第5章 三角函数：核心知识点大纲

学习主线

第五章可以按下面路径学习：

任意角 -> 弧度制 -> 三角函数定义 -> 诱导公式 -> 图象性质 -> 恒等变换 -> 周期模型应用

核心工具是单位圆，核心能力是“看角、看象限、看周期、会变形”。

5.1 任意角和弧度制

• 任意角包括正角、负角、零角。
• 终边相同的角：

$$\alpha +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

• 角度与弧度换算：

$$180^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

• 扇形弧长：

$$l=|\alpha |r.$$

• 扇形面积：

$$S=\frac{1}{2}|\alpha |r^2=\frac{1}{2}lr.$$

5.2 三角函数的概念

单位圆上点 $P(x,y)$ 对应角 $\alpha$：

$$\sin \alpha =y,\cos \alpha =x,\tan \alpha =\frac{y}{x}.$$

一般点 $P(x,y)$：

$$\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\tan \alpha =\frac{y}{x},$$

其中：

$$r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

基本关系：

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.$$

5.3 诱导公式

诱导公式的目标是化简任意角三角函数。

常用规律：

奇变偶不变，符号看象限

重点公式：

$$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (-\alpha )=\cos \alpha ,\tan (-\alpha )=-\tan \alpha .$$ $$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha ,\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha ,\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha .$$ $$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha ,\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha .$$

5.4 三角函数的图象与性质

函数	定义域	值域	周期	奇偶性
$y=\sin x$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$	$2\pi$	奇函数
$y=\cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$	$2\pi$	偶函数
$y=\tan x$	$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$	奇函数

重点能力：

• 会画“五点法”正弦、余弦简图。
• 会求周期、值域、单调区间。
• 会利用图象比较三角函数值大小。

5.5 三角恒等变换

两角和差公式：

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta .$$ $$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta .$$ $$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }.$$

二倍角公式：

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha .$$ $$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha .$$ $$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }.$$

5.6 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$

核心参数：

• 振幅：$|A|$。
• 周期：$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。
• 初相：$\phi$。
• 相位：$\omega x+\phi$。

图象变换重点：

• $A$ 控制纵向伸缩和翻折。
• $\omega$ 控制横向伸缩。
• $\phi$ 控制左右平移。

5.7 三角函数的应用

三角函数适合描述周期现象。

建模常用形式：

$$y=A\sin (\omega x+\phi )+b.$$

其中：

• $|A|=\frac{\text{最大值}-\text{最小值}}{2}$。
• $b=\frac{\text{最大值}+\text{最小值}}{2}$。
• $\omega =\frac{2\pi }{T}$。

本章重点

• 终边相同角的表示。
• 角度制与弧度制互化。
• 扇形弧长和面积公式。
• 任意角三角函数定义。
• 同角三角函数基本关系。
• 诱导公式。
• 正弦、余弦、正切图象与性质。
• 和差角公式、二倍角公式。
• $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象和参数意义。
• 三角函数周期模型应用。

本章难点

• 弧度制下不要写单位“度”。
• 终边相同角集合中的 $k\in \mathbb{Z}$ 不能漏。
• 正切函数定义域要排除 $\frac{\pi }{2}+k\pi$。
• 诱导公式符号容易错。
• 三角函数单调区间要结合周期整体平移。
• 三角恒等变换中公式多，需先看结构再选公式。
• 建模时要区分振幅、中线、周期和初相。

常见考点

• 角集合表示。
• 弧度与角度换算。
• 三角函数值符号判断。
• 已知一个三角函数值求其他值。
• 诱导公式化简求值。
• 三角函数图象与性质。
• 三角恒等式证明与化简。
• 三角函数模型求参数。