3.4 函数的应用（一）

本节学习目标

• 理解函数模型是描述现实世界变量依赖关系的重要工具，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数在实际中的广泛应用。
• 掌握函数应用题的一般解题流程：读题 $\to$ 设变量 $\to$ 找对应关系 $\to$ 写解析式 $\to$ 确定定义域 $\to$ 利用函数性质求解 $\to$ 回到实际问题解释。
• 会根据实际问题建立一次函数、二次函数、幂函数和分段函数模型，能正确确定与实际意义相符的定义域。
• 会利用二次函数求面积、利润、刹车距离等最值问题，会用分段函数描述个税、阶梯水价、票价、分时速度等实际问题。
• 能根据函数图象读取信息（如速度-时间图象中面积表示路程），并解释其实际意义。
• 能将数学结果转换回实际问题的回答（件数取整、长度为正、是否盈利、是否超速等），养成“建模—求解—解释”的完整思维。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

我们学过的一次函数 $y=kx+b$、二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$、幂函数 $y=x^{\alpha }$ 等都与现实世界有紧密联系。客观世界中大量变量依赖关系——路程与时间、面积与边长、利润与产量、税费与收入、水费与用水量——都可以用函数模型来描述。研究清楚函数的性质（单调性、最值、分段规则），就能把握相应的实际规律。本节通过实例，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。

二、核心概念与定义条件

函数应用的一般解题流程（七步法）：

1. 读题：明确题目中哪些量在变（变量）、哪些量不变（常量），变量之间有什么关系。
2. 设变量：把自变量（通常是“原因”）和因变量（通常是“结果”）用字母表示。
3. 找对应关系：根据题意（物理定律、几何公式、计费规则等）写出因变量与自变量的关系。
4. 写解析式：把对应关系整理成函数解析式 $y=f(x)$。
5. 确定定义域：结合实际意义确定自变量的取值范围（这是最易被忽略、却决定答案对错的一步）。
6. 利用函数性质求解：用单调性、最值、分段求值等数学方法求出结果。
7. 回到实际问题解释：把数学结果转化为实际问题的回答（如“件数为 $50$ 件”“车速约 $80$ km/h”“会超速”）。

四类常见函数模型：

模型	解析式	适用情境
一次函数	$y=kx+b$（$k\ne 0$）	匀速运动路程、固定单价总价、线性成本、弹簧伸长
二次函数	$y=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$）	面积/周长最值、利润最大化、抛体运动、刹车距离
幂函数	$y=k{x}^{\alpha }$	几何量（体积与棱长）、物理比例（流量与半径）
分段函数	$f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& x\in D_1\\ f_2(x),& x\in D_2\\ \cdots & \end{array}$	个税、阶梯水价、公交票价、分时速度、出租车计费

三、符号语言与等价表示

实际问题的定义域（最易丢分，必须显式写出）：纯数学解析式 $y=x(10-x)$ 的定义域是 $\mathbb{R}$，但在实际问题中定义域要受实际意义限制：

• 长度、宽度、半径、时间 $\ge 0$（且通常 $>0$）；
• 件数、人数、辆数为正整数；
• 面积、体积、质量 $>0$；
• 浓度、比例在 $[0,1]$ 内。

例如周长为 $20$ 的矩形，一边长 $x$，面积 $y=x(10-x)$，实际定义域是 $\{x\mid 0<x<10\}$（边长为正且另一边 $10-x>0$），而不是 $\mathbb{R}$。

函数图象的实际意义：函数图象不仅是几何曲线，它承载着实际信息。

• 横轴、纵轴的单位含义要明确（如 $t$-小时，$v$-km/h）。
• 图象的升降对应实际量的增减。
• 图象的最高点/最低点对应实际量的最大值/最小值。
• 图象的转折点对应规则改变（如分段函数的分段点）。
• 速度-时间图象（$v$-$t$ 图）中，图象下方的面积表示路程，因为路程 $=$ 速度 $\times$ 时间。这是读图的关键技巧。

四、关键性质、定理与公式

用二次函数求最值：对于 $y=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$），当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取得最值（$a>0$ 为最小值，$a<0$ 为最大值），最值为 $\frac{4ac-b^2}{4a}$。实际问题中要先确认顶点是否在实际定义域内，否则最值在定义域端点取得。

“和定积最大”与“积定和最小”（联系 2.2 基本不等式）：

• 若 $x+y=S$（定值，$x,y>0$），则当 $x=y=\frac{S}{2}$ 时，$xy$ 取最大值 $\frac{S^2}{4}$。
• 若 $xy=P$（定值，$x,y>0$），则当 $x=y=\sqrt{P}$ 时，$x+y$ 取最小值 $2\sqrt{P}$。

这两条结论在面积最大、周长最小、造价最低等问题中非常有效。

分段函数的建立规则：

• 先找“规则改变”的临界点（如个税的应纳税所得额分界 $36000,144000,\dots$；水价的分段点 $12,18$）。
• 每段写一个解析式，注明该段的定义域区间。
• 端点归属由题目措辞决定：“不超过”“含”对应 $\le$（含端点），“超过”“大于”对应 $>$（不含端点）。
• 各段区间不能重叠也不能遗漏。

五、典型模型与解题方法

模型一：二次函数最值（面积、利润）。设变量，写出目标函数为二次式，配方或用顶点公式求最值，注意实际定义域。典型：矩形面积最大（周长一定）、广告牌设计、利润最大化。

模型二：分段函数（税费、水价、票价、行程）。根据计费规则确定分段点和各段解析式，求值时先判断自变量所在段再代入。典型：个税计算、阶梯水价、公交票价、里程表读数。

模型三：幂函数模型（物理比例、几何量）。设 $y=k{x}^{\alpha }$，由一组数据确定 $k$ 和 $\alpha$，再用模型预测。典型：刹车距离与速度（$y=a{x}^2$）、弹簧伸长与拉力（$y=kx$）、气体流量与管径（$v=k{r}^4$）。

模型四：读图分析（$v$-$t$ 图、行程图）。根据图象读取各段速度，图象下方面积即路程；或根据行程过程画距离-时间图象。典型：汽车行驶里程表、往返行程。

模型五：综合建模（成本利润、蓄水池造价）。设多个相关变量，写出总成本、总收入、利润等多个函数，结合不等式（如造价控制在某值以内）求解。典型：生产利润分析、蓄水池设计。

六、题型应用与迁移

本节是 3.1–3.3 所学函数知识（概念、表示、单调性、最值、奇偶性、幂函数）的综合应用。题型分五类：①二次函数求面积/利润最值；②分段函数描述税费/水价/票价；③幂函数建模（刹车距离、弹簧、流量）；④读图分析（$v$-$t$ 图面积、行程图象）；⑤综合成本利润、造价控制。核心都是“建模—定定义域—求解—解释”。这些方法将在第四章“数学建模：建立函数模型解决实际问题”中进一步系统化。

重点梳理

• 建模的关键是设好变量和找准对应关系。自变量通常是“原因/输入”（时间、产量、用水量、收入），因变量是“结果/输出”（路程、利润、水费、个税）。这一步之所以重要，是因为变量设错或对应关系找错，后面的解析式、定义域、求解全都跟着错。触发条件：读题后先问“谁随谁变”，把自变量和因变量分别用一个字母表示。
• 定义域必须结合实际意义确定，且要显式写出。纯数学解析式默认定义域是使式子有意义的实数集，但实际问题中变量有物理限制。例如周长 $20$ 的矩形面积 $y=x(10-x)$，数学定义域是 $\mathbb{R}$，但实际定义域是 $0<x<10$。这一步最易被忽略却决定答案对错，是应用题丢分的头号原因。
• 二次函数最值要检查顶点是否在实际定义域内。若顶点不在实际定义域内，最值在端点取得。例如利润函数 $P=-x^2+100x-1000$ 的顶点在 $x=50$，若产量限制 $x\le 40$，则最大利润在 $x=40$ 处取得而非顶点。
• 分段函数的端点归属由“不超过/超过”等措辞决定。这是分段题最容易出错的地方。“不超过 $12$”对应 $x\le 12$（含端点），“超过 $12$”对应 $x>12$（不含端点）。各段区间不重叠、不遗漏。
• 速度-时间图象下方的面积表示路程。这是读图的核心技巧。因为路程 $=$ 速度 $\times$ 时间，$v$-$t$ 图中每段时间内速度为定值时，图象下方是一系列矩形，面积之和即总路程。即便速度变化，面积仍表示路程（这是后续定积分的直观基础）。
• 数学结果必须转换回实际问题的回答。例如解出 $50<x<60$（数学结果），实际回答要说明“生产 $51$ 到 $59$ 辆”（件数取整）；解出 $v>79.9$，实际回答“车速至少 $80$ km/h”（精确到整数）。不能只给数学不等式或区间。

难点突破

难点一：如何从实际问题中抽象出函数关系

应用题文字较长、信息分散，难点在于把生活语言转化为数学式。突破方法是分三步提取：①找出所有变量和常量，用字母表示；②找出变量间的等量关系（物理公式、几何定理、计费规则、定义公式）；③把等量关系整理成 $y=f(x)$ 的形式。例如“个税税额 $=$ 应纳税所得额 $\times$ 税率 $-$ 速算扣除数”，其中应纳税所得额又由收入减去各项扣除得到，需要先写出中间量 $t=g(x)$，再写 $y=f(t)$，即“复合建模”。

难点二：定义域的确定容易遗漏实际限制

数学上 $y=\frac{1}{x}$ 的定义域是 $x\ne 0$，但在“$t$ 秒行进 $1$ km 的平均速度 $v=\frac{1}{t}$”中，时间 $t>0$，所以实际定义域是 $(0,+\infty )$。突破方法：写完解析式后，主动追问“这个变量在实际中能取哪些值”——长度为正、时间为非负、件数为正整数、价格为正、浓度在 $[0,1]$。把所有限制综合起来才是实际定义域。

难点三：分段函数的端点归属与连续性

阶梯水价中“不超过 $12$ m³ 的部分 $3$ 元/m³，超过 $12$ 但不超过 $18$ 的部分 $6$ 元/m³”——$x=12$ 归第一段还是第二段？由“不超过 $12$”可知 $x=12$ 时水价仍为 $3$ 元/m³，归第一段（$0\le x\le 12$）。注意分段函数在分段点是否连续：阶梯水价在 $x=12$ 处，第一段 $y=3\times 12=36$，第二段 $y=36+6\times (12-12)=36$，两段在 $x=12$ 处相等，函数连续。突破方法：仔细辨析“不超过/超过/含/大于”等措辞，端点归到措辞对应的段；写完后检查分段点处两段是否衔接。

难点四：$v$-$t$ 图象面积与路程的对应

汽车在 $[0,1)$ h 内速度 $50$ km/h、$[1,2)$ h 内速度 $80$ km/h……$v$-$t$ 图象下方是五个矩形（宽 $1$ h，高分别为 $50,80,90,75,65$ km/h），面积之和 $50+80+90+75+65=360$（km/h $\times$ h $=$ km）即 $5$ h 行驶的总路程 $360$ km。突破方法：记住“$v$-$t$ 图面积 $=$ 路程”，读图时把图象下方分割成矩形或三角形，逐块算面积相加。

难点五：成本利润分析中的多个函数

生产问题中常涉及总成本、单位成本、总收入、利润等多个函数，容易混淆。突破方法是分别设、分别写、分清关系：

• 总成本 $=$ 固定成本 $+$ 可变成本 $=$ 固定成本 $+$ 单件可变成本 $\times$ 产量；
• 总收入 $=$ 单价 $\times$ 销量（假设全部售出）；
• 利润 $=$ 总收入 $-$ 总成本。

逐一写出，标注清楚每个函数的自变量都是产量 $x$，避免张冠李戴。

例题讲解

例1：个税的函数模型（分段函数）

设某职工全年综合所得收入额为 $x$ 元，专项扣除（社保公积金）占收入 $20\%$（即 $8\%+2\%+1\%+9\%$），专项附加扣除 $9600$ 元，其他扣除 $560$ 元，免征额 $60000$ 元。个税税率表（按全年应纳税所得额 $t$ 分档）：$[0,36000]$ 税率 $3\%$ 速算扣除数 $0$；$(36000,144000]$ 税率 $10\%$ 速算扣除数 $2520$；依此类推。已知该职工全年收入 $x=117600$ 元。

（1）求应纳税所得额 $t$ 关于收入 $x$ 的关系；（2）求个税 $y$ 关于 $t$ 的分段函数；（3）求该职工应缴个税。

审题： 这是典型的“先求中间量 $t$，再由 $t$ 分档计算 $y$”的复合分段函数问题。

解： （1）应纳税所得额

$$t=x-60000-20\%\cdot x-9600-560=x(1-0.2)-70160=0.8x-70160.$$

令 $t=0$ 得 $x=87700$。当 $x\le 87700$ 时 $t=0$（收入不足以纳税）。所以

$$t=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x\le 87700,\\ 0.8x-70160,& x>87700.\end{array}$$

（2）由税率表，个税 $y$ 关于 $t$（$t\ge 0$）的分段函数：

$$y=\{\begin{array}{ll}0.03t,& 0\le t\le 36000,\\ 0.1t-2520,& 36000<t\le 144000,\\ 0.2t-16920,& 144000<t\le 300000,\\ \cdots & \end{array}$$

（更高档略，方法相同。）

（3）该职工 $x=117600$ 元，$t=0.8\times 117600-70160=94080-70160=23920$ 元。因 $0\le 23920\le 36000$，适用 $3\%$ 税率：$y=0.03\times 23920=717.6$ 元。

检验： $23920<36000$ ✓，适用第一档正确。

反思： 个税模型是“收入 $x\to$ 应纳税所得额 $t\to$ 个税 $y$”的复合分段函数。关键是先算 $t$ 再定档。若收入增至 $153600$ 元，则 $t=0.8\times 153600-70160=52768$，在 $(36000,144000]$ 档，$y=0.1\times 52768-2520=5024.8$ 元。

例2：汽车行驶的分段速度与里程表读数

一辆汽车在某段路程中行驶，平均速率 $v$（km/h）与时间 $t$（h）的关系为：$[0,1)$ 内 $v=50$，$[1,2)$ 内 $v=80$，$[2,3)$ 内 $v=90$，$[3,4)$ 内 $v=75$，$[4,5]$ 内 $v=65$。里程表行驶前读数为 $2004$ km。

（1）求 $5$ h 内行驶的路程；（2）建立里程表读数 $s$ 关于 $t$ 的函数。

审题： $v$-$t$ 图象下方面积 $=$ 路程。里程表读数 $=$ 初始读数 $+$ 累计路程。

解： （1）路程 $=$ 各段速度 $\times$ 时间之和：

$$50\times 1+80\times 1+90\times 1+75\times 1+65\times 1=360\text{ (km)}.$$

（即 $v$-$t$ 图象下方五个矩形的面积之和。）

（2）各时间段内里程表读数为初始读数加累计路程（每段内速度恒定，路程 $=$ 速度 $\times$ 该段内时间）：

$$s(t)=\{\begin{array}{ll}50t+2004,& 0\le t<1,\\ 80(t-1)+2054,& 1\le t<2,\\ 90(t-2)+2134,& 2\le t<3,\\ 75(t-3)+2224,& 3\le t<4,\\ 65(t-4)+2299,& 4\le t\le 5.\end{array}$$

其中各段起点读数由前段累计：$t=1$ 时 $s=50+2004=2054$；$t=2$ 时 $s=80+2054=2134$；$t=3$ 时 $s=90+2134=2224$；$t=4$ 时 $s=75+2224=2299$；$t=5$ 时 $s=65+2299=2364$（即 $2004+360=2364$ ✓）。

反思： $v$-$t$ 图象面积表示路程是本题核心。里程表读数是分段一次函数（每段内匀速），各段在端点处衔接（连续）。画图时是折线，斜率等于各段速度。

例3：刹车距离的幂函数模型

用模型 $y=a{x}^2$（$a>0$）描述汽车紧急刹车后滑行距离 $y$（m）与刹车时速率 $x$（km/h）的关系。已知速率 $60$ km/h 时滑行 $20$ m。在限速 $100$ km/h 的高速公路上，某车紧急刹车后滑行 $50$ m，该车是否超速？

审题： 先由已知数据确定 $a$，再由 $y=50$ 求 $x$，与限速 $100$ 比较。

解： 代入 $x=60,y=20$：$20=a\times 60^2=3600a$，$a=\frac{20}{3600}=\frac{1}{180}$。模型为 $y=\frac{x^2}{180}$。

当 $y=50$ 时：$50=\frac{x^2}{180}$，$x^2=9000$，$x=\sqrt{9000}=30\sqrt{10}\approx 94.9$ km/h。

因 $94.9<100$，该车未超速。

检验： $x=94.9$ 时 $y=\frac{94.9^2}{180}\approx \frac{9006}{180}\approx 50.0$ ✓。

反思： 幂函数模型 $y=k{x}^{\alpha }$ 的建立：由一组数据确定参数（本题 $a$，$\alpha =2$ 已知），再用模型预测或反求。刹车距离与速度平方成正比，是物理常识（动能与速度平方成正比）。

例4：矩形广告牌面积最大

某广告公司要设计周长为 $l$（m）的矩形广告牌，怎样设计面积最大？

审题： 周长一定（和定），求面积（积）最大——典型的“和定积最大”问题，可用二次函数或基本不等式。

解： 设矩形长为 $x$ m，宽为 $y$ m。由 $2(x+y)=l$ 得 $x+y=\frac{l}{2}$（定值）。面积 $S=xy$。

方法一（基本不等式）：$S=xy\le {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2={\left(\frac{l/2}{2}\right)}^2=\frac{l^2}{16}$，当且仅当 $x=y=\frac{l}{4}$ 时取等号。

方法二（二次函数）：$y=\frac{l}{2}-x$，$S=x\left(\frac{l}{2}-x\right)=-x^2+\frac{l}{2}x$。当 $x=\frac{-l/2}{2\times (-1)}=\frac{l}{4}$ 时取最大值 $S_{\max }=-\frac{l^2}{16}+\frac{l^2}{8}=\frac{l^2}{16}$。

两种方法都得：当广告牌设计成边长为 $\frac{l}{4}$ m 的正方形时，面积最大，最大面积为 $\frac{l^2}{16}$ m²。

反思： “和定积最大”问题既可用基本不等式（$xy\le {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2$），也可用二次函数顶点法，殊途同归。正方形是矩形面积最大的最优形状。

例5：生产成本与利润分析

某公司生产某种产品，固定成本 $150$ 万元，每件可变成本 $2500$ 元，每件售价 $3500$ 元，产品全部售出。设产量为 $x$ 件。

（1）写出总成本、单位成本、总收入、利润关于 $x$ 的函数；（2）分析经济效益。

审题： 注意单位统一（$150$ 万元 $=1500000$ 元，或可变成本用万元）。分别写四个函数。

解： 统一用元为单位，固定成本 $1500000$ 元。

（1）总成本 $C=1500000+2500x$（$x\ge 0$）。单位成本 $\bar{C}=\frac{C}{x}=\frac{1500000}{x}+2500$（$x>0$）。总收入 $R=3500x$（$x\ge 0$）。利润 $P=R-C=3500x-(1500000+2500x)=1000x-1500000$（$x\ge 0$）。

（2）盈亏平衡（$P=0$）：$1000x=1500000$，$x=1500$ 件。当产量 $x<1500$ 时亏损（$P<0$），$x=1500$ 时盈亏平衡，$x>1500$ 时盈利。产量越大利润越高（$P$ 随 $x$ 线性增长）。单位成本 $\bar{C}=\frac{1500000}{x}+2500$ 随 $x$ 增大而减小（固定成本被更多产品分摊），产量越大单位成本越低。

反思： 成本利润分析涉及多个函数，关键是分清“固定成本（不随产量变）”“可变成本（随产量变）”“总收入”“利润”及它们的关系。利润 $=$ 收入 $-$ 成本是核心等式。

易错点整理

• 错误表现：只写解析式，不写（或写错）实际定义域。

  • 反例：矩形面积 $y=x(10-x)$ 写成定义域 $\mathbb{R}$，实际应为 $0<x<10$。
  • 正确处理：写完解析式后，结合实际意义（长度为正、时间为非负、件数为整数）显式写出定义域。

• 错误表现：件数、辆数等离散量按连续量处理，最后不取整。

  • 反例：摩托车产量解出 $50<x<60$，答“生产 $50$ 到 $60$ 辆”——应为 $51$ 到 $59$ 辆（整数）。
  • 正确处理：明确变量的离散性，最后把数学结果取整并说明。

• 错误表现：分段函数端点归属写错，或各段区间重叠/遗漏。

  • 反例：阶梯水价第一段写 $0\le x<12$、第二段 $12\le x\le 18$，但题目说“不超过 $12$”，应为 $0\le x\le 12$。
  • 正确处理：仔细辨析“不超过/超过/含”等措辞；写完检查各段区间不重叠、不遗漏、分段点衔接。

• 错误表现：$v$-$t$ 图象中不会用面积求路程，或把面积含义搞错。

  • 正确处理：$v$-$t$ 图下方面积 $=$ 速度 $\times$ 时间 $=$ 路程。把图象下方分割成矩形逐块算面积相加。

• 错误表现：求出数学结果后不回到实际问题作答。

  • 反例：解出 $x=94.9$ 就结束，不回答“是否超速”。
  • 正确处理：最后一步把数学结果转化为实际问题的语言回答（如“未超速”“盈利”“需生产 $1500$ 件以上”）。

• 错误表现：二次函数最值不检查顶点是否在实际定义域内。

  • 正确处理：算出顶点后，检查顶点横坐标是否在实际定义域内；不在则比较端点函数值取最值。

• 错误表现：成本利润问题中混淆固定成本与可变成本，或单位不统一。

  • 正确处理：固定成本（不随产量变）与可变成本（单件成本 $\times$ 产量）分开写；统一单位（元或万元）后再运算。

考点考证点整理

考点一：二次函数的最值应用（面积、利润、距离）

• 出题思路：矩形/三角形面积最大（周长一定）、广告牌设计、利润最大化、刹车距离、抛体运动高度等。
• 关键条件：定值约束（周长一定、容积一定）；目标函数为二次式；实际定义域。
• 解答要点：设变量 $\to$ 写目标函数 $y=a{x}^2+bx+c$ $\to$ 定实际定义域 $\to$ 配方/顶点公式求最值 $\to$ 检查顶点在定义域内 $\to$ 回实际回答。也可用基本不等式（和定积最大、积定和最小）。
• 易扣分点：不写实际定义域；顶点不在定义域内却仍取顶点值；最后不回实际解释；单位不统一。

考点二：分段函数的应用（税费、水价、票价、行程）

• 出题思路：个税计算、阶梯水价/电价、公交票价、出租车计费、汽车里程表、分时速度等。
• 关键条件：分段点（规则改变的临界值）；各段规则；端点措辞（不超过/超过）。
• 解答要点：确定分段点 $\to$ 每段写解析式并注明区间 $\to$ 端点归属正确（不重叠不遗漏）$\to$ 求值先定段再代入 $\to$ 检查分段点衔接。
• 易扣分点：端点归属错误；区间重叠或遗漏；分段点处不连续却没发现；求值代错段。

考点三：幂函数模型的建立与应用

• 出题思路：刹车距离 $y=a{x}^2$、弹簧伸长 $y=kx$、气体流量 $v=k{r}^4$、几何量关系等，由数据定参再预测或反求。
• 关键条件：模型形式 $y=k{x}^{\alpha }$（$\alpha$ 已知或待定）；一组已知数据定 $k$（和 $\alpha$）；实际定义域。
• 解答要点：设 $y=k{x}^{\alpha }$ $\to$ 代入已知数据解 $k$（和 $\alpha$）$\to$ 写出模型 $\to$ 由给定 $x$ 求 $y$（预测）或由 $y$ 反求 $x$（如是否超速）$\to$ 结合实际比较判断。
• 易扣分点：参数求错；反求时舍根错误（如 $x=\sqrt{9000}\approx 94.9$ 只取正值）；不与限制值比较就下结论；单位混乱。

考点四：图象信息的读取与解释

• 出题思路：$v$-$t$ 图求路程、行程图画距离-时间关系、收支差额图解释盈亏、数据描点拟合函数。
• 关键条件：坐标轴含义（单位）；图象特征（升降、最值、转折、面积）；分段点。
• 解答要点：先看坐标轴含义 $\to$ 分析图象特征对应的实际意义 $\to$ $v$-$t$ 图面积 $=$ 路程 $\to$ 分段写出函数 $\to$ 回实际解释。
• 易扣分点：坐标轴看反；面积含义判断错；分段点遗漏；不结合实际解释图象。

考点五：综合成本利润与造价控制

• 出题思路：生产利润分析（总成本、单位成本、收入、利润多个函数）、蓄水池/造价控制（结合基本不等式）、盈亏平衡。
• 关键条件：固定成本与可变成本；售价与销量；约束条件（造价 $\le$ 某值、容积 $=$ 定值）；单位统一。
• 解答要点：分别写出各函数（成本 $=$ 固定 $+$ 可变，收入 $=$ 单价 $\times$ 销量，利润 $=$ 收入 $-$ 成本）$\to$ 求盈亏平衡点（利润 $=0$）$\to$ 结合约束求解 $\to$ 分析经济效益。
• 易扣分点：混淆固定/可变成本；单位不统一（元与万元混用）；利润公式写反；盈亏平衡点算错。

练习题

基础训练

1. 某商品单价 $8$ 元/件，购买 $x$ 件需付 $y$ 元。写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式及定义域。
2. 矩形周长为 $40$，设一边长为 $x$，面积为 $S$。写出 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求 $S$ 的最大值及取最大值时的边长。
3. 已知刹车距离 $y=\frac{x^2}{180}$（$x$ 为速率 km/h，$y$ 为距离 m）。若刹车距离为 $50$ m，求刹车时的速率（精确到 $0.1$ km/h）。
4. 某城市居民用水实行阶梯水价：不超过 $12$ m³ 的部分 $3$ 元/m³，超过 $12$ 但不超过 $18$ m³ 的部分 $6$ 元/m³，超过 $18$ m³ 的部分 $9$ 元/m³。写出水费 $y$（元）关于用水量 $x$（m³）的函数解析式（$0\le x$）。
5. 一个产品每件售价 $50$ 元，单件可变成本 $30$ 元，固定成本 $1000$ 元，产品全部售出。设销量为 $x$ 件，利润为 $P$ 元，写出 $P$ 关于 $x$ 的函数，并求盈亏平衡时的销量。

巩固训练

1. 某人开汽车以 $60$ km/h 的速率从 $A$ 地到 $150$ km 远的 $B$ 地，在 $B$ 地停留 $1$ h 后，再以 $50$ km/h 的速率返回 $A$ 地。把汽车与 $A$ 地的距离 $x$（km）表示为时间 $t$（h）（从 $A$ 出发时起）的函数，并画出图象。
2. 某广告公司要设计周长为 $24$ m 的矩形广告牌。怎样设计面积最大？最大面积是多少？
3. 某公司生产某产品，固定成本 $150$ 万元，每件可变成本 $2500$ 元，每件售价 $3500$ 元，产品全部售出。设产量为 $x$ 件。
   （1）写出总成本 $C$、总收入 $R$、利润 $P$ 关于 $x$ 的函数；
   （2）求盈亏平衡时的产量，并分析产量为 $1000$ 件时是盈利还是亏损。
4. 要建造一个容积为 $1200$ m³、深 $6$ m 的长方体无盖蓄水池，池壁造价 $95$ 元/m²，池底造价 $135$ 元/m²。如何设计水池的长与宽，才能使总造价控制在 $7$ 万元以内（精确到 $0.1$ m）？
5. 下表是拉力 $F$（N）与弹簧伸长量 $x$（cm）的实验数据：

$F$	1	2	3	4	5
$x$	14.2	28.8	41.3	57.5	70.2

描点画出 $x$ 随 $F$ 变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式。

提升训练

1. 若用模型 $y=a{x}^2$（$a>0$）描述汽车紧急刹车后滑行距离 $y$（m）与刹车时速率 $x$（km/h）的关系，已知某型号汽车速率 $60$ km/h 时刹车距离 $20$ m。在限速 $100$ km/h 的高速公路上，一辆该车紧急刹车后滑行 $50$ m，该车是否超速？说明理由。
2. 某城市阶梯水价同基础训练第 4 题。若某户居民本月交纳水费 $48$ 元，求该户本月用水量。
3. 某商店经营一批进价 $30$ 元/件的商品，试销发现日销售量 $y$（件）与售价 $x$（元）的关系如下表：

售价 $x$（元）	30	40	45	50
日销量 $y$（件）	60	30	15	0

（1）根据数据描点，猜想 $y$ 与 $x$ 的函数关系，写出一个解析式；
（2）设日销售利润为 $P$（元），写出 $P$ 关于 $x$ 的函数，并求售价为多少时日利润最大。

练习题答案

基础训练答案

1. $y=8x$。若 $x$ 表示件数，则 $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$（正整数），定义域为 $\{1,2,3,\dots \}$；若 $x$ 可为任意非负实数，则 $x\ge 0$。实际中通常 $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。
2. 另一边长为 $20-x$（因 $2(x+20-x)=40$），$S=x(20-x)=-x^2+20x$。实际定义域 $0<x<20$。$S=-x^2+20x=-(x-10{)}^2+100$，当 $x=10$（在 $(0,20)$ 内）时取最大值 $S_{\max }=100$。此时边长为 $10$ 和 $10$（正方形），面积最大 $100$。
3. $50=\frac{x^2}{180}$，$x^2=9000$，$x=\sqrt{9000}=30\sqrt{10}\approx 94.9$ km/h（取正值，速率非负）。
4. $y=\{\begin{array}{ll}3x,& 0\le x\le 12,\\ 36+6(x-12),& 12<x\le 18,\\ 36+36+9(x-18),& x>18,\end{array}=\{\begin{array}{ll}3x,& 0\le x\le 12,\\ 6x-36,& 12<x\le 18,\\ 9x-90,& x>18.\end{array}$ 验证分段点：$x=12$ 第一段 $y=36$，第二段 $y=72-36=36$ ✓；$x=18$ 第二段 $y=108-36=72$，第三段 $y=162-90=72$ ✓，连续。
5. 总成本 $=30x+1000$，总收入 $=50x$，利润 $P=50x-(30x+1000)=20x-1000$（$x\ge 0$）。盈亏平衡 $P=0$：$20x=1000$，$x=50$ 件。当销量 $x>50$ 时盈利，$x=50$ 时盈亏平衡。

巩固训练答案

1. $A$ 到 $B$：$150÷60=2.5$ h，$0\le t\le 2.5$ 时 $x=60t$。停留：$2.5<t\le 3.5$ 时 $x=150$（不动）。返回：$150÷50=3$ h，$3.5<t\le 6.5$ 时 $x=150-50(t-3.5)$。所以

$$x(t)=\{\begin{array}{ll}60t,& 0\le t\le 2.5,\\ 150,& 2.5<t\le 3.5,\\ 150-50(t-3.5),& 3.5<t\le \mathrm{6.5.}\end{array}$$

图象：第一段从 $(0,0)$ 到 $(2.5,150)$ 的上升直线；第二段从 $(2.5,150)$ 到 $(3.5,150)$ 的水平线段；第三段从 $(3.5,150)$ 到 $(6.5,0)$ 的下降直线。
2. 设长 $x$ m，宽 $y$ m，$2(x+y)=24$，$x+y=12$。面积 $S=xy=x(12-x)=-x^2+12x=-(x-6{)}^2+36$，定义域 $0<x<12$。当 $x=6$（在定义域内）时 $S_{\max }=36$ m²。即设计成边长 $6$ m 的正方形时面积最大，最大 $36$ m²。
3. （1）固定成本 $150$ 万元 $=1500000$ 元。$C=1500000+2500x$；$R=3500x$；$P=R-C=3500x-(1500000+2500x)=1000x-1500000$（$x\ge 0$）。
（2）盈亏平衡 $P=0$：$1000x=1500000$，$x=1500$ 件。产量 $1500$ 件时盈亏平衡。当 $x=1000$ 件时，$P=1000\times 1000-1500000=1000000-1500000=-500000$ 元 $=-50$ 万元，亏损 $50$ 万元。
4. 水池深 $6$ m，容积 $1200$ m³，故底面积 $=1200÷6=200$ m²。设底面长 $a$ m，宽 $b$ m，$ab=200$。池壁面积 $=2\times 6a+2\times 6b=12(a+b)$。总造价 $=135\times 200+95\times 12(a+b)=27000+1140(a+b)$。由 $ab=200$ 得 $a+b\ge 2\sqrt{200}=20\sqrt{2}\approx 28.28$，当 $a=b=\sqrt{200}\approx 14.14$ 时取等。此时总造价 $\ge 27000+1140\times 28.28\approx 27000+32243=59243$ 元 $\approx 5.9$ 万元 $<7$ 万元。设计成正方形底面（约 $14.1\times 14.1$ m）时造价最低约 $5.9$ 万元，在 $7$ 万元以内。若长宽不等，造价更高但仍需 $\le 7$ 万元即 $a+b\le \frac{70000-27000}{1140}=\frac{43000}{1140}\approx 37.7$，即 $a+b\le 37.7$，由 $ab=200$ 及 $a+b\le 37.7$ 可得长宽范围。最优设计为正方形底面，边长约 $14.1$ m。
5. 以 $F$ 为横轴、$x$ 为纵轴描点 $(1,14.2),(2,28.8),(3,41.3),(4,57.5),(5,70.2)$，各点近似在一条过原点的直线上。计算 $\frac{x}{F}$：$14.2,14.4,13.8,14.4,14.0$，平均约 $14.2$。故可取 $x\approx 14F$，即 $x=14F$（$F\ge 0$）。这是一个一次函数（正比例）模型，反映弹簧伸长与拉力成正比（胡克定律）。

提升训练答案

1. 代入 $x=60,y=20$：$20=a\times 60^2=3600a$，$a=\frac{1}{180}$，模型 $y=\frac{x^2}{180}$。当 $y=50$：$x^2=9000$，$x=\sqrt{9000}\approx 94.9$ km/h。因 $94.9<100$（限速），该车未超速。（刹车距离 $50$ m 对应速率约 $94.9$ km/h，低于限速 $100$ km/h。）
2. 由基础训练第 4 题的水费函数：当 $y=48$ 时，先判断在哪一段。第一段最大 $y=3\times 12=36<48$，所以 $x>12$。第二段 $y=6x-36$（$12<x\le 18$），令 $6x-36=48$，$6x=84$，$x=14$。检验：$12<14\le 18$ ✓，$y=6\times 14-36=84-36=48$ ✓。所以该户本月用水量 $14$ m³。
3. （1）描点 $(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)$，发现每提高 $5$ 元销量减 $15$ 件，即每提高 $1$ 元销量减 $3$ 件。设 $y=kx+b$，由 $(30,60)$ 和 $(50,0)$：$30k+b=60$，$50k+b=0$，相减 $20k=-60$，$k=-3$，$b=60+90=150$。所以 $y=-3x+150$。检验：$x=45$ 时 $y=-135+150=15$ ✓。定义域：$y\ge 0$ 即 $-3x+150\ge 0$，$x\le 50$，又 $x\ge 30$（进价），故 $30\le x\le 50$。
   （2）利润 $P=(x-30)\cdot y=(x-30)(-3x+150)=-3x^2+150x+90x-4500=-3x^2+240x-4500$。配方：$P=-3(x^2-80x)-4500=-3(x-40{)}^2+4800-4500=-3(x-40{)}^2+300$。当 $x=40$（在 $[30,50]$ 内）时 $P_{\max }=300$ 元。所以售价定为 $40$ 元/件时日利润最大，最大 $300$ 元。