答案与思路

集合新定义｜答案与思路

对应题目，共 4 题。

CH01-011

答案：（1）$A-B=\{1,2\}$，$A\ast B=\{1,2,5,6\}$；（2）$A-B=[1,2)$，$A\ast B=[1,2)\cup (3,+\infty )$。

解题思路：$A-B$ 只保留“在 $A$ 不在 $B$”的元素；$A\ast B$ 只保留“恰好属于一个集合”的元素。有限集逐个筛，区间则先求交集 $[2,3]$，从并集 $[1,+\infty )$ 中去掉它。

**关键点：**把新运算翻译成逐元素条件。

易错点：$A\ast B$ 不能把公共部分留下。

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CH01-012

**答案：**②④。

**解题思路：**① 因 $\{a\}\cup \{c\}=\{a,c\}\notin \Gamma$ 而失败。③ 缺少 $X$。② 的非平凡并交结果如 $\{b\}\cup \{c\}=\{b,c\}$ 均在族内；④ 的关键并交为 $\{a,c\}\cup \{b,c\}=X$、交为 $\{c\}$，也均在族内。

**关键点：**判断“不满足”只需找一条反例；判断“满足”要核查全部闭包条件。

**易错点：**大括号的两层含义不同：$\Gamma$ 的元素本身是集合。

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CH01-023

**答案：**D。

**解题思路：**固定 $x$，$f_A,f_B$ 只能是 $0$ 或 $1$。当 $x\in A\cap B$ 时，$f_{A\cup B}(x)=1$，但 $f_A(x)+f_B(x)=2$，所以 D 错。其余三项分别对应包含、取补和“同时在两集中”的定义。正确的并集式为 $f_{A\cup B}=f_A+f_B-f_A{f}_B$。

**关键点：**新定义题优先枚举最能暴露问题的状态。

**易错点：**普通加法会重复计算交集。

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CH01-029

答案：（1）可取 $\{3,5\}$，生成 $\{8,15\}$，$T_1(A)=\{7,8,15\}$；（2）不能；（3）能，见构造。

解题思路：（2）最后一步生成的和与积必须都是目标集合中的元素，但两个正整数的和、积不可能同时为奇数，而目标三个数均为奇数，故不可能。（3）依次取 $4,5\to 9,20$；$2,3\to 5,6$；$6,20\to 26,120$；$1,120\to 121,120$。因此 $T_1=\{1,2,3,9,20\}$，$T_2=\{1,5,6,9,20\}$，$T_3=\{1,5,9,26,120\}$，$T_4=\{5,9,26,120,121\}$。

**关键点：**不可能性看最后一步的奇偶约束；可能性给出完整正向链。

**易错点：**每步操作的是集合，重合元素只保留一次；第（3）问最后一步的 $120$ 被删去又生成。

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