4.2 指数函数

本节学习目标

• 理解指数函数 $y=a^x$（$a>0$，$a\ne 1$）的定义，知道为什么限定 $a>0$ 且 $a\ne 1$，能识别指数函数。
• 掌握指数函数的图象特征和性质（定义域、值域、定点、单调性），能分 $a>1$ 和 $0<a<1$ 两种情况画出图象。
• 理解底数互为倒数的两个指数函数图象关于 $y$ 轴对称，能利用对称性由一个图象画另一个。
• 会利用指数函数的单调性比较两个指数式的大小（同底直接比较、不同底找中间量）。
• 理解指数增长和指数衰减的实际含义，掌握模型 $y=N(1+p{)}^x$（增长）和 $y=N(1-p{)}^x$（衰减），能解决人口增长、复利、碳14测年、半衰期等实际问题。
• 理解半衰期和倍增期的概念，能建立 $Q(t)=Q_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/h}$ 的衰减模型。
• 体会指数增长与线性增长的本质区别（增长率固定 vs 增加量固定）。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

通过 4.1 节，我们已经把指数的范围推广到了全体实数，现在可以研究以实数为指数的函数了。先看两个实际情境：

情境一（指数增长）：B 地景区自 2001 年取消门票后，游客人次逐年增加。分析发现，从 2002 年起，每年游客人次除以上一年人次都约等于 $1.11$，即年增长率约为 $0.11$（常数）。设经过 $x$ 年后游客人次为 2001 年的 $y$ 倍，则 $y=1.11^x$（$x\in [0,+\infty )$）。这种增长率为常数的变化方式叫作指数增长。

情境二（指数衰减）：生物死亡后体内碳14 按确定的比率衰减，约每经过 $5730$ 年衰减为原来的一半（这个时间叫半衰期）。设碳14 年衰减率为 $p$，则 $(1-p{)}^{5730}=\frac{1}{2}$，得 $1-p={\left(\frac{1}{2}\right)}^{1/5730}$。设死亡年数为 $x$，碳14 含量为 $y$，则 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}$。这种衰减率为常数的变化方式叫作指数衰减。

两个情境中的函数 $y=1.11^x$ 和 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}$ 都具有 $y=a^x$ 的形式，其中指数 $x$ 是自变量，底数 $a$ 是大于 $0$ 且不等于 $1$ 的常量。把这一共同特征抽象出来，就得到指数函数的概念。

二、核心概念与定义条件

指数函数的定义：一般地，函数

$$y=a^x(a>0,\text{ 且 }a\ne 1)$$

叫作指数函数（exponential function），其中指数 $x$ 是自变量，定义域是 $\mathbb{R}$。

为什么限定 $a>0$ 且 $a\ne 1$？

• 若 $a=0$：$a^x$ 当 $x\le 0$ 时无意义（$0^0$、$0^{-1}$ 等无定义）。
• 若 $a<0$：如 $a=-2$，则 $(-2{)}^{1/2}=\sqrt{-2}$ 在实数范围内无意义，函数对全体实数 $x$ 无定义。
• 若 $a=1$：$1^x=1$ 对一切 $x$ 恒成立，是一个常函数 $y=1$，没有研究价值。

所以规定 $a>0$ 且 $a\ne 1$，保证 $a^x$ 对全体实数 $x$ 都有意义且函数有变化。

三、符号语言与等价表示

指数函数的图象与性质（核心表格，分 $a>1$ 和 $0<a<1$ 两种情况）：

项目	$a>1$	$0<a<1$
图象示意	第一象限上升、第二象限趋近 $x$ 轴	第一象限下降、第二象限趋近 $x$ 轴
定义域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
值域	$(0,+\infty )$	$(0,+\infty )$
定点	过 $(0,1)$，即 $x=0$ 时 $y=1$	过 $(0,1)$，即 $x=0$ 时 $y=1$
单调性	在 $\mathbb{R}$ 上单调递增（增函数）	在 $\mathbb{R}$ 上单调递减（减函数）
当 $x>0$ 时	$a^x>1$	$0<a^x<1$
当 $x<0$ 时	$0<a^x<1$	$a^x>1$
渐近线	$x$ 轴（$y=0$）	$x$ 轴（$y=0$）

两条重要规律：

• 所有指数函数图象都过定点 $(0,1)$，因为 $a^0=1$ 对任意 $a>0$ 成立。这是识别指数函数的重要特征。
• 指数函数的值始终为正（$a^x>0$），图象永远在 $x$ 轴上方，以 $x$ 轴为渐近线。

底数互为倒数的对称性：$y=2^x$ 与 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$ 的图象关于 $y$ 轴对称。因为点 $(x,y)$ 和 $(-x,y)$ 关于 $y$ 轴对称，而 $2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$。一般地，$y=a^x$ 与 $y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$（$a>0,a\ne 1$）的图象关于 $y$ 轴对称。

四、关键性质、定理与公式

比较指数式大小的方法：

情形	方法	依据
同底数 $a^x$ 与 $a^y$（$a>1$）	$x<y\Rightarrow a^x<a^y$	增函数
同底数 $a^x$ 与 $a^y$（$0<a<1$）	$x<y\Rightarrow a^x>a^y$	减函数
不同底 $a^x$ 与 $b^y$（$a>1>b>0$）	$a^x>1>b^y$（若 $x>0,y>0$）	找中间量 $1$
不同底 $a^x$ 与 $b^y$（$a,b>1$ 或 $0<a,b<1$）	化为同底或借助中间量、计算器	灵活处理

中间量法的关键：当 $a>1$ 且指数 $x>0$ 时 $a^x>1$；当 $0<a<1$ 且指数 $x>0$ 时 $0<a^x<1$。所以 $1$ 是一个天然的“分界值”。

指数增长模型：设原有量为 $N$，每次增长率为 $p$（即每次变为原来的 $(1+p)$ 倍），经过 $x$ 次增长后该量变为

$$y=N(1+p{)}^x(x\in \mathbb{N}).$$

当 $p>0$ 时为增长（$1+p>1$），$y$ 越来越大；常见于人口增长、复利、细胞分裂等。

指数衰减模型：设原有量为 $N$，每次衰减率为 $p$，经过 $x$ 次后该量变为

$$y=N(1-p{)}^x(x\in \mathbb{N}).$$

当 $0<p<1$ 时为衰减（$0<1-p<1$），$y$ 越来越小；常见于放射性衰变、药物代谢等。

半衰期模型：若某物质半衰期为 $h$（经过时间 $h$ 衰减为原来的一半），初始质量为 $Q_0$，经过时间 $t$ 后剩余量为

$$Q(t)=Q_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/h}.$$

推导：每经过一个半衰期 $h$，剩余量乘以 $\frac{1}{2}$。经过 $t$ 时间相当于经过了 $t/h$ 个半衰期，故剩余 $Q_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/h}$。碳14 半衰期 $h=5730$ 年。

倍增期：若某量呈指数增长，函数值增长为原来两倍所用的时间叫倍增期。设倍增期为 $T$，则 $y=N\cdot 2^{t/T}$。

五、典型模型与解题方法

研究指数函数的路径（类比幂函数）：解析式 $\to$ 定义域 $\to$ 画图象 $\to$ 值域 $\to$ 单调性 $\to$ 特殊点（定点、渐近线）$\to$ 实际应用。

模型一：求指数函数解析式。设 $f(x)=a^x$，由已知条件（如 $f(x_0)=y_0$）求出 $a$。

模型二：比较指数式大小。同底用单调性；不同底找中间量 $1$（$a^x$ 与 $1$ 的关系由 $a$ 和 $x$ 的正负决定）。

模型三：指数增长/衰减建模。确定初始量 $N$、增长率/衰减率 $p$、自变量含义（年数、次数），写出 $y=N(1\pm p{)}^x$。

模型四：半衰期/倍增期计算。用 $Q(t)=Q_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/h}$ 或 $y=N\cdot 2^{t/T}$，由已知求未知。

模型五：指数函数图象的变换。$y=a^{x+b}$（左右平移）、$y=a^x+c$（上下平移）、$y=a^{-x}$（关于 $y$ 轴对称）、$y=a^{|x|}$（保留 $x\ge 0$ 部分，$x<0$ 部分对称翻折）。

六、题型应用与迁移

本节题型分六类：①指数函数定义辨析；②由条件求解析式和函数值；③比较指数式大小（同底、不同底）；④指数函数图象与性质（画图、定点、渐近线、对称性）；⑤指数增长/衰减建模（人口、复利、细胞、碳14）；⑥半衰期与倍增期计算。指数函数是描述“增长率为常数”的自然规律的核心工具，后续 4.3 节对数函数是它的反函数，4.5 节将用指数模型解决更多实际问题。

重点梳理

• 指数函数的本质特征是“自变量在指数位置，底数是常数”。$y=a^x$ 中 $x$ 是自变量、$a$ 是常数（$a>0,a\ne 1$）。这一点之所以重要，是因为它区分了指数函数和幂函数（$y=x^{\alpha }$，变量在底数）。判断时看变量位置：在指数 $\to$ 指数函数，在底数 $\to$ 幂函数。
• $a>1$ 递增、$0<a<1$ 递减是核心性质。这决定了比较大小、判断趋势的方向。触发条件：看到指数函数，第一反应问“底数大于 $1$ 还是小于 $1$”，从而确定单调性方向。
• 指数函数值始终为正，图象恒在 $x$ 轴上方。$a^x>0$ 对一切 $x\in \mathbb{R}$ 成立，值域是 $(0,+\infty )$，永远取不到 $0$ 和负数。图象以 $x$ 轴为渐近线（无限接近但不相交）。这一点在解方程（如 $a^x=0$ 无解）和判断函数值范围时很关键。
• 所有指数函数图象都过定点 $(0,1)$。因 $a^0=1$。这是“已知图象过点求解析式”的依据，也是判断一个图象是否可能是指数函数图象的快速标准。
• 指数增长是“每次乘固定倍数”，不是“每次加固定数量”。这是指数增长与线性增长的本质区别。线性增长 $y=kx+b$ 每次增加固定量（一阶差恒定）；指数增长 $y=N(1+p{)}^x$ 每次乘固定倍率（相邻两项比值恒定）。指数增长一开始可能比线性慢，但最终会远超线性增长。
• 半衰期不是“两个半衰期归零”。每经过一个半衰期，剩余量是原来的一半。经过两个半衰期剩 $\frac{1}{4}$，三个剩 $\frac{1}{8}$……永远不为 $0$（只是越来越接近 $0$）。放射性物质实际上永远不会完全消失。

难点突破

难点一：指数增长与线性增长的区别

线性增长：每次增加固定数量，如 $y=10x+600$，每年固定增加 $10$ 万。增长速度不变。

指数增长：每次乘固定倍数，如 $y=600\times 1.11^x$，每年是上一年的 $1.11$ 倍。增长速度越来越快——年增加量（相邻两年之差）越来越大。

两者的关键区别在于“增加量”vs“增长率”：线性增长看相邻两年之差（固定），指数增长看相邻两年之比（固定）。突破方法：拿到增长问题，先算相邻两项的差和比值，差恒定是线性，比值恒定是指数。

难点二：$0<a<1$ 时为什么递减

以 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 为例：$x=0$ 时 $y=1$，$x=1$ 时 $y=\frac{1}{2}$，$x=2$ 时 $y=\frac{1}{4}$，$x=3$ 时 $y=\frac{1}{8}$……随着 $x$ 增大，$\frac{1}{2}$ 自乘次数增多，乘积越来越小，所以函数递减。反过来 $x=-1$ 时 $y=2$，$x=-2$ 时 $y=4$，负方向函数值增大。突破方法：代入几个特殊值观察趋势，或利用 $y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$（$a>1$），$-x$ 随 $x$ 增大而减小，故 $a^{-x}$ 随 $x$ 增大而减小。

难点三：比较不同底的指数式大小要找中间量

比较 $1.7^{0.3}$ 与 $0.9^{3.1}$：它们不是同一个指数函数的两个值，不能直接用单调性。但可以利用“过定点 $(0,1)$”这条性质：因 $1.7>1$ 且 $0.3>0$，$1.7^{0.3}>1.7^0=1$；因 $0<0.9<1$ 且 $3.1>0$，$0.9^{3.1}<0.9^0=1$。所以 $1.7^{0.3}>1>0.9^{3.1}$。$1$ 就是中间量。突破方法：不同底时，先判断每个值是大于 $1$ 还是小于 $1$（由底数和指数的正负决定），再用 $1$ 作桥梁比较。

难点四：底数 $a$ 对图象的影响

在第一象限内：$a$ 越大（$a>1$），图象越陡（上升越快）；$a$ 越接近 $1$，图象越平缓。当 $0<a<1$ 时，$a$ 越小图象下降越快。所有图象都在 $(0,1)$ 汇聚。突破方法：画 $y=2^x,y=3^x,y=5^x$ 等多个图象对比，观察底数增大时图象变陡。

难点五：半衰期模型的推导与应用

为什么 $Q(t)=Q_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/h}$？每经过时间 $h$（一个半衰期），剩余量乘 $\frac{1}{2}$。经过时间 $t$，相当于经过了 $t/h$ 个半衰期，剩余 $Q_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/h}$。突破方法：理解“$t/h$”是半衰期的个数（可能是分数，表示不到一个完整的半衰期），用具体数字验证：$t=h$ 时剩 $\frac{1}{2}$，$t=2h$ 时剩 $\frac{1}{4}$，$t=3h$ 时剩 $\frac{1}{8}$。

例题讲解

例1：求指数函数的解析式与函数值

已知指数函数 $f(x)=a^x$（$a>0$，$a\ne 1$），且 $f(3)=\pi$，求 $f(0)$、$f(1)$、$f(-3)$ 的值。

审题： 先由 $f(3)=\pi$ 求出底数 $a$，再求各函数值。

解： 因 $f(3)=a^3=\pi$，故 $a=\sqrt[3]{\pi }={\pi }^{1/3}$。于是 $f(x)={\left({\pi }^{1/3}\right)}^x={\pi }^{x/3}$。

• $f(0)={\pi }^{0/3}={\pi }^0=1$；
• $f(1)={\pi }^{1/3}=\sqrt[3]{\pi }$；
• $f(-3)={\pi }^{-3/3}={\pi }^{-1}=\frac{1}{\pi }$。

检验： $f(3)={\pi }^{3/3}={\pi }^1=\pi$ ✓。

反思： 关键是先确定 $a$，再代入。$a^0=1$（定点性质）是快速求 $f(0)$ 的依据。

例2：比较指数式的大小

比较下列各题中两个值的大小：（1）$1.7^{2.5}$ 与 $1.7^3$；（2）$0.8^{-\sqrt{2}}$ 与 $0.8^{-\sqrt{3}}$；（3）$1.7^{0.3}$ 与 $0.9^{3.1}$。

审题： （1）（2）同底，用单调性；（3）不同底，找中间量。

解： （1）$1.7^{2.5}$ 和 $1.7^3$ 看作函数 $y=1.7^x$ 在 $x=2.5$ 和 $x=3$ 的值。因底数 $1.7>1$，$y=1.7^x$ 是增函数。因 $2.5<3$，所以 $1.7^{2.5}<1.7^3$。

（2）$0.8^{-\sqrt{2}}$ 和 $0.8^{-\sqrt{3}}$ 看作函数 $y=0.8^x$ 在 $x=-\sqrt{2}$ 和 $x=-\sqrt{3}$ 的值。因 $0<0.8<1$，$y=0.8^x$ 是减函数。因 $-\sqrt{2}>-\sqrt{3}$（$\sqrt{2}<\sqrt{3}$，故 $-\sqrt{2}>-\sqrt{3}$），所以 $0.8^{-\sqrt{2}}<0.8^{-\sqrt{3}}$。

（3）$1.7^{0.3}$ 和 $0.9^{3.1}$ 不同底，不能直接比较。利用中间量 $1$：因 $1.7>1$ 且 $0.3>0$，$1.7^{0.3}>1.7^0=1$；因 $0<0.9<1$ 且 $3.1>0$，$0.9^{3.1}<0.9^0=1$。所以 $1.7^{0.3}>1>0.9^{3.1}$，即 $1.7^{0.3}>0.9^{3.1}$。

检验： （2）$0.8^{-\sqrt{2}}\approx 0.8^{-1.414}\approx 2.58$，$0.8^{-\sqrt{3}}\approx 0.8^{-1.732}\approx 3.46$，$2.58<3.46$ ✓。

反思： 同底用单调性（注意 $0<a<1$ 时方向相反）；不同底找中间量 $1$。关键是判断每个值在 $1$ 的哪一侧。

例3：碳14 考古测年

某生物死亡 $10000$ 年后，体内碳14 含量衰减为原来的百分之几？（碳14 半衰期 $5730$ 年）

审题： 用半衰期模型 $Q(t)=Q_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/h}$，$h=5730$，$t=10000$。

解： 设初始碳14 含量为 $1$ 个单位，死亡 $x$ 年后含量为

$$h(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}.$$

当 $x=10000$ 时：

$$h(10000)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{10000/5730}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{1.745}\approx \mathrm{0.30.}$$

所以该生物死亡 $10000$ 年后，体内碳14 含量约为原来的 $30\%$。

反思： 半衰期模型中 $t/h$ 是半衰期的个数（$10000/5730\approx 1.745$ 个半衰期）。碳14 测年是指数衰减的经典应用，考古学家据此测定遗址年代。

例4：城市人口的倍增期

某城市人口呈指数增长，根据图象估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；若从 $80$ 万人开始，经过 $20$ 年会增长到多少万人？

审题： 倍增期是人口翻一番所需的时间。从图象读出倍增期，再用倍增期推算。

解： （1）观察图象：人口从约 $10$ 万增长到约 $20$ 万用了约 $20$ 年（从横坐标 $20$ 到 $40$），所以倍增期约为 $20$ 年。

（2）倍增期为 $20$ 年意味着每经过 $20$ 年人口翻一番。从 $80$ 万人开始，经过 $20$ 年（一个倍增期），人口约为 $80\times 2=160$ 万人。

反思： 倍增期与半衰期对称——一个是增长翻倍的时间，一个是衰减减半的时间。同一指数函数的倍增期（或半衰期）是固定的常数。

例5：复利计算

按复利计算的一种储蓄，本金为 $a$ 元，每期利率为 $r$，本利和为 $y$ 元，存期数为 $x$。

（1）写出本利和 $y$ 关于存期数 $x$ 的函数；（2）本金 $1000$ 元，每期利率 $2.25\%$，计算 $5$ 期后的本利和。

审题： 复利是典型的指数增长模型。每期本利和 $=$ 上期本利和 $\times (1+r)$。

解： （1）第 $1$ 期后本利和 $=a(1+r)$；第 $2$ 期后 $=a(1+r{)}^2$；……第 $x$ 期后本利和为

$$y=a(1+r{)}^x(x\in \mathbb{N}).$$

（2）$a=1000$，$r=2.25\%=0.0225$，$x=5$：

$$y=1000\times (1.0225{)}^5\approx 1000\times 1.1177=1117.68\text{ (元)}.$$

（利用计算器，$1.0225^5\approx 1.11768$。）

检验： 逐期算：$1000\to 1022.50\to 1045.51\to 1069.03\to 1093.08\to 1117.68$ ✓。

反思： 复利是指数增长的典型模型 $y=a(1+r{)}^x$。“利滚利”使得增长越来越快。注意存期数 $x$ 是正整数。

易错点整理

• 错误表现：把 $y=x\cdot a$（变量在底数）或 $y=x^3$（幂函数）误认为指数函数。

  • 正确处理：指数函数 $y=a^x$ 要求自变量在指数位置、底数为常数。逐一核对。

• 错误表现：忘记指数函数要求 $a>0$ 且 $a\ne 1$。

  • 反例：$y=1^x=1$（$a=1$）是常函数，不是（有意义的）指数函数；$y=0^x$（$a=0$）对 $x\le 0$ 无意义。
  • 正确处理：判断时核对 $a>0$ 且 $a\ne 1$。

• 错误表现：$0<a<1$ 时比较大小方向弄反。

  • 反例：比较 $0.7^2$ 与 $0.7^3$，若用增函数逻辑得 $0.7^2<0.7^3$（错，实际 $0.49>0.343$）。
  • 正确处理：$0<a<1$ 时是减函数，自变量大的函数值反而小，方向与 $a>1$ 相反。

• 错误表现：把指数增长理解成“每次增加固定数量”。

  • 正确处理：指数增长是“每次乘固定倍数”（增长率固定），不是“每次加固定量”（增加量固定）。前者是指数函数，后者是一次函数。

• 错误表现：半衰期问题中误以为经过两个半衰期就衰减为 $0$。

  • 正确处理：每经过一个半衰期剩一半，两个半衰期剩 $\frac{1}{4}$，三个剩 $\frac{1}{8}$……永远不为 $0$。$Q(t)=Q_0(1/2{)}^{t/h}$。

• 错误表现：建模时忘记乘初始量 $N$。

  • 反例：人口模型写成 $y=(1+p{)}^x$，漏了初始人口 $N$。
  • 正确处理：$y=N(1+p{)}^x$，$N$ 是初始量（$x=0$ 时的值）。

• 错误表现：认为 $a^x$ 可以等于 $0$ 或负数。

  • 正确处理：$a^x>0$ 恒成立（$a>0$），值域 $(0,+\infty )$。方程 $a^x=0$ 无解。

考点考证点整理

考点一：指数函数定义的辨析

• 出题思路：给一组函数，判断哪些是指数函数；或选择指数函数图象。
• 关键条件：自变量在指数位置；底数 $a>0$ 且 $a\ne 1$；系数为 $1$（严格意义的指数函数 $y=a^x$，$y=2\cdot 3^x$ 是指数型函数但系数不为 $1$）。
• 解答要点：核对变量位置和底数条件。指数函数图象恒过 $(0,1)$、在 $x$ 轴上方。
• 易扣分点：混淆指数函数与幂函数；忽略 $a\ne 1$；把 $k{a}^x$（$k\ne 1$）当严格指数函数。

考点二：指数函数的图象与性质

• 出题思路：要求画 $y=a^x$（$a>1$ 或 $0<a<1$）的图象，写定义域、值域、定点、单调性；或给图象判断底数范围。
• 关键条件：$a>1$ 增函数、$0<a<1$ 减函数；定点 $(0,1)$；值域 $(0,+\infty )$。
• 解答要点：分两种情况画图；注明定点、渐近线（$x$ 轴）、单调性。底数互为倒数图象关于 $y$ 轴对称。
• 易扣分点：值域写成 $\mathbb{R}$（应为 $(0,+\infty )$）；定点写错；单调性方向与底数不对应。

考点三：比较指数式的大小

• 出题思路：比较两个指数式的大小（同底或不同底）。
• 关键条件：底数与 $1$ 的关系；指数的正负；单调性方向。
• 解答要点：同底用单调性（$a>1$ 同向、$0<a<1$ 反向）；不同底找中间量 $1$（$a^x$ 与 $1$ 的关系由 $a$、$x$ 决定）。
• 易扣分点：$0<a<1$ 方向弄反；不同底时不会找中间量；中间量选择不当。

考点四：指数增长与衰减模型

• 出题思路：人口增长、复利、细胞分裂（增长）；碳14 衰减、药物代谢（衰减）；求经过若干次后的量或反求时间。
• 关键条件：初始量 $N$；增长率/衰减率 $p$；次数或时间 $x$。
• 解答要点：增长 $y=N(1+p{)}^x$，衰减 $y=N(1-p{)}^x$。注意 $x$ 的含义（年数、次数、期数）。反求时间时取对数（或用计算器）。
• 易扣分点：漏乘初始量 $N$；增长率与增加量混淆；$x$ 的单位搞错。

考点五：半衰期与倍增期

• 出题思路：已知半衰期/倍增期求剩余量/翻倍量，或反求时间；判断能否探测到（如碳14 不足千分之一）。
• 关键条件：半衰期 $h$ 或倍增期 $T$；初始量 $Q_0$；时间 $t$。
• 解答要点：衰减 $Q(t)=Q_0(1/2{)}^{t/h}$；增长 $y=N\cdot 2^{t/T}$。经过 $n$ 个半衰期剩 $(1/2{)}^n$。
• 易扣分点：$t/h$ 的指数位置写错；误以为多个半衰期后归零；倍增期与半衰期混淆。

练习题

基础训练

1. 判断下列函数哪些是指数函数：$y=3^x$、$y=x^3$、$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$、$y=1^x$、$y=2\cdot 5^x$、$y=(-2{)}^x$。
2. 写出指数函数 $y=a^x$（$a>0,a\ne 1$）的定义域、值域、定点和单调性（分 $a>1$ 和 $0<a<1$）。
3. 比较下列各题中两个值的大小：
   （1）$3^{0.8}$ 与 $3^{0.7}$；（2）$0.75^{-0.1}$ 与 $0.75^{0.1}$；（3）$2^{1.5}$ 与 $2^2$。
4. 在同一直角坐标系中画出 $y=2^x$ 和 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的图象，说明它们的关系。
5. 某量初始为 $100$，每年增长 $8\%$，写出 $x$ 年后该量的函数模型。

巩固训练

1. 比较下列各题中两个值的大小：
   （1）$1.01^{2.7}$ 与 $1.01^{3.5}$；（2）$0.99^{3.3}$ 与 $0.99^{4.5}$；（3）$1.2^{0.5}$ 与 $0.5^{1.2}$。
2. 比较满足下列条件的 $m,n$ 的大小：
   （1）$2^m<2^n$；（2）$0.2^m<0.2^n$；（3）$a^m>a^n$（$a>1$）。
3. 某种产品原来年产量是 $a$ 件，今后 $m$ 年内计划使产量平均每年比上一年增加 $p\%$。写出年产量 $y$（件）关于经过年数 $x$ 的函数解析式。
4. 某城市蓝细菌每天以 $6.25\%$ 的增长率呈指数增长。经过 $30$ 天，蓝细菌会变为原来的多少倍（保留两位小数）？
5. 某物质半衰期为 $10$ 年，初始量为 $Q_0$。写出 $t$ 年后剩余量 $Q(t)$ 的解析式，并求经过 $30$ 年后剩余原来的几分之几。
6. 当死亡生物组织内碳14 含量不足死亡前的千分之一时，一般探测器测不到碳14。碳14 半衰期为 $5730$ 年。经过 $9$ 个半衰期后，还能测到碳14 吗？

提升训练

1. 已知函数 $y=b-a^{1-|x|}$（$a>0,a\ne 1$）的图象过原点，且当 $|x|$ 无限增大时无限接近直线 $y=2$ 但不与该直线相交。
   （1）求该函数的解析式，并画出图象的示意图；
   （2）判断该函数的奇偶性和单调性。
2. 已知 $f(x)=a^x$，$g(x)={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$（$a>0,a\ne 1$）。
   （1）讨论 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的单调性；
   （2）如果 $f(x)<g(x)$，$x$ 的取值范围是多少？
3. 某商店的一种商品，原来每天可销售 $200$ 件，售价为 $10$ 元/件。据统计，售价每提高 $1$ 元，日销量就减少 $20$ 件；售价每降低 $1$ 元，日销量就增加 $20$ 件。该商品进价为 $7$ 元/件，为使日利润最大，售价应定为多少？（提示：设售价调整 $x$ 元，写出利润函数，判断是否为指数模型或二次模型）

练习题答案

基础训练答案

1. $y=3^x$：底数 $3>0$ 且 $\ne 1$，自变量在指数，是指数函数。$y=x^3$：自变量在底数，是幂函数，不是。$y=(1/2{)}^x$：底数 $1/2>0$ 且 $\ne 1$，是指数函数。$y=1^x=1$：$a=1$，不满足 $a\ne 1$，不是。$y=2\cdot 5^x$：系数 $2\ne 1$，是指数型函数但不是严格意义的指数函数，不是（严格的指数函数要求 $y=a^x$ 形式）。$y=(-2{)}^x$：$a=-2<0$，不满足 $a>0$，不是。
2. 定义域 $\mathbb{R}$；值域 $(0,+\infty )$；定点 $(0,1)$（即 $x=0$ 时 $y=1$）；$a>1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，$0<a<1$ 时单调递减。
3. （1）$3>1$，增函数，$0.8>0.7$，所以 $3^{0.8}>3^{0.7}$。（2）$0<0.75<1$，减函数，$-0.1<0.1$，所以 $0.75^{-0.1}>0.75^{0.1}$。（3）$2>1$，增函数，$1.5<2$，所以 $2^{1.5}<2^2$。
4. $y=2^x$ 在第一象限上升、第二象限趋近 $x$ 轴；$y=(1/2{)}^x=2^{-x}$ 在第一象限下降、第二象限上升。两者图象关于 $y$ 轴对称（因 $(1/2{)}^x=2^{-x}$，点 $(x,y)$ 与 $(-x,y)$ 对称）。都过 $(0,1)$，值域 $(0,+\infty )$。
5. $y=100\times (1+8\%{)}^x=100\times 1.08^x$（$x\in \mathbb{N}$，$x$ 为年数）。

巩固训练答案

1. （1）$1.01>1$，增函数，$2.7<3.5$，$1.01^{2.7}<1.01^{3.5}$。（2）$0<0.99<1$，减函数，$3.3<4.5$，$0.99^{3.3}>0.99^{4.5}$。（3）不同底，找中间量 $1$：$1.2>1$ 且 $0.5>0$，$1.2^{0.5}>1.2^0=1$；$0<0.5<1$ 且 $1.2>0$，$0.5^{1.2}<0.5^0=1$。所以 $1.2^{0.5}>1>0.5^{1.2}$，即 $1.2^{0.5}>0.5^{1.2}$。
2. （1）$2>1$ 增函数，$2^m<2^n\Rightarrow m<n$。（2）$0<0.2<1$ 减函数，$0.2^m<0.2^n\Rightarrow m>n$。（3）$a>1$ 增函数，$a^m>a^n\Rightarrow m>n$。
3. $y=a(1+p\%{)}^x$（$x\in \{0,1,2,\dots ,m\}$）。
4. 每天增长 $6.25\%$，即每天变为原来 $1.0625$ 倍。$30$ 天后变为 $1.0625^{30}$ 倍。用计算器算得 $1.0625^{30}\approx 6.16$。所以变为原来的约 $6.16$ 倍。
5. $Q(t)=Q_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/10}$。$t=30$：$Q(30)=Q_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{30/10}=Q_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=Q_0\cdot \frac{1}{8}$。所以经过 $30$ 年（$3$ 个半衰期）剩余原来的 $\frac{1}{8}$。
6. 经过 $9$ 个半衰期，剩余 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^9=\frac{1}{512}$。因 $\frac{1}{512}\approx 0.00195>\frac{1}{1000}=0.001$，仍大于千分之一，能测到碳14。（需经过满足 $(1/2{)}^n<1/1000$ 即 $2^n>1000$ 的 $n$，$2^{10}=1024>1000$，故需 $10$ 个半衰期才测不到。）

提升训练答案

1. （1）当 $|x|\to +\infty$ 时 $1-|x|\to -\infty$，需要 $a^{1-|x|}\to 0$ 才能使 $y=b-a^{1-|x|}\to b$，故 $a>1$（$0<a<1$ 时 $a^{1-|x|}\to +\infty$，$y\to -\infty$，不合题意）。由“无限接近 $y=2$”得渐近线 $y=b=2$。图象过原点 $(0,0)$：$f(0)=b-a^{1-|0|}=2-a^1=2-a=0$，故 $a=2$。所以 $f(x)=2-2^{1-|x|}$。

   图象示意：$x=0$ 时 $f(0)=2-2=0$（最低点，过原点）；$|x|$ 增大时 $2^{1-|x|}$ 减小（因 $1-|x|$ 减小、底数 $2>1$），$f(x)=2-2^{1-|x|}$ 增大并趋近 $2$；图象关于 $y$ 轴对称，呈“V”形开口向上，以 $y=2$ 为水平渐近线。

   （2）奇偶性：$f(-x)=2-2^{1-|-x|}=2-2^{1-|x|}=f(x)$，是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。

   单调性：当 $x\ge 0$ 时 $|x|=x$，$f(x)=2-2^{1-x}=2-2\cdot 2^{-x}$。因 $2^{-x}$（$a=2>1$ 的指数函数）随 $x$ 增大而减小，故 $-2\cdot 2^{-x}$ 随 $x$ 增大而增大，$f(x)$ 随 $x$ 增大而增大——$f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。由偶函数的对称性（偶函数在对称区间单调性相反），$f(x)$ 在 $(-\infty ,0]$ 上单调递减。

2. （1）$f(x)=a^x$：$a>1$ 时增函数，$0<a<1$ 时减函数。$g(x)={\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$：当 $a>1$ 时 $\frac{1}{a}<1$，$g(x)$ 是减函数；当 $0<a<1$ 时 $\frac{1}{a}>1$，$g(x)$ 是增函数。即 $f$ 和 $g$ 单调性始终相反。
   （2）$f(x)<g(x)$ 即 $a^x<a^{-x}$，$a^x<\frac{1}{a^x}$，$(a^x{)}^2<1$（因 $a^x>0$ 两边乘 $a^x$），$a^{2x}<1=a^0$。若 $a>1$（增函数），$2x<0$，$x<0$。若 $0<a<1$（减函数），$2x>0$，$x>0$。所以：$a>1$ 时 $x<0$；$0<a<1$ 时 $x>0$。即 $x$ 与 $a-1$ 异号。

3. 设售价调整 $x$ 元（$x$ 可正可负，$x>0$ 提价、$x<0$ 降价），售价 $=10+x$ 元，日销量 $=200-20x$ 件（提价减、降价增）。每件利润 $=(10+x)-7=3+x$ 元。日利润 $P=(3+x)(200-20x)$，展开得 $P=600-60x+200x-20x^2=600+140x-20x^2$。配方：$P=-20(x^2-7x)+600=-20{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2+20\times \frac{49}{4}+600=-20(x-3.5{)}^2+245+600=-20(x-3.5{)}^2+845$。当 $x=3.5$ 时 $P_{\max }=845$ 元。此时售价 $10+3.5=13.5$ 元，日销量 $200-20\times 3.5=130$ 件，均为正，合理。注：这是二次函数模型（不是指数模型），因为利润是售价（一次）与销量（一次）的乘积，展开为二次。售价定为 $13.5$ 元时日利润最大，为 $845$ 元。