第4章 指数函数与对数函数：核心知识点大纲

学习主线

本章是一条非常完整的函数学习链：

指数概念推广 -> 指数函数图象性质 -> 对数概念与运算 -> 对数函数图象性质 -> 函数零点与模型应用

其中“指数”和“对数”互为逆向思考：

指数：已知底数和指数，求幂值
对数：已知底数和幂值，求指数

4.1 指数

核心公式

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}(a>0)$$ $$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$$ $$a^r{a}^s=a^{r+s},(a^r{)}^s=a^{rs},(ab{)}^r=a^r{b}^r.$$

重点

• 理解根式与分数指数幂的互化。
• 会进行实数指数幂运算。
• 注意底数为正的条件。

4.2 指数函数

定义

$$y=a^x(a>0,a\ne 1).$$

定义域：

$$\mathbb{R}.$$

值域：

$$(0,+\infty ).$$

图象性质

• 过点 $(0,1)$。
• $a>1$ 时递增。
• $0<a<1$ 时递减。
• 底数互为倒数的指数函数图象关于 $y$ 轴对称。

应用模型

增长模型：

$$y=N(1+p{)}^x.$$

衰减模型：

$$y=N(1-p{)}^x.$$

半衰期模型：

$$Q(t)=Q_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{h}}.$$

4.3 对数

定义

$$a^x=N⟺x={\log }_{a}N.$$

其中：

$$a>0,a\ne 1,N>0.$$

基本值

$${\log }_{a}1=0,{\log }_{a}a=1.$$

运算法则

$${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N,$$ $${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N,$$ $${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M.$$

换底公式

$${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}.$$

4.4 对数函数

定义

$$y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1).$$

定义域：

$$(0,+\infty ).$$

值域：

$$\mathbb{R}.$$

图象性质

• 过点 $(1,0)$。
• $a>1$ 时递增。
• $0<a<1$ 时递减。
• 与指数函数 $y=a^x$ 互为反函数，图象关于 $y=x$ 对称。

增长比较

在 $x$ 足够大时：

对数增长 < 直线上升 < 指数爆炸

典型形式：

$${\log }_{a}x,kx,b^x$$

其中 $a>1,k>0,b>1$。

4.5 函数的应用（二）

零点与方程

$$f(x)=0$$

的实数解就是函数 $y=f(x)$ 的零点。

零点存在定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且

$$f(a)f(b)<0,$$

则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个零点。

二分法

通过反复取中点，把零点所在区间一分为二，保留函数值异号的一段，直到区间长度小于精确度。

建模流程

分析增长方式 -> 选择函数类型 -> 建立解析式 -> 求解模型 -> 检验适用条件 -> 解释实际意义

本章重点

• 根式与分数指数幂互化。
• 指数函数图象与性质。
• 指数增长、指数衰减模型。
• 对数定义及指数式、对数式互化。
• 对数运算法则与换底公式。
• 对数函数图象与性质。
• 指数函数与对数函数互为反函数。
• 函数零点与二分法。
• 不同函数模型增长差异。

本章难点

• 分数指数幂中底数条件和根式符号。
• 指数函数、对数函数单调性随底数变化而变化。
• 对数真数必须大于 0。
• 对数运算不能误用为“拆加法”。
• 零点存在定理只能保证至少一个零点，不一定唯一。
• 二分法要保证函数连续且端点函数值异号。
• 实际建模时要判断模型适用范围。

常见考点

• 指数幂化简计算。
• 指数函数定义域、值域、单调性。
• 比较指数式大小。
• 指数增长、半衰期、复利模型。
• 指数式与对数式互化。
• 对数运算与换底公式。
• 对数函数定义域与比较大小。
• 反函数图象关系。
• 用零点存在定理判断根的存在。
• 用二分法求方程近似解。
• 函数模型选择与实际问题解释。