高一年级数学学科 10 月诊断练习

说明：本文档由试卷照片识别整理，仅保留题目，不含答案。公式使用 LaTeX，图形以 SVG 重绘并插入原位置。

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一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）

1.

命题“对任意的 $x>0$，$x^3-x^2+1\le 0$”的否定是（　　）

A. $\exists x>0,x^3-x^2+1>0$
B. $\exists x\le 0,x^3-x^2+1>0$
C. $\forall x>0,x^3-x^2+1>0$
D. $\forall x\le 0,x^3-x^2+1>0$

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2.

已知集合 $A=\{x||x-1|<3\}$，$B=\{x|x^2-3x-10<0\}$，若 $a\notin A$，且 $a\in B$，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A. $(-2,4)$
B. $(4,5)$
C. $[4,5]$
D. $[4,5)$

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3.

下列各组函数表示同一函数的是（　　）

A. $f(x)=x$，$g(x)=\sqrt{x^2}$

B. $f(x)=|x-1|$；$g(x)$ 在 $x>1$ 时为 $x-1$，在 $x<1$ 时为 $1-x$

C. $f(x)=x+1$，$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

D. $f(x)=\frac{x^0}{x}$，$g(x)=\frac{x}{x^2}$

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4.

已知函数 $f(x)=x^2-1$，$g(x)=(x+1{)}^2$，下列表中 $x=m$ 时各函数的值，则（　　）

$x$	$f(x)$	$g(x)$	$f[g(x)]$
$m$	$8$	$4$	$n$

A. $m=3,n=15$
B. $m=-3,n=15$
C. $m=3,n=81$
D. $m=-3,n=81$

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5.

已知 $m>n>0$，则（　　）

A. $m\sqrt{n}<n\sqrt{m}$
B. $m+n>mn$
C. ${\left(\frac{m+n}{2}\right)}^2>\frac{m^2+n^2}{2}$
D. $\frac{n}{m}+\frac{m}{n}>2$

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6.

汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 $1$ 升汽油行驶的里程．如图描绘了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（　　）

A. 消耗 $1$ 升汽油，乙车最多可行驶 $5$ 千米
B. 某城市机动车最高限速 $80$ 千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
C. 甲车以 $80$ 千米/时的速度行驶 $1$ 小时，消耗 $10$ 升汽油
D. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

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7.

若 $a>0,b>0$，则“$a+b\le 4$”是“$ab\le 4$”的（　　）

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件

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8.

中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 $a,b,c$，则三角形的面积 $S$ 可由公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足 $a=4$，$b+c=6$，则此三角形面积的最大值为（　　）

A. $3\sqrt{5}$
B. $2\sqrt{5}$
C. $2\sqrt{6}$
D. $3\sqrt{6}$

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9.

已知关于 $x$ 的不等式 $a(x^2-x)+1<x^2$ 恰有一个整数解，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A. $\frac{4}{3}\le a<\frac{3}{2}$
B. $\frac{4}{3}<a\le \frac{3}{2}$
C. $\frac{4}{3}\le a<2$
D. $\frac{4}{3}\le a<\frac{3}{2}$ 或 $a<0$

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10.

对于全集 $U$ 的子集 $A$，定义函数 $f_A(x)$：当 $x\in A$ 时，$f_A(x)=1$；当 $x\in {\complement }_{U}A$ 时，$f_A(x)=0$．称其为 $A$ 的特征函数．设 $A,B$ 为全集 $U$ 的子集，下列结论中错误的是（　　）

A. 若 $A\subseteq B$，则 $f_A(x)\le f_B(x)$
B. $f_{{\complement }_{U}A}(x)=1-f_A(x)$
C. $f_{A\cap B}(x)=f_A(x)\cdot f_B(x)$
D. $f_{A\cup B}(x)=f_A(x)+f_B(x)$

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二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）

11.

已知 $U=\mathbb{R}$，集合 $A=[0,+\infty )$，则 ${\complement }_{U}A=$ ________．

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12.

函数 $f(x)=\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}$ 的定义域是 ________．

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13.

函数 $f(x)$ 在 $x\le -1$ 时为 $x+2$，在 $x>-1$ 时为 $x^2$．则 $f(f(-2))=$ __；若 $f(x)=3$，则 $x=$ __．

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14.

设集合 $A=\{a,|a|,a^2\}$，$B=\{2,4\}$，若 $A\cap B=\{2\}$，则实数 $a$ 的值为 ________．

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15.

已知 $a,b,c$ 为实数，能说明“若 $a>b>c$，则 $a^2>bc$”为假命题的一组 $a,b,c$ 的值是 ________．

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16.

已知非空集合 $A$，$B$ 同时满足以下四个条件：

1. $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$；
2. $A\cap B=\varnothing$；
3. $card(A)\notin A$；
4. $card(B)\notin B$．

注：其中 $card(A)$，$card(B)$ 分别表示 $A$，$B$ 中元素的个数．

如果集合 $A$ 中只有一个元素，那么 $A=$ ________；

如果集合 $A$ 中有 $2$ 个元素，请写出所有满足条件的集合 $A$：________．

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三、解答题（共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

17.

已知集合 $A=\{x|x^2-ax+4>0\}$，$B=\{x|b+2<x<2b\}$．若 $1\in A$，$2\notin A$，则 $a$ 的取值集合为 $C$．

（1）求集合 $C$；

（2）若 $C\cup {\complement }_{\mathbb{R}}B\ne \mathbb{R}$，求实数 $b$ 的取值范围．

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18.

某农庄种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量 $t$（单位：kg）与肥料成本 $x$（单位：元）满足如下关系：

• 当 $0\le x\le 3$ 时，$t(x)=\frac{x^2+40}{4}$；
• 当 $3<x\le 10$ 时，$t(x)=15-\frac{18}{x}$。

单株成熟除肥料成本 $x$（单位：元）外，还需其他成本 $2x$（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为 $6$ 元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为 $f(x)$（单位：元）．

（1）求 $f(x)$ 的函数关系式；

（2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？

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19.

已知函数 $f(x)=a{x}^2+(a-2)x+\frac{1}{4}(a\in \mathbb{R})$．

（1）若关于 $x$ 的不等式 $f(x)\ge 0$ 的解集是实数集 $\mathbb{R}$，求 $a$ 的取值范围；

（2）当 $a<0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f(x)-\frac{9}{4}\le 0$．

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20.

已知二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ 满足 $f(0)=1$，$f(x+1)-f(x)=2x$．

（1）求 $f(x)$ 的解析式；

（2）若函数 $g(x)=f(x)-kx$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最小值为 $-3$，求实数 $k$ 的值；

（3）若对任意 $x\in [1,4]$，有不等式 $f(x)\ge (m+1)x^2-(2+m)x-1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21.

给定正整数 $N\ge 3$，设集合 $A=\{a_i|a_i\in {\mathbf{N}}^{\ast },i=1,2,\dots ,N\}$．任取 $A$ 中两个元素 $a_i,a_j$，记 $A_1=\{a_i,a_j\}$，$B_1=\{a_i+a_j,a_i{a}_j\}$，$T_1(A)=B_1\cup C_A{A}_1$；任取 $T_1(A)$ 中两个元素 $a_k,a_l$，记 $A_2=\{a_k,a_l\}$，$B_2=\{a_k+a_l,a_k{a}_l\}$，$T_2(A)=B_2\cup C_{T_1(A)}{A}_2$；…，以此类推：任取 $T_{k-1}(A)$ 中两个元素 $a_u,a_v$，记 $A_k=\{a_u,a_v\}$，$B_k=\{a_u+a_v,a_u{a}_v\}$，$T_k(A)=B_k\cup C_{T_{k-1}(A)}{A}_k$，其中 $k\ge 1$，规定 $T_0(A)=A$．

（1）当 $A=\{3,5,7\}$ 时，写出一组 $A_1$，$B_1$ 和 $T_1(A)$；

（2）是否存在集合 $A$ 与正整数 $k$，使 $T_k(A)=\{17,37,77\}$？说明理由；

（3）当 $A=\{1,2,3,4,5\}$ 时，是否存在正整数 $k$，使 $T_k(A)=\{5,9,26,120,121\}$？若存在，写出一组 $T_1(A),T_2(A),\dots ,T_k(A)$；若不存在，说明理由．