{{\complement }_{U}A}(x)=1-f_A(x)$
C. $f_{A\cap B}(x)=f_A(x)\cdot f_B(x)$
D. $f_{A\cup B}(x)=f_A(x)+f_B(x)$

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CH01-029

• 来源：高一数学10月诊断练习，第21题
• 题型：解答｜难度：综合
• 训练目标：用奇偶不变量排除并构造递推链
• 关联知识点：交并补运算

给定正整数 $N\ge 3$，设集合 $A=\{a_i|a_i\in {\mathbf{N}}^{\ast },i=1,2,\dots ,N\}$．任取 $A$ 中两个元素 $a_i,a_j$，记 $A_1=\{a_i,a_j\}$，$B_1=\{a_i+a_j,a_i{a}_j\}$，$T_1(A)=B_1\cup C_A{A}_1$；任取 $T_1(A)$ 中两个元素 $a_k,a_l$，记 $A_2=\{a_k,a_l\}$，$B_2=\{a_k+a_l,a_k{a}_l\}$，$T_2(A)=B_2\cup C_{T_1(A)}{A}_2$；…，以此类推：任取 $T_{k-1}(A)$ 中两个元素 $a_u,a_v$，记 $A_k=\{a_u,a_v\}$，$B_k=\{a_u+a_v,a_u{a}_v\}$，$T_k(A)=B_k\cup C_{T_{k-1}(A)}{A}_k$，其中 $k\ge 1$，规定 $T_0(A)=A$．

（1）当 $A=\{3,5,7\}$ 时，写出一组 $A_1$，$B_1$ 和 $T_1(A)$；

（2）是否存在集合 $A$ 与正整数 $k$，使 $T_k(A)=\{17,37,77\}$？说明理由；

（3）当 $A=\{1,2,3,4,5\}$ 时，是否存在正整数 $k$，使 $T_k(A)=\{5,9,26,120,121\}$？若存在，写出一组 $T_1(A),T_2(A),\dots ,T_k(A)$；若不存在，说明理由．

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