5.6 函数 y = A sin(ωx + φ)

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本节学习目标

学完本节，你应该能够：

• 理解函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 中参数 $A$、$\omega$、$\phi$、$b$ 的实际意义。
• 会求正弦型函数的振幅、周期、频率、相位、初相和中线。
• 会用图象变换和五点法画出 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的简图。
• 能描述由 $y=\sin x$ 到 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的完整变换过程。
• 能根据实际问题的最大/最小值、周期、初始位置建立正弦型函数模型。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

现实生活中有大量周期现象：摩天轮座舱的高度、筒车盛水筒的高度、弹簧振子的位移、交流电流的大小等。它们的变化规律往往可以用形如

$$y=A\sin (\omega x+\phi )+b$$

的函数来刻画。本节就来研究这个正弦型函数的图象、参数意义以及它的实际建模方法。

二、核心概念与定义条件

1. 函数形式

   一般地，正弦型函数写成

   $$y=A\sin (\omega x+\phi )+b,$$

   其中 $A\ne 0$，$\omega \ne 0$（实际问题中通常取 $A>0$，$\omega >0$）。

2. 参数意义

   参数	名称	几何意义
   $A$	振幅	决定波峰、波谷到中线 $y=b$ 的距离；值域为 $[b-
   $\omega$	角频率	决定周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$；$\omega$ 越大，周期越短
   $\phi$	初相	$x=0$ 时的相位；决定图象的左右平移
   $b$	中线（垂直平移量）	决定图象的上下平移；中线为 $y=b$
   $\omega x+\phi$	相位	反映 $x$ 时刻“角”的位置

   无论 $A$ 的正负，最大值都是 $|A|+b$，最小值都是 $-|A|+b$；当 $A<0$ 时，图象还要关于 $x$ 轴反射，但反射不改变值域，振幅仍为 $|A|$。

3. 周期与频率

   对于 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$（$\omega >0$），周期为

   $$T=\frac{2\pi }{\omega }.$$

   频率

   $$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }.$$

4. 由 $y=\sin x$ 到 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的图象变换

   可以从 $y=\sin x$ 出发，按以下步骤得到目标图象：

   1. 左右平移：$y=\sin x$ 的图象向左（$\phi >0$）或向右（$\phi <0$）平移 $|\phi |$ 个单位，得到 $y=\sin (x+\phi )$；
   2. 横向伸缩：将 $y=\sin (x+\phi )$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega }$ 倍（纵坐标不变），得到 $y=\sin (\omega x+\phi )$；
   3. 纵向伸缩：将 $y=\sin (\omega x+\phi )$ 图象上所有点的纵坐标变为原来的 $|A|$ 倍（若 $A<0$ 还要关于 $x$ 轴翻折），得到 $y=A\sin (\omega x+\phi )$；
   4. 上下平移：将 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象向上（$b>0$）或向下（$b<0$）平移 $|b|$ 个单位，得到 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$。

   关键提醒：先平移 $|\phi |$ 再横向伸缩，与先横向伸缩再平移 $|\phi |$，平移量不同。若先横向伸缩，则后续平移量应为 $\frac{|\phi |}{\omega }$。

5. 五点法作图

   令 $X=\omega x+\phi$，取 $X=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$，解出对应的 $x$，再计算 $y=A\sin X+b$，即可得到五个关键点。描点、连线，就得到函数在一个周期内的简图。

   例如：$y=2\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)$，令 $X=3x-\frac{\pi }{3}$，列表如下：

   $X$	$0$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
   $x$	$\frac{\pi }{9}$	$\frac{5\pi }{18}$	$\frac{4\pi }{9}$	$\frac{11\pi }{18}$	$\frac{7\pi }{9}$
   $y$	$0$	$2$	$0$	$-2$	$0$

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6. 实际建模思路

   若一个周期现象的最大值为 $M$，最小值为 $m$，则

   $$A=\frac{M-m}{2},b=\frac{M+m}{2}.$$

   若周期为 $T$，则 $\omega =\frac{2\pi }{T}$。初相 $\phi$ 由初始状态（如 $x=0$ 时的函数值或初始位置）确定。

三、符号语言与等价表示

1. 等价形式

   $$y=A\sin (\omega x+\phi )+b=A\sin \left[\omega \left(x+\frac{\phi }{\omega }\right)\right]+b.$$

   这说明：若把函数先写成“提取 $x$ 系数”的形式，图象的左右平移量为 $-\frac{\phi }{\omega }$（左加右减）。

2. $\omega$ 或 $A$ 为负时的处理

   • 若 $\omega <0$，可利用诱导公式 $\sin (-X)=-\sin X$ 把角频率化为正数，此时振幅的符号会改变；
   • 若 $A<0$，图象关于 $x$ 轴反射，振幅取 $|A|$，但初相应重新计算。

四、关键性质、定理与公式

1. 核心公式

   • 振幅：$|A|$；
   • 周期：$T=\frac{2\pi }{\omega }$（$\omega >0$）；
   • 频率：$f=\frac{\omega }{2\pi }$；
   • 最大值：$|A|+b$；最小值：$-|A|+b$；
   • 中线：$y=b$。

2. 图象变换的两种等价顺序

   • 顺序一（先平移再伸缩）：平移 $|\phi |$ → 横向伸缩 $\frac{1}{\omega }$ → 纵向伸缩 $|A|$ → 上下平移 $|b|$；
   • 顺序二：横向伸缩 $\frac{1}{\omega }$ → 平移 $\frac{|\phi |}{\omega }$ → 纵向伸缩 $|A|$ → 上下平移 $|b|$。

   两种顺序结果相同，但中间平移量不同。

3. 由图象写解析式的步骤

   1. 读出最大值 $M$ 和最小值 $m$，求 $A=\frac{M-m}{2}$，$b=\frac{M+m}{2}$；
   2. 读出周期 $T$，求 $\omega =\frac{2\pi }{T}$；
   3. 利用一个已知点（如最高点、最低点或零点）代入求 $\phi$。

五、典型模型与解题方法

1. 参数识别模型

   给定解析式，直接读出 $A$、$\omega$、$\phi$、$b$。注意：振幅是 $|A|$，周期只与 $\omega$ 有关。

2. 变换作图模型

   按“平移→横向伸缩→纵向伸缩→上下平移”逐步画图，或用五点法列表直接描点。

3. 五点法作图模型

   令相位 $X=\omega x+\phi$ 取五个关键值，解 $x$ 算 $y$。

4. 实际建模模型

   最大、最小值 → $A$、$b$；周期 → $\omega$；初始条件 → $\phi$。

5. 图象到解析式模型

   从图象中读取 $M$、$m$、$T$ 和一个特殊点的坐标，代入求参。

六、题型应用与迁移

正弦型函数广泛应用于：

• 绘制三角函数简图；
• 描述图象变换；
• 解决摩天轮、筒车、弹簧振子、交变电流等周期实际问题；
• 根据图象写解析式；
• 求周期、振幅、最值、单调区间等。

重点梳理

1. $A$ 控制振幅和纵向伸缩

   $A>0$ 时，$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的值域是 $[-A,A]$；$A<0$ 时图象关于 $x$ 轴反射，振幅为 $|A|$。

2. $\omega$ 控制周期和横向伸缩

   $\omega$ 越大，周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 越短，图象在水平方向上越“压缩”。不要把周期写成 $T=2\pi \omega$。

3. $\phi$ 控制左右平移，但平移量与 $\omega$ 有关

   对于 $y=A\sin (\omega x+\phi )$，若先提取 $\omega$ 写成 $y=A\sin \left[\omega \left(x+\frac{\phi }{\omega }\right)\right]$，则图象由 $y=A\sin (\omega x)$ 向左平移 $\frac{\phi }{\omega }$ 得到。

4. $b$ 控制中线和上下平移

   有 $b$ 时，最大值为 $|A|+b$，最小值为 $-|A|+b$，中线为 $y=b$。实际问题中 $b$ 往往对应“平衡位置”或“中心高度”。

5. 五点法是最稳的作图方法

   无论变换多复杂，只要令相位取 $0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$，就能准确画出一个周期内的图象。

6. 实际建模要抓住“最大、最小、周期、初始”

   知道最大、最小值就能确定 $A$ 和 $b$；知道周期就能确定 $\omega$；知道初始位置就能确定 $\phi$。

难点突破

难点 1：平移量到底是多少

例如 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$。

• 若按“先平移再伸缩”：由 $y=\sin x$ 向左平移 $\frac{\pi }{3}$，得到 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$；再将横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，得到 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$。
• 若按“先伸缩再平移”：由 $y=\sin x$ 将横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，得到 $y=\sin 2x$；再向左平移 $\frac{\pi }{6}$，得到 $y=\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\right]=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$。

两种方法结果相同，但中间平移量不同：先平移移 $|\phi |$，先伸缩移 $\frac{|\phi |}{\omega }$。

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难点 2：$A<0$ 或 $\omega <0$ 时的处理

例如 $y=-2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$，可以看成：

• 振幅为 $2$；
• 图象由 $y=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$ 关于 $x$ 轴对称翻折得到；
• 最大值是 $2$，最小值是 $-2$（注意：负号使图象关于 $x$ 轴翻折，但值域不变，最大、最小值与 $y=2\sin (\dots )$ 相同）。

若 $\omega <0$，例如 $y=\sin (-2x+\frac{\pi }{3})$，可用诱导公式改写：

$$\sin (-2x+\frac{\pi }{3})=\sin \left[\pi -\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\right]=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$$

或更简单：$\sin (-2x+\frac{\pi }{3})=-\sin (2x-\frac{\pi }{3})$，再分析振幅和周期。

难点 3：由图象求初相 $\phi$

已知 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的图象，求 $\phi$ 时，通常代入一个特殊点。

例如图象经过最大值点 $(x_0,A+b)$，则

$$\omega x_0+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi ,$$

解出

$$\phi =\frac{\pi }{2}-\omega x_0+2k\pi .$$

通常取 $k$ 使 $\phi$ 落在指定范围，如 $[0,2\pi )$ 或 $(-\pi ,\pi ]$。

难点 4：实际问题中确定 $A$、$b$、$\omega$、$\phi$

以摩天轮为例：最高 $120\text{m}$，最低 $10\text{m}$，直径 $110\text{m}$，半径 $55\text{m}$，中心高度 $65\text{m}$。

• $A=55$，$b=65$；
• 周期 $30\text{min}$，所以 $\omega =\frac{2\pi }{30}=\frac{\pi }{15}$；
• 初始位置在最低点，可设 $H(0)=10$，即 $55\sin \phi +65=10$，得 $\sin \phi =-1$，取 $\phi =-\frac{\pi }{2}$。

所以模型为

$$H(t)=55\sin \left(\frac{\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+65.$$

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例题讲解

例题 1：用图象变换和五点法画简图

画出函数 $y=2\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)$ 在一个周期内的简图。

分析：可用变换法或五点法。这里演示五点法。

解：

令 $X=3x-\frac{\pi }{3}$，则 $T=\frac{2\pi }{3}$。取 $X=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$，列表：

$X$	$0$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$x$	$\frac{\pi }{9}$	$\frac{5\pi }{18}$	$\frac{4\pi }{9}$	$\frac{11\pi }{18}$	$\frac{7\pi }{9}$
$y$	$0$	$2$	$0$	$-2$	$0$

描出五个点，用光滑曲线连接，即得 $y=2\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)$ 在一个周期内的简图。

反思：五点法的关键是“让相位 $X$ 取 $0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$”，而不是让 $x$ 直接取这些值。

例题 2：摩天轮高度模型

某摩天轮最高点距离地面 $120\text{m}$，转盘直径 $110\text{m}$，游客从最低点进舱，转一周约需 $30\text{min}$。

（1）设游客开始转动 $t\text{min}$ 后距离地面的高度为 $H\text{m}$，求 $H$ 关于 $t$ 的函数解析式；

（2）求开始转动 $5\text{min}$ 后，游客距离地面的高度。

分析：摩天轮运动可近似为匀速圆周运动，高度随时间呈正弦变化。先确定振幅、中线、周期和初相。

解：

（1）半径 $r=55\text{m}$，中心高度 $b=120-55=65\text{m}$，所以振幅 $A=55$，中线 $b=65$。

周期 $T=30$，因此

$$\omega =\frac{2\pi }{30}=\frac{\pi }{15}.$$

$t=0$ 时游客在最低点，高度为 $10\text{m}$，所以

$$55\sin \phi +65=10,\sin \phi =-1.$$

取 $\phi =-\frac{\pi }{2}$，故

$$H(t)=55\sin \left(\frac{\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+65,0\le t\le 30.$$

（2）当 $t=5$ 时，

$$H(5)=55\sin \left(\frac{\pi }{15}\times 5-\frac{\pi }{2}\right)+65=55\sin \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2}\right)+65=55\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)+65=\mathrm{37.5.}$$

所以游客距离地面的高度约为 $37.5\text{m}$。

反思：实际问题中，$A$ 是半径，$b$ 是中心高度，$T$ 是转动周期，$\phi$ 由初始位置决定。

例题 3：由数据建立函数模型

某简谐运动的位移 $y$（单位：$\text{mm}$）与时间 $t$（单位：$\text{s}$）的数据如下：

$t$	$0$	$0.15$	$0.30$	$0.45$	$0.60$
$y$	$-20$	$0$	$20$	$0$	$-20$

求 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式。

分析：数据呈正弦变化，最大 $20$，最小 $-20$，周期 $0.6$。

解：

由最大、最小值得 $A=20$，$b=0$。周期 $T=0.6$，所以

$$\omega =\frac{2\pi }{0.6}=\frac{10\pi }{3}.$$

$t=0$ 时 $y=-20$，即 $20\sin \phi =-20$，所以 $\sin \phi =-1$，取 $\phi =-\frac{\pi }{2}$。

因此

$$y=20\sin \left(\frac{10\pi }{3}t-\frac{\pi }{2}\right),t\ge 0.$$

反思：当最大值为 $M$、最小值为 $-M$ 且 $b=0$ 时，中线就是 $t$ 轴。

例题 4：由图象写解析式

函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$（$A>0$，$\omega >0$，$0<\phi <\pi$）在一个周期内的图象如图所示：最高点为 $(2,4)$，最低点为 $(8,-2)$。

（1）求 $A$、$b$、$\omega$；
（2）求 $y$ 的解析式。

分析：最高、最低点给出 $A$、$b$；周期为两最值点横坐标距离的两倍；最高点代入求 $\phi$。

解：

（1）

$$A=\frac{4-(-2)}{2}=3,b=\frac{4+(-2)}{2}=1.$$

最高点与最低点之间的水平距离是半个周期，所以

$$\frac{T}{2}=8-2=6,T=12.$$

于是

$$\omega =\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}.$$

（2）最高点满足

$$\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi .$$

代入 $x=2$，$\omega =\frac{\pi }{6}$，得

$$\frac{\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2},$$

所以

$$\phi =\frac{\pi }{6}.$$

因此解析式为

$$y=3\sin \left(\frac{\pi }{6}x+\frac{\pi }{6}\right)+1.$$

反思：由图象写解析式时，先确定 $A$、$b$、$\omega$，再用一个已知点（尤其是最高点或最低点）确定 $\phi$。

例题 5：参数识别与变换描述

已知函数 $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，指出它的振幅、周期、初相，并说明可由 $y=\sin x$ 经过怎样的变换得到。

分析：直接读出参数 $A=3$，$\omega =2$，$\phi =\frac{\pi }{3}$；再按变换顺序描述。

解：

• 振幅 $A=3$；
• 周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$；
• 初相 $\phi =\frac{\pi }{3}$；
• 相位为 $2x+\frac{\pi }{3}$。

变换过程：

1. 把 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位，得到 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$；
2. 把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$；
3. 把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 $3$ 倍，得到 $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$。

反思：描述变换时，要按“平移→横向伸缩→纵向伸缩”的顺序，平移量是在伸缩前的 $|\phi |$。

易错点整理

1. 把振幅与 $A$ 混淆

   • 错误表现：认为 $y=-3\sin x$ 的振幅是 $-3$。
   • 错因分析：振幅是非负量。
   • 正确处理：振幅 $=|A|=3$；$A<0$ 说明图象关于 $x$ 轴反射。

2. 周期公式写错

   • 错误表现：$T=2\pi \omega$。
   • 错因分析：把周期与角频率的关系记反。
   • 正确处理：$T=\frac{2\pi }{\omega }$。

3. 平移量错误

   • 错误表现：$y=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$ 向左平移 $\frac{\pi }{3}$。
   • 错因分析：没有先提取 $x$ 的系数。
   • 正确处理：写成 $y=\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\right]$，向左平移 $\frac{\pi }{6}$；或按“先平移再伸缩”顺序：先平移 $\frac{\pi }{3}$ 再横向压缩。

4. 五点法中让 $x$ 取五关键点

   • 错误表现：画 $y=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$ 时，直接取 $x=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$。
   • 错因分析：混淆了 $x$ 与相位 $X$。
   • 正确处理：令 $X=2x+\frac{\pi }{3}=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$，再解 $x$。

5. 忽略垂直平移 $b$

   • 错误表现：$y=2\sin x+1$ 的最大值写成 $2$。
   • 错因分析：忘记 $b=1$。
   • 正确处理：最大值为 $A+b=3$，最小值为 $-A+b=-1$。

6. 由图象写解析式时 $A$ 符号错误

   • 错误表现：由最大值 $4$、最小值 $-2$ 得 $A=4$。
   • 错因分析：$A$ 是振幅，不是最大值。
   • 正确处理：$A=\frac{4-(-2)}{2}=3$。

考点考证点整理

考点一：识别参数 $A$、$\omega$、$\phi$、$b$

• 出题思路：给出 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$，要求说出振幅、周期、初相、中线等。
• 关键条件：$A$ 决定振幅，$\omega$ 决定周期，$\phi$ 决定初相，$b$ 决定中线。
• 解答要点：
  1. 注意 $A$ 的符号；
  2. 周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$（$\omega >0$）；
  3. 初相是 $x=0$ 时的相位，即 $\phi$。
• 易扣分点：把振幅写成 $A$ 但未考虑负号；周期公式写错。

考点二：图象变换

• 出题思路：描述由 $y=\sin x$ 到 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的变换过程；或判断两个函数图象之间的平移、伸缩关系。
• 关键条件：标准变换顺序；平移量与 $\omega$ 的关系。
• 解答要点：
  1. 先平移 $|\phi |$ 再横向伸缩，或先横向伸缩再平移 $\frac{|\phi |}{\omega }$；
  2. 横向伸缩：$\omega >1$ 缩短，$0<\omega <1$ 伸长；
  3. 纵向伸缩：$|A|>1$ 伸长，$0<|A|<1$ 缩短；$A<0$ 还要反射。
• 易扣分点：平移方向反；平移量未除以 $\omega$。

考点三：五点法作图

• 出题思路：画 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 在一个周期内的简图。
• 关键条件：令 $X=\omega x+\phi$ 取 $0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$。
• 解答要点：
  1. 列表求 $x$、$y$；
  2. 描点；
  3. 用光滑曲线连接。
• 易扣分点：直接让 $x$ 取五关键点；$b$ 未加到 $y$ 上。

考点四：由图象写解析式

• 出题思路：给出函数图象，求 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的解析式。
• 关键条件：$A=\frac{M-m}{2}$，$b=\frac{M+m}{2}$，$T=\frac{2\pi }{\omega }$。
• 解答要点：
  1. 读最大、最小值求 $A$、$b$；
  2. 读周期求 $\omega$；
  3. 代入最高点或零点求 $\phi$；
  4. 注意 $\phi$ 的范围要求。
• 易扣分点：$A$ 算错；$\phi$ 代入点选择不当。

考点五：周期现象建模

• 出题思路：摩天轮、筒车、弹簧振子、交变电流等实际问题，要求建立 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 模型并求值。
• 关键条件：最大、最小值确定 $A$、$b$；周期确定 $\omega$；初始条件确定 $\phi$。
• 解答要点：
  1. 找出周期、最大/最小值；
  2. 计算 $A$、$b$、$\omega$；
  3. 利用初始位置或某已知时刻的函数值求 $\phi$；
  4. 写出定义域。
• 易扣分点：$b$ 算错；周期单位未统一；初始位置对应的相位错误。

考点六：综合应用（与最值、单调性结合）

• 出题思路：求 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的最大值、最小值或单调区间。
• 关键条件：最大值为 $|A|+b$，最小值为 $-|A|+b$；单调区间通过换元 $X=\omega x+\phi$ 求。
• 解答要点：
  1. 求 $A$、$b$；
  2. 令 $X=\omega x+\phi$；
  3. 代入基本正弦函数的单调区间；
  4. 解不等式并加 $2k\pi$。
• 易扣分点：$A$ 符号导致最值反；单调区间未加周期。

练习题

基础训练

1. 求函数 $y=2\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的振幅、周期、初相、相位和中线。
2. 函数 $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的振幅是多少？周期是多少？
3. 用五点法画出 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 在一个周期内的简图。
4. 描述由 $y=\sin x$ 到 $y=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的图象变换过程。
5. 函数 $y=A\sin x+b$ 的最大值为 $7$，最小值为 $3$，求 $A$ 和 $b$。

巩固训练

6. 画出函数 $y=2\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)$ 在一个周期内的简图，并写出五个关键点坐标。
7. 函数 $y=\sin x$ 的图象经过怎样的变换可以得到 $y=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象？
8. 已知函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的最大值为 $4$，最小值为 $0$，周期为 $\pi$，且当 $x=\frac{\pi }{6}$ 时取得最大值，求其解析式（$A>0$，$\omega >0$，$0<\phi <\pi$）。
9. 某筒车半径为 $3\text{m}$，中心距水面 $2.2\text{m}$，逆时针每分钟转 $1.5$ 圈。设盛水筒刚浮出水面时开始计时，$t\text{s}$ 后它距水面的高度为 $d\text{m}$，试用 $d=A\sin (\omega t+\phi )+K$ 的形式建立模型，并求 $A$、$\omega$、$K$（$A>0$，$\omega >0$）。
10. 某时钟秒针端点到中心距离为 $5\text{cm}$，$t=0$ 时秒针指向 $12$ 点。将秒针端点到 $12$ 点的距离 $d$ 表示为 $t$ 的函数，$t\in [0,60]$。

提升训练

11. 摩天轮最高点 $120\text{m}$，最低点 $10\text{m}$，周期 $30\text{min}$。游客从最低点进舱，求 $5\text{min}$ 后距离地面的高度。
12. 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$（$A>0$，$\omega >0$，$|\phi |<\frac{\pi }{2}$）的部分图象如图所示：最高点 $(1,3)$，相邻最低点 $(5,-1)$。求解析式。
13. 求函数 $y=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的单调递增区间。
14. 某地一天 $6\sim 14$ 时的温度变化曲线近似满足 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$，$6$ 时和 $14$ 时温度均为 $20^{\circ }\text{C}$，且曲线在 $10$ 时达到最高温度 $30^{\circ }\text{C}$。写出这段曲线的函数解析式（$x$ 为时刻，$6\le x\le 14$）。

练习题答案

基础训练

1. 答案：振幅 $2$；周期 $T=\frac{2\pi }{3}$；初相 $-\frac{\pi }{3}$；相位 $3x-\frac{\pi }{3}$；中线 $y=0$。

2. 答案：振幅 $3$；周期 $T=\pi$。

3. 答案：令 $X=2x+\frac{\pi }{3}$，解得 $x=-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{12},\frac{5\pi }{6}$，对应 $y=0,1,0,-1,0$。描点连线即可。

4. 答案：

   1. 把 $y=\sin x$ 向右平移 $\frac{\pi }{4}$，得 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$；
   2. 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，得 $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$；
   3. 纵坐标伸长到原来的 $3$ 倍，得 $y=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$。

5. 答案：$A=2$，$b=5$。

巩固训练

6. 答案：五个关键点为 $\left(\frac{\pi }{9},0\right)$、$\left(\frac{5\pi }{18},2\right)$、$\left(\frac{4\pi }{9},0\right)$、$\left(\frac{11\pi }{18},-2\right)$、$\left(\frac{7\pi }{9},0\right)$。图象见例题 1。

7. 答案：

   1. 把 $y=\sin x$ 向左平移 $\frac{\pi }{6}$，得 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$；
   2. 横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，得 $y=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)$。

8. 答案：

   由最大 $4$、最小 $0$ 得 $A=2$，$b=2$。周期 $T=\pi$，$\omega =2$。

   最大值时 $2\cdot \frac{\pi }{6}+\phi =\frac{\pi }{2}$，所以 $\phi =\frac{\pi }{6}$。

   解析式为 $y=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+2$。

9. 答案：

   半径 $A=3\text{m}$，中心高度 $K=2.2\text{m}$。角速度 $\omega =1.5\times \frac{2\pi }{60}=\frac{\pi }{20}\text{rad/s}$。

   刚浮出水面时，$d=0$，即 $3\sin \phi +2.2=0$，$\sin \phi =-\frac{2.2}{3}$。可取 $A=3$，$\omega =\frac{\pi }{20}$，$K=2.2$。

10. 答案：

    秒针角速度为 $\frac{2\pi }{60}=\frac{\pi }{30}\text{rad/s}$。$t\text{s}$ 时秒针与 $12$ 点方向夹角为 $\frac{\pi }{30}t$。端点到 $12$ 点（距离 $12$ 点 $5\text{cm}$ 处）的距离为弦长：

    $$d=10\sin \frac{\pi t}{60},t\in [0,60].$$

提升训练

11. 答案：$37.5\text{m}$（过程见例题 2）。

12. 答案：

    $A=\frac{3-(-1)}{2}=2$，$b=\frac{3+(-1)}{2}=1$。

    最高点与最低点横坐标差为半个周期：$\frac{T}{2}=4$，所以 $T=8$，$\omega =\frac{\pi }{4}$。

    最高点满足 $\frac{\pi }{4}\cdot 1+\phi =\frac{\pi }{2}$，所以 $\phi =\frac{\pi }{4}$。

    解析式为 $y=2\sin \left(\frac{\pi }{4}x+\frac{\pi }{4}\right)+1$。

13. 答案：

    令 $X=2x+\frac{\pi }{3}$。$y=2\sin X$ 的递增区间为 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le X\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$。

    解得 $-\frac{5\pi }{12}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{12}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。

    所以单调递增区间为 $\left[-\frac{5\pi }{12}+k\pi ,\frac{\pi }{12}+k\pi \right]$（$k\in \mathbb{Z}$）。

14. 答案：

    最高温度 $30^{\circ }\text{C}$，最低温度 $10^{\circ }\text{C}$，所以 $A=10$，$b=20$。

    $6$ 时和 $14$ 时均在中线（温度 $20^{\circ }\text{C}$），$10$ 时为最高点，从 $6$ 时到 $14$ 时为半个周期，$\frac{T}{2}=8$，$T=16$，$\omega =\frac{\pi }{8}$。

    最高点在 $x=10$，则 $\frac{\pi }{8}\cdot 10+\phi =\frac{\pi }{2}$，$\phi =-\frac{3\pi }{4}$。

    解析式为 $y=10\sin \left(\frac{\pi }{8}x-\frac{3\pi }{4}\right)+20$，$6\le x\le 14$。

    验证：$y(6)=10\sin \left(\frac{3\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}\right)+20=20$ ✓；$y(10)=10\sin \left(\frac{5\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}\right)+20=30$ ✓；$y(14)=10\sin \left(\frac{7\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}\right)+20=20$ ✓。