第5章 三角函数

第5章 三角函数：原始课本素材

章节结构

• 5.1 任意角和弧度制
• 5.2 三角函数的概念
• 5.3 诱导公式
• 5.4 三角函数的图象与性质
• 5.5 三角恒等变换
• 5.6 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$
• 5.7 三角函数的应用

章节导读

本章把初中锐角三角函数推广到任意角三角函数，并用单位圆建立三角函数的统一定义。随后学习诱导公式、三角函数图象与性质、三角恒等变换，并进一步研究函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象变换和周期现象建模。

本章核心思想是：用单位圆把“角、点、坐标、函数值”统一起来，用周期性刻画循环往复的变化。

5.1 任意角和弧度制

任意角

角可以看成一条射线绕端点旋转形成的图形。

• 按逆时针方向旋转形成正角。
• 按顺时针方向旋转形成负角。
• 没有旋转形成零角。

具有相同终边的角可以表示为：

$$\alpha +k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbb{Z}.$$

若使用弧度制，则表示为：

$$\alpha +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

象限角与轴线角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边落在哪个象限，这个角就是第几象限角。

终边在坐标轴上的角不属于任何象限角，称为轴线角。

弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 $1$ 弧度的角。

角度制与弧度制的基本换算：

$$180^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

因此：

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad},1\text{ rad}=\frac{180^{\circ }}{\pi }.$$

扇形公式

在弧度制下，若扇形半径为 $r$，圆心角为 $\alpha$，弧长为 $l$，面积为 $S$，则：

$$l=|\alpha |r,$$ $$S=\frac{1}{2}|\alpha |r^2=\frac{1}{2}lr.$$

5.2 三角函数的概念

单位圆定义

设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x,y)$，则：

$$\sin \alpha =y,\cos \alpha =x,\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0).$$

这一定义把三角函数推广到任意角。

一般点定义

若角 $\alpha$ 终边上任意一点 $P(x,y)$ 到原点距离为

$$r=\sqrt{x^2+y^2},$$

则：

$$\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0).$$

同角三角函数基本关系

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,$$ $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\cos \alpha \ne 0).$$

符号规律

三角函数值符号由角终边所在象限决定：

• 第一象限：$\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha$ 都为正。
• 第二象限：$\sin \alpha$ 为正，$\cos \alpha ,\tan \alpha$ 为负。
• 第三象限：$\tan \alpha$ 为正，$\sin \alpha ,\cos \alpha$ 为负。
• 第四象限：$\cos \alpha$ 为正，$\sin \alpha ,\tan \alpha$ 为负。

5.3 诱导公式

诱导公式用于把任意角的三角函数转化为锐角或较简单角的三角函数。

公式一

$$\sin (\alpha +2k\pi )=\sin \alpha ,$$ $$\cos (\alpha +2k\pi )=\cos \alpha ,$$ $$\tan (\alpha +2k\pi )=\tan \alpha .$$

其中 $k\in \mathbb{Z}$。

常用诱导关系

$$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (-\alpha )=\cos \alpha ,\tan (-\alpha )=-\tan \alpha .$$ $$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha ,\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha ,\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha .$$ $$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha ,\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha .$$

诱导公式常用口诀：

奇变偶不变，符号看象限

5.4 三角函数的图象与性质

正弦函数

函数：

$$y=\sin x.$$

主要性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$。
• 值域：$[-1,1]$。
• 周期：$2\pi$。
• 奇偶性：奇函数。

余弦函数

函数：

$$y=\cos x.$$

主要性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$。
• 值域：$[-1,1]$。
• 周期：$2\pi$。
• 奇偶性：偶函数。

正切函数

函数：

$$y=\tan x.$$

主要性质：

• 定义域：$\left\{x\mid x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$。
• 值域：$\mathbb{R}$。
• 周期：$\pi$。
• 奇偶性：奇函数。
• 在每个区间 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ 上单调递增。

5.5 三角恒等变换

两角和与差公式

$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta .$$ $$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .$$ $$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .$$ $$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .$$ $$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }.$$ $$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }.$$

二倍角公式

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha .$$ $$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha .$$ $$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }.$$

5.6 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$

函数

$$y=A\sin (\omega x+\phi )$$

常用于描述周期现象。

其中：

• $A$ 影响振幅，振幅为 $|A|$。
• $\omega$ 影响周期，周期为 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。
• $\phi$ 影响相位，决定图象左右平移。

常见图象变换：

y=sin x
-> y=sin(x+φ)
-> y=sin(ωx+φ)
-> y=A sin(ωx+φ)

5.7 三角函数的应用

三角函数常用于描述周期变化：

• 温度昼夜变化。
• 潮汐涨落。
• 单摆、弹簧振动。
• 摩天轮高度变化。
• 交流电、电磁波等周期现象。

建模步骤：

1. 判断是否具有周期性。
2. 由最大值、最小值确定振幅和中线。
3. 由周期确定 $\omega$。
4. 由初始状态或特殊点确定 $\phi$。
5. 写出函数模型并解释实际意义。

本章小结

• 任意角让角的范围从锐角扩展到所有实数角。
• 弧度制让角度计算与弧长、面积公式自然统一。
• 单位圆是定义任意角三角函数的核心工具。
• 诱导公式用于化简任意角三角函数。
• 正弦、余弦、正切函数都具有周期性。
• 三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的重要工具。
• $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 是刻画周期现象的重要模型。