4.3 对数

对数整体结构

本节学习目标

理解对数是指数运算的逆运算，掌握对数的定义 $a^{x} = N \Leftrightarrow x = lo g_{a} N$ （ $a > 0, a \neq = 1, N > 0$ ）。
能熟练进行指数式与对数式的互化，会用对数定义求简单的对数值。
掌握对数的基本性质：负数和 $0$ 没有对数、 $lo g_{a} 1 = 0$ 、 $lo g_{a} a = 1$ 、 $a^{l o g_{a} N} = N$ 。
知道常用对数 $l g N$ 和自然对数 $ln N$ 的含义和记号。
掌握对数的三条运算法则（积、商、幂）和换底公式，能灵活用于化简、求值和证明。
能用对数解决实际应用问题（增长率反求时间、地震能量、酒精衰减等），体会对数“把乘降为加、把乘方降为乘”的简化运算思想。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

在 4.2 节的问题 1 中，B 地景区游客人次满足 $y = 1.1 1^{x}$ （ $x$ 年后为 2001 年的 $y$ 倍）。已知年数 $x$ 求倍数 $y$ 是指数运算；但反过来，如果问“经过多少年游客人次是 2001 年的 $2$ 倍、 $3$ 倍”，就是已知 $1.1 1^{x} = 2$ 求 $x$ ——即已知底数和幂的值，求指数。这种运算就是本节要学习的对数。

一般地，如果 $a^{x} = N$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ），那么数 $x$ 叫作以 $a$ 为底 $N$ 的对数（logarithm），记作

x = lo g_{a} N .

其中 $a$ 叫底数， $N$ 叫真数。指数式与对数式的等价关系：

a^{x} = N ⟺ x = lo g_{a} N (a > 0, a \neq = 1, N > 0) .

这样，求 $1.1 1^{x} = 2$ 中的 $x$ ，就是 $x = lo g_{1.11} 2$ 。对数就是“求指数”的运算，是指数的逆运算。

二、核心概念与定义条件

对数定义的条件： $lo g_{a} N$ 有意义，必须满足 $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ 、 $N > 0$ 。也就是说：

底数 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ （与指数函数底数条件一致）。
真数 $N > 0$ ，即负数和 $0$ 没有对数。这是因为 $a^{x} > 0$ （ $a > 0$ 时指数函数值恒正），所以 $N = a^{x} > 0$ ， $N$ 不能为 $0$ 或负数。

常用对数与自然对数：

以 $10$ 为底的对数叫常用对数（common logarithm），记作 $l g N$ ，即 $l g N = lo g_{10} N$ 。
以无理数 $e \approx 2.71828$ 为底的对数叫自然对数（natural logarithm），记作 $ln N$ ，即 $ln N = lo g_{e} N$ 。 $e$ 在科技、经济和社会生活中经常使用。

三、符号语言与等价表示

指数式与对数式的对应关系（互化的核心）：

指数式	对数式	各部分名称
$a^{x} = N$	$x = lo g_{a} N$	$a$ ：底数（不变）
底数 $a$ ，指数 $x$ ，幂 $N$	底数 $a$ ，对数 $x$ ，真数 $N$	$x$ ：指数 $\leftrightarrow$ 对数
		$N$ ：幂 $\leftrightarrow$ 真数

互化口诀：底数不变，指数变对数，幂变真数。例如 $2^{3} = 8 \Leftrightarrow lo g_{2} 8 = 3$ ； $5^{- 2} = \frac{1}{25} \Leftrightarrow lo g_{5} \frac{1}{25} = - 2$ 。

对数的基本性质（由定义直接推出）：

性质	公式	依据
$1$ 的对数	$lo g_{a} 1 = 0$	$a^{0} = 1$
底数的对数	$lo g_{a} a = 1$	$a^{1} = a$
对数恒等式	$a^{l o g_{a} N} = N$	$lo g_{a} N$ 就是使 $a^{x} = N$ 的 $x$ ，代回
对数还原	$lo g_{a} a^{x} = x$	同上
负数和 $0$	没有对数	$a^{x} > 0$

指数式与对数式互化

四、关键性质、定理与公式

对数的运算法则（ $a > 0, a \neq = 1, M > 0, N > 0$ ）：

法则	公式	文字描述
积的对数	$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$	乘积的对数 $=$ 对数之和
商的对数	$lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$	商的对数 $=$ 对数之差
幂的对数	$lo g_{a} M^{n} = n lo g_{a} M$ （ $n \in R$ ）	幂的对数 $=$ 指数 $\times$ 对数
根的对数	$lo g_{a} n M = \frac{1}{n} lo g_{a} M$	由幂法则推出（ $n M = M^{1/ n}$ ）

这些法则的推导思路：设 $M = a^{m}$ （即 $m = lo g_{a} M$ ）， $N = a^{n}$ （即 $n = lo g_{a} N$ ），则 $M N = a^{m + n}$ ，由定义得 $lo g_{a} (M N) = m + n = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ 。商和幂的法则同理推出。

换底公式：

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} (a > 0, a \neq = 1; b > 0; c > 0, c \neq = 1) .

推导：设 $lo g_{a} b = x$ ，则 $a^{x} = b$ 。两边取以 $c$ 为底的对数： $lo g_{c} a^{x} = lo g_{c} b$ ，即 $x lo g_{c} a = lo g_{c} b$ ，所以 $x = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ 。

常用推论：

$lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a} = \frac{ln b}{ln a}$ （换为常用对数或自然对数）。
$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ （换底公式推论，互为倒数）。
$lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b$ （底数和真数都带幂时）。

五、典型模型与解题方法

模型一：指数式与对数式互化。 利用 $a^{x} = N \Leftrightarrow x = lo g_{a} N$ ，在两种形式间转换。

模型二：求对数值。 把对数式化为指数式，找到使 $a^{x} = N$ 成立的 $x$ 。如 $lo g_{2} 8 = ? \Leftrightarrow 2^{?} = 8 \Leftrightarrow ? = 3$ 。

模型三：用运算法则化简。 把积/商/幂的对数拆开或合并，化简为目标形式。

模型四：换底公式求值。 把任意底对数换为 $l g$ 或 $ln$ （可用计算器求），或换为已知对数表示。

模型五：条件求值。 已知 $l g 2 = a$ 、 $l g 3 = b$ 等，用运算法则和换底公式表示目标对数式。

模型六：实际应用。 增长率反求时间（ $N (1 + p)^{x} = M \Rightarrow x = lo g_{1 + p} \frac{M}{N}$ ）、地震能量（ $l g E = 4.8 + 1.5 M$ ）、酒精衰减等。

六、题型应用与迁移

本节题型分六类：①指数式与对数式互化；②求对数值（含 $lo g_{a} x = N$ 型求 $x$ ）；③对数运算法则化简；④用指定对数表示复杂对数式（换底）；⑤条件求值（已知 $l g 2, l g 3$ 等）；⑥实际应用（增长率、地震、酒精衰减）。对数是下一节对数函数 $y = lo g_{a} x$ 的运算基础，也是 4.5 节解指数方程（如 $ln x + 2 x - 6 = 0$ ）的工具。

重点梳理

对数是“求指数”的运算，是指数的逆运算。 $a^{x} = N$ 中，已知 $a, N$ 求 $x$ 就是对数 $lo g_{a} N$ 。这一点之所以重要，是因为它揭示了对数的本质——把指数运算“反过来”。所有对数性质和法则都源于这条等价关系 $a^{x} = N \Leftrightarrow x = lo g_{a} N$ 。
负数和 $0$ 没有对数（真数 $N > 0$ ）。因为 $a^{x} > 0$ 恒成立（ $a > 0$ ），所以 $N = a^{x} > 0$ 。这是对数有意义的必要条件，也是求对数函数定义域的依据。例如 $lo g_{2} (x - 1)$ 要求 $x - 1 > 0$ 即 $x > 1$ 。
$lo g_{a} 1 = 0$ 和 $lo g_{a} a = 1$ 是最基本的两个值。它们来自 $a^{0} = 1$ 和 $a^{1} = a$ ，是化简和求值的起点。
对数运算法则只把“乘除幂”降级，不适用于加减。 $lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ （乘变加）、 $lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$ （除变减）、 $lo g_{a} M^{n} = n lo g_{a} M$ （幂提系数）。但 $lo g_{a} (M + N)$ 不能拆成 $lo g_{a} M + lo g_{a} N$ ——对数没有加法法则。这是最易犯的错误。
换底公式可以把任意底转化为常用对数或自然对数。 $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a}$ 使得我们可以用计算器求任意底的对数。它也是证明 $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ 等结论的工具。
对数的核心思想是“降级运算”。对数把乘法降为加法、除法降为减法、乘方降为乘法。这在没有计算器的时代极大简化了大数运算（纳皮尔发明对数的初衷），在今天仍是简化指数式运算的重要工具。

难点突破

难点一：指数式与对数式互化时位置不要搞乱

互化的关键是认清三个量的对应关系：底数 $a$ 不变；指数式中的指数 $x$ 对应对数式中的对数值（ $lo g_{a} N$ 的值）；指数式中的幂 $N$ 对应对数式中的真数。记忆方式：“底数不动，指数和对数互换位置，幂和真数互换位置”。

突破方法：多做互化练习，如 $3^{2} = 9 \Leftrightarrow lo g_{3} 9 = 2$ ； $2^{- 3} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ ； $lo g_{5} 125 = 3 \Leftrightarrow 5^{3} = 125$ 。

难点二： $lo g_{a} (M + N)$ 不能拆

常见错误： $lo g_{a} (M + N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ （错！）。正确的是 $lo g_{a} (M \cdot N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ ——只有乘积的对数才能拆成对数之和，和的对数没有简化法则。

突破方法：用数字验证。 $lo g_{2} (2 + 2) = lo g_{2} 4 = 2$ ，而 $lo g_{2} 2 + lo g_{2} 2 = 1 + 1 = 2$ ，碰巧相等？再试 $lo g_{2} (2 + 4) = lo g_{2} 6 \approx 2.585$ ，而 $lo g_{2} 2 + lo g_{2} 4 = 1 + 2 = 3 \neq = 2.585$ 。所以加法不能拆。只有 $M \cdot N$ 时才成立。

对数运算法则正误对比

难点三：换底公式分子分母不要颠倒

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ ——真数 $b$ 在分子，底数 $a$ 在分母。容易记反成 $\frac{lo g _{c} a}{lo g _{c} b}$ 。

突破方法：用口诀“真上底下”或用数字验证。 $lo g_{2} 8 = 3$ ，换底 $\frac{l g 8}{l g 2} = \frac{0.903}{0.301} = 3$ ✓（分子 $l g 8$ 是真数 $8$ 的对数）。若颠倒 $\frac{l g 2}{l g 8} = \frac{1}{3} \neq = 3$ 。

难点四：对数法则中 $n lo g_{a} M$ 的 $n$ 可以是任意实数

$lo g_{a} M^{n} = n lo g_{a} M$ 中 $n \in R$ ，可以是分数、负数。如 $lo g_{a} M = lo g_{a} M^{1/2} = \frac{1}{2} lo g_{a} M$ ； $lo g_{a} \frac{1}{M} = lo g_{a} M^{- 1} = - lo g_{a} M$ 。

突破方法：把根式和倒数先化为分数指数幂（联系 4.1 节），再用幂的法则。 $n M = M^{1/ n} \Rightarrow lo g_{a} n M = \frac{1}{n} lo g_{a} M$ 。

难点五：实际应用中的对数建模

增长率问题： $y = N (1 + p)^{x}$ ，已知 $y$ 反求 $x$ ： $(1 + p)^{x} = \frac{y}{N} \Rightarrow x = lo g_{1 + p} \frac{y}{N} = \frac{l g ( y / N )}{l g ( 1 + p )}$ 。用换底公式转为可用计算器求的形式。

突破方法：先写出指数关系，再两边取对数（或用对数定义）反求 $x$ 。注意单位的匹配（年、小时等）。

对数反求时间建模流程

例题讲解

例1：指数式与对数式互化

把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1） $5^{4} = 625$ ；（2） $2^{- 6} = \frac{1}{64}$ ；（3） $lo g_{\frac{1}{3}} 27 = - 3$ ；（4） $l g 0.01 = - 2$ ；（5） $ln 10 = n$ 。

审题： 利用 $a^{x} = N \Leftrightarrow x = lo g_{a} N$ 互化。

解：

（1） $5^{4} = 625 \Leftrightarrow lo g_{5} 625 = 4$ 。

（2） $2^{- 6} = \frac{1}{64} \Leftrightarrow lo g_{2} \frac{1}{64} = - 6$ 。

（3） $lo g_{\frac{1}{3}} 27 = - 3 \Leftrightarrow (\frac{1}{3})^{- 3} = 27$ （验证： $(\frac{1}{3})^{- 3} = 3^{3} = 27$ ✓）。

（4） $l g 0.01 = - 2 \Leftrightarrow 1 0^{- 2} = 0.01$ 。

（5） $ln 10 = n \Leftrightarrow e^{n} = 10$ 。

反思： 互化时底数不变，指数和对数值对应，幂和真数对应。可用逆转换检验。

例2：求下列各式中 $x$ 的值

（1） $lo g_{64} x = - \frac{2}{3}$ ；（2） $lo g_{x} 8 = 6$ ；（3） $l g 100 = x$ ；（4） $- ln e^{2} = x$ 。

审题： 把对数式化为指数式求 $x$ 。

解：

（1） $lo g_{64} x = - \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = 6 4^{- 2/3}$ 。因 $64 = 4^{3}$ ， $x = (4^{3})^{- 2/3} = 4^{- 2} = \frac{1}{16}$ 。

（2） $lo g_{x} 8 = 6 \Leftrightarrow x^{6} = 8$ 。又 $x > 0$ （底数条件）， $x = 8^{1/6} = (2^{3})^{1/6} = 2^{1/2} = 2$ 。

（3） $l g 100 = x \Leftrightarrow 1 0^{x} = 100 = 1 0^{2}$ ，所以 $x = 2$ 。

（4） $- ln e^{2} = x \Leftrightarrow ln e^{2} = - x \Leftrightarrow e^{- x} = e^{2} \Leftrightarrow - x = 2 \Leftrightarrow x = - 2$ 。

检验： （1） $lo g_{64} \frac{1}{16} = lo g_{64} 6 4^{- 2/3} = - \frac{2}{3}$ ✓。（2） $(2)^{6} = (2^{1/2})^{6} = 2^{3} = 8$ ✓。

反思： 求值时把对数化为指数，再利用指数运算（分数指数幂）求解。注意底数 $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 的限制。

例3：求下列各式的值

（1） $l g 5100$ ；（2） $lo g_{2} (4^{7} \times 2^{5})$ 。

审题： 运用对数运算法则化简。

解：

（1） $l g 5100 = l g 10 0^{1/5} = \frac{1}{5} l g 100 = \frac{1}{5} \times 2 = \frac{2}{5}$ 。

（2） $lo g_{2} (4^{7} \times 2^{5}) = lo g_{2} 4^{7} + lo g_{2} 2^{5} = 7 lo g_{2} 4 + 5 lo g_{2} 2 = 7 \times 2 + 5 \times 1 = 14 + 5 = 19$ 。

检验： （2） $4^{7} \times 2^{5} = (2^{2})^{7} \times 2^{5} = 2^{14} \times 2^{5} = 2^{19}$ ， $lo g_{2} 2^{19} = 19$ ✓。

反思： 把积拆成和（ $lo g (M N) = lo g M + lo g N$ ），把幂提系数（ $lo g M^{n} = n lo g M$ ），逐步化简到已知值。

例4：用 $ln x, ln y, ln z$ 表示 $ln \frac{x ^{2} y}{3 z}$

审题： 综合运用商、积、幂的法则，从外到内逐步展开。

解：

ln \frac{x ^{2} y}{3 z} = ln (x^{2} y) - ln 3 z = ln x^{2} + ln y - ln 3 z .

分别处理： $ln x^{2} = 2 ln x$ ； $ln y = ln y^{1/2} = \frac{1}{2} ln y$ ； $ln 3 z = ln z^{1/3} = \frac{1}{3} ln z$ 。所以

ln \frac{x ^{2} y}{3 z} = 2 ln x + \frac{1}{2} ln y - \frac{1}{3} ln z .

反思： 展开顺序：先商（分数 $\to$ 减法），再积（乘积 $\to$ 加法），最后幂（根式化为分数指数 $\to$ 提系数）。每一步只用一个法则。

例5：地震能量的对数应用

地震释放能量 $E$ （焦耳）与里氏震级 $M$ 的关系为 $l g E = 4.8 + 1.5 M$ 。2011 年日本东北 $9.0$ 级地震释放的能量是 2008 年汶川 $8.0$ 级地震的多少倍（精确到 $1$ ）？

审题： 分别算出两次地震的 $l g E$ ，作差得到能量比的常用对数，再求反对数。

解：设 $9.0$ 级和 $8.0$ 级地震能量分别为 $E_{1}, E_{2}$ 。

l g E_{1} = 4.8 + 1.5 \times 9.0 = 4.8 + 13.5 = 18.3,

l g E_{2} = 4.8 + 1.5 \times 8.0 = 4.8 + 12.0 = 16.8.

能量比的对数：

l g \frac{E _{1}}{E _{2}} = l g E_{1} - l g E_{2} = 18.3 - 16.8 = 1.5.

所以 $\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1 0^{1.5} \approx 32$ 。

结论： 里氏 $9.0$ 级地震释放的能量约是 $8.0$ 级的 $32$ 倍。虽然震级只差 $1$ 级，能量却差 $32$ 倍——这是因为震级是能量的对数尺度，震级每增加 $1$ ， $l g E$ 增加 $1.5$ ，能量变为 $1 0^{1.5} \approx 32$ 倍。

反思： 对数在实际中常用于描述“跨多个数量级”的量（能量、声强、酸碱度）。震级差 $Δ M$ 对应能量比 $1 0^{1.5Δ M}$ 。

易错点整理

错误表现：忘记底数条件 $a > 0, a \neq = 1$ 或真数条件 $N > 0$ 。
- 反例： $lo g_{1} 5$ （ $a = 1$ ，无意义）、 $lo g_{2} 0$ （ $N = 0$ ，无意义）、 $lo g_{2} (- 3)$ （ $N < 0$ ，无意义）。
- 正确处理：判断对数有意义必须同时检查 $a > 0, a \neq = 1, N > 0$ 。
错误表现：把 $lo g_{a} (M + N)$ 拆成 $lo g_{a} M + lo g_{a} N$ 。
- 错因分析：对数没有加法法则。只有乘积 $lo g_{a} (M N)$ 才能拆。
- 正确处理： $lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ （乘 $\to$ 加）； $lo g_{a} (M + N)$ 无法化简。
错误表现：指数式与对数式互化时，底数、真数、对数值位置写乱。
- 反例：把 $2^{3} = 8$ 写成 $lo g_{8} 2 = 3$ （错，底数和真数搞反了，应为 $lo g_{2} 8 = 3$ ）。
- 正确处理：底数不变，指数 $\leftrightarrow$ 对数值，幂 $\leftrightarrow$ 真数。
错误表现：换底公式分子分母颠倒。
- 反例： $lo g_{2} 8 = \frac{l g 2}{l g 8} = \frac{1}{3}$ （错，应为 $\frac{l g 8}{l g 2} = 3$ ）。
- 正确处理： $lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$ ，真数 $b$ 的对数在分子，底数 $a$ 的对数在分母。
错误表现： $lo g_{a} M^{n}$ 写成 $(lo g_{a} M)^{n}$ 。
- 错因分析：混淆了“对数的幂”和“幂的对数”。 $lo g_{a} M^{n} = n lo g_{a} M$ （幂的对数， $n$ 提到前面作为系数），不是 $(lo g_{a} M)^{n}$ （对数值的 $n$ 次方）。
- 正确处理： $lo g_{a} M^{n} = n lo g_{a} M$ ； $(lo g_{a} M)^{n}$ 不能化简。
错误表现：真数条件隐藏在复合表达式中未发现。
- 反例： $lo g_{2} (x - 1)$ 有意义只写 $x - 1 \neq = 0$ ，漏了 $x - 1 > 0$ 。
- 正确处理：真数必须 $> 0$ （严格大于），所以 $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ 。涉及多个真数时要分别 $> 0$ 再取交集。

考点考证点整理

考点一：指数式与对数式互化

出题思路：给指数式写对数式，或给对数式写指数式；覆盖常用对数、自然对数。
关键条件： $a^{x} = N \Leftrightarrow x = lo g_{a} N$ ；底数不变，指数与对数对应，幂与真数对应。
解答要点：认清三个量的位置，底数不动，转换指数/对数和幂/真数。
易扣分点：底数和真数搞反；常用对数/自然对数记号写错（ $l g$ vs $ln$ ）。

考点二：求对数值与求 $x$

出题思路：给 $lo g_{a} N$ 求值，或给 $lo g_{a} x = b$ 、 $lo g_{x} N = b$ 求 $x$ 。
关键条件：化为指数式 $a^{?} = N$ 或 $x^{b} = N$ ；注意底数和真数的条件。
解答要点：化为指数式，利用指数运算（含分数指数幂）求解。求底数 $x$ 时注意 $x > 0, x \neq = 1$ 。
易扣分点：分数指数幂计算错误；求底数时忘记 $x > 0$ ；负指数处理错。

考点三：对数运算法则的化简与展开

出题思路：用法则化简对数式，或把复杂对数式用 $l g x, l g y, l g z$ 表示。
关键条件： $M, N > 0$ ；法则只适用于乘、除、幂，不适用于加减。
解答要点：积拆和、商拆差、幂提系数、根式先化分数指数。从外到内逐步展开。
易扣分点：把 $lo g_{a} (M + N)$ 拆开； $lo g_{a} M^{n}$ 写成 $(lo g_{a} M)^{n}$ ；根式指数化错。

考点四：换底公式与条件求值

出题思路：用换底公式求值，或已知 $l g 2 = a, l g 3 = b$ 求目标对数式的值。
关键条件： $lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$ ；真上底下；推论 $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ 。
解答要点：把目标式换为已知底的对数，用法则展开后代入已知值。多个底的对数统一换为一个底。
易扣分点：分子分母颠倒；换底后法则运用错；已知条件代入时符号错。

考点五：对数的实际应用

出题思路：增长率反求时间（ $x = lo g_{1 + p} \frac{y}{N}$ ）、地震能量比、酒精衰减判断能否驾驶等。
关键条件：指数关系 $y = N a^{x}$ 或 $y = N (1 \pm p)^{x}$ ；对数反求 $x$ ；实际意义（整数年、小时数）。
解答要点：写出指数关系 $\to$ 两边取对数或用对数定义反求 $x$ $\to$ 换底为 $l g$ 或 $ln$ 用计算器 $\to$ 结合实际取整或判断。
易扣分点：指数关系写错；换底公式用错；忘记结合实际意义取整；地震能量比用错公式。

练习题

基础训练

把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1） $3^{4} = 81$ ；（2） $2^{- 6} = \frac{1}{64}$ ；（3） $lo g_{2} 32 = 5$ ；（4） $l g 0.001 = - 3$ ；（5） $ln e = 1$ 。
求下列各式的值：
（1） $lo g_{2} 32$ ；（2） $lo g_{3} \frac{1}{27}$ ；（3） $l g 10000$ ；（4） $ln e$ 。
求下列各式中 $x$ 的值：
（1） $lo g_{4} x = - 3$ ；（2） $l g 0.00001 = x$ ；（3） $ln e = - x$ 。
用 $l g x, l g y, l g z$ 表示 $l g \frac{x y ^{2}}{z}$ 。

巩固训练

求下列各式的值：
（1） $lo g_{3} (27 \times 9^{2})$ ；（2） $l g 5 + l g 2$ ；（3） $lo g_{5} 25 - lo g_{5} 5$ 。
用 $ln x, ln y, ln z$ 表示 $ln \frac{x ^{3} y}{z ^{2}}$ 。
已知 $l g 2 = a$ ， $l g 3 = b$ ，求下列各式的值：
（1） $l g 6$ ；（2） $l g 12$ ；（3） $l g \frac{3}{2}$ 。
用换底公式求 $lo g_{2} 3$ 的值（用 $l g$ 表示），并计算其近似值（保留三位小数）。
化简： $lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 \times lo g_{4} 5$ 。
使式子 $lo g_{(2 x - 1)} (2 - x)$ 有意义的 $x$ 的取值范围是什么？

提升训练

已知 $l g 2 = a$ ， $l g 3 = b$ ，求 $lo g_{4} 6$ 和 $lo g_{12} 5$ 的值（用 $a, b$ 表示）。
某地 GDP 年平均增长率为 $6.5%$ 。按此增长率，多少年后该地 GDP 会翻两番（即变为原来的 $4$ 倍）？（用常用对数计算，精确到 $1$ 年）
某驾驶员饮酒后血液酒精含量升至 $1 mg/mL$ 。停止饮酒后，血液酒精含量以每小时 $30%$ 的速度减少。按规定， $100 mL$ 血液中酒精含量低于 $20 mg$ 属于可驾驶范围。他至少经过多少小时才能驾驶？（精确到 $1$ 小时）
证明： $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c \cdot lo g_{c} a = 1$ （ $a, b, c > 0$ 且均不为 $1$ ）。

练习题答案

基础训练答案

（1） $lo g_{3} 81 = 4$ 。（2） $lo g_{2} \frac{1}{64} = - 6$ 。（3） $2^{5} = 32$ 。（4） $1 0^{- 3} = 0.001$ 。（5） $e^{1} = e$ 。
（1） $lo g_{2} 32 = lo g_{2} 2^{5} = 5$ 。（2） $lo g_{3} \frac{1}{27} = lo g_{3} 3^{- 3} = - 3$ 。（3） $l g 10000 = l g 1 0^{4} = 4$ 。（4） $ln e = ln e^{1/2} = \frac{1}{2}$ 。
（1） $x = 4^{- 3} = \frac{1}{64}$ 。（2） $1 0^{x} = 0.00001 = 1 0^{- 5}$ ， $x = - 5$ 。（3） $ln e = - x \Leftrightarrow e^{- x} = e^{1/2} \Leftrightarrow - x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ 。
$l g \frac{x y ^{2}}{z} = l g (x y^{2}) - l g z = l g x + 2 l g y - \frac{1}{2} l g z$ 。

巩固训练答案

（1） $lo g_{3} (27 \times 9^{2}) = lo g_{3} 27 + lo g_{3} 9^{2} = 3 + 2 lo g_{3} 9 = 3 + 2 \times 2 = 7$ 。（2） $l g 5 + l g 2 = l g (5 \times 2) = l g 10 = 1$ 。（3） $lo g_{5} 25 - lo g_{5} 5 = lo g_{5} \frac{25}{5} = lo g_{5} 5 = 1$ 。
$ln \frac{x ^{3} y}{z ^{2}} = ln (x^{3} y) - ln z^{2} = 3 ln x + \frac{1}{2} ln y - 2 ln z$ 。
（1） $l g 6 = l g (2 \times 3) = l g 2 + l g 3 = a + b$ 。（2） $l g 12 = l g (4 \times 3) = l g 4 + l g 3 = 2 l g 2 + l g 3 = 2 a + b$ 。（3） $l g \frac{3}{2} = l g 3 - l g 2 = b - a$ 。
$lo g_{2} 3 = \frac{l g 3}{l g 2}$ 。 $l g 3 \approx 0.4771$ ， $l g 2 \approx 0.3010$ ， $lo g_{2} 3 \approx \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585$ 。
$lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 \times lo g_{4} 5 = \frac{l g 3}{l g 2} \times \frac{l g 4}{l g 3} \times \frac{l g 5}{l g 4} = \frac{l g 5}{l g 2} = lo g_{2} 5$ 。（分子分母交叉约去 $l g 3, l g 4$ ，只剩 $\frac{l g 5}{l g 2}$ 。） $lo g_{2} 5 \approx \frac{0.6990}{0.3010} \approx 2.322$ 。
底数条件： $2 x - 1 > 0$ 且 $2 x - 1 \neq = 1$ ，即 $x > \frac{1}{2}$ 且 $x \neq = 1$ 。真数条件： $2 - x > 0$ ，即 $x < 2$ 。综合： $\frac{1}{2} < x < 2$ 且 $x \neq = 1$ 。即 $x \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (1, 2)$ 。

提升训练答案

$lo g_{4} 6 = \frac{l g 6}{l g 4} = \frac{l g 2 + l g 3}{2 l g 2} = \frac{a + b}{2 a}$ 。 $lo g_{12} 5 = \frac{l g 5}{l g 12} = \frac{l g 5}{l g ( 4 \times 3 )} = \frac{1 - l g 2}{2 l g 2 + l g 3} = \frac{1 - a}{2 a + b}$ （其中 $l g 5 = l g \frac{10}{2} = l g 10 - l g 2 = 1 - a$ ）。
设经过 $x$ 年后 GDP 翻两番（变为 $4$ 倍），则 $(1 + 6.5%)^{x} = 4$ ，即 $1.06 5^{x} = 4$ 。取常用对数： $x l g 1.065 = l g 4$ ， $x = \frac{l g 4}{l g 1.065} = \frac{2 l g 2}{l g 1.065}$ 。 $l g 4 = 2 \times 0.3010 = 0.6020$ ， $l g 1.065 \approx 0.02735$ 。 $x \approx \frac{0.6020}{0.02735} \approx 22.0$ 。所以约 $22$ 年后 GDP 翻两番。
初始酒精含量 $1 mg/mL = 100 mg/100mL$ 。每小时减少 $30%$ ，即每小时变为原来的 $0.7$ 倍。经过 $t$ 小时后含量为 $100 \times 0. 7^{t} mg/100mL$ 。要求降至 $20 mg/100mL$ 以下： $100 \times 0. 7^{t} < 20$ ， $0. 7^{t} < 0.2$ 。取常用对数： $t l g 0.7 < l g 0.2$ 。因 $l g 0.7 < 0$ （ $0.7 < 1$ ），不等号反向： $t > \frac{l g 0.2}{l g 0.7} = \frac{l g 2 - 1}{l g 7 - 1} = \frac{0.3010 - 1}{0.8451 - 1} = \frac{- 0.6990}{- 0.1549} \approx 4.51$ 。所以至少经过 $5$ 小时才能驾驶。（ $t$ 取整数， $t \geq 5$ 。验证： $0. 7^{4} = 0.2401$ ， $100 \times 0.2401 = 24.01 > 20$ ； $0. 7^{5} = 0.16807$ ， $100 \times 0.16807 = 16.8 < 20$ ✓。）
证明：由换底公式， $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a}$ ， $lo g_{b} c = \frac{l g c}{l g b}$ ， $lo g_{c} a = \frac{l g a}{l g c}$ 。三式相乘： $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c \cdot lo g_{c} a = \frac{l g b}{l g a} \times \frac{l g c}{l g b} \times \frac{l g a}{l g c} = 1$ （分子分母交叉约尽）。证毕。

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4.3-对数