4.5 牛顿运动定律的应用

本节学习目标

• 理解牛顿第二定律把受力情况和运动情况连接起来。
• 掌握“已知受力求运动”和“已知运动求受力”两类基本问题。
• 会将受力分析、$F_{\text{合}}=ma$ 和匀变速直线运动公式结合。
• 会处理水平面摩擦减速、斜面运动、分段运动和多力合成问题。
• 能完整分析教材冰壶、滑雪者、气囊滑梯、刹车车痕、油桶等应用情境。

核心知识点讲解

一、知识对象与物理情境

列车进站要准确停靠、冰壶运动员用毛刷控制冰壶滑行距离、汽车刹车距离检测路面摩擦，这些问题都需要把“力”和“运动”联系起来。

本节的核心桥梁是：

$$F_{\text{合}}=ma$$

二、核心概念与定义

动力学两类基本问题：

1. 已知受力情况，求运动情况。
2. 已知运动情况，求受力情况。

在两类问题中，加速度 $a$ 都是桥梁。

三、关键规律、公式与适用条件

从受力确定运动：

$$\text{受力分析}\to F_{\text{合}}\to a\to v,x,t$$

从运动确定受力：

$$v,x,t\to a\to F_{\text{合}}\to \text{未知力}$$

常用运动学公式：

$$v=v_0+at$$ $$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$ $$v^2-v_0^2=2ax$$

水平面滑动摩擦减速时，若 $F_N=mg$：

$$F_f=\mu mg$$ $$a=-\mu g$$

四、典型模型与分析方法

模型 1：冰壶水平滑行

冰壶离手后水平方向主要受滑动摩擦力，摩擦力方向与运动方向相反，因此做匀减速直线运动。若刷冰使动摩擦因数减小，就会减小减速度，使冰壶多滑行。

模型 2：斜面滑雪者

已知运动情况时，先由运动学求加速度，再对滑雪者受力分析。沿斜面方向列：

$$mg\sin \theta -F_f=ma$$

垂直斜面方向列：

$$F_N-mg\cos \theta =0$$

五、图像、实验与材料信息

教材图 $4.5-2$ 展示冰壶分段运动，关键是“前一段末速度就是后一段初速度”。教材图 $4.5-5$ 展示滑雪者斜面受力，需要沿斜面和垂直斜面建立坐标。

六、题型应用与迁移

动力学应用题要坚持：

1. 不画受力图不列动力学方程。
2. 受力改变就分段。
3. 每段内部确认加速度是否恒定。
4. 前后段用末速度、位移或时间衔接。

重点梳理

• 加速度是连接力和运动的桥梁。
• 已知受力：先求 $F_{\text{合}}$，再求 $a$，最后求运动量。
• 已知运动：先由运动学求 $a$，再由 $F_{\text{合}}=ma$ 求力。
• 斜面题常沿斜面和垂直斜面建轴。
• 分段题不能把不同阶段混用同一个加速度。

难点突破

难点 1：为什么要分段？

匀变速公式只适用于加速度恒定的单一过程。刷冰后摩擦因数改变、撤去拉力后合力改变、电梯启动和制动不同，都要分段处理。

难点 2：斜面上为什么不能写 $F_N=mg$？

支持力只平衡重力垂直斜面的分量，通常：

$$F_N=mg\cos \theta$$

而不是 $mg$。

难点 3：已知运动求受力为什么不能直接从力入手？

如果阻力或未知力不能直接由条件给出，就先利用运动学信息求加速度，再用牛顿第二定律反推合力或未知力。

例题讲解

例题 1：教材冰壶题

冰壶初速度 $3.4m/s$，${\mu }_1=0.02$，$g=10m/s^2$。

第一问：

$$a_1=-{\mu }_{1}g=-0.2m/s^2$$ $$0-3.4^2=2(-0.2)x$$ $$x=28.9m$$

第二问：前 $10m$ 后：

$$v_{10}^2=3.4^2+2(-0.2)\times 10=7.56$$

刷冰后 ${\mu }_2=0.9{\mu }_1=0.018$：

$$a_2=-0.18m/s^2$$

后一段：

$$0-v_{10}^2=2a_2{x}_2$$ $$x_2=21m$$

总距离 $10+21=31m$，比第一次多 $2.1m$。

例题 2：教材滑雪者题

滑雪者质量 $75kg$，初速度 $2m/s$，沿 $30^{\circ }$ 斜面匀加速下滑，$5s$ 内滑下 $60m$。

先求加速度：

$$a=\frac{2(x-v_{0}t)}{t^2}=\frac{2(60-2\times 5)}{25}=4m/s^2$$

垂直斜面：

$$F_N=mg\cos 30^{\circ }\approx 650N$$

沿斜面：

$$F_f=m(g\sin 30^{\circ }-a)=75(5-4)=75N$$

滑雪者对雪面压力大小为 $650N$，阻力大小为 $75N$。

易错点整理

• 未选研究对象就列式。
• 把摩擦力方向写成与加速度方向相同。
• 斜面问题误写 $F_N=mg$。
• 分段题把前一段加速度用于后一段。
• 只求数值不说明方向。

考点考证点整理

考点 1：从受力求运动

• 出题思路：给摩擦因数、拉力、质量等，求速度、位移或时间。
• 关键条件：合力方向、摩擦力表达式、初速度。
• 解答要点：受力分析 -> $F_{\text{合}}$ -> $a$ -> 运动学公式。
• 易扣分点：不分清合力和单个力。

考点 2：从运动求受力

• 出题思路：给位移、时间、初速度，要求求阻力或压力。
• 关键条件：运动过程是否匀变速，坐标方向。
• 解答要点：先由运动学求 $a$，再用 $F_{\text{合}}=ma$ 求未知力。
• 易扣分点：直接套摩擦公式而忽略题目没有给动摩擦因数。

考点 3：分段运动

• 出题思路：刷冰、撤力、变摩擦、分阶段加速制动。
• 关键条件：每段受力是否改变，前后段速度衔接。
• 解答要点：逐段列方程，前一段末速度作后一段初速度。
• 易扣分点：全程只用一个加速度。

考点 4：斜面动力学

• 出题思路：斜面滑行、气囊滑梯、斜面拉力。
• 关键条件：倾角、重力分解、支持力方向、阻力方向。
• 解答要点：沿斜面和垂直斜面建轴，分别列方程。
• 易扣分点：把重力直接代替沿斜面分力。

练习题

教材练习与应用

1. 教材练习与应用第 1 题：质量 $20kg$ 的物体静止在光滑水平面上，受到两个大小均为 $50N$、互成 $60^{\circ }$ 的水平力。求 $3s$ 末速度和 $3s$ 内位移。
2. 教材练习与应用第 2 题：机舱口下沿距地面 $3.2m$，气囊斜面长 $6.5m$，质量 $60kg$ 的人沿气囊滑下，阻力 $240N$，求滑到底端速度。$g=10m/s^2$。
3. 教材练习与应用第 3 题：汽车以 $54km/h$ 紧急刹车，车痕 $17.2m$，求轮胎与路面动摩擦因数。$g=10m/s^2$。
4. 教材练习与应用第 4 题：光滑圆柱形油桶 $C$ 放在固定油桶 $A$、$B$ 之间，汽车向左加速。判断 $A$、$B$ 对 $C$ 的支持力如何变化，并求桶 $C$ 脱离 $A$ 的临界加速度。题目依赖教材图 $4.5-8$，需回看原图确认几何关系。

练习题答案

1. 合力 $F=2\times 50\cos 30^{\circ }=86.6N$，$a=86.6/20=4.33m/s^2$。$v=at=13.0m/s$，$x=\frac{1}{2}a{t}^2\approx 19.5m$，方向沿两力夹角平分线。
2. 斜面倾角满足 $\sin \theta =\frac{3.2}{6.5}$。沿斜面：$mg\sin \theta -F_f=ma$，得 $a=\frac{60\times 10\times 3.2/6.5-240}{60}\approx 0.92m/s^2$。由 $v^2=2ax$，$v\approx \sqrt{2\times 0.92\times 6.5}\approx 3.5m/s$。
3. $54km/h=15m/s$。$0-15^2=2ax$，$a=-\frac{225}{34.4}\approx -6.54m/s^2$。水平面刹车 $a=-\mu g$，$\mu \approx 0.654$。
4. 汽车向左加速时，桶 $C$ 需要向左的合力，左右支持力不再对称，$B$ 对 $C$ 的支持力增大，$A$ 对 $C$ 的支持力减小。临界脱离 $A$ 时 $A$ 对 $C$ 支持力为 $0$，需结合图 $4.5-8$ 的几何角度列竖直平衡和水平动力学方程，原图角度信息需回看确认。