第1章 集合与常用逻辑用语：核心知识点大纲

学习主线

本章由两条主线组成：

• 集合语言：用集合明确研究对象和研究范围，包括集合的含义、表示、关系、运算和有限集合元素个数。
• 逻辑语言：用逻辑用语准确表达和判断数学命题，包括充分条件、必要条件、充要条件、全称量词、存在量词以及命题的否定。

学习时要形成一条基本路径：

研究对象 -> 集合表示 -> 集合关系 -> 集合运算 -> 逻辑判断与命题表达

1.1 集合的概念

1. 集合与元素

• 元素：研究对象统称为元素。
• 集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集。
• 通常用大写字母 $A,B,C,\dots$ 表示集合，用小写字母 $a,b,c,\dots$ 表示元素。

2. 集合中元素的三个特征

• 确定性：给定一个集合，一个对象是否属于这个集合必须是确定的。例如“$1$ 到 $10$ 之间的所有偶数”能组成集合，“较小的数”不能组成集合。
• 互异性：集合中的元素不能重复出现。
• 无序性：集合只关心元素本身，不关心列举顺序。例如

$$\{1,2,3\}=\{3,2,1\}.$$

3. 元素与集合的关系

• 若 $a$ 是集合 $A$ 的元素，记作

$$a\in A.$$

• 若 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，记作

$$a\notin A.$$

4. 常用数集

数集	含义	记号
自然数集 / 非负整数集	$0,1,2,3,\dots$	$\mathbb{N}$
正整数集	$1,2,3,\dots$	${\mathbb{N}}^{\ast }$ 或 ${\mathbb{N}}_{+}$
整数集	全体整数	$\mathbb{Z}$
有理数集	全体有理数	$\mathbb{Q}$
实数集	全体实数	$\mathbb{R}$

5. 集合相等

两个集合的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作

$$A=B.$$

判断集合相等时只看元素是否相同，不看元素顺序，也不看元素是否重复写出。

6. 集合的表示方法

自然语言

直接用文字描述集合，例如“地球上的四大洋组成的集合”。

列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来。例如：

$$\{\text{太平洋},\text{大西洋},\text{印度洋},\text{北冰洋}\}.$$

列举法适合元素个数有限且容易列出的集合。

描述法

用集合中元素的共同特征表示集合。一般形式为：

$$\{x\in A\mid P(x)\}.$$

也可以写成：

$$\{x\in A:P(x)\},\{x\in A;P(x)\}.$$

其中：

• $A$ 表示元素 $x$ 所在的范围。
• $P(x)$ 表示元素 $x$ 满足的共同特征。

例如：

$$\{x\in \mathbb{R}\mid x<10\}$$

表示所有小于 $10$ 的实数组成的集合。

奇数集可以表示为：

$$\{x\in \mathbb{Z}\mid x=2k+1,k\in \mathbb{Z}\}.$$

有理数集可以表示为：

$$\mathbb{Q}=\left\{x\in \mathbb{R}\mid x=\frac{p}{q},p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0\right\}.$$

如果上下文中元素范围已经明确，可以省略范围。例如：

$$\{x\in \mathbb{R}\mid x<10\}$$

可以简写为：

$$\{x\mid x<10\}.$$

7. 表示集合时的易错点

• 花括号 $\{\}$ 表示集合，不能随意省略。
• $\in$ 表示“元素属于集合”，不能用于集合与集合之间的包含关系。
• 列举法中重复元素只算一次。
• 描述法必须写清楚元素范围和满足条件。
• 描述法中的竖线 $\mid$ 读作“使得”或“满足”。

1.2 集合间的基本关系

1. 子集

对于两个集合 $A,B$，如果集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 的元素，就称 $A$ 是 $B$ 的子集，记作：

$$A\subseteq B.$$

也可以说 $B$ 包含 $A$，记作：

$$B\supseteq A.$$

符号含义：

$$A\subseteq B⟺\text{任意 }x\in A,\text{ 都有 }x\in B.$$

2. 集合相等与子集的关系

若

$$A\subseteq B,B\subseteq A,$$

则

$$A=B.$$

也就是说，证明两个集合相等，常用“两边互相包含”的方法。

3. 真子集

如果

$$A\subseteq B,$$

并且存在元素 $x\in B$，但 $x\notin A$，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作：

$$A⫋B.$$

也可以说 $B$ 真包含 $A$。

4. 空集

不含任何元素的集合叫做空集，记作：

$$\varnothing .$$

规定：

$$\varnothing \subseteq A.$$

即空集是任何集合的子集。

5. 子集关系的基本性质

• 任何集合都是它本身的子集：

$$A\subseteq A.$$

• 子集关系具有传递性：

$$A\subseteq B,B\subseteq C⟹A\subseteq C.$$

6. 元素属于集合与集合包含集合的区别

关系	符号	两边对象	示例
属于	$\in$	左边是元素，右边是集合	$a\in A$
包含于	$\subseteq$	两边都是集合	$\{a\}\subseteq A$

注意：

$$a\in A$$

与

$$\{a\}\subseteq A$$

含义不同，但当 $a\in A$ 时，通常有 $\{a\}\subseteq A$。

7. 子集个数

含有 $n$ 个元素的集合：

• 子集个数为 $2^n$。
• 真子集个数为 $2^n-1$。
• 非空真子集个数为 $2^n-2$。

例如集合 $\{a,b\}$ 的所有子集是：

$$\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}.$$

其中真子集是：

$$\varnothing ,\{a\},\{b\}.$$

1.3 集合的基本运算

1. 并集

由所有属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的元素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的并集，记作：

$$A\cup B.$$

定义：

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ 或 }x\in B\}.$$

关键词：“或”表示至少属于其中一个集合，可以同时属于两个集合。

常用性质：

$$A\cup A=A,$$ $$A\cup \varnothing =A,$$ $$A\cup B=B\cup A.$$

2. 交集

由所有既属于集合 $A$ 又属于集合 $B$ 的元素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的交集，记作：

$$A\cap B.$$

定义：

$$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\}.$$

关键词：“且”表示同时属于两个集合。

常用性质：

$$A\cap A=A,$$ $$A\cap \varnothing =\varnothing ,$$ $$A\cap B=B\cap A.$$

3. 并集与交集的关系

对任意集合 $A,B$，有：

$$A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B,$$ $$A\cap B\subseteq B\subseteq A\cup B.$$

若 $A\subseteq B$，则：

$$A\cup B=B,A\cap B=A.$$

反过来也常用于判断包含关系：

$$A\cup B=B⟺A\subseteq B,$$ $$A\cap B=A⟺A\subseteq B.$$

4. 全集

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称它为全集，通常记作：

$$U.$$

全集会影响补集，也会影响某些方程或不等式的解集。

例如方程

$$(x-2)(x^2-3)=0$$

在有理数范围内的解集是：

$$\{2\},$$

在实数范围内的解集是：

$$\{2,\sqrt{3},-\sqrt{3}\}.$$

5. 补集

设全集为 $U$，对于集合 $A\subseteq U$，由 $U$ 中不属于 $A$ 的所有元素组成的集合，称为 $A$ 相对于全集 $U$ 的补集，记作：

$${\complement }_{U}A.$$

定义：

$${\complement }_{U}A=\{x\mid x\in U\text{ 且 }x\notin A\}.$$

常用性质：

$$A\cup {\complement }_{U}A=U,$$ $$A\cap {\complement }_{U}A=\varnothing ,$$ $${\complement }_{U}U=\varnothing ,$$ $${\complement }_U\varnothing =U.$$

6. 有限集合中元素的个数

含有限个元素的集合叫做有限集。有限集合 $A$ 中元素的个数记作：

$$\mathrm{card}(A).$$

例如：

$$A=\{a,b,c\}⟹\mathrm{card}(A)=3.$$

两个有限集合的元素个数公式：

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$

理解：直接相加会把公共元素重复计算一次，所以要减去交集中的元素个数。

三个有限集合的元素个数公式可作为拓展掌握：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{card}(A\cup B\cup C)& =\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)+\mathrm{card}(C)\\ & -\mathrm{card}(A\cap B)-\mathrm{card}(A\cap C)-\mathrm{card}(B\cap C)\\ & +\mathrm{card}(A\cap B\cap C).\end{array}$$

7. 集合运算的学习重点

• 做区间集合运算时，优先画数轴。
• 做实际问题时，先定义集合，再翻译题意。
• “至少一个”常对应并集。
• “同时满足”常对应交集。
• “不属于”常对应补集。
• 有限集合计数时，要特别注意公共部分是否被重复计算。

1.4 充分条件与必要条件

1. 命题

可以判断真假的陈述句叫做命题。

• 判断为真的命题叫真命题。
• 判断为假的命题叫假命题。

很多数学命题可以写成：

若 p，则 q

其中：

• $p$ 是条件。
• $q$ 是结论。

2. 推出关系

如果“若 $p$，则 $q$”是真命题，表示由 $p$ 可以推出 $q$，记作：

$$p\Rightarrow q.$$

如果“若 $p$，则 $q$”是假命题，表示由 $p$ 不能推出 $q$，记作：

$$p\nRightarrow q.$$

判断一个推出关系为假，常用方法是举反例：找到一个满足 $p$ 但不满足 $q$ 的对象。

3. 充分条件

若

$$p\Rightarrow q,$$

则称 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

理解：

p 成立足以保证 q 成立。

例如，若“四边形的两组对边分别相等”，则“四边形是平行四边形”。所以“两组对边分别相等”是“四边形是平行四边形”的充分条件。

数学中的判定定理通常给出某个结论成立的充分条件。

4. 必要条件

若

$$p\Rightarrow q,$$

则称 $q$ 是 $p$ 的必要条件。

理解：

如果 q 不成立，那么 p 一定不成立。

例如，若“四边形是平行四边形”，则“四边形的两组对角分别相等”。所以“两组对角分别相等”是“四边形是平行四边形”的必要条件。

数学中的性质定理通常给出某个对象必须满足的必要条件。

5. 充要条件

如果

$$p\Rightarrow q,q\Rightarrow p,$$

即

$$p\iff q,$$

则称 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称充要条件。

此时也说：

p 与 q 互为充要条件。

6. 四类条件关系的判定

推出关系	$p$ 是 $q$ 的什么条件
$p\Rightarrow q$，且 $q\nRightarrow p$	充分不必要条件
$p\nRightarrow q$，且 $q\Rightarrow p$	必要不充分条件
$p\Rightarrow q$，且 $q\Rightarrow p$	充要条件
$p\nRightarrow q$，且 $q\nRightarrow p$	既不充分也不必要条件

7. 原命题与逆命题

原命题：

$$\text{若 }p,\text{ 则 }q.$$

逆命题：

$$\text{若 }q,\text{ 则 }p.$$

判断充要条件时，必须同时判断原命题和逆命题的真假。

8. 用集合理解充分、必要、充要

设

$$A=\{x\mid x\text{ 满足条件 }p\},B=\{x\mid x\text{ 满足条件 }q\}.$$

则：

$$p\Rightarrow q⟺A\subseteq B.$$

因此：

• 若 $A\subseteq B$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。
• 若 $A=B$，则 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

9. 几何命题中的逻辑关系

几何知识可以按逻辑关系整理：

• 定义：通常给出充要条件。
• 判定定理：通常给出充分条件。
• 性质定理：通常给出必要条件。

以“两个三角形相似”为例：

• 三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等，都是三角形相似的充分条件。
• 两个三角形相似时，对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，这些都是相似三角形的必要条件。
• 某些判定条件和性质条件互相推出时，可以形成等价定义，也就是充要条件。

10. 充分必要条件的证明方法

证明“$p$ 是 $q$ 的充要条件”，通常分两步：

1. 证明充分性：

$$p\Rightarrow q.$$

2. 证明必要性：

$$q\Rightarrow p.$$

例如证明“$d=r$ 是直线 $l$ 与圆 $O$ 相切的充要条件”，要分别证明：

• 若 $d=r$，则直线 $l$ 与圆 $O$ 相切。
• 若直线 $l$ 与圆 $O$ 相切，则 $d=r$。

1.5 全称量词与存在量词

1. 含变量的语句与命题

含有变量的语句，如果没有限定变量范围，通常不能判断真假，因此不一定是命题。

例如：

$$x>3$$

在未说明 $x$ 的取值范围和量词时，不能判断真假。

加入量词后可以成为命题，例如：

$$\forall x\in \mathbb{R},x>3.$$

这个命题是假命题。

2. 全称量词

“所有的”“任意一个”“每一个”“一切”等表示全称量词，符号为：

$$\forall .$$

全称量词命题的一般形式：

$$\forall x\in M,p(x).$$

读作：

对集合 M 中任意一个 x，p(x) 成立。

3. 判断全称量词命题真假

要证明

$$\forall x\in M,p(x)$$

是真命题，需要证明集合 $M$ 中每一个元素都满足 $p(x)$。

要证明它是假命题，只需找到一个反例：

$$\exists x_0\in M,p(x_0)\text{ 不成立}.$$

例如“所有素数都是奇数”是假命题，因为 $2$ 是素数，但 $2$ 不是奇数。

4. 存在量词

“存在一个”“至少有一个”“有些”“有的”等表示存在量词，符号为：

$$\exists .$$

存在量词命题的一般形式：

$$\exists x\in M,p(x).$$

读作：

存在集合 M 中的元素 x，使 p(x) 成立。

5. 判断存在量词命题真假

要证明

$$\exists x\in M,p(x)$$

是真命题，只需找到一个例子，使 $p(x)$ 成立。

要证明它是假命题，需要说明集合 $M$ 中没有任何元素满足 $p(x)$，也就是证明：

$$\forall x\in M,p(x)\text{ 不成立}.$$

例如“存在一个实数 $x$，使 $x^2+2x+3=0$”是假命题，因为：

$$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=-8<0,$$

所以方程无实根。

6. 命题的否定

对一个命题进行否定，可以得到一个新命题，叫做原命题的否定。

一个命题和它的否定：

• 不能同时为真。
• 不能同时为假。
• 必定一真一假。

7. 全称量词命题的否定

全称量词命题：

$$\forall x\in M,p(x).$$

它的否定是存在量词命题：

$$\exists x\in M,\neg p(x).$$

语言转换：

所有都满足 -> 存在一个不满足
任意一个都满足 -> 至少有一个不满足
每一个都满足 -> 有一个不满足

例如：

$$\forall x\in \mathbb{R},x+|x|\ge 0$$

的否定是：

$$\exists x\in \mathbb{R},x+|x|<0.$$

8. 存在量词命题的否定

存在量词命题：

$$\exists x\in M,p(x).$$

它的否定是全称量词命题：

$$\forall x\in M,\neg p(x).$$

语言转换：

存在一个满足 -> 任意一个都不满足
至少有一个满足 -> 所有都不满足
有些满足 -> 没有一个满足

例如：

$$\exists x\in \mathbb{R},x^2-2x+3=0$$

的否定是：

$$\forall x\in \mathbb{R},x^2-2x+3\ne 0.$$

9. 否定不等式的常见对应

原条件	否定
$a=b$	$a\ne b$
$a\ne b$	$a=b$
$a>b$	$a\le b$
$a\ge b$	$a<b$
$a<b$	$a\ge b$
$a\le b$	$a>b$
$p\text{ 且 }q$	$\neg p\text{ 或 }\neg q$
$p\text{ 或 }q$	$\neg p\text{ 且 }\neg q$

10. 省略量词的“若 p，则 q”命题的否定

很多“若 $p$，则 $q$”的数学命题其实省略了全称量词。例如：

若 x>1，则 2x+1>5。

完整形式是：

$$\forall x\in \mathbb{R},x>1\Rightarrow 2x+1>5.$$

它的否定不是“若 $x>1$，则 $2x+1\le 5$”，而是：

$$\exists x\in \mathbb{R},x>1\text{ 且 }2x+1\le 5.$$

一般规律：

$$\neg (\forall x\in M,p(x)\Rightarrow q(x))$$

等价于：

$$\exists x\in M,p(x)\text{ 成立且 }q(x)\text{ 不成立}.$$

全章核心符号表

符号	含义
$a\in A$	$a$ 属于集合 $A$
$a\notin A$	$a$ 不属于集合 $A$
$\varnothing$	空集
$A\subseteq B$	$A$ 是 $B$ 的子集
$A⫋B$	$A$ 是 $B$ 的真子集
$A=B$	$A$ 与 $B$ 相等
$A\cup B$	$A$ 与 $B$ 的并集
$A\cap B$	$A$ 与 $B$ 的交集
${\complement }_{U}A$	$A$ 在全集 $U$ 中的补集
$\mathrm{card}(A)$	有限集合 $A$ 的元素个数
$p\Rightarrow q$	$p$ 可以推出 $q$
$p\nRightarrow q$	$p$ 不能推出 $q$
$p\iff q$	$p$ 与 $q$ 互相推出
$\forall$	全称量词，表示“任意”“所有”
$\exists$	存在量词，表示“存在”“至少有一个”
$\neg p$	命题 $p$ 的否定

全章易错点汇总

• 把元素关系 $a\in A$ 和集合关系 $\{a\}\subseteq A$ 混用。
• 忘记空集 $\varnothing$ 是任何集合的子集。
• 误以为 $\varnothing$ 与 $\{\varnothing \}$ 相同；前者没有元素，后者有一个元素。
• 用列举法时重复写出的元素不能重复计算。
• 做描述法时漏写元素范围，例如漏写 $x\in \mathbb{R}$ 或 $x\in \mathbb{Z}$。
• 求补集时忘记先确定全集 $U$。
• 把并集中的“或”误解为“只能二选一”；数学中的“或”通常允许同时满足。
• 把交集中的“且”漏掉，导致公共部分判断错误。
• 判断充分必要条件时只判断一个方向，忘记判断逆命题。
• 把判定定理和性质定理混淆：判定定理多用于证明“是”，性质定理多用于推出“必有”。
• 否定全称量词命题时，只否定结论却忘记把 $\forall$ 改为 $\exists$。
• 否定存在量词命题时，只否定结论却忘记把 $\exists$ 改为 $\forall$。
• 否定“若 $p$，则 $q$”时，应写成“存在 $p$ 成立但 $q$ 不成立”的情况。

复习自测清单

• 能说明集合中元素的确定性、互异性、无序性。
• 能正确使用 $\in ,\notin ,\subseteq ,⫋,\varnothing$。
• 能用自然语言、列举法、描述法表示同一个集合。
• 能判断两个集合之间是相等、包含、真包含还是无包含关系。
• 能写出有限集合的所有子集，并计算子集个数。
• 能熟练求并集、交集、补集。
• 能用 Venn 图或数轴辅助解决集合运算问题。
• 能用 $\mathrm{card}(A\cup B)$ 公式解决两个集合的计数问题。
• 能判断 $p$ 是 $q$ 的充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件。
• 能用集合包含关系解释充分条件和必要条件。
• 能识别全称量词命题和存在量词命题。
• 能判断含量词命题的真假。
• 能正确写出全称量词命题和存在量词命题的否定。
• 能正确否定省略全称量词的“若 $p$，则 $q$”命题。