4.4 对数函数

对数函数整体结构

本节学习目标

理解对数函数 $y = lo g_{a} x$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）的概念，知道它是由指数函数 $y = a^{x}$ 反解而得，能从指数与对数的互逆关系理解对数函数。
掌握对数函数的图象特征和性质（定义域、值域、定点、单调性），能分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 两种情况画出图象。
理解对数函数与指数函数互为反函数，知道它们的定义域与值域互换、图象关于直线 $y = x$ 对称。
会求对数型函数的定义域（真数大于 $0$ 、底数条件、复合函数等），会比较对数式的大小（同底单调性、不同底找中间量、底数分类讨论）。
理解对数函数底数互为倒数时图象关于 $x$ 轴对称（ $lo g_{1/ a} x = - lo g_{a} x$ ）。
对比一次函数、指数函数、对数函数的增长差异，理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义，能根据实际增长规律选择合适的函数模型。
能用对数函数解决 pH 计算、物价翻番、GDP 增长反求时间等实际问题。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

在 4.2 节我们用指数函数 $y = (\frac{1}{2})^{x /5730}$ 研究了碳14 含量 $y$ 随死亡时间 $x$ 的衰减规律。现在反过来问：已知碳14 含量 $y$ ，如何得知死亡了多长时间 $x$ ？利用指数与对数的互逆关系，由 $y = (\frac{1}{2})^{x /5730}$ 反解得 $x = 5730 \cdot lo g_{\frac{1}{2}} y$ 。这说明 $x$ 也是 $y$ 的函数——时间随碳14 含量变化。

一般地，由指数函数 $y = a^{x}$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）反解得 $x = lo g_{a} y$ ， $x$ 也是 $y$ 的函数。按习惯用 $x$ 表示自变量、 $y$ 表示函数值，把字母对调，就得到 $y = lo g_{a} x$ 。这就是对数函数。对数函数是指数函数的“逆运算函数”——指数函数解决“已知 $x$ 求 $a^{x}$ ”，对数函数解决“已知 $a^{x}$ 求 $x$ ”。

二、核心概念与定义条件

对数函数的定义：一般地，函数

y = lo g_{a} x (a > 0, a \neq = 1)

叫作对数函数（logarithmic function），其中 $x$ 是自变量，定义域是 $(0, + \infty)$ 。

为什么定义域是 $(0, + \infty)$ ？因为对数的真数必须大于 $0$ （ $a^{x} > 0$ ，故 $N > 0$ ），所以自变量 $x$ （作为真数）必须为正。这与指数函数 $y = a^{x}$ 的值域 $(0, + \infty)$ 恰好对应——指数函数的值域就是对数函数的定义域。

三、符号语言与等价表示

对数函数与指数函数的反函数关系：

项目	指数函数 $y = a^{x}$	对数函数 $y = lo g_{a} x$
定义域	$R$	$(0, + \infty)$
值域	$(0, + \infty)$	$R$
定点	$(0, 1)$	$(1, 0)$
单调性（ $a > 1$ ）	增函数	增函数
单调性（ $0 < a < 1$ ）	减函数	减函数

两者的定义域与值域恰好互换，它们互为反函数，图象关于直线 $y = x$ 对称。指数函数上的点 $(b, a^{b})$ 对应对数函数上的点 $(a^{b}, b)$ （坐标互换）。

对数函数的图象与性质（核心表格，分两种情况）：

项目	$a > 1$	$0 < a < 1$
图象示意	在 $y$ 轴右侧、过 $(1, 0)$ 向右上方上升	在 $y$ 轴右侧、过 $(1, 0)$ 向右下方下降
定义域	$(0, + \infty)$	$(0, + \infty)$
值域	$R$	$R$
定点	过 $(1, 0)$ ，即 $x = 1$ 时 $y = 0$	过 $(1, 0)$ ，即 $x = 1$ 时 $y = 0$
单调性	在 $(0, + \infty)$ 上单调递增	在 $(0, + \infty)$ 上单调递减
当 $x > 1$ 时	$lo g_{a} x > 0$	$lo g_{a} x < 0$
当 $0 < x < 1$ 时	$lo g_{a} x < 0$	$lo g_{a} x > 0$
渐近线	$y$ 轴（ $x = 0$ ）	$y$ 轴（ $x = 0$ ）

两条重要规律：

所有对数函数图象都过定点 $(1, 0)$ ，因为 $lo g_{a} 1 = 0$ 对任意 $a > 0, a \neq = 1$ 成立。
底数互为倒数的两个对数函数图象关于 $x$ 轴对称。因为由换底公式 $lo g_{1/ a} x = - lo g_{a} x$ ，点 $(x, y)$ 与 $(x, - y)$ 关于 $x$ 轴对称。例如 $y = lo g_{2} x$ 与 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x = - lo g_{2} x$ 关于 $x$ 轴对称。

对数函数图象与反函数关系

四、关键性质、定理与公式

求对数型函数定义域的规则：

真数大于 $0$ ： $lo g_{a} f (x)$ 要求 $f (x) > 0$ （严格大于）。
底数大于 $0$ 且不等于 $1$ ： $lo g_{g (x)} N$ 要求 $g (x) > 0$ 且 $g (x) \neq = 1$ 。
分母不为 $0$ 、偶次根式被开方数非负等常规限制。
多个条件取交集。

比较对数式大小的方法：

情形	方法	依据
同底 $lo g_{a} x_{1}$ 与 $lo g_{a} x_{2}$ （ $a > 1$ ）	$x_{1} < x_{2} \Rightarrow lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2}$	增函数
同底 $lo g_{a} x_{1}$ 与 $lo g_{a} x_{2}$ （ $0 < a < 1$ ）	$x_{1} < x_{2} \Rightarrow lo g_{a} x_{1} > lo g_{a} x_{2}$	减函数
底数不确定	分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 讨论	分类
不同底	找中间量 $0$ （与定点 $(1, 0)$ 联系）或化为同底	灵活

中间量法：当 $a > 1$ 时， $x > 1 \Rightarrow lo g_{a} x > 0$ ； $0 < x < 1 \Rightarrow lo g_{a} x < 0$ 。 $0$ 是天然的分界值（来自定点 $(1, 0)$ ）。

三类函数的增长差异（核心结论， $a > 1, b > 1, k > 0$ ）：

函数	增长方式	特征	适合描述
对数函数 $y = lo g_{a} x$	对数增长	随 $x$ 增大增长越来越慢，图象越来越平缓	增速放缓的现象
一次函数 $y = k x$	直线上升	保持固定速度增长	匀速变化
指数函数 $y = b^{x}$	指数爆炸	随 $x$ 增大增长越来越快，最终远超其他	快速膨胀

增长速度排序：对数增长 $<$ 直线上升 $<$ 指数爆炸。即随 $x$ 增大，存在 $x_{0}$ ，当 $x > x_{0}$ 时恒有 $lo g_{a} x < k x < b^{x}$ 。

五、典型模型与解题方法

研究对数函数的路径（类比指数函数）：解析式 $\to$ 定义域 $\to$ 画图象 $\to$ 值域 $\to$ 单调性 $\to$ 定点与渐近线 $\to$ 反函数关系 $\to$ 应用。

模型一：求对数型函数定义域。列出真数 $> 0$ 、底数条件等，取交集。

模型二：比较对数式大小。同底用单调性；底数不确定分类讨论；不同底找中间量 $0$ 。

模型三：反函数关系。指数函数 $y = a^{x}$ 与对数函数 $y = lo g_{a} x$ 互为反函数，定义域值域互换，图象关于 $y = x$ 对称。

模型四：对数函数图象变换。 $y = lo g_{a} (x + b)$ （左右平移）、 $y = lo g_{a} x + c$ （上下平移）、 $y = - lo g_{a} x$ （关于 $x$ 轴对称）、 $y = lo g_{a} ∣ x ∣$ （保留 $x > 0$ 部分并关于 $y$ 轴翻折）。

模型五：实际应用。pH 计算（ $pH = - l g [H^{+}]$ ）、物价翻番（ $t = lo g_{1 + p} w$ ）、GDP 增长反求时间等。

模型六：增长模型选择。根据实际增长规律（匀速/加速/减速）选择一次、指数或对数模型。

六、题型应用与迁移

本节题型分六类：①对数函数定义与定义域；②比较对数式大小（同底、分类、不同底）；③对数函数图象与性质（画图、定点、渐近线、对称性）；④反函数关系（定义域值域互换、 $y = x$ 对称）；⑤三类函数增长比较与模型选择；⑥实际应用（pH、物价、GDP）。对数函数与指数函数互为反函数，是描述“增长越来越慢”现象的核心工具，在 4.5 节函数应用中将与指数函数、幂函数综合比较。

重点梳理

对数函数的定义域是 $(0, + \infty)$ ，不是全体实数。因为对数真数必须 $> 0$ 。这一点之所以重要，是因为它决定了对数函数图象只在 $y$ 轴右侧、定义域题必须从真数 $> 0$ 出发。例如 $lo g_{2} (x - 3)$ 要求 $x - 3 > 0$ 即 $x > 3$ 。
对数函数恒过定点 $(1, 0)$ 。因 $lo g_{a} 1 = 0$ 。这与指数函数恒过 $(0, 1)$ 形成对偶。判断一个图象是否可能是对数函数图象，看它是否过 $(1, 0)$ 且只在 $y$ 轴右侧。
$a > 1$ 递增、 $0 < a < 1$ 递减。这与指数函数单调性方向一致（同底数的指数函数和对数函数单调性相同）。触发条件：看到对数函数，第一反应问“底数大于 $1$ 还是小于 $1$ ”。
对数函数与指数函数互为反函数。定义域与值域互换（ $R \leftrightarrow (0, + \infty)$ ），图象关于直线 $y = x$ 对称。指数函数上点 $(b, a^{b})$ 对应对数函数上点 $(a^{b}, b)$ 。这条关系是理解两类函数的纽带。
底数互为倒数的两个对数函数图象关于 $x$ 轴对称。 $lo g_{1/ a} x = - lo g_{a} x$ 。这与指数函数不同（指数函数底数互为倒数时关于 $y$ 轴对称）。可由一个图象翻折得到另一个。
对数增长越来越慢，适合描述“增速放缓”的现象。 $l g 10 = 1, l g 100 = 2, l g 1000 = 3, l g 10000 = 4$ ——真数增长 $10$ 倍，对数才增加 $1$ 。对数函数虽然单调递增（ $a > 1$ ），但增速递减，图象越来越平缓。这与指数爆炸形成鲜明对比。

难点突破

难点一：对数型函数定义域的求解

$lo g_{a} f (x)$ 型函数要求真数 $f (x) > 0$ 。如果是 $lo g_{g (x)} N$ 型，还要底数 $g (x) > 0$ 且 $g (x) \neq = 1$ 。多个对数相加（如 $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 2)$ ），每个真数都要 $> 0$ ，取交集。

突破方法：逐个列出每个对数的真数条件（和底数条件），用不等式组表示，求交集。例如 $y = lo g_{2} (x^{2} - 1)$ 要求 $x^{2} - 1 > 0$ 即 $x < - 1$ 或 $x > 1$ 。

难点二： $0 < a < 1$ 时比较大小方向相反

$a > 1$ 时 $lo g_{a} x$ 递增，自变量大的函数值大； $0 < a < 1$ 时递减，自变量大的函数值反而小。初学者容易两个方向混用。

突破方法：记住“ $0 < a < 1$ 的对数函数图象下降”，代入特殊值验证。如比较 $lo g_{0.3} 1.8$ 与 $lo g_{0.3} 2.7$ ： $0 < 0.3 < 1$ 减函数， $1.8 < 2.7$ ，所以 $lo g_{0.3} 1.8 > lo g_{0.3} 2.7$ （方向与增函数相反）。

对数函数比较大小方向

难点三：底数不确定时要分类讨论

比较 $lo g_{a} 5.1$ 与 $lo g_{a} 5.9$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）：底数 $a$ 的大小不确定，需分两种情况。 $a > 1$ 时增函数， $5.1 < 5.9$ ， $lo g_{a} 5.1 < lo g_{a} 5.9$ ； $0 < a < 1$ 时减函数， $5.1 < 5.9$ ， $lo g_{a} 5.1 > lo g_{a} 5.9$ 。

突破方法：看到底数用字母表示且未给定范围，固定动作“分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 讨论”。

难点四：反函数图象关于 $y = x$ 对称的理解

$y = 2^{x}$ 上的点 $(1, 2)$ 关于 $y = x$ 的对称点是 $(2, 1)$ ，而 $(2, 1)$ 正好在 $y = lo g_{2} x$ 上（ $lo g_{2} 2 = 1$ ）。一般地， $(b, 2^{b})$ 关于 $y = x$ 的对称点 $(2^{b}, b)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上。这是因为 $y = 2^{x} \Leftrightarrow x = lo g_{2} y$ ，交换 $x, y$ 得 $y = lo g_{2} x$ ，坐标互换正是关于 $y = x$ 对称。

突破方法：理解“反函数就是交换 $x, y$ ”，交换坐标等价于关于 $y = x$ 对称。画图时先画一个函数再关于 $y = x$ 翻折得到另一个。

难点五：三类函数增长差异的把握

以 $y = 2^{x}$ （指数）、 $y = 2 x$ （线性）、 $y = l g x$ （对数）为例： $x = 10$ 时， $2^{10} = 1024$ ， $2 \times 10 = 20$ ， $l g 10 = 1$ ； $x = 20$ 时， $2^{20} \approx 100$ 万， $2 \times 20 = 40$ ， $l g 20 \approx 1.3$ 。可见指数爆炸式增长远超线性，线性又远超对数。

突破方法：用具体数据比较三者。记住排序“对数 $<$ 线性 $<$ 指数”，以及“存在分界点 $x_{0}$ ，之后指数最大、对数最小”。

三类函数增长差异

例题讲解

例1：求对数型函数的定义域

求下列函数的定义域：（1） $y = lo g_{\frac{1}{2}} (4 - x)$ ；（2） $y = lo g_{2} (x^{2} - 1)$ ；（3） $y = \frac{1}{l g x}$ 。

审题： 逐个列出真数（和底数、分母）条件，取交集。

解：（1）真数 $4 - x > 0$ ，即 $x < 4$ 。定义域为 $(- \infty, 4)$ 。

（2）真数 $x^{2} - 1 > 0$ ，即 $(x - 1) (x + 1) > 0$ ，解得 $x < - 1$ 或 $x > 1$ 。定义域为 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ 。

（3） $l g x$ 要求 $x > 0$ ；分母 $l g x \neq = 0$ ，即 $x \neq = 1$ 。综合： $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 。定义域为 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$ 。

检验： （2）取 $x = 2 \in (1, + \infty)$ ， $lo g_{2} (4 - 1) = lo g_{2} 3$ 有意义 ✓；取 $x = 0$ ， $lo g_{2} (0 - 1) = lo g_{2} (- 1)$ 无意义 ✓（不在定义域）。

反思： 求定义域的核心是真数 $> 0$ 。遇到分式还要分母 $\neq = 0$ ，遇到底数含变量还要底数 $> 0$ 且 $\neq = 1$ 。所有条件取交集。

例2：比较对数式的大小

比较下列各题中两个值的大小：

（1） $lo g_{2} 3.4$ 与 $lo g_{2} 8.5$ ；（2） $lo g_{0.3} 1.8$ 与 $lo g_{0.3} 2.7$ ；（3） $lo g_{a} 5.1$ 与 $lo g_{a} 5.9$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）。

审题： （1）（2）底数确定用单调性；（3）底数不确定分类讨论。

解：（1） $lo g_{2} 3.4$ 和 $lo g_{2} 8.5$ 看作 $y = lo g_{2} x$ 在 $x = 3.4$ 和 $x = 8.5$ 的值。因 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 是增函数。因 $3.4 < 8.5$ ，所以 $lo g_{2} 3.4 < lo g_{2} 8.5$ 。

（2） $lo g_{0.3} 1.8$ 和 $lo g_{0.3} 2.7$ 看作 $y = lo g_{0.3} x$ 在 $x = 1.8$ 和 $x = 2.7$ 的值。因 $0 < 0.3 < 1$ ， $y = lo g_{0.3} x$ 是减函数。因 $1.8 < 2.7$ ，所以 $lo g_{0.3} 1.8 > lo g_{0.3} 2.7$ 。

（3）底数 $a$ 不确定，分两种情况：

当 $a > 1$ 时， $y = lo g_{a} x$ 增函数， $5.1 < 5.9$ ， $lo g_{a} 5.1 < lo g_{a} 5.9$ 。
当 $0 < a < 1$ 时， $y = lo g_{a} x$ 减函数， $5.1 < 5.9$ ， $lo g_{a} 5.1 > lo g_{a} 5.9$ 。

反思： 同底用单调性； $0 < a < 1$ 方向与 $a > 1$ 相反；底数不确定必须分类讨论。

例3：物价翻番的对数模型

某地初始物价为 $1$ ，每年以 $5%$ 的增长率递增，经过 $t$ 年后物价为 $w$ 。

（1）物价经过几年后翻一番（变为 $2$ 倍）？（2）物价从 $1$ 涨到 $10$ 需要多少年？

审题： 物价模型 $w = 1.0 5^{t}$ ，反求 $t = lo g_{1.05} w$ 。

解：由题意 $w = 1.0 5^{t}$ （ $t \geq 0$ ）。由对数定义， $t = lo g_{1.05} w$ 。

（1）翻一番即 $w = 2$ ： $t = lo g_{1.05} 2 = \frac{l g 2}{l g 1.05} \approx \frac{0.3010}{0.0212} \approx 14.2$ 。所以约 $14$ 年后物价翻一番。

（2） $w = 10$ ： $t = lo g_{1.05} 10 = \frac{l g 10}{l g 1.05} = \frac{1}{0.0212} \approx 47.2$ 。所以约 $47$ 年后物价涨到 $10$ 倍。

反思： 对数函数 $t = lo g_{1.05} w$ 刻画了“达到给定物价所需年数”。从（1）（2）可以看出，物价从 $1$ 到 $2$ 需 $14$ 年，从 $1$ 到 $10$ 需 $47$ 年——每增加同样的倍数所需年数在变化（这是对数增长的特征）。

例4：溶液酸碱度 pH

溶液酸碱度用 pH 计量， $pH = - l g [H^{+}]$ ，其中 $[H^{+}]$ 是氢离子浓度（mol/L）。

（1）说明 pH 与 $[H^{+}]$ 的变化关系；（2）纯净水 $[H^{+}] = 1 0^{- 7}$ mol/L，求 pH。

审题： pH 是 $[H^{+}]$ 的常用对数（取负）的函数，用对数函数单调性分析。

解：（1） $pH = - l g [H^{+}] = l g \frac{1}{[ H ^{+} ]}$ 。在 $(0, + \infty)$ 上，随 $[H^{+}]$ 增大， $\frac{1}{[ H ^{+} ]}$ 减小， $l g \frac{1}{[ H ^{+} ]}$ 减小（因 $y = l g x$ 递增），即 pH 减小。所以氢离子浓度越大，pH 越小，溶液酸性越强。

（2） $[H^{+}] = 1 0^{- 7}$ ： $pH = - l g 1 0^{- 7} = - (- 7) = 7$ 。纯净水的 pH 为 $7$ （中性）。

反思： pH 是对数函数在化学中的经典应用。pH 每降低 $1$ ， $[H^{+}]$ 增大 $10$ 倍（因 $Δ pH = 1 \Rightarrow Δ l g [H^{+}] = - 1 \Rightarrow [H^{+}] \times 10$ ）。这是对数尺度的体现。

例5：反函数关系

写出指数函数 $y = 2^{x}$ 的反函数，说明两者的定义域、值域和图象关系。

解：由 $y = 2^{x}$ （ $x \in R$ ， $y \in (0, + \infty)$ ）反解得 $x = lo g_{2} y$ 。按习惯交换 $x, y$ 得反函数 $y = lo g_{2} x$ 。

	$y = 2^{x}$	$y = lo g_{2} x$
定义域	$R$	$(0, + \infty)$
值域	$(0, + \infty)$	$R$

两者的定义域与值域恰好互换。图象关于直线 $y = x$ 对称： $y = 2^{x}$ 上的点 $(1, 2)$ 对应 $y = lo g_{2} x$ 上的点 $(2, 1)$ ； $(0, 1)$ 对应 $(1, 0)$ 。

反思： 反函数的核心是“交换 $x, y$ ”，等价于图象关于 $y = x$ 对称。指数函数和对数函数互为反函数，是高中阶段最重要的反函数对。

易错点整理

错误表现：把对数函数定义域写成 $R$ 。
- 错因分析：忘记真数必须 $> 0$ 。对数函数定义域是 $(0, + \infty)$ ，不是全体实数。
- 正确处理：定义域从真数 $> 0$ 出发。 $lo g_{a} f (x)$ 要求 $f (x) > 0$ 。
错误表现： $0 < a < 1$ 时比较大小方向弄反。
- 反例：比较 $lo g_{0.5} 4$ 与 $lo g_{0.5} 8$ ，若用增函数逻辑得 $lo g_{0.5} 4 < lo g_{0.5} 8$ （错，实际 $- 2 > - 3$ ）。
- 正确处理： $0 < a < 1$ 减函数，自变量大函数值小，方向与 $a > 1$ 相反。
错误表现：混淆指数函数定点 $(0, 1)$ 和对数函数定点 $(1, 0)$ 。
- 正确处理：指数函数 $a^{0} = 1$ 过 $(0, 1)$ ；对数函数 $lo g_{a} 1 = 0$ 过 $(1, 0)$ 。两者坐标互换（反函数关系）。
错误表现：底数不确定时不分类讨论，直接下结论。
- 正确处理：底数 $a$ 不确定时，分 $a > 1$ （增）和 $0 < a < 1$ （减）两种情况讨论。
错误表现：认为对数增长就是“不增长”。
- 正确处理：对数函数 $y = lo g_{a} x$ （ $a > 1$ ）仍单调递增，只是增长速度越来越慢（图象趋缓），不是停止增长。
错误表现：求定义域时只考虑一个对数的真数，忽略多个真数的交集或分母条件。
- 正确处理：每个对数的真数都要 $> 0$ ，分式分母 $\neq = 0$ ，所有条件取交集。

考点考证点整理

考点一：对数函数的定义域

出题思路：求 $lo g_{a} f (x)$ 、 $lo g_{g (x)} N$ 、含分式/根式的对数型函数的定义域。
关键条件：真数 $> 0$ ；底数 $> 0$ 且 $\neq = 1$ ；分母 $\neq = 0$ ；偶次根式被开方数 $\geq 0$ 。
解答要点：逐个列出条件，用不等式（组）表示，求交集，用区间表示。
易扣分点：只列一个条件遗漏其他；交集求错；真数写成 $\geq 0$ （应为 $> 0$ ）；端点开闭错。

考点二：对数函数的图象与性质

出题思路：画 $y = lo g_{a} x$ （ $a > 1$ 或 $0 < a < 1$ ）的图象；写定义域、值域、定点、单调性；给图象判断底数范围。
关键条件：定义域 $(0, + \infty)$ 、值域 $R$ 、定点 $(1, 0)$ 、 $a > 1$ 增、 $0 < a < 1$ 减；底数互为倒数图象关于 $x$ 轴对称。
解答要点：分两种情况画图；注明定点 $(1, 0)$ 、渐近线（ $y$ 轴）、单调性。
易扣分点：值域写成 $(0, + \infty)$ （应为 $R$ ）；定点写成 $(0, 1)$ （应为 $(1, 0)$ ）；单调性方向与底数不对应。

考点三：比较对数式的大小

出题思路：比较两个对数式（同底、不同底、底数含字母）。
关键条件：底数与 $1$ 的关系（决定增减）；真数大小；底数不确定要分类。
解答要点：同底用单调性；底数不确定分 $a > 1$ 、 $0 < a < 1$ 讨论；不同底找中间量 $0$ （ $lo g_{a} x$ 与 $0$ 的关系由 $x$ 与 $1$ 的关系决定）。
易扣分点： $0 < a < 1$ 方向弄反；不分类讨论；中间量选择不当。

考点四：反函数关系

出题思路：写出指数函数的反函数；说明定义域值域互换和图象关于 $y = x$ 对称；由反函数性质求值。
关键条件： $y = a^{x}$ 与 $y = lo g_{a} x$ 互为反函数；定义域值域互换；图象关于 $y = x$ 对称。
解答要点：由 $y = a^{x}$ 反解并交换 $x, y$ 得 $y = lo g_{a} x$ ；定义域 $R \leftrightarrow (0, + \infty)$ 互换。
易扣分点：反函数写错（底数弄反）；定义域值域对应关系搞乱；忘记交换 $x, y$ 。

考点五：三类函数增长比较与模型选择

出题思路：比较 $y = k x$ 、 $y = lo g_{a} x$ 、 $y = b^{x}$ 的增长速度；给数据判断是哪种增长；根据实际情境选模型。
关键条件：对数增长越来越慢、直线匀速、指数爆炸越来越快；存在分界点后 $lo g_{a} x < k x < b^{x}$ 。
解答要点：用数据或图象比较三者增速；排序“对数 $<$ 线性 $<$ 指数”；根据增速特征选模型。
易扣分点：增长排序搞反；把对数增长误认为不增长；小范围内大小关系判断错（需看具体范围）。

考点六：实际应用（pH、物价、GDP）

出题思路：pH 计算、物价/GDP 翻番反求时间、增长率模型反求。
关键条件： $pH = - l g [H^{+}]$ ； $w = (1 + p)^{t} \Rightarrow t = lo g_{1 + p} w$ ；实际取整。
解答要点：写出指数关系 $\to$ 用对数反求 $\to$ 换底为 $l g$ 或 $ln$ 计算 $\to$ 结合实际取整或解释。
易扣分点：指数关系写错；对数反求时底数搞错；忘记取整；pH 与 $[H^{+}]$ 的关系判断错。

练习题

基础训练

求下列函数的定义域：
（1） $y = lo g_{3} (x - 2)$ ；（2） $y = lo g_{\frac{1}{2}} (4 - x)$ ；（3） $y = ln (1 - x)$ ；（4） $y = \frac{1}{l g x}$ 。
写出对数函数 $y = lo g_{a} x$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）的定义域、值域、定点和单调性（分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ ）。
比较下列各题中两个值的大小：
（1） $lo g_{3} 5$ 与 $lo g_{3} 7$ ；（2） $lo g_{0.5} 6$ 与 $lo g_{0.5} 4$ ；（3） $l g 0.6$ 与 $l g 0.8$ 。
在同一直角坐标系中画出 $y = lo g_{2} x$ 和 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的图象，说明它们的关系。
写出指数函数 $y = 3^{x}$ 的反函数，并说明两者定义域、值域的关系。

巩固训练

比较下列各题中两个值的大小：
（1） $lo g_{0.5} 6$ 与 $lo g_{0.5} 4$ ；（2） $lo g_{m} 5$ 与 $lo g_{m} 7$ （ $m > 0, m \neq = 1$ ）。
求下列函数的定义域：
（1） $y = lo g_{2} (x^{2} - 4)$ ；（2） $y = lo g_{(x - 1)} (3 - x)$ 。
某地去年 GDP 为 $3000$ 亿元，预计未来平均增长率为 $6.8%$ 。经过几年该地 GDP 能达到 $3900$ 亿元？（精确到 $1$ 年）
三个变量 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 随 $x$ 变化的数据如下：

$x$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$	$25$	$30$
$y_{1}$	$5$	$130$	$505$	$1130$	$2005$	$3130$	$4505$
$y_{2}$	$5$	$90$	$1620$	$29160$	$524880$	$9447840$	$170061120$
$y_{3}$	$5$	$30$	$55$	$80$	$105$	$130$	$155$

判断哪个变量呈指数增长？哪个呈线性增长？哪个可能呈对数增长（或二次函数型）？

已知胃酸中氢离子浓度 $[H^{+}] = 2.5 \times 1 0^{- 2}$ mol/L，求胃酸的 pH（保留 $1$ 位小数）。

提升训练

比较 $lo g_{2} 3$ 与 $lo g_{3} 4$ 的大小。（提示：可用换底公式化为同底，或借助中间量。）
已知 $f (x) = lo g_{a} x$ （ $a > 1$ ），且 $f (2) > f (3)$ 是否成立？为什么？若 $0 < a < 1$ 呢？
画出函数 $y = ∣ lo g_{2} (x - 1) ∣$ 的图象，写出定义域、值域，并讨论单调性。
某种产品的利润 $y$ （万元）随投资额 $x$ （万元）的增长规律近似满足 $y = lo g_{2} x$ 。投资额从 $4$ 万元增加到 $8$ 万元、从 $8$ 万元增加到 $16$ 万元，利润分别增加了多少？这体现了对数增长的什么特征？

练习题答案

基础训练答案

（1） $x - 2 > 0$ ， $x > 2$ ，定义域 $(2, + \infty)$ 。（2） $4 - x > 0$ ， $x < 4$ ，定义域 $(- \infty, 4)$ 。（3） $1 - x > 0$ ， $x < 1$ ，定义域 $(- \infty, 1)$ 。（4） $x > 0$ 且 $l g x \neq = 0$ 即 $x \neq = 1$ ，定义域 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$ 。
定义域 $(0, + \infty)$ ；值域 $R$ ；定点 $(1, 0)$ （即 $x = 1$ 时 $y = 0$ ）； $a > 1$ 时在 $(0, + \infty)$ 上单调递增， $0 < a < 1$ 时单调递减。
（1） $3 > 1$ 增函数， $5 < 7$ ， $lo g_{3} 5 < lo g_{3} 7$ 。（2） $0 < 0.5 < 1$ 减函数， $6 > 4$ ， $lo g_{0.5} 6 < lo g_{0.5} 4$ 。（3） $10 > 1$ 增函数， $0.6 < 0.8$ ， $l g 0.6 < l g 0.8$ 。
$y = lo g_{2} x$ （ $a > 1$ ）过 $(1, 0)$ 在 $y$ 轴右侧向右上方上升； $y = lo g_{1/2} x = - lo g_{2} x$ （ $0 < a < 1$ ）过 $(1, 0)$ 向右下方下降。因 $lo g_{1/2} x = - lo g_{2} x$ ，两图象关于 $x$ 轴对称。
$y = 3^{x}$ （定义域 $R$ ，值域 $(0, + \infty)$ ）的反函数是 $y = lo g_{3} x$ （定义域 $(0, + \infty)$ ，值域 $R$ ）。两者定义域与值域互换，图象关于 $y = x$ 对称。

巩固训练答案

（1） $0 < 0.5 < 1$ 减函数， $6 > 4$ ， $lo g_{0.5} 6 < lo g_{0.5} 4$ 。（2）底数 $m$ 不确定，分类讨论： $m > 1$ 时增函数， $5 < 7$ ， $lo g_{m} 5 < lo g_{m} 7$ ； $0 < m < 1$ 时减函数， $5 < 7$ ， $lo g_{m} 5 > lo g_{m} 7$ 。
（1） $x^{2} - 4 > 0$ ， $(x - 2) (x + 2) > 0$ ， $x < - 2$ 或 $x > 2$ ，定义域 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ 。
（2）底数条件： $x - 1 > 0$ 且 $x - 1 \neq = 1$ ，即 $x > 1$ 且 $x \neq = 2$ ；真数条件： $3 - x > 0$ 即 $x < 3$ 。综合： $1 < x < 3$ 且 $x \neq = 2$ ，定义域 $(1, 2) \cup (2, 3)$ 。
$y = 3000 \times 1.06 8^{x} = 3900$ ， $1.06 8^{x} = 1.3$ ， $x = lo g_{1.068} 1.3 = \frac{l g 1.3}{l g 1.068} = \frac{0.1139}{0.0286} \approx 3.98$ 。所以约 $4$ 年后 GDP 达到 $3900$ 亿元。
$y_{1}$ ：相邻项之差 $125, 375, 625, 875, 1125, 1375$ ，差递增但不恒定，呈二次函数型（ $y_{1} \approx 5 x^{2}$ ， $x$ 以 $5$ 为单位）。 $y_{2}$ ：相邻项比值 $\frac{90}{5} = 18, \frac{1620}{90} = 18, \dots$ ，比值恒为 $18$ ，呈指数增长（ $y_{2} = 5 \times 1 8^{x /5}$ ）。 $y_{3}$ ：相邻项之差恒为 $25$ ，呈线性增长（ $y_{3} = 5 x$ ， $x$ 以 $5$ 为单位）。所以 $y_{2}$ 指数增长， $y_{3}$ 线性增长， $y_{1}$ 为二次函数型（增速介于线性和指数之间）。
$pH = - l g [H^{+}] = - l g (2.5 \times 1 0^{- 2}) = - (l g 2.5 + l g 1 0^{- 2}) = - (0.398 - 2) = - (- 1.602) = 1.602 \approx 1.6$ 。胃酸 pH 约 $1.6$ （强酸性）。

提升训练答案

用换底公式化为常用对数比较： $lo g_{2} 3 = \frac{l g 3}{l g 2} \approx \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585$ ； $lo g_{3} 4 = \frac{l g 4}{l g 3} = \frac{2 l g 2}{l g 3} \approx \frac{0.6020}{0.4771} \approx 1.262$ 。因 $1.585 > 1.262$ ，所以 $lo g_{2} 3 > lo g_{3} 4$ 。
$f (x) = lo g_{a} x$ （ $a > 1$ ）是增函数， $2 < 3$ 故 $f (2) < f (3)$ ， $f (2) > f (3)$ 不成立。若 $0 < a < 1$ ， $f (x)$ 是减函数， $2 < 3$ 故 $f (2) > f (3)$ ，此时成立。所以 $f (2) > f (3)$ 当且仅当 $0 < a < 1$ 时成立。
$y = ∣ lo g_{2} (x - 1) ∣$ ：先要求 $x - 1 > 0$ 即 $x > 1$ 。设 $u = x - 1 > 0$ ， $y = ∣ lo g_{2} u ∣$ 。当 $u \geq 1$ （ $x \geq 2$ ）时 $lo g_{2} u \geq 0$ ， $y = lo g_{2} u$ 单调递增；当 $0 < u < 1$ （ $1 < x < 2$ ）时 $lo g_{2} u < 0$ ， $y = - lo g_{2} u$ 单调递减（因 $lo g_{2} u$ 递增， $- lo g_{2} u$ 递减）。定义域 $(1, + \infty)$ ；值域 $[0, + \infty)$ （因 $∣ lo g_{2} u ∣ \geq 0$ ，且当 $u = 1$ 即 $x = 2$ 时取 $0$ ）；单调性：在 $(1, 2]$ 上单调递减，在 $[2, + \infty)$ 上单调递增。图象： $x = 2$ 时 $y = 0$ （最小值），向两侧 $y$ 增大； $x \to 1^{+}$ 时 $lo g_{2} (x - 1) \to - \infty$ ， $y \to + \infty$ ； $x \to + \infty$ 时 $y \to + \infty$ 。图象呈“V”形（关于 $x = 2$ 对称）。
$y = lo g_{2} x$ ： $x = 4$ 时 $y = 2$ ； $x = 8$ 时 $y = 3$ ； $x = 16$ 时 $y = 4$ 。从 $4$ 到 $8$ （投资翻倍），利润增加 $3 - 2 = 1$ 万元；从 $8$ 到 $16$ （投资再翻倍），利润增加 $4 - 3 = 1$ 万元。虽然投资额每次翻倍（增加量越来越大： $4 \to 8$ 增加 $4$ ， $8 \to 16$ 增加 $8$ ），但利润增加量恒为 $1$ 。这体现了**对数增长“增速越来越慢”**的特征——投入成倍增加，产出增幅却保持不变甚至相对递减。这也说明对数函数适合描述“边际效益递减”的现象。

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4.4-对数函数