答案与思路

容斥与集合计数｜答案与思路

对应题目，共 2 题。

CH01-008

**答案：**都赞成 $21$ 人；都不赞成 $8$ 人。

**解题思路：**赞成 $A$ 的有 $30$ 人，赞成 $B$ 的有 $33$ 人。设都赞成为 $x$，都不赞成为 $x/3+1$，则赞成至少一项为 $50-(x/3+1)$；容斥又给出 $30+33-x$。令两式相等，得 $x=21$，进而都不赞成 $8$ 人。

关键点：“至少赞成一项”用并集计数，两项都赞成的人只算一次。

**易错点：**不要把 $30+33$ 当作并集人数。

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CH01-027

答案：（1）$A=\{4\}$；（2）$A=\{1,3\},\{3,4\},\{3,5\}$。

**解题思路：**令 $U=\{1,2,3,4,5\}$，则 $B=U\setminus A$。（1）$|B|=4$，因 $4\notin B$，必须 $4\in A$；同时 $1\notin A$，故唯一为 $\{4\}$。（2）$|B|=3$，故 $3\in A$；又 $2\notin A$。$A$ 的另一个元素只能从 $\{1,4,5\}$ 中任选一个，所得三组均满足条件。

**关键点：**把“不在自身”转成“在另一集合”。

**易错点：**基数数字本身也是全集中的元素。

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