4.5 函数的应用（二）

相关知识

4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数

4.5 函数的应用（二）

本节学习目标

• 理解函数零点的概念，掌握“方程 $f(x)=0$ 有实数解 $\iff$ 函数 $y=f(x)$ 有零点 $\iff$ 图象与 $x$ 轴有公共点”三者等价关系。
• 掌握函数零点存在定理（连续 + 端点异号 $\Rightarrow$ 至少一个零点），能用它判断方程实数解的存在性和所在区间；结合单调性判断零点唯一性。
• 理解二分法的基本思想，掌握用二分法求方程近似解的一般步骤，能在给定精确度下求出近似解。
• 能根据实际问题的变化特征（匀速、加速、减速、分段等）选择合适的函数模型（一次、二次、指数、对数、分段）。
• 能用指数模型（马尔萨斯人口模型 $y=y_0{e}^{rt}$）、碳14 衰减模型解决人口预测、考古测年等实际问题，理解模型的适用条件和局限性。
• 体会“用函数观点处理方程问题”和“不同函数增长方式适合不同实际问题”的数学思想。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

在 3.4 节（函数应用一）中，我们用函数模型描述实际问题的变化规律。本节进一步解决两个问题：①如何求不能用公式求解的方程（如 $\ln x+2x-6=0$）的实数解？②如何根据实际增长规律选择合适的函数模型？

对于第一个问题，思路是把方程 $f(x)=0$ 与函数 $y=f(x)$ 联系起来——方程的实数解就是函数图象与 $x$ 轴交点的横坐标（零点），借助函数图象和性质（连续性、单调性）可以确定零点的存在性、个数和近似值。这种“用函数观点处理方程”的方法，是本节的核心思想之一。

二、核心概念与定义条件

函数零点：对于函数 $y=f(x)$，使 $f(x)=0$ 的实数 $x$ 叫作函数 $y=f(x)$ 的零点（zero）。

三者等价关系（核心）：

$$\text{方程 }f(x)=0\text{ 有实数解}\iff \text{函数 }y=f(x)\text{ 有零点}\iff \text{函数图象与 }x\text{ 轴有公共点}.$$

注意：零点是横坐标（一个实数），不是图象上的“点”。例如 $f(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ 的零点是 $x=3$ 和 $x=-1$（两个实数），不是点 $(3,0)$ 和 $(-1,0)$。

三、符号语言与等价表示

函数零点存在定理：如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 $f(a)\cdot f(b)<0$（端点函数值异号），那么函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c\in (a,b)$，使得 $f(c)=0$。

理解定理要注意三点：

• “连续不断”是前提。如果函数在区间内有间断点（如 $y=\frac{1}{x}$ 在含 $0$ 的区间），定理不适用。
• “至少有一个”不等于“只有一个”。端点异号只能保证图象至少穿过 $x$ 轴一次；若函数上下波动，可能有多个零点。要证明唯一，需结合单调性（单调函数至多一个零点）。
• $f(a)f(b)<0$ 是充分条件，不是必要条件。有零点不一定端点异号（如 $f(x)=x^2$ 在 $[-1,1]$ 上有零点 $0$，但 $f(-1)f(1)=1>0$）。

二分法：对于在 $[a,b]$ 上图象连续不断且 $f(a)f(b)<0$ 的函数 $y=f(x)$，通过不断地把零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。

用二分法求零点近似值的一般步骤（给定精确度 $\epsilon$）：

1. 确定初始区间 $(a,b)$，验证 $f(a)f(b)<0$。
2. 求中点 $c=\frac{a+b}{2}$。
3. 计算 $f(c)$，确定新区间：
   • 若 $f(c)=0$，则 $c$ 就是零点（精确解）。
   • 若 $f(a)f(c)<0$，则零点在 $(a,c)$，令 $b=c$。
   • 若 $f(c)f(b)<0$，则零点在 $(c,b)$，令 $a=c$。
4. 判断精确度：若 $|a-b|<\epsilon$，则达到精确度，取 $a$（或 $b$）作为零点近似值；否则重复步骤 2–4。

精确度 $\epsilon$ 的含义：当 $|a-b|<\epsilon$ 时，区间 $[a,b]$ 内任意一点都是零点满足精确度 $\epsilon$ 的近似值（因为零点必在 $[a,b]$ 内，与 $a$ 或 $b$ 的差不超过 $|a-b|<\epsilon$）。

四、关键性质、定理与公式

判断方程实数解个数的方法：

1. 设 $f(x)$ 为方程一端，令 $f(x)=0$。
2. 用零点存在定理判断解的存在性（找端点异号的区间）。
3. 用单调性判断解的唯一性（$f$ 单调 $\Rightarrow$ 至多一个零点）。
4. 结合定义域确定解的范围。

常见函数的增长方式与模型选择：

变化特征	增长方式	适合的模型	典型例子
每次增加固定数量	直线上升（匀速）	一次函数 $y=kx+b$	匀速运动、固定单价
增长率固定，越增越快	指数爆炸	指数函数 $y=k{a}^x$	人口、细胞分裂、复利
增长越来越慢	对数增长	对数函数 $y=k{\log }_{a}x+b$	边际效益递减
有峰值或最值	抛物	二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$	面积、利润最值
规则分段变化	分段	分段函数	税费、阶梯价格

指数模型的标准形式：$y=k{a}^x$（$k\ne 0,a>0,a\ne 1$）。当 $a>1$ 时为增长，$0<a<1$ 时为衰减。马尔萨斯人口模型 $y=y_0{e}^{rt}$（$e$ 为自然对数底，$r$ 为增长率）是典型的连续指数增长模型。

五、典型模型与解题方法

模型一：判断方程解的个数。设 $f(x)$，找端点异号区间证存在性，用单调性证唯一性。

模型二：二分法求近似解。按四步法操作，每次区间长度减半，$n$ 次后区间长度为 $\frac{b-a}{2^n}$，当 $\frac{b-a}{2^n}<\epsilon$ 时停止。

模型三：已知模型求解实际量。指数模型 $y=y_0{e}^{rt}$ 或 $y=y_0{a}^x$，由两组数据定参数，再预测或反求。

模型四：碳14 考古测年。$y=k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}$，已知残留比例 $\frac{y}{k}$ 反求年代 $x=5730{\log }_{1/2}\frac{y}{k}$。

模型五：多模型比较与选择。根据增长特征选模型，或比较多个模型在特定区间的表现择优。

六、题型应用与迁移

本节题型分五类：①零点与方程解的关系（判断有无、几个）；②零点存在定理的应用（找区间、结合单调性定唯一）；③二分法求方程近似解；④指数/对数模型解决实际问题（人口、碳14、投资）；⑤根据增长特征选择函数模型。核心思想是“用函数观点处理方程”和“不同增长方式适合不同实际问题”。

重点梳理

• 零点是使函数值为 $0$ 的横坐标，不是图象上的点。这一概念区分之所以重要，是因为它关系到“零点”与“交点”的区分。$f(x)=0$ 的解 $x=c$ 是零点，对应的图象上的点是 $(c,0)$。零点是实数 $c$，不是点 $(c,0)$。
• 三者等价是处理方程问题的核心纽带。$f(x)=0$ 有解 $\iff f$ 有零点 $\iff$ 图象与 $x$ 轴有交点。这条等价关系把代数（方程）、分析（函数）、几何（图象）三者打通，使我们能用图象和函数性质研究方程解。
• 零点存在定理的条件和结论要分清。条件是“连续 + 端点异号”，结论是“至少一个零点”。“至少一个”不保证唯一——要证唯一必须加单调性。$f(a)f(b)<0$ 是充分的不是必要的（有零点不一定端点异号）。
• 二分法每次取中点，区间长度减半。这是最简单可靠的求近似零点的方法。$n$ 次二分后区间长度为 $\frac{b-a}{2^n}$，要达到精确度 $\epsilon$，需 $\frac{b-a}{2^n}<\epsilon$，即 $n>{\log }_2\frac{b-a}{\epsilon }$。
• 模型选择要基于实际增长特征。匀速增长用一次函数，增长率固定用指数函数，增速递减用对数函数，有最值用二次函数。选错模型会导致严重偏差。
• 模型有适用条件，不能无限外推。马尔萨斯人口模型假设增长率恒定，但实际受政策、资源、环境制约（我国计划生育使人口增长偏离模型）。用模型预测时必须检查条件是否满足。

难点突破

难点一：有零点不一定端点异号

$f(x)=x^2$ 在 $[-1,1]$ 上有零点 $0$，但 $f(-1)\cdot f(1)=1\cdot 1=1>0$。原因是图象在 $x=0$ 处“触碰”$x$ 轴但没有“穿过”（相切），端点同号。所以 $f(a)f(b)<0$ 保证图象“穿过”$x$ 轴（必有零点），但不穿过也可能有零点（如重根、切点）。

突破方法：$f(a)f(b)<0$ 是零点存在的充分条件（能推出有零点），但不是必要条件（有零点不一定 $f(a)f(b)<0$）。

难点二：“至少一个”与“唯一一个”的区别

$f(a)f(b)<0$ 只保证至少一个零点。若函数在 $(a,b)$ 内先增后减（非单调），可能多次穿过 $x$ 轴产生多个零点。要证明唯一，需证明 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调（单调函数至多穿过 $x$ 轴一次）。

突破方法：判断零点个数 = 零点存在定理（证存在）+ 单调性（证至多一个）。两者结合得“恰有一个”。

难点三：二分法的精确度判断

精确度 $\epsilon$ 的含义：当 $|a-b|<\epsilon$ 时，区间 $[a,b]$ 内任一点都是零点的满足精确度的近似值。原因是零点必在 $[a,b]$ 内，所以任一端点与零点的差 $\le |a-b|<\epsilon$。

突破方法：每次二分后检查 $|a-b|$ 是否小于 $\epsilon$，是则停止，取 $a$（或 $b$、或 $\frac{a+b}{2}$）作为近似值。初始区间 $(2,3)$ 长度 $1$，$n$ 次后长 $\frac{1}{2^n}$，要 $<0.01$ 需 $n>6.6$，即 $7$ 次。

难点四：模型选择与适用条件

面对实际问题，如何选模型？看增长特征：相邻数据之差恒定 $\to$ 一次函数；相邻数据比值恒定 $\to$ 指数函数；增速递减 $\to$ 对数函数。选定后还要检查模型在所考察范围内是否适用——超出适用条件（如人口模型受政策影响）预测会失准。

突破方法：先用数据计算差和比值判断类型，再建立模型，最后验证模型与实际是否吻合，不吻合要分析原因。

难点五：碳14 测年的计算

碳14 模型 $y=k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}$，已知残留比例 $\frac{y}{k}=p\%$，求 $x$：${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}=p\%$，取对数 $\frac{x}{5730}\lg \frac{1}{2}=\lg (p\%)$，$x=5730\cdot \frac{\lg (p\%)}{\lg (1/2)}=5730\cdot {\log }_{1/2}(p\%)$。

突破方法：先写出残留比例方程，再用对数反求 $x$，注意 $\lg (1/2)<0$ 时符号处理。可用换底公式转为 $\lg$ 或 $\ln$ 计算。

例题讲解

例1：求方程 $\ln x+2x-6=0$ 的实数解的个数

审题： 设 $f(x)=\ln x+2x-6$，用零点存在定理证存在，用单调性证唯一。

解： 设 $f(x)=\ln x+2x-6$，定义域 $(0,+\infty )$。

利用计算工具列出对应值：

$x$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$\ln 2-2\approx -1.31$	$\ln 3\approx 1.10$	$\ln 4+2\approx 3.39$

$f(2)\approx -1.31<0$，$f(3)\approx 1.10>0$，所以 $f(2)\cdot f(3)<0$。由零点存在定理，$f(x)$ 在 $(2,3)$ 内至少有一个零点。

又 $\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增，$2x-6$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增，两个增函数之和仍为增函数，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。单调函数至多一个零点。

综合：$f(x)$ 恰有一个零点，即方程 $\ln x+2x-6=0$ 恰有一个实数解。

反思： 判断解个数 = 存在性（定理）+ 唯一性（单调性）。注意 $f(x)$ 的定义域是 $(0,+\infty )$（$\ln x$ 要求 $x>0$）。

例2：用二分法求方程 $2^x+3x=7$ 的近似解（精确度 $0.1$）

审题： 设 $f(x)=2^x+3x-7$，找初始区间，反复二分。

解： 令 $f(x)=2^x+3x-7$。$f(1)=2+3-7=-2<0$，$f(2)=4+6-7=3>0$。$f(1)f(2)<0$，零点在 $(1,2)$。

步骤	区间 $(a,b)$	中点 $c$	$f(c)$ 的近似值	$f(c)$ 符号	新区间
1	$(1,2)$	$1.5$	$2^{1.5}+3\times 1.5-7\approx 2.83+4.5-7=0.33$	$+$	$(1,1.5)$
2	$(1,1.5)$	$1.25$	$2^{1.25}+3\times 1.25-7\approx 2.38+3.75-7=-0.87$	$-$	$(1.25,1.5)$
3	$(1.25,1.5)$	$1.375$	$2^{1.375}+3\times 1.375-7\approx 2.59+4.13-7=-0.28$	$-$	$(1.375,1.5)$
4	$(1.375,1.5)$	$1.4375$	$2^{1.4375}+3\times 1.4375-7\approx 2.71+4.31-7=0.02$	$+$	$(1.375,1.4375)$

第 4 步后 $|1.375-1.4375|=0.0625<0.1$，达到精确度 $\epsilon =0.1$。

取 $x\approx 1.375$（区间 $(1.375,1.4375)$ 内任一值均可，也可取中点 $1.40625$）作为方程的近似解。

检验： $f(1.375)\approx -0.28<0$，$f(1.4375)\approx 0.02>0$，零点确实在 $(1.375,1.4375)$ 内，区间长度 $0.0625<0.1$ ✓。

反思： 每次二分区间长度减半。精确度判断看 $|a-b|<\epsilon$，不是看 $f(c)$ 的大小。计算量大时可借助信息技术。

例3：人口增长模型（马尔萨斯模型）

以马尔萨斯人口增长模型 $y=y_0{e}^{rt}$ 为例。我国 1950 年末人口 $55196$ 万，1959 年末人口 $67207$ 万。

（1）建立 1950–1959 年的人口增长模型；（2）预测何时达到 $13$ 亿。

审题： 由两组数据定 $y_0$ 和 $r$，再预测。

解： （1）设 $1950$ 年为 $t=0$，则 $y_0=55196$。$t=9$ 时 $y=67207$：

$$67207=55196e^{9r},e^{9r}=\frac{67207}{55196}\approx 1.2176,9r\approx \ln 1.2176\approx 0.1969,r\approx \mathrm{0.02188.}$$

模型为 $y=55196e^{0.02188t}$（$t\in [0,9]$，$t=0$ 对应 1950 年）。

（2）$y=130000$：$130000=55196e^{0.02188t}$，$e^{0.02188t}\approx 2.355$，$0.02188t\approx \ln 2.355\approx 0.856$，$t\approx 39.1$。即约 $39$ 年后（$1989$ 年左右）达到 $13$ 亿。

反思： 实际上我国 $1990$ 年人口约 $11.43$ 亿，直到 $2005$ 年才突破 $13$ 亿。模型预测与实际不符，原因是 $1970$ 年代后实施计划生育，增长率下降，模型条件（$r$ 恒定）不再满足。这说明模型有适用条件，不能无限外推。

例4：碳14 考古测年

2010 年检测某水坝草裹泥中碳14 残留量为初始量的 $55.2\%$，推断水坝建造年代（碳14 半衰期 $5730$ 年）。

审题： 用指数衰减模型 $y=k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}$，已知 $\frac{y}{k}=0.552$ 反求 $x$。

解： 设初始量为 $k$，经过 $x$ 年后残留量为

$$y=k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}.$$

由 $\frac{y}{k}=0.552$：

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}=\mathrm{0.552.}$$

取常用对数：$\frac{x}{5730}\lg \frac{1}{2}=\lg 0.552$，

$$x=5730\times \frac{\lg 0.552}{\lg 0.5}=5730\times \frac{-0.258}{-0.301}\approx 5730\times 0.857\approx 4912\text{ (年)}.$$

2010 年之前 $4912$ 年约为公元前 $2903$ 年。所以水坝约建于公元前 $2903$ 年。

反思： 碳14 测年是指数衰减模型 $y=k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}$ 的经典应用。已知残留比例反求年代，本质是对数运算。

例5：三种投资方案的选择

三种投资方案：方案一每天回报 $40$ 元；方案二第一天 $10$ 元，以后每天多 $10$ 元；方案三第一天 $0.4$ 元，以后每天翻一番。选择哪种方案？

审题： 分别建立函数模型，比较增长情况。

解： 设第 $x$ 天回报 $y$ 元：

• 方案一：$y=40$（常数函数）。
• 方案二：$y=10x$（一次函数，匀速增长）。
• 方案三：$y=0.4\times 2^{x-1}$（指数函数，指数爆炸）。

比较每天回报：第 $1$–$3$ 天方案一最多（$40$）；第 $4$ 天方案一方案二并列（$40$）；第 $5$–$8$ 天方案二最多；第 $9$ 天起方案三反超且远超（第 $30$ 天方案三约 $2.1$ 亿元！）。

比较累计回报：投资 $1$–$6$ 天选方案一；$7$ 天选方案一或二；$8$–$10$ 天选方案二；$11$ 天以上选方案三。

反思： 常数函数（不增长）$<$ 一次函数（匀速）$<$ 指数函数（爆炸）。短期内常数或线性占优，长期指数必胜。这就是“指数爆炸”的威力——选择方案要结合投资期限。

易错点整理

• 错误表现：把零点理解成图象上的“点”而不是横坐标。

  • 正确处理：零点是使 $f(x)=0$ 的实数 $x$（横坐标），不是点 $(x,0)$。

• 错误表现：使用零点存在定理时忘记检查“连续不断”条件。

  • 反例：$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $[-1,1]$ 上 $f(-1)f(1)=-1<0$，但 $f$ 在 $0$ 处间断，定理不适用，实际上 $f$ 无零点。
  • 正确处理：先确认函数在区间上图象连续，再用定理。

• 错误表现：由 $f(a)f(b)<0$ 直接断定“只有一个零点”。

  • 错因分析：“至少一个”不等于“只有一个”。需结合单调性才能定唯一。
  • 正确处理：先用定理证存在，再用单调性证至多一个，两者结合得恰一个。

• 错误表现：二分法中没有保留函数值异号的区间。

  • 反例：$f(1.5)>0$ 时令 $a=1.5$ 而非 $b=1.5$，导致新区间不再异号。
  • 正确处理：比较 $f(c)$ 与 $f(a)$、$f(b)$ 的符号，保留异号的半区间（$f(a)f(c)<0$ 则令 $b=c$）。

• 错误表现：二分法达到精确度判断错误（看 $f(c)$ 大小而非 $|a-b|$）。

  • 正确处理：停止条件是 $|a-b|<\epsilon$（区间长度小于精确度），不是 $|f(c)|$ 小于某值。

• 错误表现：实际建模时不考虑模型适用条件，无限外推。

  • 正确处理：模型有适用范围（如人口模型假设增长率恒定）。预测时要检查条件是否满足，不符时要修正模型。

考点考证点整理

考点一：函数零点与方程解的关系

• 出题思路：判断方程有无实数解、解的个数；或给函数图象判断零点个数。
• 关键条件：$f(x)=0$ 有解 $\iff f$ 有零点 $\iff$ 图象与 $x$ 轴有交点。
• 解答要点：设 $f(x)$，用零点存在定理找异号区间证存在，用单调性证唯一，结合定义域确定范围。
• 易扣分点：零点写成点 $(x,0)$；不检查连续性；由异号直接说唯一。

考点二：零点存在定理的应用

• 出题思路：判断某区间内有无零点；找零点所在区间；结合单调性判断零点个数。
• 关键条件：连续 + $f(a)f(b)<0$ $\Rightarrow$ 至少一个零点；单调 $\Rightarrow$ 至多一个。
• 解答要点：验证连续 $\to$ 找异号端点 $\to$ 定理证存在 $\to$ 单调性证唯一。
• 易扣分点：不验证连续性；“至少一个”写成“一个”；单调性证明不完整。

考点三：二分法求近似解

• 出题思路：给定方程和精确度，用二分法求近似解。
• 关键条件：$f(a)f(b)<0$；中点 $c=\frac{a+b}{2}$；停止条件 $|a-b|<\epsilon$。
• 解答要点：确定初始区间 $\to$ 取中点 $\to$ 判断 $f(c)$ 定新区间 $\to$ 检查 $|a-b|<\epsilon$。列表记录每步。
• 易扣分点：新区间选错（未保留异号半区间）；停止条件看 $f(c)$ 而非 $|a-b|$；计算错误。

考点四：指数模型解决实际问题

• 出题思路：人口增长（马尔萨斯 $y=y_0{e}^{rt}$）、碳14 考古、复利、倍增期、衰减等。
• 关键条件：$y=k{a}^x$ 或 $y=y_0{e}^{rt}$；由数据定参数；半衰期 $h\Rightarrow y=k(1/2{)}^{x/h}$。
• 解答要点：设模型 $\to$ 代入数据定参 $\to$ 预测或反求（取对数）$\to$ 结合实际解释。
• 易扣分点：参数求错；反求时取对数计算错；不考虑模型适用条件；单位混乱。

考点五：函数模型的选择与比较

• 出题思路：给实际情境选模型；比较多个模型的增长差异择优；根据数据判断增长类型。
• 关键条件：增长特征（差恒定/比值恒定/增速递减）；模型在区间的表现。
• 解答要点：分析增长特征 $\to$ 选模型 $\to$ 比较各模型在目标区间的表现 $\to$ 择优并说明理由。
• 易扣分点：模型选错（线性/指数/对数混淆）；不考虑适用范围；比较时范围判断错。

练习题

基础训练

1. 已知 $f(x)=x^2-2x-3$，判断它在 $(2,4)$ 内是否有零点，并求出零点。
2. 已知 $f(x)=x^3+x-1$，证明它在 $(0,1)$ 内至少有一个零点。再结合单调性说明有几个零点。
3. 判断方程 $\ln x+2x-6=0$ 的实数解在哪个区间内（区间长度为 $1$）。
4. 用二分法求方程 $2^x+3x=7$ 在 $(1,2)$ 内的近似解时，第一次取中点 $1.5$，$f(1.5)\approx 0.33>0$，零点的新区间是 $(1,1.5)$ 还是 $(1.5,2)$？
5. 某细菌每 $3$ 分钟分裂一次（$1$ 个变 $2$ 个），初始 $2$ KB 内存占用，写出 $t$ 分钟后内存占用量模型。

巩固训练

1. 借助计算工具，用二分法求函数 $f(x)=x^3+1.1x^2+0.9x-1.4$ 在 $(0,1)$ 内零点的近似值（精确度 $0.1$）。
2. 借助计算工具，用二分法求方程 $x=3-\lg x$ 在 $(2,3)$ 内的近似解（精确度 $0.1$）。
3. 三个变量 $y_1,y_2,y_3$ 随 $x$ 变化的部分数据：$y_1$ 相邻项差恒为 $5$；$y_2$ 相邻项比值恒为 $2$；$y_3$ 增速递减。判断各对应哪种增长模型。
4. 某药物初始量 $2500$ mg，每小时衰减 $20\%$。
   （1）写出 $t$ 小时后剩余量模型；
   （2）经过几小时剩余量降至 $500$ mg 以下？（精确到 $1$ 小时）
5. 已知 $1650$ 年世界人口约 $5$ 亿，年增长率 $0.3\%$。用马尔萨斯模型 $y=y_0{e}^{rt}$ 估算何时世界人口达到 $10$ 亿。（精确到 $1$ 年）

提升训练

1. 1959 年考古学家在河南偃师二里头村发掘古建筑群，某样本碳14 残留量约为初始量的 $62.76\%$。推断二里头遗址大概是什么年代的？（碳14 半衰期 $5730$ 年，精确到 $1$ 年）
2. 某公司利润目标 $1000$ 万元，制定奖励方案：销售利润达 $10$ 万元起奖，奖金 $y$（万元）随销售利润 $x$（万元）递增，但奖金总数不超过 $5$ 万元，且奖金不超过利润的 $25\%$。现有三个奖励模型：$y=0.25x$、$y={\log }_{2}x$、$y=1.002^x$。结合三类函数的增长差异，分析在区间 $[10,1000]$ 上哪个模型最符合“增长但不超 $5$ 万、且 $\le 0.25x$”的要求。
3. 某地野兔倍增期为 $21$ 个月。$1$ 万只野兔增长到 $1$ 亿只大约需要多少年？（精确到 $1$ 年）
4. 已知函数 $f(x)=e^x-1-4x+4$，判断它在 $(0,2)$ 内零点的个数，并说明理由。

练习题答案

基础训练答案

1. $f(2)=4-4-3=-3<0$，$f(4)=16-8-3=5>0$，$f(2)f(4)<0$，所以 $(2,4)$ 内有零点。$f(x)=0$ 即 $(x-3)(x+1)=0$，$x=3$ 或 $x=-1$。在 $(2,4)$ 内的零点是 $x=3$。
2. $f(0)=0+0-1=-1<0$，$f(1)=1+1-1=1>0$，$f(0)f(1)<0$，$f(x)$ 连续，所以 $(0,1)$ 内至少有一个零点。又因 $x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，$x$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，$-1$ 是常数，故 $f(x)=x^3+x-1$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增（两个增函数之和仍为增函数）。单调函数至多一个零点。结合存在性，$(0,1)$ 内恰有一个零点。
3. 设 $f(x)=\ln x+2x-6$。$f(2)=\ln 2-2\approx -1.31<0$，$f(3)=\ln 3\approx 1.10>0$，$f(2)f(3)<0$。故实数解在 $(2,3)$ 内。
4. $f(1)=-2<0$，$f(1.5)\approx 0.33>0$，$f(1)f(1.5)<0$，所以零点在 $(1,1.5)$。新区间是 $(1,1.5)$。
5. 每 $3$ 分钟分裂一次即每 $3$ 分钟翻倍，$t$ 分钟经历 $t/3$ 次翻倍。$y=2\times 2^{t/3}=2^{1+t/3}$ KB。

巩固训练答案

1. $f(0)=-1.4<0$，$f(1)=1+1.1+0.9-1.4=1.6>0$，零点在 $(0,1)$。中点 $0.5$：$f(0.5)=0.125+0.275+0.45-1.4=-0.55<0$，零点在 $(0.5,1)$。中点 $0.75$：$f(0.75)=0.422+0.619+0.675-1.4=0.316>0$，零点在 $(0.5,0.75)$。$|0.5-0.75|=0.25>0.1$。中点 $0.625$：$f(0.625)\approx 0.244+0.430+0.563-1.4=-0.163<0$，零点在 $(0.625,0.75)$。$|0.625-0.75|=0.125>0.1$。中点 $0.6875$：$f(0.6875)\approx 0.325+0.520+0.619-1.4=0.064>0$，零点在 $(0.625,0.6875)$。$|0.625-0.6875|=0.0625<0.1$ ✓。近似值取 $0.625$（或区间内任一值）。
2. 设 $f(x)=x-3+\lg x$，则 $x=3-\lg x\iff f(x)=0$。$f(2)=2-3+\lg 2=-1+0.301=-0.699<0$，$f(3)=3-3+\lg 3=0.477>0$，零点在 $(2,3)$。中点 $2.5$：$f(2.5)=2.5-3+\lg 2.5=-0.5+0.398=-0.102<0$，零点在 $(2.5,3)$。中点 $2.75$：$f(2.75)=2.75-3+\lg 2.75=-0.25+0.439=0.189>0$，零点在 $(2.5,2.75)$。$|2.5-2.75|=0.25>0.1$。中点 $2.625$：$f(2.625)=-0.375+\lg 2.625=-0.375+0.419=0.044>0$，零点在 $(2.5,2.625)$。$|2.5-2.625|=0.125>0.1$。中点 $2.5625$：$f(2.5625)\approx -0.4375+0.409=-0.029<0$，零点在 $(2.5625,2.625)$。$|2.5625-2.625|=0.0625<0.1$ ✓。近似值取 $2.5625\approx 2.6$。
3. $y_1$ 差恒定 $\to$ 线性增长 $\to$ 一次函数 $y=kx+b$。$y_2$ 比值恒定 $\to$ 指数增长 $\to$ 指数函数 $y=k{a}^x$。$y_3$ 增速递减 $\to$ 对数增长 $\to$ 对数函数 $y=k{\log }_{a}x+b$（也可能是二次函数等，增速递减是共同特征）。
4. （1）每小时衰减 $20\%$，即每小时变为 $0.8$ 倍。$y=2500\times 0.8^t$（$t\ge 0$，mg）。
   （2）$2500\times 0.8^t<500$，$0.8^t<0.2$。取对数：$t\lg 0.8<\lg 0.2$，因 $\lg 0.8<0$ 不等号反向：$t>\frac{\lg 0.2}{\lg 0.8}=\frac{-0.699}{-0.097}\approx 7.21$。所以至少 $8$ 小时。（验证：$0.8^7\approx 0.2097$，$2500\times 0.2097\approx 524>500$；$0.8^8\approx 0.1678$，$2500\times 0.1678\approx 420<500$ ✓。）
5. $y_0=5$（亿），$r=0.003$。$y=5e^{0.003t}=10$，$e^{0.003t}=2$，$0.003t=\ln 2\approx 0.693$，$t\approx 231$。约 $1650+231=1881$ 年世界人口达 $10$ 亿。（实际 $1850$ 年前已超 $10$ 亿，因增长率上升。）

提升训练答案

1. $y=k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}=0.6276k$，${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/5730}=0.6276$。$\frac{x}{5730}=\frac{\lg 0.6276}{\lg 0.5}=\frac{-0.2024}{-0.3010}\approx 0.672$，$x\approx 5730\times 0.672\approx 3851$ 年。1959 年之前 $3851$ 年约为公元前 $1892$ 年。所以二里头遗址约建于公元前 $1892$ 年（实际二里头遗址约公元前 $1750$–前 $1530$ 年，模型估算与考古结论大致吻合）。

2. 三个模型的增长方式不同：$y=0.25x$ 是线性匀速增长，$y=1.002^x$ 是指数爆炸增长，$y={\log }_{2}x$ 是对数增长（增速越来越慢）。逐一检查两条要求：

   • $y=0.25x$：$x=20$ 时 $y=5$（恰好达到上限），$x>20$ 时 $y>5$ 超标。在 $[10,1000]$ 上当 $x>20$ 就不符合“奖金 $\le 5$ 万元”。不符合。
   • $y=1.002^x$：指数增长越来越快，$1.002^{1000}\approx 7.37>5$。事实上 $1.002^x\approx 5$ 时 $x\approx \frac{\lg 5}{\lg 1.002}\approx \frac{0.699}{0.000869}\approx 805$，当 $x>805$ 时 $y>5$。不符合。
   • $y={\log }_{2}x$：$x=10$ 时 $y\approx 3.32<5$；$x=31$ 时 $y\approx 4.95<5$；$x=32$ 时 $y=5$。所以当 $x\ge 32$ 时 $y\ge 5$，也会超标。

   综上，若仅在这三个模型中选，它们的参数都不满足“在 $[10,1000]$ 上恒有 $y\le 5$”。但比较三种增长方式，对数函数 $y={\log }_{2}x$ 增长最慢（增速递减），是三者中最接近要求的——它直到 $x\approx 31$ 才达到 $5$，而线性模型 $x=20$ 就达 $5$、指数模型在 $x\approx 805$ 时已达 $5$ 且随后飞速增长。因此，对数模型是增长最平缓、最接近“增长但不失控”要求的模型类型。实际设计奖励方案时，只需将对数函数的系数适当缩小（如 $y=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$ 或换更大的底数），即可在 $[10,1000]$ 上始终满足 $y\le 5$ 且 $y\le 0.25x$。这也说明对数增长适合描述“要求增长但不希望增长过快”的激励场景。

3. 倍增期 $21$ 个月。设初始 $N_0=1$ 万，目标 $N=10^4$ 万（$1$ 亿）。$N=N_0\cdot 2^{t/21}$，$10^4=2^{t/21}$，$\frac{t}{21}={\log }_{2}10^4=4{\log }_{2}10\approx 4\times 3.322=13.289$，$t\approx 21\times 13.289\approx 279$ 个月 $\approx 23.3$ 年。所以约需 $23$ 年。

4. $f(x)=e^x-4x+3$。$f(0)=1-0+3=4>0$，$f(1)=e-4+3\approx 1.718>0$，$f(2)=e^2-8+3\approx 2.389>0$，端点同号。取更密的点：$f(1.5)=e^{1.5}-6+3\approx 4.482-3=1.482>0$。实际上 $e^x-4x$ 的最小值在 $x=\ln 4\approx 1.386$ 处（$e^x$ 与 $4x$ 相切时），$f(\ln 4)=4-4\ln 4+3=7-4\times 1.386\approx 1.46>0$。所以 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上的最小值约为 $1.46>0$，$f(x)$ 在 $(0,2)$ 内恒正，无零点（图象不与 $x$ 轴相交）。