4.1 指数

本节学习目标

• 理解 $n$ 次方根的概念，掌握 $n$ 为奇数、偶数时 $n$ 次方根的存在性和个数，会用根式 $\sqrt[n]{a}$ 表示 $n$ 次方根。
• 掌握根式的性质，能正确计算 $\sqrt[n]{a^n}$（区分 $n$ 为奇数与偶数）和 $(\sqrt[n]{a}{)}^n$。
• 理解分数指数幂的意义，能熟练进行根式与分数指数幂的互化（含正分数、负分数指数）。
• 掌握无理数指数幂的意义（用有理数逼近定义），理解指数从整数推广到实数的过程。
• 熟练运用实数指数幂的三条运算法则进行化简、计算和求值。
• 能处理含字母指数的化简、条件求值（如已知 $a^x$ 求 $a^{2x}+a^{-2x}$ 等），为学习指数函数打基础。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

我们已经学过整数指数幂（$a^n$，$n$ 为正整数）、零指数幂（$a^0=1$）和负整数指数幂（$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$）。在学习幂函数时，正方形场地的边长 $c$ 关于面积 $S$ 的函数 $c=\sqrt{S}$ 被记作 $c=S^{1/2}$。像 $S^{1/2}$ 这样以分数为指数的幂，究竟是什么含义？更进一步，当指数是无理数（如 $2^{\sqrt{2}}$）时又该如何理解？

本节的任务就是把指数的范围从整数逐步推广到全体实数：正整数指数 $\to$ 零指数与负整数指数 $\to$ 分数指数 $\to$ 有理数指数 $\to$ 实数指数（含无理数指数）。推广的核心原则是：新定义的幂必须与已有整数指数幂的运算法则相容。这样推广后，才能定义和研究指数函数 $y=a^x$（$x\in \mathbb{R}$）。

二、核心概念与定义条件

$n$ 次方根：一般地，如果 $x^n=a$（$n>1$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），那么 $x$ 叫作 $a$ 的 $n$ 次方根。例如 $\pm 2$ 是 $16$ 的 $4$ 次方根（因 $(\pm 2{)}^4=16$），$2$ 是 $32$ 的 $5$ 次方根（因 $2^5=32$）。

$n$ 次方根的存在性与个数取决于 $n$ 的奇偶性和 $a$ 的正负：

条件	$n$ 次方根情况	记号
$n$ 为奇数，$a>0$	一个正数	$\sqrt[n]{a}$
$n$ 为奇数，$a<0$	一个负数	$\sqrt[n]{a}$（如 $\sqrt[5]{-32}=-2$）
$n$ 为奇数，$a=0$	$0$	$\sqrt[n]{0}=0$
$n$ 为偶数，$a>0$	两个互为相反数	$\pm \sqrt[n]{a}$（如 $\pm \sqrt[4]{16}=\pm 2$）
$n$ 为偶数，$a=0$	$0$	$\sqrt[n]{0}=0$
$n$ 为偶数，$a<0$	不存在（负数没有偶次方根）	无意义

根式：式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫作根式（radical），其中 $n$ 叫根指数，$a$ 叫被开方数。当 $n$ 为偶数且 $a\ge 0$ 时，$\sqrt[n]{a}$ 表示 $a$ 的正的 $n$ 次方根（非负的那个）。

三、符号语言与等价表示

根式的两条核心性质（必须区分清楚）：

性质一：$(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$。这总是成立（只要 $\sqrt[n]{a}$ 有意义），因为 $\sqrt[n]{a}$ 就是 $a$ 的 $n$ 次方根，再 $n$ 次方当然还原。例如 $(\sqrt{5}{)}^2=5$，$(\sqrt[5]{-3}{)}^5=-3$。

性质二：$\sqrt[n]{a^n}$ 要分情况讨论：

$$\sqrt[n]{a^n}=\{\begin{array}{ll}a,& n\text{ 为奇数},\\ |a|,& n\text{ 为偶数}.\end{array}$$

即当 $n$ 为奇数时 $\sqrt[n]{a^n}=a$（总是成立）；当 $n$ 为偶数时 $\sqrt[n]{a^n}=|a|$（因为偶次根式结果非负）。例如 $\sqrt[3]{(-2{)}^3}=-2$（$n=3$ 奇），$\sqrt{(-3{)}^2}=|-3|=3$（$n=2$ 偶）。

分数指数幂的规定：

类型	规定	条件
正分数指数幂	$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$	$a>0$，$m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$n>1$
负分数指数幂	$a^{-m/n}=\frac{1}{a^{m/n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$	$a>0$，$m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$n>1$
$0$ 的正分数指数幂	$0^{m/n}=0$	—
$0$ 的负分数指数幂	没有意义	—

互化口诀：根指数 $n$ 去分母，被开方数指数 $m$ 去分子。例如 $\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$，$\frac{1}{\sqrt[5]{a^3}}=a^{-3/5}$，$a^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{a}}$。

无理数指数幂：$a^{\alpha }$（$a>0$，$\alpha$ 为无理数）用有理数逼近来定义。以 $5^{\sqrt{2}}$ 为例：取 $\sqrt{2}$ 的不足近似值序列 $1.4,1.41,1.414,\dots$ 和过剩近似值序列 $1.5,1.42,1.415,\dots$，计算 $5^{1.4},5^{1.41},\dots$（逐渐增大）和 $5^{1.5},5^{1.42},\dots$（逐渐减小），两串值趋向于同一个确定的实数，这个数就是 $5^{\sqrt{2}}$。这样指数范围就从有理数拓展到了实数。

四、关键性质、定理与公式

实数指数幂的三条运算法则（$a>0$，$b>0$，$r,s\in \mathbb{R}$）：

法则	公式	名称
同底数幂相乘	$a^r\cdot a^s=a^{r+s}$	指数相加
幂的乘方	$(a^r{)}^s=a^{rs}$	指数相乘
积的乘方	$(ab{)}^r=a^r\cdot b^r$	分配到各因式

由此可推出（作为推论）：

• 同底数幂相除：$\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$（因 $a^r÷a^s=a^r\cdot a^{-s}=a^{r-s}$）。
• 商的乘方：${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$。
• $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$；$a^0=1$（$a>0$）。

条件求值的常用技巧：

• 整体代换：已知 $a^x+a^{-x}=m$，求 $a^{2x}+a^{-2x}$。利用 $(a^x+a^{-x}{)}^2=a^{2x}+2+a^{-2x}$，得 $a^{2x}+a^{-2x}=m^2-2$。
• 齐次化：已知 $a^{2x}=k$，求 $\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}$。分子 $=a^{3x}+a^{-3x}$，利用 $a^{3x}=(a^x{)}^3$，$a^{-3x}=(a^{-x}{)}^3$，分子 $=(a^x+a^{-x})(a^{2x}-1+a^{-2x})$，与分母约分。

五、典型模型与解题方法

模型一：计算 $\sqrt[n]{a^n}$。 先判断 $n$ 是奇数还是偶数：奇数直接得 $a$；偶数得 $|a|$，再根据 $a$ 的正负去绝对值。

模型二：根式与分数指数幂互化。 根指数 $\to$ 分母，被开方数指数 $\to$ 分子；负指数 $\to$ 倒数。

模型三：指数幂化简计算。 先把所有项统一写成同底数分数指数幂形式，再用运算法则（指数加减乘）合并。

模型四：条件求值。 找已知量与所求量的关系，用整体代换或因式分解（如 $a^{3x}+a^{-3x}=(a^x+a^{-x})(a^{2x}-1+a^{-2x})$）。

模型五：实际背景的指数计算。 如细菌分裂（每 $10$ 分钟分裂一次，$1$ 小时分裂 $6$ 次，$1$ 个变 $2^6=64$ 个）、容器倒液（每次倒出 $\frac{1}{3}$ 剩 $\frac{2}{3}$，$n$ 次后剩 $(\frac{2}{3}{)}^n$）。

六、题型应用与迁移

本节题型分五类：①$\sqrt[n]{a^n}$ 求值（区分奇偶）；②根式与分数指数幂互化；③指数幂化简计算（运用三条法则）；④含字母的条件求值（整体代换）；⑤实际背景的指数计算（分裂、衰减）。这些是下一节指数函数 $y=a^x$ 的运算基础——只有把指数推广到实数并掌握运算法则，才能研究指数函数的定义域（全体实数）和性质。

重点梳理

• $\sqrt[n]{a^n}$ 是否等于 $a$，取决于 $n$ 的奇偶性。$n$ 为奇数时 $\sqrt[n]{a^n}=a$（总是成立）；$n$ 为偶数时 $\sqrt[n]{a^n}=|a|$（结果非负）。这是本节最核心也最易错的一条性质。它之所以重要，是因为直接决定了根式化简结果的正确性。例如 $\sqrt{x^2}=|x|$ 而不是 $x$（当 $x<0$ 时 $|x|=-x\ne x$）。触发条件：遇到 $\sqrt[n]{a^n}$ 形式，第一反应问“$n$ 是奇数还是偶数”。
• $(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$ 总是成立，但 $\sqrt[n]{a^n}$ 不一定等于 $a$。这两个式子方向相反，容易混淆。前者是“先开方再乘方”，一定还原；后者是“先乘方再开方”，偶数次时要去绝对值。
• 分数指数幂中底数要求 $a>0$。这是因为分数指数 $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ 当 $n$ 为偶数时要求 $a^m\ge 0$，为统一起见规定 $a>0$。负数的分数指数幂在高中阶段一般不讨论（会出现多值性问题）。所以涉及分数指数幂运算时，默认 $a>0$。
• 负分数指数表示倒数，不是把负号放进根号。$a^{-m/n}=\frac{1}{a^{m/n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$，负号的作用是“取倒数”，不是“在根号前加负号”。常见错误：把 $a^{-1/2}$ 写成 $-\sqrt{a}$（应为 $\frac{1}{\sqrt{a}}$）。
• 三条运算法则要求底数 $a>0,b>0$。这是为了保证法则对全体实数指数都成立。运用时注意：同底数幂相乘指数相加（不是相乘）；幂的乘方指数相乘（不是相加）。
• 指数推广的原则是“与已有法则相容”。每次推广（整数$\to$分数$\to$无理数）都确保运算法则 $a^r{a}^s=a^{r+s}$、$(a^r{)}^s=a^{rs}$、$(ab{)}^r=a^r{b}^r$ 继续成立。这是数学中“引入新概念时保持与旧法则相容”的重要思想。

难点突破

难点一：为什么 $\sqrt{x^2}=|x|$ 而不是 $x$

平方根（偶次根式）表示的是非负的方根。$\sqrt{x^2}$ 表示 $x^2$ 的非负平方根。当 $x\ge 0$ 时，$x^2$ 的非负平方根就是 $x$；当 $x<0$ 时，$x^2$ 的非负平方根是 $-x$（因 $(-x{)}^2=x^2$ 且 $-x>0$）。所以 $\sqrt{x^2}=|x|$。如果直接写成 $x$，当 $x<0$ 时就得到负数，违反了“根式结果非负”的要求。突破方法：遇到偶次根式 $\sqrt[2k]{(\cdot {)}^{2k}}$，结果一定是非负的，用绝对值保护。

难点二：根式化分数指数幂时分子分母不要搞反

$\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$：根指数 $3$ 在分母，被开方数中 $a$ 的指数 $2$ 在分子。反过来 $a^{3/2}=\sqrt{a^3}=\sqrt{a^3}$。记忆口诀：“根下数去分子，根号数去分母”。突破方法：用具体数字验证，如 $\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$，$8^{2/3}=(\sqrt[3]{8}{)}^2=2^2=4$ ✓。

难点三：负分数指数幂不是“负号的幂”

$a^{-3/4}=\frac{1}{a^{3/4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{a^3}}$。负号的作用是“取倒数”，而不是把负号带入根号或写成 $-\sqrt[4]{a^3}$。突破方法：负指数 $\iff$ 倒数，记住 $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$ 这一条，所有负分数指数都先转化成倒数再处理。

难点四：运算法则中“指数相加”与“指数相乘”的区分

• 同底数幂相乘 $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$：指数相加。
• 幂的乘方 $(a^r{)}^s=a^{rs}$：指数相乘。

初学者容易混淆，如把 $a^r\cdot a^s$ 写成 $a^{rs}$（错，应为 $a^{r+s}$），或把 $(a^r{)}^s$ 写成 $a^{r+s}$（错，应为 $a^{rs}$）。突破方法：记住“乘法 $\to$ 加法”（幂相乘，指数相加，运算降一级）；“乘方 $\to$ 乘法”（幂乘方，指数相乘，运算降一级）。

难点五：条件求值中的整体代换

已知 $a^{1/2}+a^{-1/2}=3$，求 $a+a^{-1}$ 和 $a^{3/2}+a^{-3/2}$ 的值。直接求 $a$ 很难（要解方程），但可以用整体代换：

• $(a^{1/2}+a^{-1/2}{)}^2=a+2+a^{-1}=9$，所以 $a+a^{-1}=7$。
• $a^{3/2}+a^{-3/2}=(a^{1/2}{)}^3+(a^{-1/2}{)}^3=(a^{1/2}+a^{-1/2})(a-1+a^{-1})=3\times (7-1)=18$。

突破方法：把 $a^x$、$a^{-x}$ 视为整体，利用完全平方、立方和（差）公式建立已知与所求的关系，避免单独求 $a$。

例题讲解

例1：计算根式的值

求下列各式的值：（1）$\sqrt[3]{(-8{)}^3}$；（2）$\sqrt{(-10{)}^2}$；（3）$\sqrt[4]{(3-\pi {)}^4}$；（4）$\sqrt{(a-b{)}^2}$。

审题： 逐一判断根指数 $n$ 的奇偶性，套用 $\sqrt[n]{a^n}$ 的性质。

解：

（1）根指数 $3$ 是奇数，$\sqrt[3]{(-8{)}^3}=-8$。

（2）根指数 $2$ 是偶数，$\sqrt{(-10{)}^2}=|-10|=10$。

（3）根指数 $4$ 是偶数，$\sqrt[4]{(3-\pi {)}^4}=|3-\pi |$。因 $3-\pi <0$（$\pi \approx 3.14>3$），$|3-\pi |=\pi -3$。所以 $\sqrt[4]{(3-\pi {)}^4}=\pi -3$。

（4）根指数 $2$ 是偶数，$\sqrt{(a-b{)}^2}=|a-b|=\{\begin{array}{ll}a-b,& a\ge b,\\ b-a,& a<b.\end{array}$

检验： （2）$\sqrt{(-10{)}^2}=\sqrt{100}=10=|-10|$ ✓。（3）$3-\pi \approx -0.14$，$|3-\pi |\approx 0.14=\pi -3$ ✓。

反思： 偶次根式结果非负，必须加绝对值。涉及字母时要分类讨论（如 $a-b$ 的正负）。

例2：求指数幂的值

求值：（1）$8^{2/3}$；（2）${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-3/4}$。

审题： 把分数指数幂化为根式或化为同底数幂计算。

解：

（1）$8^{2/3}=(\sqrt[3]{8}{)}^2=2^2=4$。（先开三次方得 $2$，再平方得 $4$。）

（2）${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-3/4}={\left(\frac{81}{16}\right)}^{3/4}={\left(\sqrt[4]{\frac{81}{16}}\right)}^3={\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{27}{8}$。

（负指数先取倒数，再开四次方得 $\frac{3}{2}$，再立方得 $\frac{27}{8}$。）

检验： （1）$8^{2/3}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$ ✓。（2）${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-3/4}={\left((\frac{16}{81}{)}^{1/4}\right)}^{-3}=(\frac{2}{3}{)}^{-3}=(\frac{3}{2}{)}^3=\frac{27}{8}$ ✓。

反思： 计算分数指数幂时，可以灵活选择“先开方后乘方”或“先乘方后开方”，通常先开方（数字变小）再乘方更方便。负指数先取倒数。

例3：用分数指数幂表示并计算根式

用分数指数幂的形式表示并计算（$a>0$）：（1）$a^2\cdot \sqrt[3]{a^2}$；（2）$\sqrt{a}\cdot \sqrt[3]{a}$。

审题： 先把根式统一化为分数指数幂，再用运算法则合并。

解：

（1）$a^2\cdot \sqrt[3]{a^2}=a^2\cdot a^{2/3}=a^{2+2/3}=a^{8/3}$。

（2）$\sqrt{a}\cdot \sqrt[3]{a}=a^{1/2}\cdot a^{1/3}=a^{1/2+1/3}=a^{5/6}$。

检验： （1）$a^{8/3}=\sqrt[3]{a^8}$，验证 $a^2\cdot \sqrt[3]{a^2}=\sqrt[3]{a^6}\cdot \sqrt[3]{a^2}=\sqrt[3]{a^8}=a^{8/3}$ ✓。

反思： 把根式化为分数指数幂后，同底数幂直接指数相加，比根式运算简便得多。这是处理根式运算的通用策略。

例4：综合指数幂运算

计算（式中字母均为正数）：

（1）$\left(2a^{1/2}{b}^{1/3}\right)\cdot \left(-6a^{1/4}{b}^{1/6}\right)÷\left(-3a^{1/4}{b}^{-5/6}\right)$；

（2）${\left(m^{1/4}{n}^{-3/8}\right)}^8$；

（3）$\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt{a^3}\right)÷\sqrt[4]{a}$。

解：

（1）系数：$2\times (-6)÷(-3)=4$。$a$ 的指数：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。$b$ 的指数：$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{2+1+5}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。所以原式 $=4a^{1/2}{b}^{4/3}$。

（2）${\left(m^{1/4}{n}^{-3/8}\right)}^8=m^{1/4\times 8}\cdot n^{-3/8\times 8}=m^2\cdot n^{-3}=\frac{m^2}{n^3}$。

（3）$\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt{a^3}\right)÷\sqrt[4]{a}=\left(a^{2/3}-a^{3/2}\right)÷a^{1/4}=a^{2/3-1/4}-a^{3/2-1/4}=a^{5/12}-a^{5/4}$。若要化为根式：$a^{5/12}=\sqrt[12]{a^5}$，$a^{5/4}=\sqrt[4]{a^5}=a\sqrt[4]{a}$。

反思： 乘除混合运算时，系数和各字母的指数分别运算。同底数幂相除指数相减。括号内加减项分别除以除式（分配律）。

例5：条件求值

已知 $a^{1/2}+a^{-1/2}=3$（$a>0$），求：（1）$a+a^{-1}$；（2）$a^{3/2}+a^{-3/2}$。

审题： 不单独求 $a$，用整体代换。设 $t=a^{1/2}+a^{-1/2}=3$，$t^2=a+2+a^{-1}$。

解：

（1）由 $(a^{1/2}+a^{-1/2}{)}^2=a+2\cdot a^{1/2}\cdot a^{-1/2}+a^{-1}=a+2+a^{-1}=9$，所以 $a+a^{-1}=9-2=7$。

（2）$a^{3/2}+a^{-3/2}={\left(a^{1/2}\right)}^3+{\left(a^{-1/2}\right)}^3$。由立方和公式 $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$，取 $x=a^{1/2}$，$y=a^{-1/2}$：

$$a^{3/2}+a^{-3/2}=(a^{1/2}+a^{-1/2})\left(a-1+a^{-1}\right)=3\times (7-1)=3\times 6=18.$$

检验： 由 $a+a^{-1}=7$ 即 $a^2-7a+1=0$，$a=\frac{7\pm \sqrt{45}}{2}=\frac{7\pm 3\sqrt{5}}{2}$（取正值）。代入验证 $a^{1/2}+a^{-1/2}$：取 $a=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\approx 6.854$，$\sqrt{6.854}+\frac{1}{\sqrt{6.854}}\approx 2.618+0.382=3.0$ ✓。

反思： 条件求值的核心是整体代换——把 $a^x+a^{-x}$ 视为整体，利用乘方公式（完全平方、立方和差）建立已知与未知的关系。这类技巧在指数函数、对数函数的综合题中反复出现。

易错点整理

• 错误表现：把 $\sqrt{x^2}$ 直接写成 $x$（漏掉绝对值）。

  • 错因分析：忽略了偶次根式结果非负。当 $x<0$ 时 $\sqrt{x^2}=|x|=-x\ne x$。
  • 正确处理：偶次根式 $\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|$，再根据 $a$ 的正负去绝对值或分类讨论。

• 错误表现：忘记负数没有偶次方根。

  • 反例：$\sqrt[4]{-16}$ 无意义（不存在实数 $x$ 使 $x^4=-16$）。
  • 正确处理：偶次根式要求被开方数 $\ge 0$；负数的偶次方根在实数范围内不存在。

• 错误表现：把 $a^{-m/n}$ 误写成 $-\sqrt[n]{a^m}$ 或 $\sqrt[n]{(-a{)}^m}$。

  • 错因分析：误解负指数的含义。负指数表示倒数，不是加负号。
  • 正确处理：$a^{-m/n}=\frac{1}{a^{m/n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$，负号 $\iff$ 倒数。

• 错误表现：运算法则混淆——同底数幂相乘时指数相乘（应为相加），或幂的乘方时指数相加（应为相乘）。

  • 正确处理：$a^r\cdot a^s=a^{r+s}$（相乘$\to$相加）；$(a^r{)}^s=a^{rs}$（乘方$\to$相乘）。

• 错误表现：忽略分数指数幂中底数 $a>0$ 的条件。

  • 正确处理：分数指数幂默认 $a>0$（保证偶次根式有意义且法则成立）。遇到 $a<0$ 的分数指数幂要特别小心或回避。

• 错误表现：$(\sqrt[n]{a}{)}^n$ 与 $\sqrt[n]{a^n}$ 混淆。

  • 正确处理：$(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$（总是成立）；$\sqrt[n]{a^n}$ 当 $n$ 偶时 $=|a|$（不一定等于 $a$）。

考点考证点整理

考点一：$\sqrt[n]{a^n}$ 的求值与化简

• 出题思路：给具体数值或含字母的 $\sqrt[n]{a^n}$，要求化简求值。
• 关键条件：根指数 $n$ 的奇偶性；被开方数底数 $a$（或表达式）的正负。
• 解答要点：$n$ 奇 $\Rightarrow \sqrt[n]{a^n}=a$；$n$ 偶 $\Rightarrow \sqrt[n]{a^n}=|a|$，再根据 $a$ 正负去绝对值或分类讨论。
• 易扣分点：偶次根式漏写绝对值；字母正负不确定时不分类讨论；负数取偶次方根。

考点二：根式与分数指数幂的互化

• 出题思路：把根式写成分数指数幂，或把分数指数幂写成根式。
• 关键条件：根指数 $\to$ 分母，被开方数指数 $\to$ 分子；负指数 $\to$ 倒数；底数 $a>0$。
• 解答要点：$\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$，$\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}=a^{-m/n}$。含负号的根式先处理符号。
• 易扣分点：分子分母搞反；负号处理错误（写成根号前加负号）；底数条件遗漏。

考点三：指数幂的化简与计算

• 出题思路：运用三条运算法则化简或计算含分数指数幂的表达式。
• 关键条件：底数 $a,b>0$；指数 $r,s\in \mathbb{R}$。
• 解答要点：先统一成同底数分数指数幂，再用法则（相乘指数加、乘方指数乘、相除指数减）合并。系数和各字母分别运算。
• 易扣分点：法则用错（相乘/乘方混淆）；指数通分错误；符号错误。

考点四：条件求值（整体代换）

• 出题思路：已知 $a^x+a^{-x}$（或类似），求 $a^{kx}+a^{-kx}$ 或相关式子的值。
• 关键条件：已知量与所求量的幂次关系；乘方公式（完全平方、立方和差）。
• 解答要点：把 $a^x+a^{-x}$ 视为整体，平方得 $a^{2x}+a^{-2x}$，立方和公式得 $a^{3x}+a^{-3x}$。不单独求 $a$。
• 易扣分点：试图单独求 $a$ 导致计算复杂或出错；乘方公式展开时漏项（如漏掉 $2a^x{a}^{-x}=2$）。

考点五：实际背景的指数计算

• 出题思路：细菌分裂（$2^n$）、容器倒液（$(\frac{k}{k+1}{)}^n$ 或 $(1-\frac{1}{n}{)}^m$）、复利增长等。
• 关键条件：每次变化的倍率；总次数或总时间。
• 解答要点：确定每次变化的乘数（如分裂一次乘 $2$，倒出 $\frac{1}{3}$ 则剩 $\frac{2}{3}$），$n$ 次后取 $n$ 次方。
• 易扣分点：次数算错（如 $1$ 小时分裂 $6$ 次而非 $1$ 次）；倍率方向搞反（增长 vs 减少）。

练习题

基础训练

1. 求下列各式的值：
   （1）$\sqrt[5]{(-0.1{)}^5}$；（2）$\sqrt{(\pi -4{)}^2}$；（3）$\sqrt[6]{(x-y{)}^6}$；（4）$\sqrt[4]{100^4}$。
2. 用分数指数幂表示下列各式（$a>0$）：
   （1）$\sqrt[4]{a^3}$；（2）$\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}$；（3）$\sqrt{a}\cdot \sqrt[4]{a^3}$。
3. 用根式表示下列各式（$a>0$）：
   （1）$a^{2/5}$；（2）$a^{-3/4}$；（3）$a^{-1/3}$。
4. 求值：（1）$25^{1/2}$；（2）$27^{-2/3}$；（3）${\left(\frac{8}{27}\right)}^{1/3}$。
5. 化简（$a>0$）：（1）$a^{1/3}\cdot a^{1/2}\cdot a^{1/6}$；（2）${\left(a^{2/3}\right)}^3$；（3）$\frac{a^{3/4}}{a^{1/4}}$。

巩固训练

1. 用分数指数幂表示并计算（$a>0,b>0$）：
   （1）$\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt{a}$；（2）$\frac{\sqrt{a^2}\cdot \sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[6]{a^5}}$。
2. 计算（式中字母均为正数）：
   （1）${\left(m^{1/4}{n}^{-3/8}\right)}^8$；（2）$4a^{2/3}{b}^{-1/2}÷\left(-\frac{2}{3}{a}^{-1/3}{b}^{-1/2}\right)$。
3. 计算：$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[6]{2}$。
4. 在某种细菌培养过程中，细菌每 $10$ 分钟分裂 $1$ 次（$1$ 个分裂成 $2$ 个）。经过 $1$ 小时，$1$ 个细菌可以分裂成多少个？
5. 从盛有 $1$ L 纯酒精的容器中倒出 $\frac{1}{3}$ L，然后用水填满；再倒出 $\frac{1}{3}$ L，又用水填满……连续进行 $5$ 次，容器中的纯酒精还剩下多少？
6. 已知 $a^{1/2}+a^{-1/2}=3$（$a>0$），求 $a+a^{-1}$ 和 $a^{3/2}-a^{-3/2}$ 的值。

提升训练

1. 已知 $10^m=2$，$10^n=3$，求 $10^{3m-2n}$ 的值。
2. 已知 $a^{2x}=\sqrt{2}+1$（$a>0$），求 $\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}$ 的值。
3. 计算：${\left(2\frac{7}{9}\right)}^{1/2}+0.1^{-2}+{\left(2\frac{10}{27}\right)}^{-1/3}-3{\pi }^0$。
4. 设 $a>0$，化简 $\frac{a-1}{a^{1/3}-1}\cdot \frac{a^{2/3}+a^{1/3}+1}{a^{1/3}+1}\cdot \frac{a^{1/3}-1}{a^{2/3}-a^{1/3}+1}$，并求 $a=8$ 时的值。

练习题答案

基础训练答案

1. （1）$n=5$ 奇，$\sqrt[5]{(-0.1{)}^5}=-0.1$。
   （2）$n=2$ 偶，$\sqrt{(\pi -4{)}^2}=|\pi -4|=4-\pi$（因 $\pi <4$）。
   （3）$n=6$ 偶，$\sqrt[6]{(x-y{)}^6}=|x-y|$。
   （4）$n=4$ 偶，$\sqrt[4]{100^4}=|100|=100$。
2. （1）$\sqrt[4]{a^3}=a^{3/4}$。（2）$\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}=a^{-2/3}$。（3）$\sqrt{a}\cdot \sqrt[4]{a^3}=a^{1/2}\cdot a^{3/4}=a^{1/2+3/4}=a^{5/4}$。
3. （1）$a^{2/5}=\sqrt[5]{a^2}$。（2）$a^{-3/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{a^3}}$。（3）$a^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$。
4. （1）$25^{1/2}=\sqrt{25}=5$。（2）$27^{-2/3}=\frac{1}{27^{2/3}}=\frac{1}{(\sqrt[3]{27}{)}^2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。（3）${\left(\frac{8}{27}\right)}^{1/3}=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2}{3}$。
5. （1）$a^{1/3+1/2+1/6}=a^{(2+3+1)/6}=a^{6/6}=a$。（2）${\left(a^{2/3}\right)}^3=a^{2/3\times 3}=a^2$。（3）$\frac{a^{3/4}}{a^{1/4}}=a^{3/4-1/4}=a^{1/2}=\sqrt{a}$。

巩固训练答案

1. （1）$\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt{a}=a^{2/3}\cdot a^{1/2}=a^{2/3+1/2}=a^{7/6}$。
   （2）$\frac{\sqrt{a^2}\cdot \sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[6]{a^5}}=\frac{a\cdot a^{2/3}}{a^{5/6}}=a^{1+2/3-5/6}=a^{6/6+4/6-5/6}=a^{5/6}$。
2. （1）${\left(m^{1/4}{n}^{-3/8}\right)}^8=m^2{n}^{-3}=\frac{m^2}{n^3}$。
   （2）$4a^{2/3}{b}^{-1/2}÷\left(-\frac{2}{3}{a}^{-1/3}{b}^{-1/2}\right)=4÷\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot a^{2/3-(-1/3)}\cdot b^{-1/2-(-1/2)}=-6\cdot a^1\cdot b^0=-6a$。
3. $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[6]{2}=2^{1/2}\cdot 2^{1/3}\cdot 2^{1/6}=2^{1/2+1/3+1/6}=2^{(3+2+1)/6}=2^1=2$。
4. $1$ 小时 $=60$ 分钟，每 $10$ 分钟分裂 $1$ 次，共分裂 $6$ 次。每次 $1$ 个变 $2$ 个，$6$ 次后 $1$ 个变成 $2^6=64$ 个。
5. 每次倒出 $\frac{1}{3}$ L 液体，其中纯酒精占当前浓度的比例。第一次倒出 $\frac{1}{3}$ L 纯酒精（初始全是纯酒精），剩 $\frac{2}{3}$ L 纯酒精，浓度 $\frac{2}{3}$。加水填满后 $1$ L 中纯酒精 $\frac{2}{3}$ L。第二次倒出 $\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$ L 纯酒精，剩 $\frac{2}{3}-\frac{2}{9}=\frac{4}{9}$ L，即 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$。一般地，$n$ 次后剩 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ L。$5$ 次后剩 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^5=\frac{32}{243}\approx 0.132$ L。
6. 由 $(a^{1/2}+a^{-1/2}{)}^2=a+2+a^{-1}=9$，得 $a+a^{-1}=7$。又 $(a^{1/2}-a^{-1/2}{)}^2=a-2+a^{-1}=7-2=5$，故 $|a^{1/2}-a^{-1/2}|=\sqrt{5}$。由立方差公式 $(a^{1/2}{)}^3-(a^{-1/2}{)}^3=(a^{1/2}-a^{-1/2})(a^1+a^{1/2}\cdot a^{-1/2}+a^{-1})=(a^{1/2}-a^{-1/2})(a+1+a^{-1})$，所以 $a^{3/2}-a^{-3/2}=(a^{1/2}-a^{-1/2})(7+1)=8(a^{1/2}-a^{-1/2})=\pm 8\sqrt{5}$。当 $a>1$ 时 $a^{1/2}>a^{-1/2}$，取 $8\sqrt{5}$；当 $0<a<1$ 时取 $-8\sqrt{5}$。

提升训练答案

1. $10^{3m-2n}=10^{3m}÷10^{2n}=(10^m{)}^3÷(10^n{)}^2=2^3÷3^2=\frac{8}{9}$。
2. 由 $a^{2x}=\sqrt{2}+1$，得 $a^{-2x}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$（有理化分母）。$a^x+a^{-x}$：$(a^x+a^{-x}{)}^2=a^{2x}+2+a^{-2x}=(\sqrt{2}+1)+2+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}+2$，所以 $a^x+a^{-x}=\sqrt{2\sqrt{2}+2}$。又 $a^{3x}+a^{-3x}=(a^x+a^{-x})(a^{2x}-1+a^{-2x})=(a^x+a^{-x})[(\sqrt{2}+1)-1+(\sqrt{2}-1)]=(a^x+a^{-x})\cdot 2\sqrt{2}$。所以 $\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}=2\sqrt{2}$。
3. 原式 $={\left(\frac{25}{9}\right)}^{1/2}+0.1^{-2}+{\left(\frac{64}{27}\right)}^{-1/3}-3{\pi }^0=\frac{5}{3}+{\left(\frac{1}{0.1}\right)}^2+{\left(\frac{27}{64}\right)}^{1/3}-3\times 1=\frac{5}{3}+100+\frac{3}{4}-3$。通分：$\frac{5}{3}+\frac{3}{4}-3=\frac{20+9-36}{12}=-\frac{7}{12}$，加 $100$ 得 $100-\frac{7}{12}=\frac{1200-7}{12}=\frac{1193}{12}$。所以原式 $=\frac{1193}{12}$。
4. 记 $t=a^{1/3}$（$t>0$），则 $a=t^3$，$a^{2/3}=t^2$。原式化为

$$\frac{t^3-1}{t-1}\cdot \frac{t^2+t+1}{t+1}\cdot \frac{t-1}{t^2-t+1}.$$

利用立方差/和公式：$t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)$，$t^3+1=(t+1)(t^2-t+1)$。

第一个分式 $\frac{t^3-1}{t-1}=t^2+t+1$。于是原式 $=(t^2+t+1)\cdot \frac{t^2+t+1}{t+1}\cdot \frac{t-1}{t^2-t+1}=\frac{(t^2+t+1{)}^2(t-1)}{(t+1)(t^2-t+1)}=\frac{(t^2+t+1{)}^2(t-1)}{t^3+1}=\frac{(t^2+t+1{)}^2(t-1)}{a+1}$。

又 $(t^2+t+1)(t-1)=t^3-1=a-1$，所以分子 $=(t^2+t+1)(a-1)$。故原式 $=\frac{(a^{2/3}+a^{1/3}+1)(a-1)}{a+1}$。

当 $a=8$ 时：$a^{1/3}=2$，$a^{2/3}=4$，$a^{2/3}+a^{1/3}+1=7$。原式 $=\frac{7\times (8-1)}{8+1}=\frac{49}{9}$。