3.2 函数的基本性质

本节学习目标

• 理解函数单调性的严格定义，能用符号语言刻画“图象上升/下降”，会用作差法证明简单函数（一次函数、二次函数、反比例型函数、$y=x+\frac{k}{x}$ 型）的单调性。
• 理解函数最大值、最小值的严格定义（两条要求：对所有 $x$ 都满足不等式 + 存在 $x_0$ 能取到），会利用单调性求闭区间上的最值，会用二次函数顶点法求最值。
• 理解奇函数、偶函数的定义，知道“定义域关于原点对称”是前提，会判断函数的奇偶性。
• 掌握奇偶性与图象对称性的关系：偶函数图象关于 $y$ 轴对称，奇函数图象关于原点对称，并能据此由一侧图象补全另一侧。
• 能综合运用单调性与奇偶性，由函数在一侧区间的性质推断另一侧区间的性质。
• 体会“观察图象提出猜想 $\to$ 自然语言描述 $\to$ 符号语言刻画 $\to$ 逻辑推理证明”这一研究函数性质的基本方法。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

3.1 节我们用集合和对应关系刻画了函数概念。函数 $y=f(x)$（$x\in A$）描述了变量之间的对应关系，研究函数就是要把握它的变化规律。自然要问：随着自变量 $x$ 的增大，函数值 $f(x)$ 是增大还是减小？函数有没有最高点或最低点？函数图象有没有对称性？这些就是函数的基本性质——单调性、最大（小）值、奇偶性。

研究函数性质有一条基本路径：先画出函数图象，通过观察图象特征提出猜想，再用自然语言描述，最后抽象为数学符号严格刻画，并通过推理运算加以证明。本节的单调性、奇偶性定义都是按这条路径得到的。这条路径也是今后研究各种函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的通用方法。

二、核心概念与定义条件

单调性定义：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I\subseteq D$。

• 如果对任意 $x_1,x_2\in I$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，那么称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增（图象从左到右上升）。
• 如果对任意 $x_1,x_2\in I$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)>f(x_2)$，那么称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减（图象从左到右下降）。

特别地，当函数 $f(x)$ 在它的整个定义域上单调递增（递减）时，称它是增函数（减函数）。

如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增或单调递减，就说 $y=f(x)$ 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 $I$ 叫作 $y=f(x)$ 的单调区间。

理解定义要注意三点：①单调性是相对于某个区间而言的，同一个函数在不同区间可以有不同单调性（如 $f(x)=x^2$ 在 $(-\infty ,0]$ 递减、在 $[0,+\infty )$ 递增）；②“任意 $x_1,x_2$”意味着不能只看几个特殊点，必须对所有点都成立；③单调区间通常不能跨过函数的断点（如 $y=\frac{1}{x}$ 不能说在定义域上单调递减）。

最大值、最小值定义：设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$。如果存在实数 $M$ 满足：①对任意 $x\in D$，都有 $f(x)\le M$；②存在 $x_0\in D$，使得 $f(x_0)=M$。那么称 $M$ 是函数 $y=f(x)$ 的最大值。

类似地，把 $\le$ 换成 $\ge$、$M$ 换成 $m$，就得到最小值 $m$ 的定义：①对任意 $x\in D$，$f(x)\ge m$；②存在 $x_0\in D$，$f(x_0)=m$。

定义的两条缺一不可：第①条保证 $M$ 是一个“上界”（所有函数值都不超过它），第②条保证这个上界“能取到”。只有上界而取不到，就不是最大值（如 $f(x)=x$，$x\in (0,1)$，函数值都小于 $1$，但 $1$ 取不到，所以没有最大值）。

奇偶性定义：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。

• 如果对任意 $x\in D$，都有 $-x\in D$，且 $f(-x)=f(x)$，那么 $f(x)$ 叫偶函数。
• 如果对任意 $x\in D$，都有 $-x\in D$，且 $f(-x)=-f(x)$，那么 $f(x)$ 叫奇函数。

注意：定义中“$-x\in D$”这个前提不能漏，它要求定义域关于原点对称。如果定义域不关于原点对称（如 $f(x)=x^2$，$x\in [0,+\infty )$），即便 $f(-x)=f(x)$ 形式上成立，也不是偶函数。

三、符号语言与等价表示

单调性的等价刻画：设 $x_1,x_2\in I$，记 $\Delta x=x_2-x_1$，$\Delta y=f(x_2)-f(x_1)$。

条件	结论	几何意义
$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$	在 $I$ 上单调递增	图象上升
$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$	在 $I$ 上单调递减	图象下降
$\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$（$x_1\ne x_2$）	在 $I$ 上单调递增	变化率恒正
$\frac{\Delta y}{\Delta x}<0$（$x_1\ne x_2$）	在 $I$ 上单调递减	变化率恒负

奇偶性的等价刻画：

类型	定义条件	图象对称性	常见例子
偶函数	$f(-x)=f(x)$	关于 $y$ 轴对称	$x^2$、$x^4$、$
奇函数	$f(-x)=-f(x)$	关于原点对称	$x$、$x^3$、$\frac{1}{x}$、$x+\frac{1}{x}$

两个实用结论：①若奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有定义，则 $f(0)=0$（因为 $f(0)=-f(0)$）；②奇偶函数定义域必关于原点对称。

单调性与最值的关系：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上单调递增，则最小值为 $f(a)$、最大值为 $f(b)$；若单调递减，则最大值为 $f(a)$、最小值为 $f(b)$。即闭区间上单调函数的最值在端点取得。

四、关键性质、定理与公式

用作差法证明单调性的标准步骤：

1. 设元：设 $x_1,x_2$ 是区间 $I$ 内任意两个值，且 $x_1<x_2$（即 $x_2-x_1>0$）。
2. 作差：计算 $f(x_1)-f(x_2)$（或 $f(x_2)-f(x_1)$）。
3. 变形：通过因式分解、通分、分子有理化等手段，把差变形成若干因式相乘/相除的形式。
4. 定号：判断各因式的符号，确定差的正负。
5. 结论：若 $f(x_1)-f(x_2)<0$（即 $f(x_1)<f(x_2)$），则单调递增；若 $f(x_1)-f(x_2)>0$（即 $f(x_1)>f(x_2)$），则单调递减。

关键技巧：变形时要尽量把 $x_2-x_1$（已知为正）作为因式分离出来，其余因式的符号由区间条件判断。

二次函数的最值：二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$），当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取得最值。$a>0$ 时为最小值 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a<0$ 时为最大值 $\frac{4ac-b^2}{4a}$。

奇偶性与单调性的关联：

• 偶函数在对称区间 $[-b,-a]$ 和 $[a,b]$ 上的单调性相反（如 $f(x)=x^2$ 在 $[0,+\infty )$ 递增，在 $(-\infty ,0]$ 递减）。
• 奇函数在对称区间 $[-b,-a]$ 和 $[a,b]$ 上的单调性相同（如 $f(x)=x^3$ 在 $[0,+\infty )$ 和 $(-\infty ,0]$ 都递增）。

五、典型模型与解题方法

模型一：根据图象写单调区间。 观察图象从左到右的升降，上升段为单调递增区间，下降段为单调递减区间。注意单调区间一般用“和”连接，不用并集符号 $\cup$（如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 的单调递减区间写成“$(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$”，不写成 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$）。

模型二：用定义证明单调性。 按上述作差法五步进行。常见函数类型：一次函数 $f(x)=kx+b$；二次函数 $f(x)=x^2+c$ 在某区间；反比例型 $f(x)=\frac{k}{x}$、$f(x)=\frac{k}{x-a}$；对勾函数 $f(x)=x+\frac{k}{x}$。

模型三：利用单调性求闭区间最值。 先证明（或判断）函数在区间上的单调性，再由“单调函数最值在端点取得”求出最值。

模型四：二次函数最值。 用顶点公式或配方法，注意定义域限制（若限定在某区间上，要结合图象判断最值在顶点还是端点取得）。

模型五：判断奇偶性。 标准三步：①求定义域，看是否关于原点对称（不对称则非奇非偶）；②计算 $f(-x)$ 并化简；③比较 $f(-x)$ 与 $f(x)$、$-f(x)$ 的关系，下结论。

模型六：综合应用（奇偶性 + 单调性）。 由函数在一侧区间的单调性和奇偶性，推断另一侧区间的单调性（偶函数相反、奇函数相同）；或由奇偶性补全图象。

六、题型应用与迁移

本节题型分六类：①看图写单调区间；②用定义证明单调性（一次、二次、反比例型、对勾型）；③利用单调性或二次函数顶点求最值；④判断奇偶性；⑤由奇偶性补全图象、求解析式；⑥奇偶性与单调性结合推断。这些性质在后续幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的研究中都会反复用到。

重点梳理

• 单调性是“局部”性质，必须指明区间。一个函数在不同区间可以有不同单调性。这一点之所以重要，是因为脱离区间谈单调性会导致错误结论。例如 $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上既不单调递增也不单调递减，但在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。触发条件：遇到单调性问题，第一反应是问“在哪个区间上”。
• 单调区间不能跨过函数的断点。如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$ 上各自单调递减，但不能说在定义域 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 上单调递减。原因是取 $x_1=-1<1=x_2$ 时 $f(-1)=-1<1=f(1)$，出现 $x_1<x_2$ 但 $f(x_1)<f(x_2)$，违反递减定义。所以写单调区间时，断开的区间要分开写，用“和”连接。
• 最大（小）值定义的两条缺一不可。“对所有 $x$ 都 $f(x)\le M$”保证 $M$ 是上界，“存在 $x_0$ 使 $f(x_0)=M$”保证能取到。判断最值时两条都要检查。常见反例：$f(x)=x$，$x\in (0,1)$ 有上界 $1$ 但取不到，无最大值。闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值（这是后续要学的重要结论）。

• 奇偶性的前提是定义域关于原点对称。判断奇偶性第一步永远是看定义域。如果定义域不关于原点对称，直接判定为“非奇非偶函数”，不必再算 $f(-x)$。例如 $f(x)=x^2$（$x\in [-1,2]$）定义域不对称，不是偶函数。
• 偶函数图象关于 $y$ 轴对称，奇函数图象关于原点对称。这不仅是性质，更是充要条件：图象关于 $y$ 轴对称 $\iff$ 偶函数，图象关于原点对称 $\iff$ 奇函数。利用它可以由一侧图象补全另一侧，简化研究。
• 奇偶性与单调性的关联要记牢。偶函数在对称区间单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同。这是综合题的常考考点，可用于由一侧性质推断另一侧，避免重复证明。

难点突破

难点一：为什么单调区间不能跨断点

反比例函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 的定义域是 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减、在 $(0,+\infty )$ 上也单调递减。但如果取 $x_1=-1\in (-\infty ,0)$、$x_2=1\in (0,+\infty )$，则 $x_1<x_2$，而 $f(-1)=-1<1=f(1)$，即 $f(x_1)<f(x_2)$，这与“单调递减”（应满足 $f(x_1)>f(x_2)$）矛盾。原因是 $x=0$ 处函数无定义，图象断开，跨断点取两点不能保证单调性。突破方法：写单调区间时，函数无定义的点（断点）必须把区间分开，各段单独写，用“和”连接。

难点二：作差后如何判断符号

作差法的难点在第 4 步“定号”。常见技巧：①因式分解，把差分解成若干因式相乘，逐个判断符号；②对含分式的差通分后，分子分母分别判断；③对含根式的差用分子有理化。关键是要把已知为正的 $(x_2-x_1)$ 分离出来。例如证明 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty )$ 递增时，

$$f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)+\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)=(x_1-x_2)\left(1+\frac{1}{x_1{x}_2}\right).$$

由 $x_1,x_2>1$ 知 $x_1{x}_2>1$，$1+\frac{1}{x_1{x}_2}>0$，又 $x_1-x_2<0$，所以差 $<0$，$f(x_1)<f(x_2)$，递增。突破方法：多练因式分解和通分，养成“分离 $(x_2-x_1)$ 因式”的习惯。

难点三：最大值与上界的区别

最大值定义要求“能取到”。$f(x)=x$（$x\in (0,1)$）的函数值都小于 $1$，$1$ 是一个上界，但 $1$ 不在函数值范围内（取不到），所以 $f(x)$ 没有最大值。而 $f(x)=x$（$x\in (0,1]$）的最大值是 $1$（在 $x=1$ 处取到）。突破方法：判断最大值时，除了确认“所有值都不超过它”，还要确认“存在某个 $x$ 能取到它”。开区间上的函数往往只有上界而无最大值。

难点四：判断奇偶性容易漏看定义域

常见错误：看到 $f(x)=x^2$ 就直接算 $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$ 判定为偶函数，但若定义域是 $[0,+\infty )$，则 $-x$ 不在定义域内，前提不满足。突破方法：固定步骤——第一步先求定义域并判断是否关于原点对称，不对称直接判“非奇非偶”，对称才继续算 $f(-x)$。

难点五：奇偶性与单调性的综合推断

已知偶函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$（$a>0$）上单调递减，它在 $[-b,-a]$ 上单调递增还是递减？方法是：偶函数图象关于 $y$ 轴对称，$[-b,-a]$ 是 $[a,b]$ 关于 $y$ 轴的对称区间，图象翻过去后升降方向相反，所以单调递增。奇函数则相反——对称区间单调性相同。突破方法：画图辅助理解，或用定义严格推导：设 $-b\le x_1<x_2\le -a$，则 $a\le -x_2<-x_1\le b$，由 $[a,b]$ 上递减得 $f(-x_2)>f(-x_1)$；偶函数 $f(-x)=f(x)$，所以 $f(x_2)>f(x_1)$，即 $f(x_1)<f(x_2)$，递增。

例题讲解

例1：用定义研究一次函数 $f(x)=kx+b$（$k\ne 0$）的单调性

审题： 用作差法，按“设元→作差→变形→定号→结论”五步进行。

证明： 函数 $f(x)=kx+b$ 的定义域是 $\mathbb{R}$。任取 $x_1,x_2\in \mathbb{R}$，且 $x_1<x_2$（即 $x_1-x_2<0$），则

$$f(x_1)-f(x_2)=(k{x}_1+b)-(k{x}_2+b)=k(x_1-x_2).$$

由 $x_1-x_2<0$：

• 当 $k>0$ 时，$k(x_1-x_2)<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$，函数单调递增，$f(x)=kx+b$ 是增函数。
• 当 $k<0$ 时，$k(x_1-x_2)>0$，即 $f(x_1)>f(x_2)$，函数单调递减，$f(x)=kx+b$ 是减函数。

反思： 这与初中由图象得到的结论一致，但这里用严格的推理运算证明了它。关键在于把差分解为 $k\cdot (x_1-x_2)$，由两个因式的符号确定差的正负。

例2：证明玻意耳定律对应的函数是减函数

物理学中的玻意耳定律 $p=\frac{k}{V}$（$k$ 为正常数）表明：一定质量的气体在温度不变时，体积 $V$ 减小则压强 $p$ 增大。用单调性证明。

证明： 任取 $V_1,V_2\in (0,+\infty )$，且 $V_1<V_2$（即 $V_2-V_1>0$），则

$$p_1-p_2=\frac{k}{V_1}-\frac{k}{V_2}=\frac{k(V_2-V_1)}{V_1{V}_2}.$$

由 $V_1,V_2>0$ 得 $V_1{V}_2>0$；由 $V_1<V_2$ 得 $V_2-V_1>0$；又 $k>0$。所以 $p_1-p_2>0$，即 $p_1>p_2$。因此函数 $p=\frac{k}{V}$（$V\in (0,+\infty )$）是减函数，即体积 $V$ 减小时压强 $p$ 增大。

反思： 这是单调性在物理中的应用。证明的关键是通分后分子分离出 $(V_2-V_1)$。

例3：证明 $y=x+\frac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增

证明： 任取 $x_1,x_2\in (1,+\infty )$，且 $x_1<x_2$，则

$$\begin{array}{rl}{y}_1-y_2& =\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)=(x_1-x_2)+\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)\\ & =(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1{x}_2}=(x_1-x_2)\left(1+\frac{1}{x_1{x}_2}\right).\end{array}$$

由 $x_1,x_2\in (1,+\infty )$ 得 $x_1{x}_2>1$，所以 $1+\frac{1}{x_1{x}_2}>0$。又 $x_1<x_2$ 得 $x_1-x_2<0$。因此 $y_1-y_2<0$，即 $y_1<y_2$。所以函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。

反思： 这是对勾函数（$y=x+\frac{k}{x}$ 型）的典型证明。难点在于把两项的差合并因式分解，提取公因式 $(x_1-x_2)$。

例4：烟花爆裂的最佳时刻

“菊花”烟花在达到最高点时爆裂效果最佳。烟花距地面高度 $h$（m）与时间 $t$（s）的关系为 $h(t)=-4.9t^2+14.7t+18$。烟花冲出后何时爆裂最佳？此时高度是多少（精确到 $1$ m）？

审题： 求二次函数的最大值。函数图象是开口向下的抛物线，顶点即最高点。

解： 对于函数 $h(t)=-4.9t^2+14.7t+18$，当

$$t=-\frac{14.7}{2\times (-4.9)}=\frac{14.7}{9.8}=1.5$$

时，函数取得最大值

$$h=\frac{4\times (-4.9)\times 18-14.7^2}{4\times (-4.9)}=\frac{-352.8-216.09}{-19.6}=\frac{-568.89}{-19.6}\approx \mathrm{29.0.}$$

所以烟花冲出后 $1.5$ s 是爆裂的最佳时刻，此时距地面约 $29$ m。

检验： $h(1.5)=-4.9\times 2.25+14.7\times 1.5+18=-11.025+22.05+18=29.025\approx 29$ ✓。

例5：利用单调性求闭区间最值

求函数 $f(x)=\frac{2}{x-1}$（$x\in [2,6]$）的最大值和最小值。

审题： 先证明函数在 $[2,6]$ 上的单调性，再由端点确定最值。

解： 任取 $x_1,x_2\in [2,6]$，且 $x_1<x_2$，则

$$f(x_1)-f(x_2)=\frac{2}{x_1-1}-\frac{2}{x_2-1}=\frac{2[(x_2-1)-(x_1-1)]}{(x_1-1)(x_2-1)}=\frac{2(x_2-x_1)}{(x_1-1)(x_2-1)}.$$

由 $2\le x_1<x_2\le 6$ 得 $x_2-x_1>0$，$(x_1-1)(x_2-1)>0$（因 $x_1-1\ge 1>0$，$x_2-1>0$）。所以 $f(x_1)-f(x_2)>0$，即 $f(x_1)>f(x_2)$，函数在 $[2,6]$ 上单调递减。

因此最大值在左端点取得：$f(2)=\frac{2}{2-1}=2$；最小值在右端点取得：$f(6)=\frac{2}{6-1}=\frac{2}{5}=0.4$。

反思： 闭区间上单调函数的最值在端点取得——递增则左端最小、右端最大；递减则左端最大、右端最小。

例6：判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性：（1）$f(x)=x^4$；（2）$f(x)=x^5$；（3）$f(x)=x+\frac{1}{x}$；（4）$f(x)=\frac{1}{x^2}$。

解：

（1）$f(x)=x^4$ 定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称。$f(-x)=(-x{)}^4=x^4=f(x)$，所以是偶函数。

（2）$f(x)=x^5$ 定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称。$f(-x)=(-x{)}^5=-x^5=-f(x)$，所以是奇函数。

（3）$f(x)=x+\frac{1}{x}$ 定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称。

$$f(-x)=(-x)+\frac{1}{-x}=-x-\frac{1}{x}=-\left(x+\frac{1}{x}\right)=-f(x),$$

所以是奇函数。

（4）$f(x)=\frac{1}{x^2}$ 定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称。

$$f(-x)=\frac{1}{(-x{)}^2}=\frac{1}{x^2}=f(x),$$

所以是偶函数。

反思： 四个函数都先确认了定义域关于原点对称，再计算 $f(-x)$。$x$ 的偶次幂（$x^2,x^4$）构成偶函数，奇次幂（$x,x^3,x^5$）构成奇函数；但 $x+\frac{1}{x}$ 这类组合要具体计算。

易错点整理

• 错误表现：把函数“在某区间单调”说成“在定义域单调”。

  • 错因分析：忽略了单调性是局部性质。一个函数可以一部分递增一部分递减。
  • 正确处理：谈单调性必须指明区间；写单调区间时断点处分开。

• 错误表现：用几个特殊点的函数值变化代替严格证明。

  • 反例：取 $x=1,2,3$ 验证 $f(1)<f(2)<f(3)$ 就说函数递增——这只是举例，不是证明。
  • 正确处理：必须任取 $x_1<x_2$，用定义（作差法）严格证明。

• 错误表现：作差后不会判断符号，直接下结论。

  • 正确处理：把差因式分解，分离出 $(x_2-x_1)$（已知正），其余因式由区间条件判断符号，逐步说明。

• 错误表现：单调区间用并集符号 $\cup$ 连接。

  • 反例：$f(x)=\frac{1}{x}$ 的递减区间写成 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 是错误的。
  • 正确处理：断开的单调区间用“和”连接，如“$(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$”。

• 错误表现：判断奇偶性时不看定义域，直接算 $f(-x)$。

  • 反例：$f(x)=x^2$（$x\in [0,+\infty )$）虽 $f(-x)=f(x)$，但定义域不对称，不是偶函数。
  • 正确处理：第一步先求定义域判断对称性，不对称直接判非奇非偶。

• 错误表现：把“偶函数关于 $y$ 轴对称”和“奇函数关于原点对称”记反。

  • 正确处理：记口诀“偶轴奇原”——偶函数关于 $y$ 轴（竖轴），奇函数关于原点。

• 错误表现：求最值时不检查能否取到，把上界当最大值。

  • 正确处理：最大（小）值定义两条都要满足——所有值不超过（不低于）它，且存在某点能取到它。

考点考证点整理

考点一：根据图象写单调区间

• 出题思路：给出函数图象，要求写出单调区间及各区间上的单调性。
• 关键条件：图象从左到右的升降趋势；函数无定义处（断点）。
• 解答要点：观察图象上升段为递增区间、下降段为递减区间；断点处分开写，用“和”连接，不用 $\cup$。
• 易扣分点：单调区间跨断点；用 $\cup$ 连接断开的区间；区间端点写错（开闭）。

考点二：用定义证明单调性

• 出题思路：要求用定义证明一次函数、二次函数、反比例型函数、对勾型函数在某区间的单调性。
• 关键条件：区间范围（决定因式符号）；$x_1<x_2$（即 $x_2-x_1>0$）。
• 解答要点：设元 $\to$ 作差 $\to$ 变形（因式分解、通分、有理化）$\to$ 定号（分离 $(x_2-x_1)$，判断其余因式符号）$\to$ 结论。每步都要写清依据。
• 易扣分点：只取特殊值不严格证明；作差后不变形直接说正负；因式符号判断缺依据（没用到区间条件）；结论方向写反。

考点三：利用单调性或二次函数顶点求最值

• 出题思路：给闭区间上的函数，先证单调性再求最值；或给二次函数用顶点法求最值；或实际问题（烟花高度、熊猫居室面积等）求最值。
• 关键条件：函数在区间上的单调性；二次函数的开口方向和顶点；定义域限制。
• 解答要点：单调函数闭区间最值在端点（递增左小右大、递减左大右小）；二次函数用顶点公式 $x=-\frac{b}{2a}$；实际问题要结合实际范围。
• 易扣分点：没证单调性就直接说最值在端点；最值没检查能否取到；二次函数开口方向判断错；限定区间时没结合图象判断最值在顶点还是端点。

考点四：判断函数的奇偶性

• 出题思路：给若干函数，判断奇偶性（奇函数、偶函数、非奇非偶、既奇又偶）。
• 关键条件：定义域是否关于原点对称；$f(-x)$ 与 $f(x)$、$-f(x)$ 的关系。
• 解答要点：①求定义域判断对称性；②计算并化简 $f(-x)$；③比较下结论。四类结论：$f(-x)=f(x)$ 偶，$f(-x)=-f(x)$ 奇，二者都满足则既奇又偶（如 $f(x)=0$），都不满足则非奇非偶。
• 易扣分点：不看定义域直接算 $f(-x)$；$f(-x)$ 化简错误；既奇又偶的情况（只有 $f(x)\equiv 0$）判断遗漏。

考点五：奇偶性的图象应用与综合推断

• 出题思路：给奇（偶）函数在一侧的图象或解析式，补全另一侧；已知奇偶性和一侧单调性，推断另一侧单调性；由奇偶性求解析式或函数值。
• 关键条件：奇偶性决定对称性（偶关于 $y$ 轴，奇关于原点）；奇偶性与单调性的关联（偶相反、奇相同）；奇函数若在 $x=0$ 有定义则 $f(0)=0$。
• 解答要点：补图象按对称性翻折；推断单调性用“偶相反、奇相同”或用定义严格推导；求解析式利用 $f(-x)=\pm f(x)$。
• 易扣分点：对称性记反（偶原奇轴）；推断单调性方向错误；忽略 $f(0)=0$ 的隐含条件。

练习题

基础训练

1. 根据定义证明：（1）$f(x)=-2x+1$ 是减函数；（2）$f(x)=3x+2$ 是增函数。
2. 证明：函数 $f(x)=x^2+1$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。
3. 证明：函数 $f(x)=1-\frac{2}{x}$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增。
4. 判断下列函数的奇偶性：（1）$f(x)=2x^4+3x^2$；（2）$f(x)=x^3-2x$；（3）$f(x)=x^2+1$；（4）$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$。
5. 画出函数 $y=9-x^2$ 的图象，写出它的单调区间。
6. 求函数 $f(x)=x^2$ 在 $[-1,3]$ 上的最大值和最小值。

巩固训练

1. 根据定义证明：函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 在区间 $[3,+\infty )$ 上单调递增。
2. 讨论函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上的单调性（不需证明，结合图象说明）。
3. 已知函数 $f(x)=x^2-2x$，$g(x)=x^2-2x$（$x\in [2,4]$）。
   （1）分别求 $f(x)$、$g(x)$ 的单调区间；
   （2）分别求 $f(x)$、$g(x)$ 的最小值。
4. 已知 $f(x)$ 是偶函数，且在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，判断 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增还是递减，并证明。
5. 某汽车租赁公司的月收益 $y$（元）与每辆车月租金 $x$（元）的关系为 $y=-\frac{x^2}{100}+162x-21000$。每辆车月租金为多少时月收益最大？最大月收益是多少？
6. 已知函数 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$ 的奇函数，当 $x\ge 0$ 时 $f(x)=x(1+x)$。画出 $f(x)$ 的图象，并求出 $f(x)$ 的完整解析式。
7. 证明：（1）若 $f(x)=ax+b$，则 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$；（2）若 $g(x)=x^2+ax+b$，则 $g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{g(x_1)+g(x_2)}{2}$。

提升训练

1. 讨论函数 $y=x+\frac{k}{x}$（$k>0$）在区间 $(0,+\infty )$ 上的单调性，并给出证明。
2. 设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I\subseteq D$，记 $\Delta x=x_2-x_1$，$\Delta y=f(x_2)-f(x_1)$。证明：函数 $y=f(x)$ 在 $I$ 上单调递增的充要条件是：对任意 $x_1,x_2\in I$，$x_1\ne x_2$，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$。
3. 动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室，可供建造围墙的材料总长是 $30\text{ m}$。设每间居室的宽为 $x$（m），$x$ 为多少时每间居室面积最大？最大面积是多少？
4. 已知奇函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$（$0<a<b$）上单调递减，判断 $f(x)$ 在 $[-b,-a]$ 上单调递增还是递减？若改为偶函数呢？分别证明你的结论。
5. 已知函数 $f(x)=4x^2-kx-8$ 在 $[5,20]$ 上具有单调性，求实数 $k$ 的取值范围。

练习题答案

基础训练答案

1. （1）任取 $x_1<x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=(-2x_1+1)-(-2x_2+1)=-2(x_1-x_2)$。由 $x_1<x_2$ 得 $x_1-x_2<0$，故 $-2(x_1-x_2)>0$，即 $f(x_1)>f(x_2)$，函数单调递减，$f(x)=-2x+1$ 是减函数。
   （2）任取 $x_1<x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=(3x_1+2)-(3x_2+2)=3(x_1-x_2)<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$，函数单调递增，$f(x)=3x+2$ 是增函数。
2. 任取 $x_1,x_2\in (0,+\infty )$，$x_1<x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=(x_1^2+1)-(x_2^2+1)=x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$。由 $x_1,x_2>0$ 得 $x_1+x_2>0$；由 $x_1<x_2$ 得 $x_1-x_2<0$。所以 $(x_1+x_2)(x_1-x_2)<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$，函数在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。
3. 任取 $x_1,x_2\in (-\infty ,0)$，$x_1<x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=\left(1-\frac{2}{x_1}\right)-\left(1-\frac{2}{x_2}\right)=\frac{2}{x_2}-\frac{2}{x_1}=\frac{2(x_1-x_2)}{x_1{x}_2}$。由 $x_1,x_2<0$ 得 $x_1{x}_2>0$；由 $x_1<x_2$ 得 $x_1-x_2<0$。所以 $\frac{2(x_1-x_2)}{x_1{x}_2}<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$，函数在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增。
4. （1）定义域 $\mathbb{R}$ 对称。$f(-x)=2(-x{)}^4+3(-x{)}^2=2x^4+3x^2=f(x)$，偶函数。
   （2）定义域 $\mathbb{R}$ 对称。$f(-x)=(-x{)}^3-2(-x)=-x^3+2x=-(x^3-2x)=-f(x)$，奇函数。
   （3）定义域 $\mathbb{R}$ 对称。$f(-x)=(-x{)}^2+1=x^2+1=f(x)$，偶函数。
   （4）定义域 $\mathbb{R}$ 对称。$f(-x)=\frac{-x}{(-x{)}^2+1}=\frac{-x}{x^2+1}=-\frac{x}{x^2+1}=-f(x)$，奇函数。
5. $y=9-x^2$ 是开口向下、顶点在 $(0,9)$ 的抛物线。在 $(-\infty ,0]$ 上单调递增，在 $[0,+\infty )$ 上单调递减。
6. $f(x)=x^2$ 在 $[-1,0]$ 上单调递减，在 $[0,3]$ 上单调递增。最小值在 $x=0$ 处：$f(0)=0$。比较两端点：$f(-1)=1$，$f(3)=9$，最大值在 $x=3$ 处：$9$。所以最小值为 $0$，最大值为 $9$。

巩固训练答案

1. 任取 $x_1,x_2\in [3,+\infty )$，$x_1<x_2$，

$$y_1-y_2=(x_1-x_2)\left(1+\frac{1}{x_1{x}_2}\right).$$

由 $x_1,x_2\ge 3$ 得 $x_1{x}_2\ge 9>1$，故 $1+\frac{1}{x_1{x}_2}>0$；又 $x_1-x_2<0$。所以 $y_1-y_2<0$，即 $y_1<y_2$，函数在 $[3,+\infty )$ 上单调递增。
2. 函数 $y=x+\frac{1}{x}$（$x>0$）的图象是“对勾”形：在 $(0,1]$ 上单调递减，在 $[1,+\infty )$ 上单调递增，在 $x=1$ 处取得最小值 $2$。
3. （1）$f(x)=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$，定义域 $\mathbb{R}$，在 $(-\infty ,1]$ 上单调递减，在 $[1,+\infty )$ 上单调递增。$g(x)=x^2-2x$（$x\in [2,4]$），因对称轴 $x=1<2$，函数在 $[2,4]$ 上单调递增。
（2）$f(x)$ 在 $x=1$ 处取最小值 $f(1)=-1$。$g(x)$ 在 $[2,4]$ 递增，最小值在 $x=2$ 处：$g(2)=4-4=0$。
（注：$f$ 和 $g$ 解析式相同但定义域不同，是不同的函数，最值不同。）
4. $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增。证明：任取 $x_1,x_2\in (-\infty ,0)$，$x_1<x_2<0$，则 $0<-x_2<-x_1$，即 $-x_2,-x_1\in (0,+\infty )$ 且 $-x_2<-x_1$。由 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 递减得 $f(-x_2)>f(-x_1)$。又 $f$ 是偶函数，$f(-x_2)=f(x_2)$，$f(-x_1)=f(x_1)$，所以 $f(x_2)>f(x_1)$，即 $f(x_1)<f(x_2)$。故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增。
5. $y=-\frac{x^2}{100}+162x-21000$，$a=-\frac{1}{100}<0$，开口向下。当 $x=-\frac{162}{2\times (-1/100)}=\frac{162}{0.02}=8100$ 时取最大值。$y_{\max }=-\frac{8100^2}{100}+162\times 8100-21000=-656100+1312200-21000=635100$。所以每辆车月租金为 $8100$ 元时月收益最大，最大月收益 $635100$ 元。
6. 当 $x\ge 0$ 时 $f(x)=x(1+x)=x+x^2$。因 $f(x)$ 是奇函数，$f(-x)=-f(x)$。当 $x<0$ 时，$-x>0$，$f(-x)=(-x)+(-x{)}^2=-x+x^2$，所以 $f(x)=-f(-x)=-(-x+x^2)=x-x^2$。完整解析式：$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+x^2,& x\ge 0,\\ x-x^2,& x<0.\end{array}$ 又 $f(0)=0$，且 $f(0)=0$ 满足奇函数在原点有定义则 $f(0)=0$。图象：$x\ge 0$ 部分是抛物线 $y=x^2+x$（从原点向右上升），$x<0$ 部分是抛物线 $y=x-x^2$（向左先升后降），整体关于原点对称。
7. （1）$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=a\cdot \frac{x_1+x_2}{2}+b=\frac{a{x}_1+a{x}_2}{2}+b=\frac{(a{x}_1+b)+(a{x}_2+b)}{2}=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
（2）记 $m=\frac{x_1+x_2}{2}$。$\frac{g(x_1)+g(x_2)}{2}-g(m)=\frac{(x_1^2+a{x}_1+b)+(x_2^2+a{x}_2+b)}{2}-(m^2+am+b)=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}-m^2=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}-\frac{(x_1+x_2{)}^2}{4}=\frac{2(x_1^2+x_2^2)-(x_1+x_2{)}^2}{4}=\frac{(x_1-x_2{)}^2}{4}\ge 0$。所以 $g(m)\le \frac{g(x_1)+g(x_2)}{2}$。

提升训练答案

1. 任取 $x_1,x_2\in (0,+\infty )$，$x_1<x_2$，

$$y_1-y_2=(x_1-x_2)+\left(\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}\right)=(x_1-x_2)\left(1-\frac{k}{x_1{x}_2}\right)=(x_1-x_2)\cdot \frac{x_1{x}_2-k}{x_1{x}_2}.$$

由 $x_1,x_2>0$ 得 $x_1{x}_2>0$，分母为正；$x_1-x_2<0$。差的符号取决于 $x_1{x}_2-k$：

• 当 $x_1,x_2\in [\sqrt{k},+\infty )$ 时，$x_1{x}_2\ge k$，$x_1{x}_2-k\ge 0$，差 $\le 0$（$x_1\ne x_2$ 时 $<0$），函数单调递增。
• 当 $x_1,x_2\in (0,\sqrt{k}]$ 时，$x_1{x}_2\le k$，$x_1{x}_2-k\le 0$，差 $\ge 0$，函数单调递减。

所以 $y=x+\frac{k}{x}$（$k>0$）在 $(0,\sqrt{k}]$ 上单调递减，在 $[\sqrt{k},+\infty )$ 上单调递增，在 $x=\sqrt{k}$ 处取最小值 $2\sqrt{k}$。
2. 必要性（递增 $\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}>0$）：若 $f$ 在 $I$ 递增，任取 $x_1\ne x_2$。若 $x_1<x_2$，则 $f(x_1)<f(x_2)$，$\Delta y=f(x_2)-f(x_1)>0$，$\Delta x=x_2-x_1>0$，故 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$。若 $x_1>x_2$，则 $f(x_1)>f(x_2)$，$\Delta y<0$，$\Delta x<0$，$\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$。
充分性（$\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$ $\Rightarrow$ 递增）：若对任意 $x_1\ne x_2$ 都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$。取 $x_1<x_2$，则 $\Delta x>0$，由 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$ 得 $\Delta y>0$，即 $f(x_2)>f(x_1)$，函数递增。证毕。
3. 设每间居室宽为 $x$ m，则两间居室共占宽 $2x$。靠墙的总长方向，设总长为 $L$，由围墙总长 $30$ m 得：宽方向有 $3$ 条（两间分隔 $1$ 条加两端 $2$ 条），长方向有 $2$ 条（每间居室一条长边靠墙，外侧两条长边围起）。设长为 $y$，则 $2x\cdot 3+2y=30$？重新分析：两间面积相同的矩形居室一面靠墙并排，垂直墙的方向为宽 $x$（两间共 $2x$），平行墙方向为长 $y$。围墙包括：垂直墙方向 $3$ 段宽（左、中隔、右），每段长 $x$，共 $3x$；平行墙方向 $2$ 段长（前面两条），每段长 $2y$？更清晰地：每间宽 $x$、长 $y$，并排两间，总宽 $2x$、长 $y$。围墙：与墙平行的外边 $2$ 条长 $y$，与墙垂直的边 $3$ 条长 $x$。总长 $2y+3x=30$，得 $y=\frac{30-3x}{2}$。每间面积 $S=xy=x\cdot \frac{30-3x}{2}=\frac{30x-3x^2}{2}=-\frac{3}{2}{x}^2+15x$。当 $x=-\frac{15}{2\times (-3/2)}=5$ 时取最大值，$S_{\max }=-\frac{3}{2}\times 25+75=-37.5+75=37.5$。此时 $y=\frac{30-15}{2}=7.5$。所以宽为 $5$ m 时每间居室面积最大，最大为 $37.5{\text{ m}}^2$。
4. 奇函数情况：$f(x)$ 在 $[-b,-a]$ 上单调递减。证明：任取 $x_1,x_2\in [-b,-a]$，$x_1<x_2$，则 $a\le -x_2<-x_1\le b$，即 $-x_2<-x_1$ 且都在 $[a,b]$ 内。由 $f$ 在 $[a,b]$ 递减得 $f(-x_2)>f(-x_1)$。奇函数 $f(-x)=-f(x)$，所以 $-f(x_2)>-f(x_1)$，即 $f(x_2)<f(x_1)$，$f(x_1)>f(x_2)$，单调递减。结论：奇函数在对称区间单调性相同。
偶函数情况：$f(x)$ 在 $[-b,-a]$ 上单调递增。证明：同理 $-x_2<-x_1$ 且都在 $[a,b]$ 内，$f(-x_2)>f(-x_1)$。偶函数 $f(-x)=f(x)$，所以 $f(x_2)>f(x_1)$，即 $f(x_1)<f(x_2)$，单调递增。结论：偶函数在对称区间单调性相反。
5. $f(x)=4x^2-kx-8$，开口向上（$4>0$），对称轴 $x=\frac{k}{8}$。函数在 $[5,20]$ 上具有单调性，要求对称轴不在区间内部，即 $\frac{k}{8}\le 5$ 或 $\frac{k}{8}\ge 20$。解得 $k\le 40$ 或 $k\ge 160$。所以 $k$ 的取值范围是 $(-\infty ,40]\cup [160,+\infty )$。