答案与思路

集合运算与参数｜答案与思路

对应题目，共 3 题。

CH01-009

**答案：**存在，$a\le -2$ 或 $a=0$ 或 $a\ge 2$。

解题思路：$A\cap B=A$ 等价于 $A\subseteq B=(-1,1)$。$a=0$ 时 $A=\varnothing$。$a>0$ 时 $A=(1/a,2/a)$，要包含于 $(-1,1)$，需 $2/a\le 1$，即 $a\ge 2$。$a<0$ 时 $A=(2/a,1/a)$，需 $2/a\ge -1$，即 $a\le -2$。边界相等可以取到，因为 $A$ 自身是开区间。

**关键点：**先用集合恒等式，再按 $a$ 的符号变形不等式。

**易错点：**源解析把 $B$ 的表达式 OCR 成重复的 $-1<x<x<1$，已据题干修正。

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CH01-010

答案：$-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$ 或 $a>2$。

**解题思路：**先求反面 $A\cap B=\varnothing$：$B$ 中不能有点满足 $y<a$，故 $a\le 2$；也不能有点满足 $y>a^2+1$，故 $a^2+1\ge 4$。联立得 $a\le -\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}\le a\le 2$。再对这组参数取补，得到所求范围。

关键点：“存在交点”的反面是“整个 $B$ 均落在 $A$ 外”。

**易错点：**不等式为严格号，等号处应代回检查。

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CH01-028

答案：（1）$C=[4,5)$；（2）$b>\frac{5}{2}$。

**解题思路：**代入 $x=1$ 得 $5-a>0$，即 $a<5$；代入 $x=2$ 且“不属于”得 $8-2a\le 0$，即 $a\ge 4$。（2）原条件等价于 $B\setminus C\ne \varnothing$。$B=(b+2,2b)$ 先需 $b>2$ 才非空，此时左端 $b+2>4$，不可能伸到 $C$ 左边；要在 $C$ 右边有点，需 $2b>5$，即 $b>5/2$。

**关键点：**并集未覆盖全集，要找 $B$ 中不在 $C$ 的点。

**易错点：**先排除 $B=\varnothing$；$2\notin A$ 对应“$\le 0$”。

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