高一数学_10月诊断练习_自学讲解优化版

高一数学10月诊断练习 自学讲解与复盘

阅读与使用

本练习共21题，满分150分，重点考查集合与逻辑、函数定义与运算、不等式、参数分类及实际建模。每题先说明考查知识与必须掌握的基础，再展开解题讲解，最后根据不同错误表现指出应补强的知识内容。目标是从一道题定位知识缺口，补回能迁移到同类题的概念与方法。

建议先独立作答，用文末答案核对；答不出来时，先阅读“考查知识与基础”，检查概念和前置知识；答错时，结合自己的步骤阅读“错误诊断与知识补强”，按症状选择补强方向。然后学习思路与推导，按补强顺序练习，用“掌握检查”判断自己能否处理条件变化后的同类问题。诊断内容是供自查的对应关系，不是对个人薄弱点的预判。

正文不单列正确选项或最终答案，但保留理解方法所需的中间推导；解答题的完整结论、分类表与构造证明集中放在附录。

题面核对提示　第18题“其他成本”处原卷照片有遮挡，现有整理题面写作 $2x$。本讲解与答案均按这一条件计算，取得清晰原卷后应核对。第6题图形为近似重绘，按图示相对位置判断。

试卷结构与知识分布

题型	题号	题数	分值
选择题	1—10	10	50
填空题	11—16	6	30
解答题	17—21	5	70

知识与方法	对应题号	学习重点
命题与条件关系	1、7、15	保持论域，双向检验，合法反例
集合运算与有限集	2、10、11、14、16、17、21	翻译交并补，检验端点，去重
函数定义与运算	3、4、6、12、13、20	同域同值，先内后外，分支回验
不等式与最值	5、8、9、18、19、20	判号，查正性，分类，验等号

表中允许同一题归入多个知识方向。基础方法题可先用于检查概念；第9、17、19、20、21题适合重点复盘参数分类、综合转化和证明。这里的学习次序按题目结构安排，不代表个人得分或实测难度。

一 选择题讲解

第1题 含量词命题的否定

原题

命题“对任意的 $x>0$，$x^3-x^2+1\le 0$”的否定是（　　）

A. $\exists x>0,x^3-x^2+1>0$
B. $\exists x\le 0,x^3-x^2+1>0$
C. $\forall x>0,x^3-x^2+1>0$
D. $\forall x\le 0,x^3-x^2+1>0$

考查知识与基础

知识点　常用逻辑用语中的全称量词、存在量词、命题的否定及论域。

必须掌握的基础　全称命题要求论域中每个对象都满足断言；存在命题只要求至少一个对象满足。否定全称命题变为同一论域上的存在命题，否定存在命题则变为全称命题。不等式的互否关系是 $\le$ 与 $>$、$<$ 与 $\ge$。

思路与推导

从哪里入手　否定的是“所有对象都满足结论”，不是讨论范围。把原句分成量词、论域、断言三部分。

关键推导　一般规则为：

$\neg (\forall x\in D,P(x))⟺\exists x\in D,\neg P(x).$

本题的论域始终是 $x>0$；“任意”改为“存在”，再将断言中的“$\le 0$”取反。不需要计算三次式的最小值，也不需要证明原命题真假。

易错提醒　$P\le 0$ 的否定是 $P>0$，不是 $P\ge 0$。论域 $x>0$ 不随量词一起改动。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　先补“全称与存在量词”的含义，以及“论域、条件、断言”的区分；不必先复习三次函数。

如果答错　把 $x>0$ 改成 $x\le 0$，说明论域与断言混淆；量词不换，说明命题否定规则未掌握；不等号取反错误，需补互否关系。

补强顺序　先把自然语言改写成含量词的式子，再练不等式否定，最后练“否定全称”和“否定存在”交替出现的题。

掌握检查　换成集合 $D$ 或另一种不等号，仍能说明为什么保留论域、只交换量词并否定断言。

第2题 绝对值不等式 二次不等式与集合差

原题

已知集合 $A=\{x||x-1|<3\}$，$B=\{x|x^2-3x-10<0\}$，若 $a\notin A$，且 $a\in B$，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A. $(-2,4)$
B. $(4,5)$
C. $[4,5]$
D. $[4,5)$

考查知识与基础

知识点　集合的描述法、绝对值不等式、一元二次不等式、交集与差集、区间端点。

必须掌握的基础　当 $r>0$ 时，$|x-c|<r$ 表示数轴上到 $c$ 的距离小于 $r$，等价于 $c-r<x<c+r$。开口向上的二次式有两个不同实根时，在两根之间为负。$B\setminus A=B\cap {\complement }_{\mathbb{R}}A$，要求两项成员条件同时成立。

思路与推导

从哪里入手　先翻译成员关系：$a\notin A$ 且 $a\in B$，就是 $a\in B\setminus A$，即“从 $B$ 中去掉 $A$”。

关键推导　分别求出两集合：

$|x-1|<3⟺-3<x-1<3⟺-2<x<4,$

$x^2-3x-10=(x-5)(x+2)<0⟺-2<x<5.$

把两个开区间画在同一数轴上，再去掉共同部分。边界 $4$ 不属于 $A$，却属于 $B$；边界 $5$ 不属于 $B$。这两次代入决定结果的括号。

易错提醒　两集合都是开区间，并不意味着它们的差集也必定是开区间。端点应按“在 $B$、不在 $A$”逐点检验。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　分别检查能否独立解绝对值不等式和二次不等式；若两者会解但不会合并，补集合差与交补运算。

如果答错　区间本身算错，回补不等式基本解法；只错括号，重点补开闭区间及成员检验；取成公共部分，补交集与差集的区别。

补强顺序　数轴距离与绝对值不等式 → 二次式因式分解与符号表 → 交并补差的定义 → 混合区间运算。

掌握检查　能把“属于一个集合且不属于另一个集合”转为交补关系，并对每个临界点独立检验，不依赖选项猜括号。

第3题 同一函数的判定

原题

下列各组函数表示同一函数的是（　　）

A. $f(x)=x$，$g(x)=\sqrt{x^2}$

B. $f(x)=|x-1|$；$g(x)$ 在 $x>1$ 时为 $x-1$，在 $x<1$ 时为 $1-x$

C. $f(x)=x+1$，$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

D. $f(x)=\frac{x^0}{x}$，$g(x)=\frac{x}{x^2}$

考查知识与基础

知识点　函数的定义、定义域与对应关系、绝对值和根式、分段函数的端点、分式约分与零次幂。

必须掌握的基础　函数对定义域内的每个输入都给出唯一输出；判断是否同一函数须比较原式定义域与对应关系。$\sqrt{x^2}=|x|$；分母不能为零；约分只能在原定义域内进行。分段式要覆盖其定义域中的每个点，各段条件必须明确。

思路与推导

从哪里入手　同一函数要同时满足“定义域相同”和“每个合法输入的函数值相同”。先查原式定义域，再化简。

关键推导　逐项检查：A 中 $\sqrt{x^2}=|x|$，取一个负数即可看出输出不同；B 的分段条件没有覆盖 $x=1$，但 $|x-1|$ 在此有定义；C 的分母要求 $x\ne 1$，约分不会补回这个禁点；D 的两式都要求 $x\ne 0$，在此范围内可分别化简比较。

易错提醒　只看化简后的解析式会漏掉定义域差别。$x^0=1$ 应在 $x\ne 0$ 的条件下使用。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　优先补函数定义中的“输入范围”和“对应关系”，再复习根式、分式、分段式各自怎样确定定义域。

如果答错　认为约分后就是同一函数，补等价变形的适用条件；把 $\sqrt{x^2}$ 写成 $x$，补绝对值；漏分界点，补分段条件的覆盖范围。

补强顺序　函数概念 → 原式定义域 → $\sqrt{x^2}=|x|$ 与分式化简 → 用同域同值判断函数。

掌握检查　能自举一组“化简结果相同、定义域不同”的函数，并解释为何代入几个相同样本不能证明同一函数。

第4题 由函数值表反推参数与复合函数

原题

已知函数 $f(x)=x^2-1$，$g(x)=(x+1{)}^2$，下列表中 $x=m$ 时各函数的值，则（　　）

$x$	$f(x)$	$g(x)$	$f[g(x)]$
$m$	$8$	$4$	$n$

A. $m=3,n=15$
B. $m=-3,n=15$
C. $m=3,n=81$
D. $m=-3,n=81$

考查知识与基础

知识点　函数值、由输出求输入、平方方程、方程解集的交集、复合函数。

必须掌握的基础　$f(m)$ 是把输入 $m$ 代入函数得到的数。由输出倒推输入时，可能得到多个候选，两个条件同时成立应取解集交集。复合函数 $f(g(x))$ 的输入流向为 $x\to g(x)\to f(g(x))$，且内层输出必须能进入外层定义域。

思路与推导

从哪里入手　表中两个函数值来自同一个输入 $m$，所以要同时满足两个方程；复合函数从内向外计算。

关键推导　由两列数据分别得到：

$m^2-1=8\Rightarrow m\in \{-3,3\},(m+1{)}^2=4\Rightarrow m\in \{-3,1\}.$

取候选集合的交集。求 $n$ 时不用再算一遍 $g(m)$，表格已经给出 $g(m)=4$，因此直接把 $4$ 送入外层函数：$n=f(4)=4^2-1$。

易错提醒　平方方程有两个候选根；$f[g(m)]$ 不是 $f(m)g(m)$，也不是 $g[f(m)]$。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　补函数记号与代入求值；能正向代入却不会倒推时，再补平方方程和多条件解集取交。

如果答错　漏负根，补平方方程的两个候选；只使用表格一列，补“同时成立”的交集含义；复合次序倒置，补输入输出的传递过程。

补强顺序　函数求值 → 由函数值求输入 → 多条件筛选 → 复合函数的先内后外及定义域检查。

掌握检查　给定不同的两函数时，能分别算 $f(g(x))$ 与 $g(f(x))$，并说明两者通常不相等。

第5题 代数式比较与恒成立判断

原题

已知 $m>n>0$，则（　　）

A. $m\sqrt{n}<n\sqrt{m}$
B. $m+n>mn$
C. ${\left(\frac{m+n}{2}\right)}^2>\frac{m^2+n^2}{2}$
D. $\frac{n}{m}+\frac{m}{n}>2$

考查知识与基础

知识点　不等式的性质、作差比较、平方非负、基本不等式、恒真命题与反例。

必须掌握的基础　比较 $A,B$ 可研究 $A-B$ 的符号；$(m-n{)}^2\ge 0$，等号当且仅当 $m=n$。同乘或同除正数不改变不等号方向，同乘或同除负数要反向。对正数 $u,v$，$u+v\ge 2\sqrt{uv}$，等号当且仅当 $u=v$。

思路与推导

从哪里入手　“已知……则……”要求对所有 $m>n>0$ 都成立。判断真的选项要证明，排除假的选项只需一个合法反例。

关键推导　A 可把两边同除以正数 $\sqrt{mn}$，化为比较 $\sqrt{m}$ 与 $\sqrt{n}$。B 试 $m=3,n=2$，比较和与积即可。C 作差：

${\left(\frac{m+n}{2}\right)}^2-\frac{m^2+n^2}{2}=-\frac{(m-n{)}^2}{4}.$

D 同样把差化成平方：

$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-2=\frac{(m-n{)}^2}{mn}.$

根据 $mn>0$、$m\ne n$ 分别判号，然后与选项的不等号核对。

易错提醒　基本不等式中的等号条件也要检查。此题 $m>n$ 排除了 $m=n$，因而有关平方项严格大于零。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　补不等式的同乘同除规则、作差比较和平方非负；这些基础稳定后，再练识别基本不等式结构。

如果答错　不等号方向错，检查所乘除量的符号；把严格号写成非严格号，检查等号条件；用一个成立样本判断恒真，补“证明”与“反例”的逻辑差别。

补强顺序　不等式性质 → 展开与平方恒等式 → 作差或作商判号 → 基本不等式及取等条件 → 合法反例。

掌握检查　能对一个候选断言给出对所有允许取值成立的证明，或给出满足全部前提的反例。

第6题 折线图阅读与燃油效率

原题

汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 $1$ 升汽油行驶的里程．如图描绘了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（　　）

A. 消耗 $1$ 升汽油，乙车最多可行驶 $5$ 千米
B. 某城市机动车最高限速 $80$ 千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
C. 甲车以 $80$ 千米/时的速度行驶 $1$ 小时，消耗 $10$ 升汽油
D. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

考查知识与基础

知识点　函数图象的读数与比较、比率单位、速度时间路程关系、区间范围和文字量词。

必须掌握的基础　横轴确定输入，纵轴确定输出；曲线高低必须在同一横坐标处比较。效率 km/L 与单位路程耗油 L/km 互为倒数，含义与增减方向相反。路程等于速度乘时间，耗油量等于路程除以效率；“最多”对应整个指定范围内的最大值。

思路与推导

从哪里入手　纵轴是 km/L，表示一升油能走多远；效率越高，同路程耗油越少。先认图例，再限定速度范围。

关键推导　设速度为 $v$、时间为 $h$、效率为 $e$，则：

$\text{路程}=vh,\text{耗油量}=\frac{vh}{e}.$

A 的“最多”要沿乙车全曲线找最高点，图中有超过 $5$ 的部分；B 只比较图示速度不超过 $80$ km/h 的丙、乙曲线，其相对高低决定同路程谁更省油；C 在 $80$ km/h 行驶一小时，若耗油 $10$ L，则效率应为 $80/10=8$ km/L，检查甲车曲线是否符合；D 则比较同一速度下谁的曲线最低。

易错提醒　不能将“效率高”误读成“耗油多”。本图为近似重绘，宜用相对位置和明显的读数差异判断，不把插值得到的小数当作原卷精确数据。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　补坐标轴、图例和单位的读法，再复习速度、时间、路程以及比率量的含义。

如果答错　把效率高说成耗油多，补倒数关系；把一小时当作一千米，补路程计算；在限速外比较，补问题指定范围；把“最多”当某一点值，补图象最值的含义。

补强顺序　图表读数 → 同一输入处的曲线比较 → km/L 与 L/km 转换 → 从文字提取范围和最大值要求。

掌握检查　换成用水效率或工作效率，仍能从单位写出“消耗量＝任务量÷效率”，并在指定范围内比较。

第7题 充分必要条件与基本不等式

原题

若 $a>0,b>0$，则“$a+b\le 4$”是“$ab\le 4$”的（　　）

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件

考查知识与基础

知识点　充分条件、必要条件、充要条件、两个命题的双向蕴含、基本不等式。

必须掌握的基础　$P\Rightarrow Q$ 表示 $P$ 是 $Q$ 的充分条件，同时 $Q$ 是 $P$ 的必要条件；两方向都成立才是充要。只成立一个方向时，须用另一个方向的反例判断“不必要”或“不充分”。正数的积可由和控制：$ab\le (a+b{)}^2/4$。

思路与推导

从哪里入手　设 $P$ 为 $a+b\le 4$，$Q$ 为 $ab\le 4$，分别检查 $P\Rightarrow Q$ 和 $Q\Rightarrow P$。

关键推导　在 $P$ 成立且 $a,b>0$ 时：

$ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\le 4.$

再检查反方向：取 $a=8,b=1/2$，乘积满足 $Q$，但和是否满足 $P$？用这个反例判断必要性，再匹配条件名称。

易错提醒　“$P$ 是 $Q$ 的充分条件”对应 $P\Rightarrow Q$，箭头别写反。一个反例足以否定反方向。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　先补充分、必要与蕴含箭头的互译；若箭头会写却无法证明，再补基本不等式的和积关系。

如果答错　“充分”与“必要”选反，回到定义判断哪个条件能推出哪个；只验证一个方向，补双向检验；反例不满足正数条件，补合法反例的要求。

补强顺序　条件名称与箭头 → 用集合包含理解条件关系 → 简单双向检验 → 不等式证明与反例配合。

掌握检查　改变和积的上界后，仍能分别研究两个方向，并说明一方向成立不能自动推出另一方向。

第8题 海伦 秦九韶公式与面积最值

原题

中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 $a,b,c$，则三角形的面积 $S$ 可由公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足 $a=4$，$b+c=6$，则此三角形面积的最大值为（　　）

A. $3\sqrt{5}$
B. $2\sqrt{5}$
C. $2\sqrt{6}$
D. $3\sqrt{6}$

考查知识与基础

知识点　三角形不等式、半周长、公式代入、基本不等式中的定和求积、最值的可取性。

必须掌握的基础　三角形任意两边之和大于第三边，因此半周长大于每条边。对非负数 $u,v$，若和为定值 $s$，则 $uv\le s^2/4$，在 $u=v=s/2$ 时取等。求最大值要同时证明“所有情况不超过它”和“存在合法情况达到它”。

思路与推导

从哪里入手　先算半周长，再研究面积平方。这样可以暂时去掉根号，突出定和乘积结构。

关键推导　由 $a=4,b+c=6$ 得 $p=5$，故：

$S^2=5(5-b)(5-c).$

三角形不等式给出 $b<5,c<5$，所以 $u=5-b,v=5-c$ 均为正，且 $u+v=4$。于是：

$uv\le {\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2=4.$

等号要求 $u=v$，还原为 $b=c$。结合 $b+c=6$ 求出取等边长，核对能组成三角形，最后由面积平方开方。

易错提醒　求出上界后必须验证能取到。不要把 $S^2$ 的上界直接当作面积。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　先补公式中各量的含义和三角形不等式，再补“定和时乘积最大”的基本不等式模型。

如果答错　无法说明两因子为正，补三角形合法条件；只给上界不验取等，补最值的存在性；最终忘开方，补面积与面积平方的区分。

补强顺序　边长合法条件 → 半周长与公式代入 → 定和求积 → 等号条件还原到原变量 → 可取性检验。

掌握检查　给定另一组固定边长和边长和，能说明哪些量固定、哪些因子为正，并验证取等构型确实存在。

第9题 含参数不等式的整数解个数

原题

已知关于 $x$ 的不等式 $a(x^2-x)+1<x^2$ 恰有一个整数解，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A. $\frac{4}{3}\le a<\frac{3}{2}$
B. $\frac{4}{3}<a\le \frac{3}{2}$
C. $\frac{4}{3}\le a<2$
D. $\frac{4}{3}\le a<\frac{3}{2}$ 或 $a<0$

考查知识与基础

知识点　含参数一元二次不等式、降次、乘积符号、根的顺序、实数解与整数解。

必须掌握的基础　先看二次项系数是否为零；非零时由开口和根序确定正负区间。参数可能改变开口、根的位置及重根情况，因此临界参数分别来自系数为零与两根重合。整数解是实数解集中落在整数格点上的元素；严格不等式不包含根。

思路与推导

从哪里入手　因式分解后，固定根为 $1$，另一个根随参数移动。先求实数解区间，再数整数。

关键推导　原不等式等价于：

$(a-1)x^2-ax+1=(x-1)((a-1)x-1)<0.$

参数 $a=1$ 会降次，必须单列。$a<1$ 时开口向下，解集含无限长的外侧区间，整数解不可能只有一个。$a>1$ 时令 $r=1/(a-1)$，按根序继续讨论：

参数情形	实数解的形状	整数个数检查
$a=1$	$x>1$	有无穷多个整数
$1<a<2$	$(1,r)$，且 $r>1$	第一个候选是 $2$，再检查 $3$
$a=2$	$(x-1{)}^2<0$	没有解
$a>2$	$(r,1)$，且 $0<r<1$	没有整数

唯一可能的情形中，要让 $2$ 严格进入，而 $3$ 不进入，因此要求 $2<r\le 3$。将 $r$ 代回，注意 $a-1>0$，再解参数范围。

易错提醒　$3$ 恰好位于根上时不算解，所以允许 $r=3$；$2$ 位于根上时也不算解，所以不允许 $r=2$。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　先补不含参数的二次不等式与数轴符号表，再补参数导致的降次和根序变化，最后才练整数解个数。

如果答错　漏 $a=1$，补系数为零的分类；把根间与根外选反，补开口与符号；临界范围开闭错，补严格不等式中的根不入解集；漏更多整数，补相邻格点计数。

补强顺序　二次不等式 → 含参数临界值 → 活动根与固定根的数轴位置 → 开区间内整数计数 → 参数端点回验。

掌握检查　能分析“恰有两个整数解”的类似题，先列整数进入和离开区间的条件，而不是机械记住本题范围。

第10题 集合特征函数

原题

对于全集 $U$ 的子集 $A$，定义函数 $f_A(x)$：当 $x\in A$ 时，$f_A(x)=1$；当 $x\in {\complement }_{U}A$ 时，$f_A(x)=0$．称其为 $A$ 的特征函数．设 $A,B$ 为全集 $U$ 的子集，下列结论中错误的是（　　）

A. 若 $A\subseteq B$，则 $f_A(x)\le f_B(x)$
B. $f_{{\complement }_{U}A}(x)=1-f_A(x)$
C. $f_{A\cap B}(x)=f_A(x)\cdot f_B(x)$
D. $f_{A\cup B}(x)=f_A(x)+f_B(x)$

考查知识与基础

知识点　集合的子集交并补、逐元素定义、特征函数的二值编码、重复计数。

必须掌握的基础　特征函数只取 $0,1$，分别表示不属于、属于。交集要求两项都成立，并集要求至少一项成立，补集要求不成立。集合运算可通过“对任意元素逐个检验”证明，二集合的成员状态一共只有四种，重叠元素在并集中仍只计一次。

思路与推导

从哪里入手　把成员关系编码成 $0$ 和 $1$。固定一个 $x\in U$，列出它对两集合的四种归属。

关键推导　四种状态为 $(f_A,f_B)=(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$。若 $A\subseteq B$，状态 $(1,0)$ 不可能出现；取补集会把 $0,1$ 翻转；交集只在两者都为 $1$ 时取 $1$。检查并集公式时，重点代入 $(1,1)$：并集成员只计一次，普通加法却会得到 $2$。

易错提醒　不能把集合的并直接对应成数值加法。正确的修正形式在答案附录中给出。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　先补子集、交并补的逐元素定义，再理解特征函数只是成员身份的数值表示。

如果答错　并集直接相加，补重叠元素的重复计数；看不出子集如何约束状态，补集合包含；只试单个状态，补对全部四种状态的检验。

补强顺序　交并补成员条件 → 二值编码 → 四种归属状态 → 用逐元素法验证集合公式。

掌握检查　不用背公式，也能从四种归属状态重建交集、补集和并集的特征函数表达式。

二 填空题讲解

第11题 实数全集中的补集

原题

已知 $U=\mathbb{R}$，集合 $A=[0,+\infty )$，则 ${\complement }_{U}A=$ ________．

考查知识与基础

知识点　全集与补集、实数轴、区间表示、不等式取否定。

必须掌握的基础　${\complement }_{U}A=\{x\in U\mid x\notin A\}$。补集依赖全集；在同一全集内，原集合与补集不相交，二者的并等于全集。方括号表示包含有限端点，圆括号表示不包含；无穷不是实数端点，始终使用圆括号。

思路与推导

从哪里入手　补集是“在全集内但不在 $A$ 内”的所有元素。

关键推导　$x\in A$ 等价于 $x\ge 0$，取否定后再写成区间。$0$ 已经在 $A$ 中，不能再放进补集；无穷端始终用圆括号。

易错提醒　求补集先认全集。本题全集是全部实数，并非正数集。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　补“补集相对于全集”的定义，以及用数轴表示集合的方法。

如果答错　把 $0$ 同时放入原集与补集，补端点归属；无穷端写方括号，补区间符号；忽略指定全集，补“全集内剩余部分”的含义。

补强顺序　区间表示 → 集合成员判断 → 指定全集的补集 → 用交为空、并为全集做检验。

掌握检查　把全集换成一个有限区间时，能重新计算同一集合的相对补集，说明结果为什么会变化。

第12题 根式与分式共同限定定义域

原题

函数 $f(x)=\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}$ 的定义域是 ________．

考查知识与基础

知识点　函数定义域、偶次根式的非负条件、分母非零、分式不等式及符号表。

必须掌握的基础　在实数范围内，$\sqrt{u(x)}$ 要求 $u(x)\ge 0$，分式要求分母不为零；多个条件同时成立时取交集。分式的符号由分子分母共同决定，同号为正、异号为负。分子零点可以使比值为零，分母零点则使式子无定义。

思路与推导

从哪里入手　根号要求整个分式非负，分母还必须非零。

关键推导　同时满足：

$\frac{x-2}{x+1}\ge 0,x\ne -1.$

按临界点 $-1,2$ 分三段。$x<-1$ 时分子、分母同负；$-1<x<2$ 时异号；$x>2$ 时同正。再分别检验两临界点：分子为零可以取，分母为零必须删除。

易错提醒　不能直接乘上符号未知的 $x+1$，也不能同时强求分子、分母都为正，否则会漏掉同负的一段。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　先补定义域限制的来源，再复习分式符号表；不能把根式条件拆成各因子都非负。

如果答错　漏同负区间，补分式正负规律；保留分母零点，补无定义与值为零的区别；直接乘分母，补等价变形所需的符号条件。

补强顺序　根式与分式基本限制 → 分子零点与分母禁点 → 分区间判号 → 多个定义域条件取交。

掌握检查　遇到根号内含多个一次因子的分式，能自行标临界点、判号、区别可取零点和必须排除的禁点。

第13题 分段函数的复合求值与方程

原题

函数 $f(x)$ 在 $x\le -1$ 时为 $x+2$，在 $x>-1$ 时为 $x^2$．则 $f(f(-2))=$ ________；若 $f(x)=3$，则 $x=$ ________．

考查知识与基础

知识点　分段函数的分支选择、复合函数、分段方程、候选根的合法性。

必须掌握的基础　分段条件限制的是本次输入；每次求值都须重新判断输入属于哪一段。求分段方程时，必须把“该段表达式等于目标值”和“输入属于该段”联立。先解出的代数根只是候选，超出本段定义范围的根必须删除。

思路与推导

从哪里入手　复合求值每层都重新判段；解方程每个根都回验所属分支。

关键推导　先算内层：$-2\le -1$，故 $f(-2)=-2+2=0$；外层的新输入为 $0$，应使用 $x>-1$ 的表达式。

解 $f(x)=3$ 时，分别列“$x+2=3$ 且 $x\le -1$”和“$x^2=3$ 且 $x>-1$”。第一段得到的候选不在本段；第二段的平方根也要逐个与 $-1$ 比较。

易错提醒　不能沿用内层的分支求外层，也不能把两个分支的代数根直接合并。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　补分段函数作为一个完整函数的含义，熟悉输入决定分支，再练复合求值和分段方程。

如果答错　外层沿用内层分支，补每层重新判断输入；候选根不回段，补方程与分支范围的联立；边界归错，补条件中 $\le$ 与 $>$ 的意义。

补强顺序　单次分段求值 → 分界点求值 → 两层复合 → 各段列方程 → 候选与分段范围取交。

掌握检查　对三段函数也能逐层判段，并解释为什么求方程时要“每段先求候选，再检查条件”。

第14题 集合交集 恰好为 与元素互异性

原题

设集合 $A=\{a,|a|,a^2\}$，$B=\{2,4\}$，若 $A\cap B=\{2\}$，则实数 $a$ 的值为 ________．

考查知识与基础

知识点　集合的确定性与互异性、元素归属、交集恰等于指定集合、绝对值方程与平方方程。

必须掌握的基础　集合重复元素只保留一个。若 $A\cap B=C$，则 $C$ 中的元素都要同时属于 $A,B$，而 $B\setminus C$ 中的元素都不能属于 $A$。目标值可能由不同表达式产生，生成候选要用“或”，核对多个必需条件则用“且”。

思路与推导

从哪里入手　“交集恰好为 $\{2\}$”包含两个条件：$2\in A$，同时 $4\notin A$。

关键推导　$2$ 可能来自 $a$、$|a|$ 或 $a^2$，所以先解：

$a=2\text{或}|a|=2\text{或}{a}^2=2.$

候选为 $2,-2,\sqrt{2},-\sqrt{2}$。把每个候选代回 $a,|a|,a^2$，检查有无多出的元素 $4$，再保留满足两项要求者。

易错提醒　大括号列出三个表达式，不代表一定有三个不同元素。重复值只算一次，但不能因此漏检 $4$。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　补交集“恰好等于”的双重要求，再复习目标元素可能来自不同表达式的候选生成。

如果答错　只检查含 $2$，补额外元素的排除；漏绝对值或平方来源，补方程分类；把重复值当多个元素，补集合互异性。

补强顺序　成员关系 → 集合去重 → 绝对值与平方方程 → 指定交集的包含及排除 → 代回检验。

掌握检查　目标交集改为其他单元素集合时，能完整列出来源方程，并排除所有不该进入交集的元素。

第15题 用反例否定不等式命题

原题

已知 $a,b,c$ 为实数，能说明“若 $a>b>c$，则 $a^2>bc$”为假命题的一组 $a,b,c$ 的值是 ________．

考查知识与基础

知识点　全称命题的证伪、条件命题的反例、实数正负性、负数大小与绝对值。

必须掌握的基础　反驳“若 $P$ 则 $Q$”要找到 $P$ 成立而 $Q$ 不成立的对象。实数含正数、零和负数；负数越大，绝对值越小。平方均非负，乘积正负取决于因数符号，不能把对正数成立的比较规则直接推广到全体实数。

思路与推导

从哪里入手　反例必须做到“前件真、后件假”：

$a>b>c,a^2\le bc.$

关键推导　题目允许所有实数，不必局限于正数。试三个按大小排列的负整数：较大的负数绝对值较小，而两个较小负数的积为正。选定后独立核查大小关系和平方与乘积的比较。

易错提醒　只让 $a^2>bc$ 失败，却不满足 $a>b>c$，不构成反例。填一组即可，无需求全部解。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　补条件命题的逻辑和反例的定义，再复习负数大小、绝对值及乘积符号。

如果答错　所举数不满足 $a>b>c$，补“前件必须真”；仍满足原结论，补后件的否定；只尝试正数，补实数范围与符号分类意识。

补强顺序　命题的前件后件 → 反例两项检验 → 实数符号分类 → 构造计算简单的合法反例。

掌握检查　能解释一个反例为什么能否定全称命题，以及若干正例为什么不足以证明全称命题。

第16题 有限集合划分与基数限制

原题

已知非空集合 $A$，$B$ 同时满足以下四个条件：

1. $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$；
2. $A\cap B=\varnothing$；
3. $card(A)\notin A$；
4. $card(B)\notin B$．

注：其中 $card(A)$，$card(B)$ 分别表示 $A$，$B$ 中元素的个数．

如果集合 $A$ 中只有一个元素，那么 $A=$ ________；

如果集合 $A$ 中有 $2$ 个元素，请写出所有满足条件的集合 $A$：________．

考查知识与基础

知识点　有限集合的划分、补集、基数、成员关系、带限制的枚举。

必须掌握的基础　$card(A)=|A|$ 表示不同元素的个数。若 $A\cap B=\varnothing$、$A\cup B=U$，则 $B=U\setminus A$，且 $|A|+|B|=|U|$。基数本身是一个数，该数可能又是全集元素；“个数等于某数”和“集合包含该数”不是同一个条件。

思路与推导

从哪里入手　由并集为全集、交集为空知 $B=U\setminus A$，所以两集合元素数相加为 $5$。

关键推导　设 $|A|=r$，则 $|B|=5-r$。把两个“不属于”转为强制归属：

$r\in B,5-r\in A.$

当 $r=1$ 时，$A$ 的唯一位置必须留给数字 $4$，同时数字 $1$ 在 $B$。当 $r=2$ 时，$3$ 必须在 $A$，$2$ 必须在 $B$；$A$ 的另一个位置从剩余数字中选。枚举后逐个取补集检查。

易错提醒　$|A|$ 是“元素个数”，但它得到的数值又被拿来判断是否属于集合；这两个含义要分清。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　补有限集合的基数与补集关系，特别分清“集合有几个元素”和“某个数是否是元素”。

如果答错　遗漏候选，补先锁定必选、禁选元素再枚举；只检验 $A$ 不检验 $B$，补互补划分；把个数要求当元素要求，补基数的双重角色。

补强顺序　有限集基数 → 不交并集的计数关系 → 补集确定另一集合 → 强制归属 → 无遗漏枚举。

掌握检查　改变 $|A|$ 或全集大小后，仍能先确定 $|B|$，再将基数限制转成元素的必选与禁选条件。

三 解答题讲解

第17题 含参数集合与补集并集

原题

已知集合 $A=\{x|x^2-ax+4>0\}$，$B=\{x|b+2<x<2b\}$．若 $1\in A$，$2\notin A$，则 $a$ 的取值集合为 $C$．

（1）求集合 $C$；

（2）若 $C\cup {\complement }_{\mathbb{R}}B\ne \mathbb{R}$，求实数 $b$ 的取值范围．

考查知识与基础

知识点　描述法集合中的成员条件、含参数不等式、开区间非空条件、补集与并集、存在性转化。

必须掌握的基础　若集合由 $F(x)>0$ 定义，则 $u\in A$ 对应 $F(u)>0$，$u\notin A$ 对应 $F(u)\le 0$。开区间 $(l,r)$ 非空须 $l<r$。“并集不覆盖全集”意味着至少存在一个遗漏元素，德摩根律把它转为两个补集的交非空。

思路与推导

从哪里入手　第（1）问用代入翻译成员关系；第（2）问寻找被并集遗漏的点。

关键推导　由 $1\in A$ 与 $2\notin A$ 分别得到：

$5-a>0,8-2a\le 0.$

取交集得到 $C$，在数轴上标出其左右端点。第（2）问等价于：

$C\cup {\complement }_{\mathbb{R}}B\ne \mathbb{R}⟺B\setminus C\ne \varnothing .$

先由 $b+2<2b$ 确保 $B$ 非空。此时其左端已经在 $C$ 左端的右侧，不会向左越出 $C$；只需判断右端能否使 $B$ 内出现不属于 $C$ 的点。特别检验右端等于 $C$ 右端时，该点是否属于开区间 $B$。

易错提醒　“不属于由 $>0$ 定义的集合”应翻成 $\le 0$。若 $B=\varnothing$，其补集就是全部实数，题设的并集条件不可能满足。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　第（1）问补成员关系与代入不等式；第（2）问补集合运算的元素解释、德摩根律和区间非空条件。

如果答错　“不属于”写成 $<0$，补严格断言的否定；忘记空集情形，补开区间非空条件；误把题设当成包含关系，补“存在遗漏点”的量词；边界错，补开区间端点。

补强顺序　成员条件翻译 → 参数区间取交 → 空集与非空条件 → 德摩根律 → 数轴上的存在性判断。

掌握检查　能区别“$B$ 中至少有一点不在 $C$”与“$B$ 的所有点都不在 $C$”，并分别写出集合关系。

第18题 分段函数利润模型与全局最值

原题

某农庄种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量 $t$（单位：kg）与肥料成本 $x$（单位：元）满足如下关系：

• 当 $0\le x\le 3$ 时，$t(x)=\frac{x^2+40}{4}$；
• 当 $3<x\le 10$ 时，$t(x)=15-\frac{18}{x}$。

单株成熟除肥料成本 $x$（单位：元）外，还需其他成本 $2x$（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为 $6$ 元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为 $f(x)$（单位：元）．

（1）求 $f(x)$ 的函数关系式；

（2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？

考查知识与基础

知识点　实际问题建模、函数定义域与单位、分段函数、二次函数的闭区间最值、基本不等式的定积求和。

必须掌握的基础　收入等于单价乘销量，利润等于收入减全部成本。开口向上的二次函数在闭区间的最大值出现在端点；最小值是否在顶点取到，取决于顶点是否在区间内。若 $p,q,x>0$，则 $px+q/x\ge 2\sqrt{pq}$，等号要求 $px=q/x$。分段函数必须按区间分别求值。

思路与推导

从哪里入手　利润是销售收入减去全部成本，先统一单位，再分段优化。

关键推导　按题面所列的其他成本 $2x$，总成本为 $3x$，统一模型为 $f(x)=6t(x)-3x$。第一段代入后可配方为：

$\frac{3}{2}{x}^2-3x+60=\frac{3}{2}(x-1{)}^2+\frac{117}{2}.$

这是开口向上的二次式，在 $[0,3]$ 上求最大值，应比较两端，不用顶点值。第二段写成常数减去两个正数的和：

$90-\left(3x+\frac{108}{x}\right),3<x\le 10.$

用 $3x+108/x\ge 2\sqrt{3x\cdot 108/x}$ 求上界，并由 $3x=108/x$ 得到取等候选，确认它落在本段。最后比较两段各自可取到的最大值。

易错提醒　$x=3$ 归第一段。现有产量公式在分界处不连续，不能自行将两段拼成连续曲线。成本条件遮挡的核对说明见卷首；本题的数值答案均以 $2x$ 为前提。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　建模不会时补单位与收入成本利润关系；会建模但不会最值时，分开补二次函数区间最值和正数的定积求和。

如果答错　漏成本项目，补模型列项；用开口向上的顶点求最大，补图象与区间；只比较某一段，补分段全局最值；等号点不在本段，补取等合法性。

补强顺序　单位与数量关系 → 自变量取值范围 → 分段建模 → 二次式端点最值 → $px+q/x$ 型不等式 → 比较各段可取最值。

掌握检查　改变单价或成本系数后，能重新建立函数并检查各段，不沿用原数值答案；知道上界与实际最大值的区别。

第19题 二次函数恒非负与含参数二次不等式

原题

已知函数 $f(x)=a{x}^2+(a-2)x+\frac{1}{4}(a\in \mathbb{R})$．

（1）若关于 $x$ 的不等式 $f(x)\ge 0$ 的解集是实数集 $\mathbb{R}$，求 $a$ 的取值范围；

（2）当 $a<0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f(x)-\frac{9}{4}\le 0$．

考查知识与基础

知识点　一元二次函数的开口与判别式、全实数恒非负、一次式降次、含参数根序、重根与非严格不等式。

必须掌握的基础　真正的二次式在全实数上恒非负，当且仅当二次项系数大于零且判别式不大于零。判别式等于零时与横轴相切，仍允许恒非负。若二次项系数为零，要按一次式或常数另论。解不等式时，还要结合开口、根序和端点是否包含。

思路与推导

从哪里入手　第（1）问先查降次，再用开口方向与判别式；第（2）问先因式分解，再比较根序。

关键推导　第（1）问：若 $a=0$，一次式 $-2x+1/4$ 不可能在全实数上恒非负；若 $a<0$，大绝对值的输入也会使函数为负。故仅需在 $a>0$ 下要求：

$\Delta =(a-2{)}^2-a=(a-1)(a-4)\le 0.$

第（2）问：

$f(x)-\frac{9}{4}=a{x}^2+(a-2)x-2=(x+1)(ax-2).$

两根为 $-1$ 与 $2/a$。由于 $a<0$，开口向下；两根不同的时候，$\le 0$ 对应根的外侧并包含根。根序在 $a=-2$ 处改变，重根情况要单列。

易错提醒　开口向下时，非正部分通常是“两边”，不是“中间”。重根时整式是非正的平方倍数，不能套成一个被漏掉的区间。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　补二次函数图象与判别式的联系，再区分“求不等式解集”和“要求解集为全部实数”这两种任务。

如果答错　遗漏 $a=0$，补降次；只要求判别式而忘开口，补恒非负的充要条件；根序写反，补含参数比较；漏重根，补判别式为零的图象与平方形式。

补强顺序　开口与根 → 判别式三种情形 → 恒非负和恒非正 → 降次分类 → 含参数根序 → 非严格边界。

掌握检查　能分别说出真正二次式在全实数上恒非负、恒为正的条件差别，尤其解释判别式等于零时的不同。

第20题 恒等式定系数 闭区间最值 参数恒成立

原题

已知二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ 满足 $f(0)=1$，$f(x+1)-f(x)=2x$．

（1）求 $f(x)$ 的解析式；

（2）若函数 $g(x)=f(x)-kx$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最小值为 $-3$，求实数 $k$ 的值；

（3）若对任意 $x\in [1,4]$，有不等式 $f(x)\ge (m+1)x^2-(2+m)x-1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

考查知识与基础

知识点　函数恒等式、待定系数法、二次函数配方与区间最小值、含参数恒成立问题、必要与充分性。

必须掌握的基础　两个多项式对所有 $x$ 相等，其对应次数的系数相等；仅在某个点相等则不能这样比较。开口向上的二次函数在区间上的最小点是区间内离对称轴最近的点。若对所有输入都要求 $m\le H(x)$，就要满足其中最严格的上界；除以含变量的式子前必须检查符号和零点。

思路与推导

从哪里入手　三问依次用“恒等式比系数”“对称轴定位”“恒成立找最严格限制”。

关键推导　第（1）问展开：

$f(x+1)-f(x)=2ax+a+b.$

它对所有 $x$ 都等于 $2x$，因此比较一次项与常数项，再结合 $c=f(0)=1$。

第（2）问代入所得 $f$，将 $g$ 配方：

$g(x)={\left(x-\frac{k+1}{2}\right)}^2+1-\frac{(k+1{)}^2}{4}.$

对称轴为 $h=(k+1)/2$。分别讨论 $h<-1$、$-1\le h\le 2$、$h>2$：最小点依次是左端、顶点、右端。各类令最小值等于 $-3$ 后，所得 $k$ 必须回验本类条件。

第（3）问移项后得 $-m{x}^2+(m+1)x+2\ge 0$。先单列 $x=1$；在 $1<x\le 4$ 上，因 $x(x-1)>0$，可整理为：

$m\le H(x),H(x)=\frac{x+2}{x(x-1)}.$

“任意 $x$ 成立”要求 $m$ 不超过 $H$ 的最小值。可比较 $H(x)$ 与 $H(4)$：

$H(x)-H(4)=\frac{(4-x)(x+1)}{2x(x-1)}\ge 0.$

这样不用导数就能确定最严格的限制位置，并检查等号可取。

易错提醒　顶点在区间外时不是合法最小点；$x=1$ 不能被当作可直接除掉的因子。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　按小问定位：第（1）问补恒等式与待定系数；第（2）问补配方、对称轴与区间最值；第（3）问补全称条件、参数分离和最严格约束。

如果答错　只在某个输入处相等就比系数，补恒等与方程的区别；采用区间外顶点值，补合法最小点；求 $k$ 不回验，补分类条件；直接除以 $x-1$，补零点特判；取 $H$ 最大值，补“任意输入”的交集逻辑。

补强顺序　恒等式展开 → 系数比较 → 配方 → 按轴位置分类 → 参数分离的符号条件 → 函数最小上界 → 必要与充分性检查。

掌握检查　改变区间端点后能重新划分轴的位置；能说明用某一输入得到的参数限制为什么只是必要条件，怎样证明对全区间充分。

第21题 集合递推 奇偶性质与逆向构造

原题

给定正整数 $N\ge 3$，设集合 $A=\{a_i|a_i\in {\mathbf{N}}^{\ast },i=1,2,\dots ,N\}$．任取 $A$ 中两个元素 $a_i,a_j$，记 $A_1=\{a_i,a_j\}$，$B_1=\{a_i+a_j,a_i{a}_j\}$，$T_1(A)=B_1\cup C_A{A}_1$；任取 $T_1(A)$ 中两个元素 $a_k,a_l$，记 $A_2=\{a_k,a_l\}$，$B_2=\{a_k+a_l,a_k{a}_l\}$，$T_2(A)=B_2\cup C_{T_1(A)}{A}_2$；…，以此类推：任取 $T_{k-1}(A)$ 中两个元素 $a_u,a_v$，记 $A_k=\{a_u,a_v\}$，$B_k=\{a_u+a_v,a_u{a}_v\}$，$T_k(A)=B_k\cup C_{T_{k-1}(A)}{A}_k$，其中 $k\ge 1$，规定 $T_0(A)=A$．

（1）当 $A=\{3,5,7\}$ 时，写出一组 $A_1$，$B_1$ 和 $T_1(A)$；

（2）是否存在集合 $A$ 与正整数 $k$，使 $T_k(A)=\{17,37,77\}$？说明理由；

（3）当 $A=\{1,2,3,4,5\}$ 时，是否存在正整数 $k$，使 $T_k(A)=\{5,9,26,120,121\}$？若存在，写出一组 $T_1(A),T_2(A),\dots ,T_k(A)$；若不存在，说明理由．

考查知识与基础

知识点　集合删除与并集、元素互异性、递推操作、奇偶性质、和积关系、一元二次方程、存在性证明。

必须掌握的基础　操作可记为 $T(S)=(S\setminus \{u,v\})\cup \{u+v,uv\}$，其中 $u,v$ 是当前集合的不同元素。集合会去重，生成值也可以等于被删值或未选值。正整数的和与积至少一个为偶数；由和积反求两数时，两数是 $z^2-sz+p=0$ 的根，须检验为不同正整数。

思路与推导

从哪里入手　将复杂记号读成一句话：选两个不同元素，删去它们，再加入它们的和与积，最后按集合规则去重。

关键推导　第（1）问任选易算的一对，按“删、算、并”写一轮即可。第（2）问只看最后一步：若两数均奇，和为偶；若至少一数偶，积为偶。因此最后生成的两个数至少有一个偶数，这个偶数会在结果集合中保留。

第（3）问可逆向寻找候选。若目标中两个数分别是最后一步生成的和 $s$、积 $p$，原来的两数 $u,v$ 应满足：

$u+v=s,uv=p,z^2-sz+p=0.$

例如目标中的 $121$ 与 $120$ 提示原数可能为 $1$ 与 $120$。这也说明：乘积可能等于刚删去的一个元素，它可以被重新加入。再从 $26$ 与 $120$ 寻找另一对和积线索，逐层逆推。

逆推用于发现路线，不是直接证明。完整答案必须从起点正向列出每一轮，注明选数并检查集合是否准确，四步构造见答案附录。

易错提醒　集合元素个数可能因重复而减少；逆推时不能随意删掉一对“和、积”就认定剩余者必为全部未选元素。生成值也可能与未选元素重合，所以每个候选前驱都须正向验证。

错误诊断与知识补强

如果答不出来　先补集合删除、并集和去重，手算一次操作；第（2）问补奇偶规律与反证式排除；第（3）问补和积反求两数及构造证明。

如果答错　默认元素数不变，补集合重合情形；把生成值与旧值重合当违规，补并集定义；逆推得到非正整数或相同两数，补选数条件；只写目标不写过程，补存在性证明的完整性。

补强顺序　单步集合操作 → 奇偶性质 → 必要条件排除 → 和积方程与整数根 → 逆向发现候选 → 正向核验每一轮。

掌握检查　能说明“符合奇偶要求”只是必要条件、并不保证可达；能用一条合法操作链证明可达，并检查重合后真实元素个数。

四 复盘与巩固

按错误原因定位下一步

没有个人作答或分数时，不预判哪些题是你的错题。核对答案后，把实际错误归入下表，再选择对应练习。

错误表现	更可能的原因	建议复盘题
不会把题目翻成式子	概念或题意不清	1、2、10、16、17
会做但漏掉端点或禁值	审题或条件检查不足	2、3、9、12、13
化简方向、符号算错	计算与表达失误	5、8、18、19
漏讨论某个参数情形	分类方法不熟	9、19、20
得到候选却没有回验	检验意识不足	14、17、20、21
花时多但迟迟无入口	方法选择或时间分配	9、20、21

复习顺序

1. 先复习集合成员关系、命题否定与定义域，重新做第1、2、3、11、12、14、16题。每题写出条件翻译，不只写答案。
2. 再练分段函数、作差比较与基本不等式，重新做第4、5、7、8、13、18题。每次使用基本不等式都写正性与等号条件。
3. 最后练参数分类与综合证明，重做第9、17、19、20、21题。先列临界值，再分类，最后回验边界和候选。

后续整理建议

实际做错或反复出错的题再进入错题本；同类题可归入题库；第9、19、20题的参数分类以及第21题的性质排除与构造，可整理为方法总结；集合、定义域或基本不等式的概念持续混淆时，再建立对应知识点专题。

提交答案前的自检

所取输入是否在定义域内？不等号是否影响端点取舍？除数的符号与零点是否检查？候选是否符合所属分支？上界能否实际取到？证明是否覆盖全部情况？

附录 答案与关键结论

先完成题目再查阅本附录。选择题答案依次为 A、D、D、B、D、B、A、B、A、D；第18题以其他成本 $2x$ 为前提。

第1题答案

A。否定为“存在 $x>0$，使 $x^3-x^2+1>0$”。量词与断言取反，论域保持。

第2题答案

D。$A=(-2,4)$，$B=(-2,5)$，故 $B\setminus A=[4,5)$。

第3题答案

D。两式定义域均为 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$，且在此域内均等于 $1/x$。其余项分别因负数输出、分段缺点、分母禁点而不同。

第4题答案

B。两组候选的交集为 $\{-3\}$，故 $m=-3$；$n=f(4)=15$。

第5题答案

D。A 实际为 $m\sqrt{n}>n\sqrt{m}$；B 用 $m=3,n=2$ 可证伪；C 左边减右边为 $-(m-n{)}^2/4<0$；D 左边减 $2$ 为 $(m-n{)}^2/(mn)>0$。

第6题答案

B。按现有图示，在共同展示且不超过 $80$ km/h 的速度范围内，丙车曲线高于乙车，同路程下丙车耗油更少。乙车峰值超过 $5$ km/L，A 错；甲车在 $80$ km/h 的效率明显高于 $8$ km/L，不符合 C 所称的 $10$ L 耗油；甲车曲线最高，D 的耗油方向相反。此判断以现有重绘图为依据。

第7题答案

A，充分不必要条件。$a+b\le 4$ 能推出 $ab\le 4$；反例 $a=8,b=1/2$ 满足 $ab=4$，却有 $a+b=17/2>4$。

第8题答案

B。$S^2\le 5\cdot 4=20$，所以最大面积为 $2\sqrt{5}$；当 $b=c=3$ 时取等，三边 $4,3,3$ 满足三角形不等式。

第9题答案

A，$4/3\le a<3/2$。唯一可能是 $1<a<2$，解集为 $(1,1/(a-1))$。恰含整数 $2$ 要求：

$2<\frac{1}{a-1}\le 3⟺\frac{1}{3}\le a-1<\frac{1}{2}.$

在 $a=4/3$ 时解集为 $(1,3)$，只含整数 $2$；在 $a=3/2$ 时为 $(1,2)$，没有整数。其余参数情形见正文分类。

第10题答案

D。取 $x\in A\cap B$，左边为 $1$，右边为 $2$。正确公式为：

$f_{A\cup B}(x)=f_A(x)+f_B(x)-f_A(x)f_B(x).$

若 $A\cap B=\varnothing$，才可以直接相加。

第11题答案

$(-\infty ,0)$。

第12题答案

$(-\infty ,-1)\cup [2,+\infty )$。分子零点 $2$ 保留，分母零点 $-1$ 排除。

第13题答案

第一空为 $0$；第二空为 $\sqrt{3}$。$f(-2)=0$，故 $f(f(-2))=f(0)=0$。第一段的候选 $x=1$ 不满足 $x\le -1$；第二段的 $-\sqrt{3}$ 不满足 $x>-1$，只有正根有效。

第14题答案

$a=\sqrt{2}$ 或 $a=-\sqrt{2}$。$a=\pm 2$ 都使 $a^2=4$，不符合指定交集；$a=\pm \sqrt{2}$ 都使 $a^2=2$，且其余值不为 $4$。

第15题答案

例如 $a=-1,b=-2,c=-3$。有 $-1>-2>-3$，但 $a^2=1<bc=6$，所以原命题为假。符合条件的其他反例也可以。

第16题答案

第一空为 $\{4\}$。第二空的所有集合为 $\{1,3\}$、$\{3,4\}$、$\{3,5\}$。两元素情形必须含 $3$、不含 $2$，另一个元素只能从 $1,4,5$ 中选择。

第17题答案

（1）$5-a>0$ 且 $8-2a\le 0$，得 $C=[4,5)$。

（2）若 $b\le 2$，$B=\varnothing$，不满足题设。若 $b>2$，有 $b+2>4$。因此 $B\setminus C\ne \varnothing$ 当且仅当 $2b>5$，即 $b>5/2$。在 $b=5/2$ 时，$B=(9/2,5)\subset C$，故端点必须排除。

最终结论　$C=[4,5)$；$b\in (5/2,+\infty )$。

第18题答案

（1）按其他成本 $2x$，利润为：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}{x}^2-3x+60,& 0\le x\le 3,\\ 90-\frac{108}{x}-3x,& 3<x\le 10.\end{array}$

（2）第一段开口向上，比较两端：$f(0)=60$，$f(3)=129/2$，所以第一段最大值为 $129/2$。第二段有：

$3x+\frac{108}{x}\ge 36,$

等号在 $x=6$ 取得，且 $6\in (3,10]$，所以第二段最大值为 $90-36=54$。比较 $129/2>54$。

最终结论　投入肥料成本 $3$ 元时，全局最大利润为 $129/2$ 元，即 $64.5$ 元。该结论以题面“其他成本 $2x$”为前提。

分界核对　现题面 $t(3)=49/4$，右侧产量趋近 $9$；两段不连续。各段按各自区间求值，不以第二段公式代入 $x=3$。

第19题答案

（1）排除 $a\le 0$ 后，要求 $\Delta =(a-1)(a-4)\le 0$，所以 $a\in [1,4]$。在端点判别式为零，函数仍可恒非负，故两端保留。

（2）由 $(x+1)(ax-2)\le 0$，两根是 $-1$、$2/a$，开口向下。分类结果为：

参数条件	根序或式子	解集
$a<-2$	$-1<2/a$	$(-\infty ,-1]\cup [2/a,+\infty )$
$a=-2$	$-2(x+1{)}^2\le 0$	$\mathbb{R}$
$-2<a<0$	$2/a<-1$	$(-\infty ,2/a]\cup [-1,+\infty )$

最终结论　第（1）问为 $[1,4]$；第（2）问按上表作答，不可漏掉 $a=-2$。

第20题答案

（1）比较 $2ax+a+b=2x$ 的系数，得 $a=1,a+b=0$；再由 $c=1$ 得：

$f(x)=x^2-x+1.$

（2）$g(x)=x^2-(k+1)x+1$。按对称轴位置分类：

参数条件	区间最小值	令其等于 $-3$ 并回验
$k<-3$	$g(-1)=k+3$	$k=-6$，有效
$-3\le k\le 3$	$1-(k+1{)}^2/4$	$k=-5$ 或 $3$，只保留 $3$
$k>3$	$g(2)=3-2k$	$k=3$ 不属于本类，舍去

（3）不等式等价于 $-m{x}^2+(m+1)x+2\ge 0$。$x=1$ 时左边为 $3$，对 $m$ 无限制。$1<x\le 4$ 时：

$m\le \frac{x+2}{x(x-1)},\frac{x+2}{x(x-1)}-\frac{1}{2}=\frac{(4-x)(x+1)}{2x(x-1)}\ge 0.$

右侧最小值在 $x=4$ 取得，为 $1/2$。代入 $x=4$ 又得到必要条件 $m\le 1/2$，所以这是充要范围。

最终结论　$f(x)=x^2-x+1$；$k=-6$ 或 $k=3$；$m\in (-\infty ,1/2]$。

第21题答案

（1）例如取 $A_1=\{3,5\}$，则 $B_1=\{8,15\}$，$T_1(A)=\{7,8,15\}$。

（2）不存在。设最后一步选数为 $u,v$。若两数都为奇数，则 $u+v$ 是偶数；否则 $uv$ 是偶数。生成的和与积均会加入结果，即使与已有数重合，该偶数也不会消失。因此任意正整数步后的集合至少含一个偶数，不能等于全奇数集合 $\{17,37,77\}$。

（3）存在，取 $k=4$。逐步验证如下：

步数	选取并删除的两数	加入的和与积	得到的集合
$1$	$4,5$	$9,20$	$\{1,2,3,9,20\}$
$2$	$2,3$	$5,6$	$\{1,5,6,9,20\}$
$3$	$6,20$	$26,120$	$\{1,5,9,26,120\}$
$4$	$1,120$	$121,120$	$\{5,9,26,120,121\}$

最后一步先删除 $1,120$，再加入 $121,120$；乘积 $120$ 被重新加入，完全符合定义。每一步的所选两数都在上一步集合中，且结果集合准确，因此这条构造链就是存在性的证明。