2.4 自由落体运动

本节学习目标

学完本节，需要能做到：

• 理解自由落体运动的定义和理想化条件。
• 知道空气阻力会影响日常物体下落快慢。
• 理解在忽略空气阻力时，轻重不同物体下落快慢相同。
• 知道自由落体加速度也叫重力加速度，用 g 表示，方向竖直向下。
• 掌握自由落体运动公式 v = gt、x = 1/2 gt^2、v^2 = 2gx。
• 会用自由落体公式解决下落高度、时间、速度等问题。
• 理解伽利略研究自由落体运动中“逻辑推理 + 实验验证”的科学方法。

核心知识点讲解

1. 日常经验为什么会误导我们

生活中常看到石头比纸片落得快，于是容易认为：

重的物体下落快，轻的物体下落慢。

但这个结论没有区分两个因素：

• 重力的作用。
• 空气阻力的作用。

纸片下落慢，主要是因为空气阻力影响大；把纸片揉成紧的小纸团后，它下落会明显变快。

这说明物体下落快慢不只由轻重决定，空气阻力也很重要。

2. 伽利略的逻辑推理

亚里士多德认为重物下落快，轻物下落慢。

伽利略指出这个观点会导致矛盾：

• 如果大石头下落快，小石头下落慢。
• 把两块石头绑在一起，小石头会拖慢大石头，整体应比大石头慢。
• 但绑在一起后整体更重，按“重的下落快”，又应比大石头快。

同一个物体组合既应更慢又应更快，出现矛盾。

因此，伽利略认为：如果排除空气阻力，轻重不同的物体应下落得同样快。

3. 自由落体运动的定义

物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动，叫作自由落体运动。

定义中有三个关键词：

• 只受重力作用。
• 从静止开始。
• 下落运动。

严格的自由落体运动只有在真空中才能发生。

在空气中，如果空气阻力远小于重力，可以忽略空气阻力，物体下落也可以近似看作自由落体运动。

4. 自由落体运动是匀加速直线运动

实验表明，在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同。

这个加速度叫作自由落体加速度，也叫重力加速度，用 g 表示。

自由落体运动具有：

• 初速度 v0 = 0。
• 加速度 a = g。
• 方向竖直向下。

因此，自由落体运动是初速度为 0 的匀加速直线运动。

5. 重力加速度 g

重力加速度方向：

竖直向下

大小通常取：

g = 9.8 m/s^2

在粗略计算中也常取：

g = 10 m/s^2

g = 9.8 m/s^2 的含义是：

自由下落物体的速度每秒增加约 9.8 m/s。

精确测量发现，不同地点的 g 略有不同，一般纬度越高，g 略大。

6. 自由落体运动公式

把匀变速直线运动公式中的：

v0 = 0
a = g

代入，就得到自由落体公式。

速度与时间关系：

v = gt

位移与时间关系：

x = 1/2 gt^2

速度与位移关系：

v^2 = 2gx

这些公式默认选竖直向下为正方向。

7. 公式中各量的含义

• v：下落 t 时间后的速度。
• g：重力加速度。
• t：下落时间。
• x：下落高度或下落位移。

如果选竖直向下为正方向，g 和 x 通常取正值。

如果选竖直向上为正方向，则 g 要取负值，公式也要按匀变速直线运动的一般公式处理。

8. 自由落体中的比例关系

从静止开始自由下落：

x = 1/2 gt^2

所以位移与时间平方成正比：

x ∝ t^2

例如：

• 下落时间变为原来的 2 倍，下落高度变为原来的 4 倍。
• 下落时间变为原来的 3 倍，下落高度变为原来的 9 倍。

这也是伽利略用斜面实验间接研究落体规律的重要依据。

9. 自由落体实验和测量方法

研究自由落体可以用：

• 打点计时器和纸带。
• 频闪摄影。
• 手机加速度传感器。
• 光电门等实验仪器。

无论哪种方法，本质都是测量下落过程中的位置、速度或加速度，再判断是否符合匀加速直线运动规律。

重点梳理

核心定义

物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动，叫自由落体运动。

成立条件

• 只受重力。
• 初速度为 0。
• 空气阻力不存在或可忽略。

核心物理量

g = 9.8 m/s^2

方向：竖直向下。

核心公式

v = gt
x = 1/2 gt^2
v^2 = 2gx

科学方法

伽利略研究自由落体运动体现：

• 对权威观点提出质疑。
• 用逻辑推理发现矛盾。
• 通过实验检验猜想。
• 在实验困难时用斜面运动“冲淡”重力。
• 将实验结论合理外推。

难点突破

难点 1：自由落体是不是现实中所有下落运动

不是。

自由落体要求物体只受重力作用。但现实中很多下落运动会受到空气阻力。

例如纸片、羽毛、降落伞等，空气阻力不可忽略，不能直接看作自由落体。

石块、小钢球短距离下落时，空气阻力影响较小，可以近似看作自由落体。

难点 2：轻重不同的物体为什么可以下落一样快

在没有空气阻力时，所有物体在同一地点的自由落体加速度相同，都是 g。

重物受到的重力大，但它的质量也大；轻物受到的重力小，但质量也小。二者综合结果是加速度相同。

本章还没有系统学习牛顿第二定律，先记住实验结论：

忽略空气阻力时，轻重不同物体自由下落一样快。

难点 3：g 是不是到处都等于 9.8 m/s^2

不是完全相等。

地球表面不同地点的 g 略有差别，例如赤道附近略小，两极附近略大。

高中一般计算中，如果没有特别说明：

g = 9.8 m/s^2

有些题目为了简便会说明取：

g = 10 m/s^2

做题时按题目要求取值。

难点 4：自由落体公式和匀变速公式是什么关系

自由落体公式不是新的一套独立公式，而是匀变速直线运动公式的特殊情况。

一般公式：

v = v0 + at
x = v0t + 1/2 at^2
v^2 - v0^2 = 2ax

自由落体中：

v0 = 0
a = g

代入得到：

v = gt
x = 1/2 gt^2
v^2 = 2gx

难点 5：听到落水声求井深为什么只是估算

石块下落到水面需要时间，声音从水面传到井口也需要时间。

如果把听到声音的总时间全部当成石块下落时间，就会把下落时间估大，从而把井深估大。

更准确的处理应满足：

总时间 = 石块下落时间 + 声音传播时间

本节通常先做估算，知道误差方向即可。

例题讲解

例题 1：求下落速度

题目：

一小球从静止开始自由下落，取 g = 10 m/s^2，下落 3 s 后速度多大？

分析：

自由落体初速度为 0，用 v = gt。

步骤：

v = gt = 10 × 3 = 30 m/s

答案：

下落 3 s 后速度为 30 m/s，方向竖直向下。

反思：

速度方向不能漏写，方向竖直向下。

例题 2：求下落高度

题目：

小球从静止开始自由下落，取 g = 9.8 m/s^2，2 s 内下落多高？

分析：

已知时间，求位移，用 x = 1/2 gt^2。

步骤：

x = 1/2 × 9.8 × 2^2 = 19.6 m

答案：

下落高度为 19.6 m。

反思：

时间平方不能漏掉。

例题 3：已知高度求落地速度

题目：

小球从 20 m 高处自由下落，取 g = 10 m/s^2，不计空气阻力，落地速度多大？

分析：

题目不问时间，用 v^2 = 2gx。

步骤：

v^2 = 2gx = 2 × 10 × 20 = 400
v = 20 m/s

答案：

落地速度为 20 m/s，方向竖直向下。

反思：

不涉及时间时，速度位移公式更简便。

例题 4：估算井深

题目：

从井口释放小石块，约 2.5 s 后听到落水声。忽略声音传播时间，取 g = 10 m/s^2，估算井深，并判断结果偏大还是偏小。

分析：

忽略声音传播时间时，把 2.5 s 全当成下落时间。

步骤：

x = 1/2 gt^2 = 1/2 × 10 × 2.5^2 = 31.25 m

答案：

估算井深约为 31 m。由于实际总时间包括声音向上传播的时间，真实下落时间小于 2.5 s，所以这个估算结果偏大。

反思：

估算题要说明忽略了什么，以及结果偏大还是偏小。

例题 5：反应时间测量尺

题目：

直尺从静止开始下落，某同学在直尺下落 20 cm 处捏住。取 g = 10 m/s^2，估算该同学反应时间。

分析：

直尺近似自由落体，下落高度 x = 0.20 m。

步骤：

x = 1/2 gt^2
0.20 = 1/2 × 10 × t^2
0.20 = 5t^2
t^2 = 0.04
t = 0.20 s

答案：

反应时间约为 0.20 s。

反思：

人的反应时间测量尺就是把长度刻度按 x = 1/2 gt^2 转换成时间刻度。

易错点整理

易错点 1：认为重物一定比轻物下落快

在空气中常常如此，但原因主要是空气阻力不同。忽略空气阻力时，轻重不同物体自由下落一样快。

易错点 2：把所有下落运动都当作自由落体

只有只受重力、从静止开始的下落运动才是自由落体运动。

易错点 3：忘记自由落体初速度为 0

如果物体是被向下抛出或向上抛出，就不是本节定义下的自由落体，需要用一般匀变速公式。

易错点 4：公式中漏掉平方

x = 1/2 gt^2 中时间要平方。

易错点 5：g 的方向漏写

重力加速度方向竖直向下。涉及正负号时必须先规定正方向。

易错点 6：井深问题忽略声音时间后不判断误差

如果把听到声音总时间当下落时间，会使井深估算偏大。

考点考证点整理

考点 1：自由落体定义和条件

常考判断某运动是否能看作自由落体。关键词是只受重力、初速度为 0、阻力可忽略。

考点 2：自由落体公式计算

常考由时间求速度和高度，由高度求时间或落地速度。

考点 3：实验现象解释

常考纸片、纸团、羽毛、铁片、牛顿管实验，重点说明空气阻力影响。

考点 4：g 的理解

常考 g 的方向、大小、单位和地点差异。

考点 5：实际应用

常见反应时间测量、频闪照片、井深估算、跳水下落等。

练习题

基础题

1. 什么是自由落体运动？
2. 自由落体加速度又叫什么？方向如何？
3. 一般计算中 g 常取多少？
4. 写出自由落体运动的三个基本公式。
5. 为什么纸片比纸团下落慢不能说明轻物一定下落慢？

巩固题

6. 小球自由下落 2 s，取 g = 10 m/s^2，求速度和下落高度。
7. 小球从 45 m 高处自由下落，取 g = 10 m/s^2，求落地时间。
8. 小球自由下落，落地速度为 30 m/s，取 g = 10 m/s^2，求下落高度。
9. 直尺下落 5 cm 后被捏住，取 g = 10 m/s^2，求反应时间。
10. 为什么牛顿管抽成真空后羽毛和铁片下落一样快？

提升题

11. 跳水运动员从 5 m 跳台由静止自由下落，取 g = 10 m/s^2，估算入水前速度。
12. 从井口释放石块，3 s 后听到落水声。忽略声音传播时间，取 g = 10 m/s^2，估算井深，并说明偏大还是偏小。
13. 频闪仪每隔 0.04 s 闪光一次，自由下落小球从开始下落到第 5 次闪光时经历多少时间？这时下落距离约是多少？取 g = 10 m/s^2。
14. 甲、乙两物体在同一地点从同一高度由静止释放，甲质量是乙的 5 倍。不计空气阻力，它们谁先落地？为什么？

练习题答案

基础题答案

1. 物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动叫自由落体运动。

2. 自由落体加速度也叫重力加速度，用 g 表示，方向竖直向下。

3. 一般取 9.8 m/s^2，粗略计算常取 10 m/s^2。

v = gt
x = 1/2 gt^2
v^2 = 2gx

5. 纸片受空气阻力影响大。把纸片揉成纸团后阻力影响变小，下落会变快，说明日常现象中空气阻力不可忽略。

巩固题答案

v = gt = 10 × 2 = 20 m/s
x = 1/2 gt^2 = 1/2 × 10 × 2^2 = 20 m

答案：速度 20 m/s，方向向下；下落高度 20 m。

x = 1/2 gt^2
45 = 5t^2
t^2 = 9
t = 3 s

v^2 = 2gx
x = v^2 / 2g = 30^2 / (2 × 10) = 45 m

5 cm = 0.05 m：

0.05 = 1/2 × 10 × t^2
0.05 = 5t^2
t^2 = 0.01
t = 0.10 s

10. 抽成真空后空气阻力可以忽略，羽毛和铁片都只受重力作用，在同一地点自由落体加速度相同，所以同时下落。

提升题答案

v^2 = 2gx = 2 × 10 × 5 = 100
v = 10 m/s

入水前速度约为 10 m/s，方向向下。

x = 1/2 × 10 × 3^2 = 45 m

估算井深约 45 m。因为总时间还包括声音从水面传到井口的时间，所以真实下落时间小于 3 s，估算结果偏大。

13. 如果从释放时刻算第 1 次闪光，则到第 5 次闪光经历 4 个时间间隔：

t = 4 × 0.04 s = 0.16 s
x = 1/2 × 10 × 0.16^2 = 0.128 m

下落距离约 0.128 m。

14. 不计空气阻力时，它们同时落地。因为在同一地点自由落体加速度相同，与质量无关。