1.4 充分条件与必要条件：核心知识点讲解

本节学习目标

学完本节，需要掌握：

• 什么是命题、真命题、假命题。
• 如何理解“若 $p$，则 $q$”中的条件和结论。
• 如何判断 $p$ 是 $q$ 的充分条件、必要条件、充要条件。
• 如何判断“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”四类关系。
• 如何用集合包含关系理解充分条件与必要条件。
• 如何证明一个条件是另一个条件的充要条件。

这一节的核心是一个判断：

p 能不能推出 q？q 能不能推出 p？

只要把两个方向判断清楚，充分、必要、充要就不会乱。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

本节研究的知识对象是“条件与结论之间的推出关系”。在数学中，很多判断都可以写成：

若 p，则 q。

其中 $p$ 是条件，$q$ 是结论。本节要解决的问题不是单纯记住“充分”“必要”两个词，而是学会判断：

p 能不能推出 q？q 能不能推出 p？

常见问题情境包括：

• 判断一个“若 $p$，则 $q$”命题是真命题还是假命题。
• 判断 $p$ 是 $q$ 的充分条件、必要条件还是充要条件。
• 用反例说明某个推出方向不成立。
• 用集合包含关系解释条件关系。
• 在代数、几何、集合等题目中证明充要条件。

二、核心概念与定义条件

1. 命题

可以判断真假的陈述句叫做命题。

• 判断为真的命题叫真命题。
• 判断为假的命题叫假命题。

例如：

若平面内两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。

这是一个真命题。

再如：

若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等。

这是一个假命题。

很多数学命题可以写成：

若 p，则 q。

其中：

• $p$ 叫做命题的条件。
• $q$ 叫做命题的结论。

2. 推出关系

如果“若 $p$，则 $q$”是真命题，表示由 $p$ 可以推出 $q$，记作：

$$p\Rightarrow q.$$

如果“若 $p$，则 $q$”是假命题，表示由 $p$ 不能推出 $q$，记作：

$$p\nRightarrow q.$$

判断 $p\nRightarrow q$ 的常用方法是举反例：

找一个满足 p 但不满足 q 的例子。

例如：

$$x^2=1\nRightarrow x=1.$$

因为 $x=-1$ 时满足 $x^2=1$，但不满足 $x=1$。

3. 充分条件

如果：

$$p\Rightarrow q,$$

就说 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

通俗理解：

只要 p 成立，就足够保证 q 成立。

例如：

若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形。

因此：

四边形的两组对边分别相等

是：

四边形是平行四边形

的充分条件。

数学中的判定定理通常给出充分条件。

4. 必要条件

如果：

$$p\Rightarrow q,$$

就说 $q$ 是 $p$ 的必要条件。

通俗理解：

p 要成立，q 是必须满足的条件。

也可以理解为：

如果 q 不成立，那么 p 一定不成立。

例如：

若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。

因此：

四边形的两组对角分别相等

是：

四边形是平行四边形

的必要条件。

数学中的性质定理通常给出必要条件。

5. 充要条件

如果：

$$p\Rightarrow q,$$

并且：

$$q\Rightarrow p,$$

则记作：

$$p\iff q.$$

此时称 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称充要条件。

也可以说：

p 与 q 互为充要条件。

通俗理解：

p 成立正好等价于 q 成立。

例如：

$$x=1$$

是一元二次方程

$$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$$

的一个根的充要条件是：

$$a+b+c=0.$$

因为把 $x=1$ 代入方程，得到：

$$a+b+c=0.$$

反过来，如果 $a+b+c=0$，那么 $x=1$ 代入方程后成立，所以 $x=1$ 是它的一个根。

6. 原命题与逆命题

原命题：

$$\text{若 }p,\text{ 则 }q.$$

逆命题：

$$\text{若 }q,\text{ 则 }p.$$

判断充要条件时，必须同时判断：

$$p\Rightarrow q$$

和：

$$q\Rightarrow p.$$

如果两个方向都成立，才是充要条件。

三、符号语言与等价表示

充分条件、必要条件和充要条件的语言可以统一放在“推出关系”里理解：

推出关系	条件语言	等价说法
$p\Rightarrow q$	$p$ 是 $q$ 的充分条件	$p$ 足以保证 $q$
$p\Rightarrow q$	$q$ 是 $p$ 的必要条件	$p$ 成立必须有 $q$
$p\iff q$	$p$ 是 $q$ 的充要条件	$p$ 与 $q$ 等价
$p\nRightarrow q$	$p$ 不是 $q$ 的充分条件	存在满足 $p$ 但不满足 $q$ 的反例

判断“$p$ 是 $q$ 的必要条件”时，常常需要换一个角度：

$$p\text{ 是 }q\text{ 的必要条件}⟺q\Rightarrow p.$$

而判断“$q$ 是 $p$ 的必要条件”时，则要看：

$$p\Rightarrow q.$$

因此，题目中问的是“谁是谁的条件”，必须先标清楚 $p$ 和 $q$，再判断方向。

四、关键性质、定理与公式

1. 四类条件关系

判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件，只看两个方向：

推出关系	$p$ 是 $q$ 的条件
$p\Rightarrow q$，且 $q\nRightarrow p$	充分不必要条件
$p\nRightarrow q$，且 $q\Rightarrow p$	必要不充分条件
$p\Rightarrow q$，且 $q\Rightarrow p$	充要条件
$p\nRightarrow q$，且 $q\nRightarrow p$	既不充分也不必要条件

记忆口诀：

向右成立，看充分；
向左成立，看必要；
双向成立，是充要；
双向不成，都不要。

2. 用集合关系理解充分与必要

设：

$$A=\{x\mid x\text{ 满足条件 }p\},$$ $$B=\{x\mid x\text{ 满足条件 }q\}.$$

则：

$$p\Rightarrow q⟺A\subseteq B.$$

也就是说：

满足 p 的对象都满足 q。

所以：

• 若 $A\subseteq B$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。
• 若 $A⫋B$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。
• 若 $A=B$，则 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

例如：

p：四边形是正方形
q：四边形是矩形

所有正方形都是矩形，所以：

$$p\Rightarrow q.$$

但不是所有矩形都是正方形，所以：

$$q\nRightarrow p.$$

因此 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

3. 几何命题中的充分、必要、充要

几何知识可以这样理解：

• 定义：通常给出充要条件。
• 判定定理：通常给出充分条件。
• 性质定理：通常给出必要条件。

例如对于“平行四边形”：

• “两组对边分别平行”是平行四边形的定义，因此是充要条件。
• “两组对边分别相等”能判定一个四边形是平行四边形，因此是充分条件。
• “平行四边形的两组对边分别相等”是性质，因此“两组对边分别相等”是平行四边形的必要条件。

当一个条件既是判定条件，又是性质条件时，它就是充要条件。

五、典型模型与解题方法

1. 两方向判断模型

判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件，固定做两件事：

第一步：判断 p -> q。
第二步：判断 q -> p。
第三步：按四类条件关系表下结论。

如果某个方向不成立，必须给出反例。反例的格式是：

满足前件，但不满足后件。

2. 集合包含模型

若 $A=\{x\mid x\text{ 满足 }p\}$，$B=\{x\mid x\text{ 满足 }q\}$，则：

• $A\subseteq B$ 对应 $p\Rightarrow q$，所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件。
• $B\subseteq A$ 对应 $q\Rightarrow p$，所以 $p$ 是 $q$ 的必要条件。
• $A=B$ 对应 $p\iff q$，所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

3. 证明充要条件的方法

证明“$p$ 是 $q$ 的充要条件”，必须证明两个方向。

第一步，证明充分性：

$$p\Rightarrow q.$$

第二步，证明必要性：

$$q\Rightarrow p.$$

写作时可以采用固定模板：

充分性：若 p 成立，证明 q 成立。
必要性：若 q 成立，证明 p 成立。
综上，p 是 q 的充要条件。

4. 几何命题整理模型

几何中可以用“定义、判定、性质”整理条件关系：

几何知识类型	逻辑作用	常见表达
定义或等价定义	充要条件	是这个图形 $⟺$ 满足定义条件
判定定理	充分条件	满足某条件 $\Rightarrow$ 是这个图形
性质定理	必要条件	是这个图形 $\Rightarrow$ 具有某性质

例如相似三角形中，“三边成比例”“两边成比例且夹角相等”“两角分别相等”都可以作为相似三角形的判定条件；相似三角形的对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，则是相似三角形必须满足的性质。

六、题型应用与迁移

本节知识会在后续函数、不等式、三角函数、解析几何中反复出现。常见迁移方式有：

• 用判别式判断一元二次方程有无实根：$\Delta \ge 0$ 是“有实根”的充要条件。
• 用集合包含判断命题条件关系：条件越强，对应集合通常越小。
• 用代数恒等变形证明充要条件，例如平方和为 $0$ 推出各项为 $0$。
• 用几何判定定理和性质定理分别证明充分性和必要性。

重点梳理

重点 1：充分和必要总是成对出现

如果：

$$p\Rightarrow q,$$

那么同时可以说：

• $p$ 是 $q$ 的充分条件。
• $q$ 是 $p$ 的必要条件。

也就是说，一条推出关系可以产生两种说法。

重点 2：判断条件关系时不要凭感觉

要严格判断两个方向：

$$p\Rightarrow q?$$ $$q\Rightarrow p?$$

只要其中一个方向不成立，就要找反例。

重点 3：反例是判断假命题的重要工具

例如：

$$x^2=1\nRightarrow x=1.$$

反例：

$$x=-1.$$

因为：

$$(-1{)}^2=1,$$

但：

$$-1\ne 1.$$

重点 4：判定定理与性质定理的逻辑意义

如果命题形式是：

满足某条件 -> 是某对象

它通常是判定定理，给出充分条件。

如果命题形式是：

是某对象 -> 具有某性质

它通常是性质定理，给出必要条件。

难点突破

难点 1：“p 是 q 的必要条件”到底看哪个方向

很多同学看到“必要条件”会去判断：

$$q\Rightarrow p.$$

这很容易混。

正确规则是：

判断 q 是否为 p 的必要条件，只需要看 p 能不能推出 q。

也就是：

$$p\Rightarrow q.$$

例如：

p：四边形是平行四边形
q：四边形的两组对角分别相等

因为：

$$p\Rightarrow q,$$

所以 $q$ 是 $p$ 的必要条件。

难点 2：充分条件不一定唯一

“四边形是平行四边形”有很多充分条件，例如：

• 四边形的两组对边分别平行。
• 四边形的两组对边分别相等。
• 四边形的一组对边平行且相等。
• 四边形的两条对角线互相平分。

这些条件都足够保证“四边形是平行四边形”。

难点 3：必要条件也不一定唯一

“四边形是平行四边形”也有很多必要条件，例如：

• 两组对边分别平行。
• 两组对边分别相等。
• 两组对角分别相等。
• 两条对角线互相平分。

如果某个四边形是平行四边形，它必须满足这些性质。

难点 4：必要条件不一定能推出原结论

例如：

p：四边形是正方形
q：四边形的对角线互相垂直

正方形的对角线一定互相垂直，所以：

$$p\Rightarrow q.$$

因此 $q$ 是 $p$ 的必要条件。

但“对角线互相垂直”不能推出“四边形是正方形”，例如菱形也可能对角线互相垂直但不是正方形。

所以 $q$ 是 $p$ 的必要不充分条件。

难点 5：几何中的定义可以换写

如果两个条件互为充要条件，它们可以从不同角度刻画同一个对象。

例如平行四边形可以等价地定义为：

• 两组对边分别平行的四边形。
• 两组对边分别相等的四边形。
• 对角线互相平分的四边形。

这些定义形式本质上是等价的。

例题讲解

例题 1：判断充分条件

判断下列命题中，$p$ 是否为 $q$ 的充分条件。

1. $p$：四边形的两组对角分别相等；$q$：这个四边形是平行四边形。
2. $p$：$x^2=1$；$q$：$x=1$。
3. $p$：$a=b$；$q$：$ac=bc$。
4. $p$：$x,y$ 为无理数；$q$：$xy$ 为无理数。

解析：

第 1 题：四边形两组对角分别相等可以推出四边形是平行四边形，所以：

$$p\Rightarrow q.$$

$p$ 是 $q$ 的充分条件。

第 2 题：当 $x=-1$ 时，$x^2=1$ 成立，但 $x=1$ 不成立，所以：

$$p\nRightarrow q.$$

$p$ 不是 $q$ 的充分条件。

第 3 题：若 $a=b$，等式两边同时乘以 $c$，得：

$$ac=bc.$$

所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

第 4 题：取：

$$x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}.$$

则 $x,y$ 都是无理数，但：

$$xy=2$$

是有理数。所以 $p$ 不是 $q$ 的充分条件。

答案：第 1、3 题中 $p$ 是 $q$ 的充分条件；第 2、4 题中不是。

例题 2：判断必要条件

判断下列命题中，$q$ 是否为 $p$ 的必要条件。

1. $p$：四边形是平行四边形；$q$：四边形的两组对角分别相等。
2. $p$：$x=1$；$q$：$x^2=1$。
3. $p$：$ac=bc$；$q$：$a=b$。
4. $p$：$xy$ 为无理数；$q$：$x,y$ 都为无理数。

解析：

判断 $q$ 是否为 $p$ 的必要条件，只需判断：

$$p\Rightarrow q.$$

第 1 题：平行四边形的两组对角分别相等，所以 $q$ 是 $p$ 的必要条件。

第 2 题：若 $x=1$，则 $x^2=1$，所以 $q$ 是 $p$ 的必要条件。

第 3 题：当 $a=-1,b=1,c=0$ 时：

$$ac=bc,$$

但：

$$a\ne b.$$

所以 $q$ 不是 $p$ 的必要条件。

第 4 题：取 $x=1,y=\sqrt{2}$，则：

$$xy=\sqrt{2}$$

为无理数，但 $x,y$ 不都是无理数。所以 $q$ 不是 $p$ 的必要条件。

答案：第 1、2 题中 $q$ 是 $p$ 的必要条件；第 3、4 题中不是。

例题 3：判断充要条件

判断下列各题中，$p$ 是否为 $q$ 的充要条件。

1. $p$：两个三角形相似；$q$：两个三角形三边成比例。
2. $p$：$xy>0$；$q$：$x>0,y>0$。
3. $p$：$x=1$ 是一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的一个根；$q$：$a+b+c=0$，其中 $a\ne 0$。

解析：

第 1 题：

两个三角形相似可以推出三边成比例；三边成比例也可以推出两个三角形相似。

所以：

$$p\iff q.$$

$p$ 是 $q$ 的充要条件。

第 2 题：

如果 $x>0,y>0$，则：

$$xy>0.$$

所以：

$$q\Rightarrow p.$$

但如果 $xy>0$，不一定有 $x>0,y>0$。例如：

$$x=-1,y=-1,$$

则：

$$xy=1>0,$$

但 $x,y$ 都不是正数。

所以：

$$p\nRightarrow q.$$

$p$ 不是 $q$ 的充要条件。

第 3 题：

若 $x=1$ 是方程的一个根，则代入方程：

$$a+b+c=0.$$

所以：

$$p\Rightarrow q.$$

反过来，若：

$$a+b+c=0,$$

则 $x=1$ 代入方程时左边为 $0$，所以 $x=1$ 是方程的一个根。

因此：

$$q\Rightarrow p.$$

所以：

$$p\iff q.$$

$p$ 是 $q$ 的充要条件。

例题 4：判断四类条件关系

判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。

$$p:\text{三角形是等边三角形},$$ $$q:\text{三角形是等腰三角形}.$$

解析：

等边三角形一定是等腰三角形，所以：

$$p\Rightarrow q.$$

但等腰三角形不一定是等边三角形，所以：

$$q\nRightarrow p.$$

答案：

$$p$$

是

$$q$$

的充分不必要条件。

例题 5：证明充要条件

设 $a,b,c\in \mathbb{R}$。证明：

$$a=b=c$$

是：

$$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$$

的充要条件。

证明：

充分性：若

$$a=b=c,$$

则：

$$a^2+b^2+c^2=3a^2,$$

且：

$$ab+bc+ca=a^2+a^2+a^2=3a^2.$$

所以：

$$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca.$$

必要性：若

$$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca,$$

则：

$$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0.$$

整理得：

$$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=0.$$

因为平方数都大于或等于 $0$，三个平方数之和为 $0$，所以：

$$a-b=0,b-c=0,c-a=0.$$

因此：

$$a=b=c.$$

综上：

$$a=b=c$$

是：

$$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$$

的充要条件。

例题 6：几何中的充要条件证明

已知 $\odot O$ 的半径为 $r$，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$。求证：

$$d=r$$

是：

直线 l 与 ⊙O 相切

的充要条件。

证明：

设：

$$p:d=r,q:\text{直线 }l\text{ 与 }\odot O\text{ 相切}.$$

要证明 $p$ 是 $q$ 的充要条件，需要分别证明：

$$p\Rightarrow q,q\Rightarrow p.$$

充分性：若 $d=r$，设 $P$ 是圆心 $O$ 到直线 $l$ 的垂足，则：

$$OP=d=r.$$

所以点 $P$ 在圆上。若 $Q$ 是直线 $l$ 上异于 $P$ 的任意一点，则在直角三角形 $OPQ$ 中：

$$OQ>OP=r.$$

这说明除点 $P$ 外，直线 $l$ 上其他点都在圆外。因此直线 $l$ 与圆只有一个公共点 $P$，即直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切。

必要性：若直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切，设切点为 $P$。根据圆的切线性质，半径 $OP$ 垂直于切线 $l$，所以 $OP$ 就是圆心到直线的距离：

$$d=OP=r.$$

综上：

$$d=r$$

是直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切的充要条件。

易错点整理

易错点 1：把充分和必要方向记反

如果：

$$p\Rightarrow q,$$

则：

• $p$ 是 $q$ 的充分条件。
• $q$ 是 $p$ 的必要条件。

不要把它说成“$p$ 是 $q$ 的必要条件”。

易错点 2：只判断一个方向就说是充要条件

充要条件必须双向成立：

$$p\Rightarrow q,q\Rightarrow p.$$

只证明一个方向，只能得到充分或必要，不能得到充要。

易错点 3：不会举反例

判断一个推出关系不成立，要找：

满足条件 p，但不满足结论 q 的例子。

例如要否定：

$$x^2=1\Rightarrow x=1,$$

反例应该是：

$$x=-1.$$

易错点 4：把“必要条件”误解成“一定能推出”

必要条件只是“必须满足”，不一定“足够推出”。

例如：

四边形是正方形 -> 四边形的对角线相等

所以“对角线相等”是“正方形”的必要条件。

但“对角线相等”不能推出“四边形是正方形”。

易错点 5：忽略隐含条件

例如一元二次方程：

$$a{x}^2+bx+c=0$$

必须有：

$$a\ne 0.$$

讨论根与系数关系时，不能漏掉这个前提。

考点考证点整理

考点 1：判断充分条件

• 出题思路：给出若干“若 $p$，则 $q$”形式的命题，要求判断 $p$ 是否为 $q$ 的充分条件。
• 关键条件：只需要判断 $p\Rightarrow q$ 是否成立；若不成立，要能找出满足 $p$ 但不满足 $q$ 的反例。
• 解答要点：先写“若 $p$ 成立，是否必有 $q$ 成立”；成立则 $p$ 是 $q$ 的充分条件；不成立则写出反例并说明 $p\nRightarrow q$。
• 易扣分点：只举一个满足 $p,q$ 的例子就认为能推出；把“充分”理解成“唯一条件”；反例没有同时满足 $p$ 和不满足 $q$。

考点 2：判断必要条件

• 出题思路：题目常问“$q$ 是否为 $p$ 的必要条件”或“$p$ 是否为 $q$ 的必要条件”，容易通过调换表述考查方向。
• 关键条件：$q$ 是 $p$ 的必要条件看 $p\Rightarrow q$；$p$ 是 $q$ 的必要条件看 $q\Rightarrow p$。
• 解答要点：先把题目中的“谁是条件、谁是结论”改写成推出式；再判断推出是否成立；必要时用反例否定。
• 易扣分点：看到“必要”就机械判断 $p\Rightarrow q$，没有分清题目问的是“$p$ 是 $q$ 的必要条件”还是“$q$ 是 $p$ 的必要条件”。

考点 3：判断四类条件

• 出题思路：给出两个条件 $p,q$，要求从“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选择。
• 关键条件：必须分别判断 $p\Rightarrow q$ 和 $q\Rightarrow p$ 两个方向；两个方向中任一方向不成立，都要有反例或定理依据。
• 解答要点：按“右推、左推、查表”三步写。若 $p\Rightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；若 $p\nRightarrow q$ 且 $q\Rightarrow p$，则为必要不充分；双向成立为充要；双向都不成立为既不充分也不必要。
• 易扣分点：只判断一个方向；把 $p$ 和 $q$ 的位置写反；没有说明不成立方向的反例。

考点 4：用集合包含关系判断条件

• 出题思路：给出 $A=\{x\mid p(x)\}$、$B=\{x\mid q(x)\}$ 以及 $A,B$ 的包含关系，要求判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。
• 关键条件：$A\subseteq B$ 表示所有满足 $p$ 的对象都满足 $q$，即 $p\Rightarrow q$；$B\subseteq A$ 表示 $q\Rightarrow p$；$A=B$ 表示双向推出。
• 解答要点：先把集合包含关系翻译成推出关系，再按四类条件表判断；若是严格包含，要明确“不必要”或“不充分”的方向。
• 易扣分点：把 $A\subseteq B$ 误读成 $q\Rightarrow p$；忽略 $A=B$ 需要两个方向；不区分 $\subseteq$ 和真包含时的“是否必要”。

考点 5：证明充要条件

• 出题思路：要求证明某条件是另一条件的充要条件，常见于代数恒等式、圆的切线、三角形边长分类、平行四边形判定等。
• 关键条件：题目要证明的是双向推出；代数题要关注变形是否等价，几何题要区分判定定理和性质定理。
• 解答要点：分两段写“充分性”和“必要性”。充分性证明 $p\Rightarrow q$，必要性证明 $q\Rightarrow p$；最后写“综上，$p$ 是 $q$ 的充要条件”。
• 易扣分点：只证明一个方向；把性质定理当判定定理直接反用；代数变形中除以可能为 $0$ 的式子；最后没有合并结论。

练习题

A 组：基础巩固

1. 判断下列命题是真命题还是假命题。

   • 若 $x=1$，则 $x^2=1$。
   • 若 $x^2=1$，则 $x=1$。
   • 若两个三角形全等，则这两个三角形周长相等。
   • 若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等。

2. 判断下列各题中，$p$ 是否为 $q$ 的充分条件。

   • $p$：$x>2$；$q$：$x>0$。
   • $p$：$x>0$；$q$：$x>2$。
   • $p$：四边形是正方形；$q$：四边形是矩形。
   • $p$：四边形是矩形；$q$：四边形是正方形。

3. 判断下列各题中，$q$ 是否为 $p$ 的必要条件。

   • $p$：四边形是菱形；$q$：四边形的对角线互相垂直。
   • $p$：两个三角形相似；$q$：两个三角形三边成比例。
   • $p$：$x=2$；$q$：$x^2=4$。
   • $p$：$x^2=4$；$q$：$x=2$。

B 组：能力提升

4. 判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。

   • $p$：三角形是等边三角形；$q$：三角形是等腰三角形。
   • $p$：三角形是等腰三角形；$q$：三角形是等边三角形。
   • $p$：$x=1$；$q$：$x^2=1$。
   • $p$：$x^2=1$；$q$：$x=1$。
   • $p$：$xy>0$；$q$：$x>0,y>0$。

5. 已知：

$$A=\{x\mid x\text{ 满足条件 }p\},$$ $$B=\{x\mid x\text{ 满足条件 }q\}.$$

回答：

• 如果 $A\subseteq B$，那么 $p$ 是 $q$ 的什么条件？
• 如果 $B\subseteq A$，那么 $p$ 是 $q$ 的什么条件？
• 如果 $A=B$，那么 $p$ 是 $q$ 的什么条件？

6. 判断下列命题中，$p$ 是否为 $q$ 的充要条件。

   • $p$：三角形是等腰三角形；$q$：三角形有两个角相等。
   • $p$：$A\cap B=\varnothing$；$q$：$A$ 与 $B$ 之一为空集。
   • $p$：两个三角形相似；$q$：两个三角形对应角相等。

C 组：综合应用

7. 设 $a,b,c$ 分别是 $△ABC$ 的三条边，且：

$$a\le b\le c.$$

写出 $△ABC$ 是直角三角形的一个充要条件。

8. 设 $a,b,c\in \mathbb{R}$。证明：

$$a=b=c$$

是：

$$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$$

的充要条件。

9. 判断下列命题是否正确，并说明理由。

x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的充要条件。

10. 证明：

四边形的两条对角线互相平分

是：

四边形是平行四边形

的充要条件。

教材习题补充

11. 教材习题 1.4 第 1 题：分别举出一个充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的例子。

12. 教材习题 1.4 第 2 题：判断各组 $p$ 与 $q$ 的关系：等腰三角形与等边三角形；一元二次方程有实根与判别式；$a\in P\cap Q$ 与 $a\in P$；$a\in P\cup Q$ 与 $a\in P$；$x>y$ 与 $x^2>y^2$。

13. 教材习题 1.4 第 3 题：判断命题真假，包括点在圆外与距离、等面积三角形、$A\cup B=A$ 与 $B\subseteq A$、$x$ 或 $y$ 为有理数与 $xy$ 为有理数。

14. 教材习题 1.4 第 4 题：设 $A=\{x\mid p(x)\}$、$B=\{x\mid q(x)\}$，分别说明 $A\subseteq B$、$B\subseteq A$、$A=B$ 与 $p,q$ 条件关系的对应。

15. 教材习题 1.4 第 5 题：证明 $a=b=c$ 是 $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$ 的充要条件。

16. 教材习题 1.4 第 6 题：设三角形三边满足 $a\le b\le c$，用边长关系给出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的充要条件。

练习题答案

1. 真；假；真；假。

2. 是；不是；是；不是。

3. 是；是；是；不是。

• 充分不必要条件。
• 必要不充分条件。
• 充分不必要条件。
• 必要不充分条件。
• 必要不充分条件。

第 5 小题说明：若 $x>0,y>0$，则 $xy>0$，所以 $q\Rightarrow p$；但 $xy>0$ 时可能 $x<0,y<0$，所以 $p\nRightarrow q$。

• 若 $A\subseteq B$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件。
• 若 $B\subseteq A$，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件。
• 若 $A=B$，则 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

• 是。等腰三角形有两个角相等；有两个角相等的三角形是等腰三角形。
• 不是。若 $A$ 或 $B$ 为空集，则 $A\cap B=\varnothing$；但 $A\cap B=\varnothing$ 不一定有 $A$ 或 $B$ 为空集，例如 $A=\{1\},B=\{2\}$。
• 是，前提是“对应角相等”的对应关系明确。两个三角形相似可以推出对应角相等；反过来，两个三角形有两组对应角相等即可推出相似，三组对应角相等当然也能推出相似。

$$a^2+b^2=c^2.$$

因为 $a\le b\le c$，所以 $c$ 是最长边。由勾股定理和勾股定理逆定理可知：

$$△ABC\text{ 是直角三角形}⟺a^2+b^2=c^2.$$

8. 参考例题 5。

9. 不正确。

反例 1：取 $x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}$，则 $xy=2$ 为有理数，但 $x,y$ 都不是有理数，说明“$xy$ 为有理数”不能推出“$x$ 或 $y$ 为有理数”。

反例 2：取 $x=1,y=\sqrt{2}$，则 $x$ 为有理数，但 $xy=\sqrt{2}$ 为无理数，说明“$x$ 或 $y$ 为有理数”不能推出“$xy$ 为有理数”。

10. 证明思路：

充分性：若四边形两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形。

必要性：若四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相平分。

由平行四边形的判定定理和性质定理可得：

$$\text{四边形的两条对角线互相平分}⟺\text{四边形是平行四边形}.$$

所以“四边形的两条对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件。

11. 教材习题 1.4 第 1 题答案示例：$x=1$ 是 $x^2=1$ 的充分不必要条件；$x^2=1$ 是 $x=1$ 的必要不充分条件；三角形是等腰三角形与三角形有两个角相等互为充要条件。

12. 教材习题 1.4 第 2 题答案：等边三角形是等腰三角形的充分不必要条件；一元二次方程有实根与 $\Delta \ge 0$ 是充要条件；$a\in P\cap Q$ 是 $a\in P$ 的充分不必要条件；$a\in P\cup Q$ 是 $a\in P$ 的必要不充分条件；$x>y$ 与 $x^2>y^2$ 一般既不充分也不必要。

13. 教材习题 1.4 第 3 题答案：

• 第 1 小题为真。点 $P$ 在 $\odot O$ 外 $⟺OP>r$。
• 第 2 小题为假。两个三角形全等可以推出面积相等，但面积相等不能推出全等，因此“面积相等”不是“全等”的充分条件。
• 第 3 小题为假。$A\cup B=A⟺B\subseteq A$，所以它们是充要关系，不是必要不充分关系。
• 第 4 小题为真。“$x$ 或 $y$ 为有理数”与“$xy$ 为有理数”既不充分也不必要。反例可取 $x=1,y=\sqrt{2}$ 说明不充分；取 $x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}$ 说明不必要。

14. 教材习题 1.4 第 4 题答案：$A\subseteq B$ 表示 $p\Rightarrow q$，即 $p$ 是 $q$ 的充分条件；$B\subseteq A$ 表示 $q\Rightarrow p$，即 $p$ 是 $q$ 的必要条件；$A=B$ 表示 $p\iff q$，即 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

15. 教材习题 1.4 第 5 题答案：因为 $2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(b-c{)}^2$。若 $a=b=c$，显然等式成立；若 $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$，则三个平方和为 $0$，所以 $a=b=c$。故二者互为充要条件。

16. 教材习题 1.4 第 6 题答案：当 $a\le b\le c$ 时，$c$ 为最长边。锐角三角形的充要条件是 $a^2+b^2>c^2$；直角三角形的充要条件是 $a^2+b^2=c^2$；钝角三角形的充要条件是 $a^2+b^2<c^2$。