5.7 三角函数的应用

本节学习目标

学完本节，你应该能够：

• 识别现实生活中可以用三角函数描述的周期现象。
• 会从数据表、图象或文字描述中提取最大值、最小值、周期、初始状态等关键信息。
• 会建立 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 型三角函数模型，并解释 $A,\omega ,\phi ,b$ 的实际意义。
• 会利用模型求特定时刻的函数值、解简单不等式、进行预测或解释现象。
• 理解三角函数模型是近似模型，使用时要关注自变量的有效范围。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

三角函数最重要的性质是周期性。因此，当现实问题中的某个量随时间（或空间）“周而复始”地变化时，就可以考虑用三角函数来刻画它。例如：

• 一天内的气温变化；
• 海水的潮汐涨落；
• 弹簧振子、单摆的位移变化；
• 交变电流、电压的变化；
• 摩天轮、筒车等匀速圆周运动产生的高度变化。

这些问题都可以通过 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 这个“正弦型函数”来近似描述。

二、核心概念与定义条件

1. 正弦型函数模型

   一般形式为

   $$y=A\sin (\omega x+\phi )+b,$$

   其中通常 $A>0$，$\omega >0$，$x$ 表示时间或自变量，$y$ 表示要研究的量。

   参数	数学意义	实际意义
   $A$	振幅	离开中线（平衡位置）的最大距离；$M-m=2A$
   $b$	垂直平移量	中线位置；$b=\frac{M+m}{2}$
   $\omega$	角频率	决定周期；$\omega =\frac{2\pi }{T}$
   $T$	周期	完成一次完整往复所需时间
   $f$	频率	$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$
   $\omega x+\phi$	相位	反映当前时刻在周期中的位置
   $\phi$	初相	$x=0$ 时的相位；决定初始状态

2. 由最大、最小值确定 $A$ 和 $b$

   若实际量最大值为 $M$，最小值为 $m$，则

   $$A=\frac{M-m}{2},b=\frac{M+m}{2}.$$

3. 由周期确定 $\omega$

   若周期为 $T$，则

   $$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

   若已知频率 $f$，则 $\omega =2\pi f$。

4. 由初始状态或特殊点确定 $\phi$

   求出 $A,b,\omega$ 后，将某个已知点 $(x_0,y_0)$ 代入模型，解出 $\phi$。通常选择最高点、最低点或 $x=0$ 时的值。

   注意：如果已知点不是最高点或最低点，$\phi$ 可能有多解，需要结合“函数在该点是上升还是下降”来确定唯一值。

5. 简谐运动中的术语

   在物理学中，弹簧振子、单摆等“在某中心位置附近往复运动”的运动称为简谐运动，其位移 $y$ 与时间 $t$ 的关系常写成

   $$y=A\sin (\omega t+\phi ).$$
   • 振幅 $A$：离开平衡位置的最大距离；
   • 周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$：往复一次所需时间；
   • 频率 $f=\frac{1}{T}$：单位时间内往复次数；
   • 相位 $\omega t+\phi$：时刻 $t$ 的“角位置”；
   • 初相 $\phi$：$t=0$ 时的相位。

6. 建模的一般步骤

   1. 观察数据或图象：判断是否具有周期性；
   2. 求 $A$ 和 $b$：从最大、最小值出发；
   3. 求 $\omega$：从周期或频率出发；
   4. 求 $\phi$：代入一个已知点（特别是初始状态）；
   5. 写出解析式：$y=A\sin (\omega x+\phi )+b$；
   6. 检验：代入其他已知点验证；
   7. 求解问题：利用模型求值、预测或解不等式。

三、符号语言与等价表示

• 最大值、最小值与振幅、中线的关系：

  $$A=\frac{M-m}{2},b=\frac{M+m}{2},M=A+b,m=-A+b.$$

• 周期与角频率的关系：

  $$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f.$$

• 正弦与余弦的等价选择：

  $$A\sin (\omega x+\phi )=A\cos \left(\omega x+\phi -\frac{\pi }{2}\right).$$

  若初始时刻在最大值，用 $y=A\cos (\omega x)+b$ 更方便；若初始时刻在中线且向上运动，用 $y=A\sin (\omega x)+b$ 更方便。

四、关键性质、定理与公式

1. 参数提取公式

   $$A=\frac{M-m}{2},b=\frac{M+m}{2},\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

2. 求初相 $\phi$ 的常用方程

   • 若 $x=0$ 时 $y=b$ 且向上运动，则 $\sin \phi =0$，$\phi =0$；
   • 若 $x=0$ 时 $y=M$（最大值），则 $\sin \phi =1$，$\phi =\frac{\pi }{2}$；
   • 若 $x=0$ 时 $y=m$（最小值），则 $\sin \phi =-1$，$\phi =-\frac{\pi }{2}$。

   一般情况：代入已知点解方程，并根据增减趋势选择合理分支。

3. 模型检验

   写出解析式后，最好代入另一个已知点（如 $x=\frac{T}{4}$）验证是否吻合。

五、典型模型与解题方法

1. 由数据表建模

   观察数据是否呈现“周期性波动”，读出最大、最小值和周期，再用一个已知点求 $\phi$。

2. 由图象建模

   从图象中读取波峰、波谷、周期长度和一个特殊点的坐标，代入求参。

3. 解不等式模型

   例如“水深不低于多少时船可以进港”，将模型代入不等式，解出 $x$ 的范围，再结合周期和实际情况解释。

4. 预测与解释模型

   利用模型求某个特定时刻的函数值，或解释参数的实际意义。

六、题型应用与迁移

三角函数应用题型主要包括：

• 根据表格数据建立三角函数模型；
• 根据函数图象建立模型；
• 根据文字描述（最大、最小、周期、初始状态）建立模型；
• 利用模型求某时刻的函数值；
• 利用模型解不等式，解决“何时可行”问题；
• 解释参数在实际问题中的意义。

重点梳理

1. 三角函数适合描述周期现象

   只要问题具有“重复出现、有最大值、最小值、周期”的特征，就可以优先考虑三角函数模型。

2. $A$ 和 $b$ 从最大、最小值确定

   这是建模中最稳定的两个参数。即使 $\phi$ 难求，$A$ 和 $b$ 也可以先定下来。

3. 周期 $T$ 必须仔细读取

   相邻两个波峰（或波谷）之间的水平距离就是一个周期。如果数据是离散的，周期可能需要用相邻同相点的间隔来估计。

4. 初相 $\phi$ 由初始状态决定

   $x=0$ 时的函数值和变化趋势（上升还是下降）共同决定 $\phi$。仅知道 $y(0)$ 可能不够。

5. 单位必须统一

   周期用小时，$x$ 就用小时；角频率用 $\text{rad/s}$，时间就用秒。不要混用。

6. 模型是近似的

   温度、潮汐等现实问题往往受到多种因素影响，三角函数模型只在一定时间范围内有效，不能无限外推。

难点突破

难点 1：如何选择正弦还是余弦

正弦和余弦只差一个相位平移 $\frac{\pi }{2}$。选择原则：

• 若 $x=0$ 时函数在中线且向上增加，用 $y=A\sin (\omega x)+b$ 最简洁；
• 若 $x=0$ 时函数在最大值，用 $y=A\cos (\omega x)+b$ 最简洁；
• 若 $x=0$ 时函数在最小值，用 $y=-A\cos (\omega x)+b$ 最简洁。

例如，弹簧振子 $t=0$ 时位移为 $-20$（最低点），用余弦模型可写成 $y=-20\cos \frac{10\pi }{3}t$，与正弦模型 $y=20\sin \left(\frac{10\pi }{3}t-\frac{\pi }{2}\right)$ 等价。

难点 2：由离散数据求 $\phi$

如果数据表中 $x=0$ 的值不是特殊值，例如 $y(0)=10$，而 $A=20$，$b=0$，则

$$20\sin \phi =10,\sin \phi =\frac{1}{2}.$$

此时 $\phi$ 可能是 $\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$。需要看 $t=0$ 之后函数是上升还是下降：

• 若上升，取 $\phi =\frac{\pi }{6}$；
• 若下降，取 $\phi =\frac{5\pi }{6}$。

难点 3：解不等式得到可行区间

例如潮位模型 $y=2.5\sin \frac{5\pi }{31}x+5$，要求 $y\ge 5.5$：

$$2.5\sin \frac{5\pi }{31}x+5\ge 5.5⟹\sin \frac{5\pi }{31}x\ge \mathrm{0.2.}$$

利用计算器求出 $\arcsin 0.2\approx 0.2014$，结合正弦函数图象，在一个周期 $[0,12.4]$ 内解为

$$0.2014\le \frac{5\pi }{31}x\le \pi -0.2014,$$

即

$$0.3975\le x\le \mathrm{5.8025.}$$

再利用周期性，得到下一周期的可行区间。这体现了“数形结合”思想。

难点 4：模型有效范围

实际问题中，三角函数模型通常只在观测区间内有效。例如温度曲线模型只描述了 $6\sim 14$ 时的变化，不能用来预测第二天的气温。因此解题时一定要注意自变量的取值范围。

例题讲解

例题 1：由数据表建立弹簧振子模型

某弹簧振子完成一次全振动的数据如下：

$t$/s	$0$	$0.05$	$0.10$	$0.15$	$0.20$	$0.25$	$0.30$	$0.35$	$0.40$	$0.45$	$0.50$	$0.55$	$0.60$
$y$/mm	$-20.0$	$-17.8$	$-10.1$	$0.1$	$10.3$	$17.7$	$20.0$	$17.7$	$10.3$	$0.1$	$-10.1$	$-17.8$	$-20.0$

试确定位移 $y$ 关于时间 $t$ 的函数解析式。

分析：数据呈周期性，最大 $20$，最小 $-20$，周期 $0.6\text{s}$。$t=0$ 时 $y=-20$ 为最小值，适合用负余弦或正弦加初相。

解：

振幅

$$A=\frac{20-(-20)}{2}=20.$$

中线 $b=0$（因为最大值与最小值关于 $0$ 对称）。

周期 $T=0.6$，所以

$$\omega =\frac{2\pi }{0.6}=\frac{10\pi }{3}.$$

$t=0$ 时 $y=-20$，即 $20\sin \phi =-20$，所以 $\sin \phi =-1$，取 $\phi =-\frac{\pi }{2}$。

因此解析式为

$$y=20\sin \left(\frac{10\pi }{3}t-\frac{\pi }{2}\right),t\ge 0.$$

反思：因为 $t=0$ 在最小值点，也可以写成 $y=-20\cos \frac{10\pi }{3}t$。两种形式等价，选择哪种取决于方便程度。

例题 2：由图象建立交变电流模型

图象显示某交变电流 $i$（单位：A）随时间 $t$（单位：s）变化，最大值为 $5$，周期约为 $0.02$ s，$t=0$ 时 $i\approx 4.33$ A。求 $i$ 关于 $t$ 的函数解析式。

分析：电流呈正弦变化，用 $i=A\sin (\omega t+\phi )$。由最大、周期和初始值确定参数。

解：

$A=5$。周期 $T=0.02$，所以

$$\omega =\frac{2\pi }{0.02}=100\pi .$$

$t=0$ 时 $i=5\sin \phi =4.33$，所以

$$\sin \phi =\frac{4.33}{5}\approx \mathrm{0.866.}$$

取 $\phi =\frac{\pi }{3}$（初相在第一象限，符合电流由正方向上升的初始趋势）。

因此

$$i=5\sin (100\pi t+\frac{\pi }{3}),t\ge 0.$$

反思：实际问题中初相常常由测量数据近似得到。由于 $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$，所以 $\phi =\frac{\pi }{3}$ 与数据吻合。

例题 3：温度变化曲线模型

某地一天从 $6$ 时到 $14$ 时的温度变化曲线近似满足 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$。已知 $6$ 时温度为 $10^{\circ }\text{C}$（最低），$14$ 时温度为 $30^{\circ }\text{C}$（最高）。求这段曲线的函数解析式。

分析：$6\sim 14$ 时恰好是从最低到最高，对应半个周期，最高点为 $30$，最低点为 $10$。

解：

最大温差 $30-10=20^{\circ }\text{C}$，所以

$$A=\frac{20}{2}=10,b=\frac{30+10}{2}=20.$$

$6$ 时到 $14$ 时为半个周期，所以

$$\frac{T}{2}=14-6=8,T=16,\omega =\frac{2\pi }{16}=\frac{\pi }{8}.$$

$6$ 时达到最低点，即 $x=6$ 时 $\sin (\omega x+\phi )=-1$，所以

$$\frac{\pi }{8}\cdot 6+\phi =-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,$$

即 $\frac{3\pi }{4}+\phi =-\frac{\pi }{2}+2k\pi$，解得 $\phi =-\frac{5\pi }{4}+2k\pi$。取 $k=1$，得 $\phi =\frac{3\pi }{4}$。

验证：$y(6)=10\sin \left(\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}\right)+20=10\sin \frac{3\pi }{2}+20=10$ ✓；$y(14)=10\sin \left(\frac{7\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}\right)+20=10\sin \frac{5\pi }{2}+20=30$ ✓。

因此解析式为

$$y=10\sin \left(\frac{\pi }{8}x+\frac{3\pi }{4}\right)+20,6\le x\le 14.$$

反思：本题中“$6$ 时到 $14$ 时”不是完整周期，而是半个周期，所以 $T=16$ 而不是 $8$。求 $\phi$ 时，代入最低点解方程并验证，是避免符号错误的有效方法。

反思：本题中“$6$ 时到 $14$ 时”不是完整周期，而是半个周期，所以 $T=16$ 而不是 $8$。$\phi$ 的取值不唯一，选择最简洁的形式即可。

例题 4：潮汐与港口安全

某港口某天水深 $y$（m）随时间 $x$（h）变化的数据如下表（部分）：

时刻	$0:00$	$3:06$	$6:12$	$9:18$	$12:24$	$15:30$	$18:36$	$21:42$	$24:00$
水深/m	$5.0$	$7.5$	$5.0$	$2.5$	$5.0$	$7.5$	$5.0$	$2.5$	$4.0$

（1）用函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+h$ 近似描述水深与时间的关系；
（2）一艘货船吃水深度 $4\text{m}$，安全条例要求至少 $1.5\text{m}$ 的安全间隙，求该船大约何时可以进入港口并在港口停留多久。

分析：数据呈周期变化，相邻高潮间隔约 $12.4$ h，最高 $7.5$，最低 $2.5$。

解：

（1）最大值 $7.5$，最小值 $2.5$，所以

$$A=\frac{7.5-2.5}{2}=2.5,h=\frac{7.5+2.5}{2}=5.$$

相邻高潮间隔 $12.4$ h，即周期 $T=12.4$，所以

$$\omega =\frac{2\pi }{12.4}=\frac{5\pi }{31}.$$

$x=0$ 时水深 $5.0$，即中线上，且随后水深增加，所以 $\sin \phi =0$ 且取 $\phi =0$。

因此

$$y=2.5\sin \frac{5\pi }{31}x+5.$$

（2）货船需要的安全水深为 $4+1.5=5.5$ m。令

$$2.5\sin \frac{5\pi }{31}x+5\ge 5.5,$$

即

$$\sin \frac{5\pi }{31}x\ge \mathrm{0.2.}$$

利用计算器，$\arcsin 0.2\approx 0.2014$。在一个周期 $[0,12.4]$ 内，解得

$$0.3975\le x\le \mathrm{5.8025.}$$

所以在 $0.4$ h 到 $5.8$ h 之间（约 $0:24$ 至 $5:48$）可以进港并停留，停留时间约 $5.4$ h。

利用周期性，下一周期内也有可行区间 $12.8\le x\le 18.2$，即约 $13:00$ 至 $18:00$。

反思：解实际不等式时，要先用计算器求出相位角，再结合正弦曲线图象确定区间，最后把区间翻译成“几时几分”的实际时间。

例题 5：由简谐运动描述求参数

某简谐运动的位移 $y$ 与时间 $t$ 的关系为 $y=3\sin (4t+\phi )$。已知 $t=0$ 时 $y=1.5$ 且质点向上运动，求初相 $\phi$ 和周期 $T$。

分析：$A=3$，$\omega =4$。代入 $t=0$ 得 $3\sin \phi =1.5$，结合“向上运动”确定 $\phi$。

解：

由 $3\sin \phi =1.5$ 得 $\sin \phi =\frac{1}{2}$，所以 $\phi =\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$。

$t=0$ 时向上运动，说明速度为正。速度

$$v=\frac{dy}{dt}=3\cdot 4\cos (4t+\phi )=12\cos \phi .$$

$v>0$ 要求 $\cos \phi >0$，所以 $\phi =\frac{\pi }{6}$。

周期

$$T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}.$$

反思：若只根据 $y(0)$ 的值确定 $\phi$，可能得到两个解；结合“运动方向”才能唯一确定。

易错点整理

1. 把振幅当成最大值

   • 错误表现：$y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 中 $A$ 直接写成最大值。
   • 错因分析：$A$ 是振幅，最大值是 $A+b$。
   • 正确处理：$A=\frac{M-m}{2}$，$b=\frac{M+m}{2}$。

2. 周期与 $\omega$ 关系写反

   • 错误表现：$T=2\pi \omega$。
   • 错因分析：混淆周期与角频率。
   • 正确处理：$T=\frac{2\pi }{\omega }$，$\omega =\frac{2\pi }{T}$。

3. 求 $\phi$ 时忽略运动方向

   • 错误表现：$y(0)=1.5$，$A=3$ 时直接取 $\phi =\frac{\pi }{6}$，不判断上升或下降。
   • 错因分析：$\sin \phi =\frac{1}{2}$ 有两解。
   • 正确处理：结合“上升”取 $\phi =\frac{\pi }{6}$，下降则取 $\phi =\frac{5\pi }{6}$。

4. 单位不统一

   • 错误表现：周期用“小时”，角速度却用 $\text{rad/s}$。
   • 错因分析：没统一时间单位。
   • 正确处理：时间单位统一为秒或小时，再计算 $\omega$。

5. 忘记模型有效范围

   • 错误表现：用 $6\sim 14$ 时的温度模型预测第二天温度。
   • 错因分析：三角函数模型是局部近似。
   • 正确处理：在解析式中注明自变量范围，如 $x\in [6,14]$。

6. 解不等式时漏掉周期

   • 错误表现：只求出一个周期内的可行区间，就下结论。
   • 错因分析：实际问题可能在多个周期都有解。
   • 正确处理：说明一个周期内的解，并指出周期性带来的其他可行区间（如需要）。

考点考证点整理

考点一：由数据表建立三角函数模型

• 出题思路：给出周期变化的实验数据，要求建立 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$。
• 关键条件：最大、最小值；周期或相邻同相点间隔；一个特殊点。
• 解答要点：
  1. 从数据读出 $M$、$m$、$T$；
  2. 计算 $A=\frac{M-m}{2}$，$b=\frac{M+m}{2}$，$\omega =\frac{2\pi }{T}$；
  3. 代入 $x=0$ 或其他已知点求 $\phi$；
  4. 验证并写出解析式。
• 易扣分点：$b$ 算错；$\phi$ 多解未取舍；周期估算错误。

考点二：由图象建立三角函数模型

• 出题思路：给出函数图象的一部分，要求写出解析式。
• 关键条件：图象上的最高、最低点；周期长度；一个已知点。
• 解答要点：
  1. 读出 $M$、$m$ 求 $A$、$b$；
  2. 读出周期求 $\omega$；
  3. 代入最高点或最低点求 $\phi$；
  4. 注意 $\phi$ 的范围要求。
• 易扣分点：从图象读周期错误；$A$ 符号判断错误；$\phi$ 范围不对。

考点三：利用模型求特定时刻的函数值

• 出题思路：给出模型，求某时刻的温度、高度、电流等。
• 关键条件：正确代入 $x$ 并计算。
• 解答要点：
  1. 写出解析式；
  2. 代入 $x$ 值；
  3. 用计算器求值（注意角度/弧度模式）。
• 易扣分点：计算器模式错误；符号错误。

考点四：利用模型解不等式

• 出题思路：如“水深不低于多少时船能进港”“温度高于多少时适合施工”等。
• 关键条件：把不等式化为 $\sin (\omega x+\phi )\ge k$ 或 $\le k$；利用图象求区间。
• 解答要点：
  1. 列出不等式；
  2. 化为标准形式；
  3. 求出一个周期内的解；
  4. 根据周期写出所有解（或按要求取某几个区间）。
• 易扣分点：不等号方向反；漏解；没有把结果转换为实际时间。

考点五：解释参数的实际意义

• 出题思路：问模型中 $A$、$b$、$T$、$\phi$ 分别代表什么实际含义。
• 关键条件：结合实际背景解释。
• 解答要点：
  • $A$：振幅/最大偏离量；
  • $b$：中线/平衡位置/平均值；
  • $T$：周期/往复一次时间；
  • $\phi$：初相/初始状态。
• 易扣分点：解释含糊；把振幅说成最大值。

考点六：简谐运动与周期现象建模

• 出题思路：弹簧振子、单摆、交变电流、摩天轮等实际问题。
• 关键条件：理解物理背景，把物理量对应到 $A$、$b$、$\omega$、$\phi$。
• 解答要点：
  1. 找出平衡位置（对应 $b$）；
  2. 找出最大偏离（对应 $A$）；
  3. 找出周期或频率（对应 $\omega$）；
  4. 确定初始位置（对应 $\phi$）。
• 易扣分点：物理量对应错误；单位换算错误。

练习题

基础训练

1. 某周期函数最大值为 $12$，最小值为 $4$，写出用 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 表示时的振幅 $A$ 和中线 $b$。
2. 某港口潮位最高 $6$ m，最低 $2$ m，相邻两次高潮间隔 $12$ h。求该潮汐模型的振幅 $A$、中线 $b$ 和角频率 $\omega$。
3. 弹簧振子 $t=0$ 时位于最低点，位移为 $-15$ mm，周期为 $0.4$ s。用 $y=A\sin (\omega t+\phi )$ 表示其位移，求 $A$、$\omega$、$\phi$。
4. 交变电流最大值为 $3$ A，频率为 $50$ Hz，$t=0$ 时电流为 $0$ 且正在增大。写出电流 $i$ 关于 $t$ 的函数解析式。
5. 某地一天 $6$ 时气温 $10^{\circ }\text{C}$，$14$ 时 $30^{\circ }\text{C}$，且在 $10$ 时达到最高。写出 $6\le x\le 14$ 的温度模型 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$。

巩固训练

6. 某简谐运动数据如下，求其位移模型：

   $t$/s	$0$	$0.15$	$0.30$	$0.45$	$0.60$
   $y$/mm	$-20$	$0$	$20$	$0$	$-20$

7. 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的部分图象显示：最高点 $(2,8)$，最低点 $(10,0)$。求 $A$、$b$、$\omega$ 和解析式（$0\le \phi <2\pi$）。

8. 某港口水深模型为 $y=2.5\sin \frac{5\pi }{31}x+5$（$x$：h，$y$：m）。一艘船吃水 $4$ m，需要 $1.5$ m 安全间隙，求该船在一个周期内可以进港的时间段（精确到 0.1 h）。

9. 摩天轮最高点 $120$ m，最低点 $10$ m，周期 $30$ min，游客从最低点进舱。写出高度 $H$ 关于时间 $t$ 的模型，并求 $t=5$ min 时的高度。

10. 某简谐运动 $y=A\sin (\omega t+\phi )$，$A=3$，$\omega =4$，$t=0$ 时 $y=1.5$ 且向上运动，求 $T$ 和 $\phi$。

提升训练

11. 某地气温变化模型为 $y=6\sin \frac{\pi }{12}(x-8)+20$（$x$ 为小时，$y$ 为 ${}^{\circ }\text{C}$），求一天中的最高气温、最低气温及对应时刻（$x\in [0,24]$）。
12. 港口水深模型 $y=2.5\sin \frac{5\pi }{31}x+5$。若某船 $2:00$ 开始卸货，吃水深度以 $0.3$ m/h 的速度减少，安全间隙仍为 $1.5$ m，求该船最晚应在什么时间前停止卸货并驶离港口（提示：解 $5.5-0.3(x-2)=2.5\sin \frac{5\pi }{31}x+5$）。
13. 由图象判断：函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 在 $x=0$ 处达到最大值，且相邻两个零点间距为 $6$，求其最小正周期和 $b$（已知最大值为 $8$，最小值为 $2$）。
14. 某星等亮度周期变化图显示最亮约为 $3.5$ 等，最暗约为 $4.5$ 等，周期约为 $5.4$ 天。写出亮度 $y$ 关于时间 $t$ 的三角函数模型（假设 $t=0$ 时最亮）。

练习题答案

基础训练

1. 答案：$A=\frac{12-4}{2}=4$，$b=\frac{12+4}{2}=8$。

2. 答案：$A=\frac{6-2}{2}=2$，$b=\frac{6+2}{2}=4$，$\omega =\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$。

3. 答案：$A=15$；$\omega =\frac{2\pi }{0.4}=5\pi$；$t=0$ 时 $y=-15$，所以 $15\sin \phi =-15$，$\phi =-\frac{\pi }{2}$。

4. 答案：$A=3$，$\omega =2\pi f=100\pi$，$t=0$ 时 $i=0$ 且增大，所以 $\phi =0$。解析式为 $i=3\sin (100\pi t)$。

5. 答案：$A=10$，$b=20$，$T=16$，$\omega =\frac{\pi }{8}$。$x=10$ 时取最大值，$\frac{\pi }{8}\cdot 10+\phi =\frac{\pi }{2}$，$\phi =-\frac{3\pi }{4}$。所以 $y=10\sin \left(\frac{\pi }{8}x-\frac{3\pi }{4}\right)+20$。

巩固训练

6. 答案：$A=20$，$b=0$，$T=0.6$，$\omega =\frac{10\pi }{3}$；$t=0$ 时 $y=-20$，$\phi =-\frac{\pi }{2}$。所以 $y=20\sin \left(\frac{10\pi }{3}t-\frac{\pi }{2}\right)$（过程见例题 1）。

7. 答案：$A=4$，$b=4$；$\frac{T}{2}=8$，$T=16$，$\omega =\frac{\pi }{8}$。最高点 $x=2$ 满足 $\frac{\pi }{8}\cdot 2+\phi =\frac{\pi }{2}$，$\phi =\frac{\pi }{4}$。解析式为 $y=4\sin \left(\frac{\pi }{8}x+\frac{\pi }{4}\right)+4$。

8. 答案：安全水深 $5.5$ m，解 $2.5\sin \frac{5\pi }{31}x+5\ge 5.5$ 得 $\sin \frac{5\pi }{31}x\ge 0.2$。在一个周期 $[0,12.4]$ 内，$0.3975\le x\le 5.8025$，即约 $0.4\le x\le 5.8$（h）。下一个周期内还有 $12.8\le x\le 18.2$（h）。

9. 答案：$H(t)=55\sin \left(\frac{\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+65$；$H(5)=37.5$ m（参考本节建模步骤和 5.6 节例题 2）。

10. 答案：$T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$；$\sin \phi =\frac{1.5}{3}=\frac{1}{2}$，且向上运动，$\phi =\frac{\pi }{6}$（过程见例题 5）。

提升训练

11. 答案：最大值 $26^{\circ }\text{C}$，最小值 $14^{\circ }\text{C}$。最大值当 $\frac{\pi }{12}(x-8)=\frac{\pi }{2}$，即 $x=14$；最小值当 $\frac{\pi }{12}(x-8)=-\frac{\pi }{2}$，即 $x=2$（或 $x=26$）。

12. 答案：提示方程 $5.5-0.3(x-2)=2.5\sin \frac{5\pi }{31}x+5$ 的解约为 $x\approx 7.016$。所以该船最晚应在约 $7.0$ h（即 $7:00$ 左右）前停止卸货并驶离港口。

13. 答案：相邻零点间距为半个周期，所以 $T=12$，$\omega =\frac{\pi }{6}$。$A=\frac{8-2}{2}=3$，$b=\frac{8+2}{2}=5$。

14. 答案：$A=\frac{4.5-3.5}{2}=0.5$，$b=\frac{4.5+3.5}{2}=4$，$T=5.4$，$\omega =\frac{2\pi }{5.4}=\frac{10\pi }{27}$。$t=0$ 时最亮，可取 $y=0.5\cos \frac{10\pi }{27}t+4$（或 $y=0.5\sin \left(\frac{10\pi }{27}t+\frac{\pi }{2}\right)+4$）。