第2章 一元二次函数、方程和不等式：核心知识点大纲

学习主线

本章可以看成三条线合在一起：

• 不等式基础线：从等式性质过渡到不等式性质，学会比较大小和进行不等式变形。
• 最值应用线：用基本不等式处理“和定积最大、积定和最小”等问题。
• 函数联系线：用二次函数图象统一理解一元二次方程和一元二次不等式。

学习路径可以概括为：

比较大小 -> 不等式性质 -> 基本不等式 -> 二次函数图象 -> 二次方程根 -> 二次不等式解集

2.1 等式性质与不等式性质

1. 用差比较大小

对任意实数 $a,b$：

$$a>b⟺a-b>0,$$ $$a=b⟺a-b=0,$$ $$a<b⟺a-b<0.$$

因此，比较两个代数式 $A,B$ 的大小时，可以作差：

先算 A-B -> 化简 -> 判断符号 -> 得出 A 与 B 的大小关系

2. 不等式基本性质

• 对称性：$a>b\Rightarrow b<a$。
• 传递性：$a>b,b>c\Rightarrow a>c$。
• 加法性质：$a>b\Rightarrow a+c>b+c$。
• 乘法性质：同乘正数不等号方向不变，同乘负数不等号方向改变。
• 同向相加：$a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d$。
• 正数同向相乘：$a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$。
• 正数幂：$a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$。

3. 重要基础不等式

$$a^2+b^2\ge 2ab.$$

它来自：

$$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2\ge 0.$$

等号成立条件是 $a=b$。

2.2 基本不等式

1. 基本不等式公式

当 $a>0,b>0$ 时：

$$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2},$$

即

$$a+b\ge 2\sqrt{ab}.$$

等号成立条件：

$$a=b.$$

2. 使用基本不等式的三个条件

基本不等式应用常用口诀是“一正、二定、三相等”：

• 一正：参与使用基本不等式的量必须为正。
• 二定：要求最值时，和或积中至少有一个是定值。
• 三相等：等号成立条件必须能取到。

3. 两类典型最值

若 $x>0,y>0,xy=P$ 为定值，则：

$$x+y\ge 2\sqrt{P}.$$

当 $x=y$ 时，$x+y$ 取得最小值。

若 $x>0,y>0,x+y=S$ 为定值，则：

$$xy\le {\left(\frac{S}{2}\right)}^2.$$

当 $x=y$ 时，$xy$ 取得最大值。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

1. 一元二次不等式

形如

$$a{x}^2+bx+c>0,a{x}^2+bx+c<0$$

的不等式叫一元二次不等式，其中 $a\ne 0$。

2. 函数、方程、不等式三者关系

围绕二次函数

$$y=a{x}^2+bx+c$$

理解：

• 方程 $a{x}^2+bx+c=0$：找抛物线与 $x$ 轴的交点。
• 不等式 $a{x}^2+bx+c>0$：找抛物线在 $x$ 轴上方的部分。
• 不等式 $a{x}^2+bx+c<0$：找抛物线在 $x$ 轴下方的部分。

3. 解一元二次不等式的步骤

1. 化为标准形式，使一边为 $0$。
2. 若二次项系数为负，优先同乘 $-1$ 并改变不等号方向。
3. 解对应的一元二次方程，得到分界点。
4. 根据抛物线开口方向和判别式判断符号区间。
5. 写出解集，注意端点能否取到。

4. $a>0$ 时的符号规律

若 $\Delta >0$，两个实根为 $x_1<x_2$：

• $a{x}^2+bx+c>0$ 的解集是 $(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$。
• $a{x}^2+bx+c<0$ 的解集是 $(x_1,x_2)$。

若 $\Delta =0$，唯一实根为 $x_0$：

• $a{x}^2+bx+c>0$ 的解集是 $\mathbb{R}\setminus \{x_0\}$。
• $a{x}^2+bx+c<0$ 的解集是 $\varnothing$。

若 $\Delta <0$：

• $a{x}^2+bx+c>0$ 的解集是 $\mathbb{R}$。
• $a{x}^2+bx+c<0$ 的解集是 $\varnothing$。

本章重点

• 作差法比较大小。
• 不等式性质，尤其是同乘负数不等号方向改变。
• 基本不等式及等号成立条件。
• “一正、二定、三相等”的最值判断。
• 二次函数、二次方程、二次不等式之间的联系。

本章难点

• 含参数或含字母的不等式变形。
• 基本不等式中定值条件的构造。
• 二次不等式端点取舍和空集、全集情况。
• 将实际问题转化为不等式模型。

常见考点

• 比较两个代数式大小。
• 证明简单不等式。
• 利用基本不等式求最值。
• 解一元二次不等式。
• 根据二次函数图象判断方程根和不等式解集。
• 用二次不等式解决实际取值范围问题。