3.3 幂函数

本节学习目标

• 理解幂函数 $y=x^{\alpha }$ 的定义，能识别幂函数，区分幂函数与指数函数、系数不为 1 的函数。
• 掌握五个代表性幂函数 $y=x$、$y=x^2$、$y=x^3$、$y=x^{1/2}=\sqrt{x}$、$y=x^{-1}=\frac{1}{x}$ 的定义域、值域、奇偶性和单调性，能画出它们的图象。
• 理解幂函数图象的公共特征（都过点 $(1,1)$），掌握第一象限内幂函数图象随指数 $\alpha$ 变化的规律。
• 会用定义证明幂函数（如 $\sqrt{x}$、$x^3$）的单调性，掌握分子有理化等变形技巧。
• 能根据幂函数的单调性比较两个幂值的大小，会处理负底数、负指数的情况。
• 能根据幂函数图象过某点求出指数 $\alpha$，确定解析式。
• 体会“定义域 $\to$ 图象 $\to$ 值域 $\to$ 单调性 $\to$ 奇偶性 $\to$ 特殊点 $\to$ 应用”这一研究一类函数的通用路径。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

我们先看几个来自现实和数学内部的问题，它们会引出同一类函数：

• 购买蔬菜：若单价 $1$ 元/kg，买 $w$ kg 需支付 $p=w$ 元——$p$ 是 $w$ 的函数 $p=w$。
• 正方形面积：边长 $a$，面积 $S=a^2$——$S$ 是 $a$ 的函数。
• 立方体体积：棱长 $b$，体积 $V=b^3$——$V$ 是 $b$ 的函数。
• 正方形边长：已知面积 $S$，边长 $c=\sqrt{S}=S^{1/2}$——$c$ 是 $S$ 的函数。
• 平均速度：$t$ 秒行进 $1$ km，平均速度 $v=\frac{1}{t}=t^{-1}$——$v$ 是 $t$ 的函数。

这五个函数的解析式分别是 $w$、$a^2$、$b^3$、$S^{1/2}$、$t^{-1}$，形式各异，但有共同特征：都是幂的形式，底数是自变量，指数是常数。把这一共同特征抽象出来，就得到幂函数的概念。本节不仅要掌握几个具体幂函数的图象和性质，更要借此学习“如何研究一类函数”。

二、核心概念与定义条件

幂函数的定义：一般地，函数

$$y=x^{\alpha }$$

叫作幂函数（power function），其中 $x$ 是自变量，$\alpha$ 是常数。

幂函数的三个本质特征（缺一不可）：

• 底数是自变量 $x$（不是常数）；
• 指数是常数 $\alpha$（不是变量）；
• 系数为 $1$（$x^{\alpha }$ 前面没有其他系数）。

据此判断：$y=x^3$、$y=x^2$、$y=\frac{1}{x}=x^{-1}$、$y=\sqrt{x}=x^{1/2}$ 都是幂函数。而 $y=2x^2$（系数是 $2$ 不是 $1$）、$y=x^2+1$（多了常数项）、$y=(2x{)}^2$（底数是 $2x$ 不是 $x$）、$y=2^x$（变量在指数位置，这是指数函数不是幂函数）都不是幂函数。

本节重点研究 $\alpha =1,2,3,\frac{1}{2},-1$ 这五个值对应的幂函数，它们最具代表性。

三、符号语言与等价表示

五个代表性幂函数的性质对照表（核心表格，必须熟记）：

函数	$\alpha$	定义域	值域	奇偶性	单调性
$y=x$	$1$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	奇函数	$\mathbb{R}$ 上单调递增
$y=x^2$	$2$	$\mathbb{R}$	$[0,+\infty )$	偶函数	$(-\infty ,0]$ 递减，$[0,+\infty )$ 递增
$y=x^3$	$3$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	奇函数	$\mathbb{R}$ 上单调递增
$y=x^{1/2}=\sqrt{x}$	$\frac{1}{2}$	$[0,+\infty )$	$[0,+\infty )$	非奇非偶	$[0,+\infty )$ 上单调递增
$y=x^{-1}=\frac{1}{x}$	$-1$	$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$	$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$	奇函数	$(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$ 上分别递减

从表中可以归纳出几条规律：

• 定义域与 $\alpha$ 有关：$\alpha$ 为正整数（$1,2,3$）时定义域为 $\mathbb{R}$；$\alpha$ 为正分数如 $\frac{1}{2}$（对应偶次根式）时定义域受限制（$[0,+\infty )$）；$\alpha$ 为负整数（$-1$）时 $x\ne 0$。
• 奇偶性与 $\alpha$ 有关：$\alpha$ 为整数时（$1,2,3,-1$）可判断奇偶性（奇整数次为奇函数，偶整数次为偶函数）；$\alpha =\frac{1}{2}$ 时定义域 $[0,+\infty )$ 不关于原点对称，为非奇非偶函数。
• 在 $(0,+\infty )$ 上的单调性与 $\alpha$ 的正负有关：$\alpha >0$ 时单调递增（$x,x^2,x^3,\sqrt{x}$），$\alpha <0$ 时单调递减（$x^{-1}$）。

四、关键性质、定理与公式

性质一：幂函数图象的公共点。 五个幂函数的图象都经过点 $(1,1)$，因为 $1^{\alpha }=1$ 对任意常数 $\alpha$ 成立。这是幂函数的重要识别特征。此外，当 $\alpha >0$ 时图象还经过原点 $(0,0)$（$0^{\alpha }=0$）；当 $\alpha <0$ 时图象不过原点（$0^{\alpha }$ 无意义）。

性质二：第一象限内图象随 $\alpha$ 的变化规律。 在第一象限（$x>0,y>0$）内：

• $\alpha >0$ 时，图象从左下到右上单调上升，经过 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。$\alpha$ 越大，图象在 $x>1$ 处增长越快（$x^3$ 比 $x^2$ 增长快）。
• $\alpha <0$ 时，图象单调下降，以 $x$ 轴和 $y$ 轴为渐近线（无限接近但不相交），经过 $(1,1)$。
• 所有图象在 $(1,1)$ 处“汇聚”——当 $x=1$ 时 $y=1$ 与 $\alpha$ 无关。

性质三：$y=x^{-1}=\frac{1}{x}$ 的渐近线。 在第一象限内，$y=\frac{1}{x}$ 的图象向上与 $y$ 轴无限接近（$x\to 0^{+}$ 时 $y\to +\infty$），向右与 $x$ 轴无限接近（$x\to +\infty$ 时 $y\to 0^{+}$），但永不相交。$y$ 轴（$x=0$）和 $x$ 轴（$y=0$）是它的两条渐近线。

性质四：比较幂值大小的方法。 比较两个同底数或同指数的幂值大小，关键步骤是：①确定是哪个幂函数（确定 $\alpha$）；②判断自变量所在区间和该幂函数的单调性；③由单调性得出大小关系。若底数为负，可先用奇偶性或对称性转化到正底数。

五、典型模型与解题方法

研究幂函数（以及今后任何一类函数）的标准路径：

$$\text{解析式}\to \text{定义域}\to \text{画图象}\to \text{值域}\to \text{单调性}\to \text{奇偶性}\to \text{特殊点}\to \text{应用}$$

模型一：判断是否为幂函数。 检查三个特征：底数是 $x$、指数是常数、系数为 $1$。

模型二：已知幂函数过点求解析式。 设 $f(x)=x^{\alpha }$，把已知点 $(a,b)$ 代入得 $a^{\alpha }=b$，解出 $\alpha$。

模型三：比较幂值大小。 确定幂函数 $\to$ 判断单调性 $\to$ 比较自变量大小 $\to$ 得出函数值大小。负底数先用奇偶性转化。

模型四：用定义证明单调性。 设元 $\to$ 作差 $\to$ 变形（含根式时用分子有理化）$\to$ 定号 $\to$ 结论。

模型五：由图象特征反推性质。 利用公共点 $(1,1)$、渐近线、单调性、奇偶性等图象特征，判断 $\alpha$ 的范围或函数的性质。

六、题型应用与迁移

本节题型分五类：①幂函数定义辨析；②五个代表函数的图象与性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）；③已知过点求解析式；④比较幂值大小；⑤用定义证明单调性（重点是 $\sqrt{x}$ 的分子有理化）。幂函数的研究方法（定义域$\to$图象$\to$值域$\to$单调性$\to$奇偶性）将在第四章指数函数、对数函数和第五章三角函数中反复使用。

重点梳理

• 幂函数的三个本质特征必须同时满足。底数是自变量 $x$、指数是常数 $\alpha$、系数为 $1$，三者缺一不可。这一点之所以重要，是因为它直接决定了一个函数是否属于幂函数家族。常见干扰项：$y=2x^2$（系数不为 $1$）、$y=2^x$（变量在指数位，属于指数函数）、$y=x^2+1$（多了常数项）、$y=(2x{)}^3$（底数是 $2x$ 不是 $x$）都不是幂函数。判断时逐一核对三个特征即可。
• 幂函数图象都过点 $(1,1)$。这是因为 $1^{\alpha }=1$ 对任意 $\alpha$ 成立。这是幂函数最重要的识别特征，也是“已知图象过点求解析式”的依据。注意：$\alpha >0$ 时还过原点 $(0,0)$，$\alpha <0$ 时不过原点（$x=0$ 无定义）。
• 第一象限内单调性由 $\alpha$ 的正负决定。$\alpha >0$ 时递增，$\alpha <0$ 时递减。这是比较幂值大小的核心依据。记住：在 $(0,+\infty )$ 上，$x$、$x^2$、$x^3$、$\sqrt{x}$ 都递增，$\frac{1}{x}$ 递减。
• $y=\frac{1}{x}$ 的单调区间不能合并。它在 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$ 上分别递减，但不能说在定义域 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 上单调递减（取 $x_1=-1<x_2=1$ 时 $f(-1)=-1<1=f(1)$，违反递减）。这与 3.2 节的单调区间规则一致。
• $y=\sqrt{x}$ 的定义域是 $[0,+\infty )$，是非奇非偶函数。因为定义域不关于原点对称（负数没有实数平方根），所以判断奇偶性时第一步就看出来——不必再算 $f(-x)$。
• 研究函数的通用路径要内化为方法。定义域$\to$图象$\to$值域$\to$单调性$\to$奇偶性$\to$特殊点$\to$应用，这条路径适用于任何函数。本节用幂函数来训练这条路径，是为了迁移到后续指数函数、对数函数、三角函数的研究中。

难点突破

难点一：幂函数与指数函数的混淆

幂函数 $y=x^{\alpha }$：底数是自变量 $x$，指数是常数 $\alpha$。例如 $y=x^2$、$y=x^3$。

指数函数 $y=a^x$（$a>0,a\ne 1$）：底数是常数 $a$，指数是自变量 $x$。例如 $y=2^x$、$y=3^x$。

两者的区别在于“变量在底数还是指数”。突破方法：看变量 $x$ 的位置——在底数是幂函数，在指数是指数函数。本节只学幂函数，指数函数在第四章学习。注意 $y=x^x$ 既不是幂函数也不是指数函数（底数和指数都是变量）。

难点二：$\sqrt{x}$ 单调性证明中的分子有理化

证明 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty )$ 上递增时，作差 $f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}$，但直接看不出符号。需要用分子有理化：

$$\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}=\frac{(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}=\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}.$$

由 $x_1<x_2$ 得 $x_1-x_2<0$；由 $x_1,x_2\ge 0$（且不全为 $0$，因 $x_1<x_2$）得 $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0$。所以差 $<0$，$f(x_1)<f(x_2)$，递增。突破方法：遇到含根式的差，分子有理化是标准手段——乘上共轭式 $(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})$ 把根号去掉。

难点三：比较大小中负底数的处理

比较 $(-1.5{)}^3$ 与 $(-1.4{)}^3$ 的大小：函数 $y=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，$-1.5<-1.4$，所以 $(-1.5{)}^3<(-1.4{)}^3$。

比较 $(-1.5{)}^2$ 与 $(-1.4{)}^2$ 的大小：$y=x^2$ 在 $(-\infty ,0]$ 上单调递减，$-1.5<-1.4<0$，所以 $(-1.5{)}^2>(-1.4{)}^2$。

可见底数为负时，单调性的方向取决于幂函数在该区间的单调性（注意 $x^2$ 在负半轴递减、$x^3$ 在负半轴递增）。突破方法：先明确自变量（底数）所在区间和函数在该区间的单调性，再比较。

难点四：分数指数幂的含义

$y=\sqrt{x}=x^{1/2}$：$x^{1/2}$ 表示 $\sqrt{x}$，要求 $x\ge 0$。类似地，$x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$，定义域为 $\mathbb{R}$（因立方根对全体实数有定义）。这说明分数指数幂的定义域与分母（对应根式的次数）有关：分母为偶数时要求底数非负，分母为奇数时无限制。突破方法：把分数指数幂还原为根式来判断定义域。本节只需掌握 $x^{1/2}=\sqrt{x}$（定义域 $[0,+\infty )$）即可，更一般的分数指数幂在第四章系统学习。

例题讲解

例1：判断是否为幂函数

判断下列函数是否为幂函数，并说明理由：$y=x^3$、$y=3x^2$、$y=\frac{1}{x}$、$y=2^x$、$y=x^{-2}$、$y=(x+1{)}^2$。

审题： 逐一核对幂函数的三个特征（底数是 $x$、指数是常数、系数为 $1$）。

解：

• $y=x^3$：底数 $x$、指数 $3$（常数）、系数 $1$，是幂函数。
• $y=3x^2$：系数是 $3\ne 1$，不是幂函数。
• $y=\frac{1}{x}=x^{-1}$：底数 $x$、指数 $-1$（常数）、系数 $1$，是幂函数。
• $y=2^x$：变量 $x$ 在指数位置，底数 $2$ 是常数，这是指数函数，不是幂函数。
• $y=x^{-2}$：底数 $x$、指数 $-2$（常数）、系数 $1$，是幂函数。
• $y=(x+1{)}^2$：底数是 $x+1$ 不是 $x$，不是幂函数。

反思： 判断时三个特征逐一核对，最容易出错的是系数（$3x^2$）和底数（$(x+1{)}^2$、$2^x$）。

例2：已知图象过点求幂函数解析式

已知幂函数 $y=f(x)$ 的图象过点 $(2,\sqrt{2})$，求 $f(x)$ 的解析式。

审题： 设 $f(x)=x^{\alpha }$，利用图象过点 $(2,\sqrt{2})$ 列方程求 $\alpha$。

解： 设 $f(x)=x^{\alpha }$。因图象过 $(2,\sqrt{2})$，故 $f(2)=\sqrt{2}$，即

$$2^{\alpha }=\sqrt{2}=2^{1/2}.$$

所以 $\alpha =\frac{1}{2}$，函数解析式为 $f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$。

检验： $f(2)=\sqrt{2}$ ✓。定义域 $[0,+\infty )$，$2$ 在定义域内。

反思： 这类问题关键是把已知点代入 $y=x^{\alpha }$ 解 $\alpha$。常遇到把底数和指数都化为同底数幂来比较（如 $2^{\alpha }=2^{1/2}$）。

例3：证明 $f(x)=\sqrt{x}$ 是增函数

根据定义，证明幂函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 是增函数。

审题： 用作差法，含根式需分子有理化。函数定义域 $[0,+\infty )$。

证明： 函数定义域为 $[0,+\infty )$。任取 $x_1,x_2\in [0,+\infty )$，且 $x_1<x_2$，则

$$\begin{array}{rl}f(x_1)-f(x_2)& =\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}=\frac{(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\\ & =\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}.\end{array}$$

由 $x_1<x_2$ 得 $x_1-x_2<0$；由 $x_1,x_2\ge 0$ 且 $x_1<x_2$ 知至少 $x_2>0$，故 $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0$。因此

$$f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}<0,$$

即 $f(x_1)<f(x_2)$。所以 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，是增函数。

反思： 分子有理化是处理含根式差的标准技巧。注意变形后分母 $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0$（因 $x_1<x_2$ 保证不全为零），分子的符号由 $x_1-x_2<0$ 决定。

例4：利用单调性比较大小

利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

（1）$(-1.5{)}^3$ 与 $(-1.4{)}^3$；（2）$\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$；（3）$\frac{1}{0.3}$ 与 $\frac{1}{0.4}$。

审题： 每题先确定对应的幂函数和单调性，再比较自变量大小。

解：

（1）对应幂函数 $f(x)=x^3$，在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。因 $-1.5<-1.4$，所以 $(-1.5{)}^3<(-1.4{)}^3$。

（2）对应幂函数 $f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$，在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。因 $2<3$，所以 $\sqrt{2}<\sqrt{3}$。

（3）对应幂函数 $f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$，在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。因 $0.3<0.4$，所以 $\frac{1}{0.3}>\frac{1}{0.4}$。

检验： （1）$(-1.5{)}^3=-3.375$，$(-1.4{)}^3=-2.744$，$-3.375<-2.744$ ✓。（3）$\frac{1}{0.3}\approx 3.33$，$\frac{1}{0.4}=2.5$，$3.33>2.5$ ✓。

反思： 比较大小的关键是先确定对应的幂函数及其单调性，再利用单调性把函数值比较转化为自变量比较。注意 $x^{-1}$ 递减，方向相反。

例5：根据单调性和奇偶性讨论 $f(x)=x^3$ 的性质

根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数 $f(x)=x^3$ 的单调性，并判断其奇偶性。

解： 奇偶性：定义域 $\mathbb{R}$ 关于原点对称。$f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3$ 是奇函数。

单调性：任取 $x_1,x_2\in \mathbb{R}$，$x_1<x_2$，则

$$f(x_1)-f(x_2)=x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2).$$

因式 $x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2$：当 $x_1,x_2$ 不全为 $0$ 时，$x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2=\frac{1}{2}\left[(x_1+x_2{)}^2+x_1^2+x_2^2\right]$？更直接地，$x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2={\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)}^2+\frac{3x_2^2}{4}\ge 0$，且当 $x_1\ne x_2$ 时严格大于 $0$（因若等于 $0$ 需 $x_2=0$ 且 $x_1=0$，但 $x_1<x_2$ 不可能）。又 $x_1-x_2<0$，所以 $f(x_1)-f(x_2)<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$。

因此 $f(x)=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，是增函数。

反思： $x_1^3-x_2^3$ 的因式分解 $(x_1-x_2)(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2)$ 中，关键在于证明 $x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2>0$（用配方法）。结合奇偶性可知 $x^3$ 的图象关于原点对称且整体递增。

易错点整理

• 错误表现：把 $y=2x^2$ 误判为幂函数。

  • 错因分析：只看到 $x^2$ 的形式，忽略系数 $2\ne 1$。
  • 正确处理：核对三个特征，系数必须为 $1$。

• 错误表现：把 $y=2^x$ 与幂函数混淆。

  • 错因分析：没有分清变量在底数还是指数。
  • 正确处理：幂函数变量在底数 $y=x^{\alpha }$，指数函数变量在指数 $y=a^x$。

• 错误表现：把 $y=(2x{)}^3$ 或 $y=(x+1{)}^2$ 当作幂函数。

  • 错因分析：底数不是单独的 $x$。
  • 正确处理：底数必须是自变量 $x$ 本身，不能是 $2x$、$x+1$ 等表达式。

• 错误表现：忘记 $y=\sqrt{x}$ 的定义域是 $[0,+\infty )$。

  • 正确处理：$\sqrt{x}=x^{1/2}$，偶次根式要求被开方数非负，定义域 $[0,+\infty )$。

• 错误表现：说 $y=\frac{1}{x}$ 在整个定义域上单调递减。

  • 反例：取 $x_1=-1<x_2=1$，$f(-1)=-1<1=f(1)$，违反递减。
  • 正确处理：单调区间分开写——$(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$ 上分别递减，用“和”连接。

• 错误表现：比较大小时不先判断函数在哪个区间单调，直接比较底数。

  • 反例：比较 $(-1.5{)}^2$ 与 $(-1.4{)}^2$ 时，若认为 $x^2$ 递增就得出 $(-1.5{)}^2<(-1.4{)}^2$（实际 $2.25>1.96$，因 $x^2$ 在 $(-\infty ,0]$ 递减）。
  • 正确处理：先确定自变量所在区间和函数在该区间的单调性，再比较。

• 错误表现：判断 $y=\sqrt{x}$ 奇偶性时，直接算 $f(-x)$ 得到 $\sqrt{-x}$，纠结于是否有意义。

  • 正确处理：第一步看定义域 $[0,+\infty )$ 不关于原点对称（$-1\notin$ 定义域），直接判定为非奇非偶函数。

考点考证点整理

考点一：幂函数定义的辨析

• 出题思路：给出一组函数，判断哪些是幂函数，或选择属于幂函数的选项。
• 关键条件：底数是自变量 $x$、指数是常数 $\alpha$、系数为 $1$。
• 解答要点：逐一核对三个特征。常见干扰：$k{x}^{\alpha }$（$k\ne 1$）、$a^x$（指数函数）、$(x+c{)}^{\alpha }$（底数不是 $x$）、$x^{\alpha }+c$（多了常数项）。
• 易扣分点：只看形式不看系数；混淆幂函数与指数函数；忽略底数必须是 $x$ 本身。

考点二：五个代表幂函数的图象与性质

• 出题思路：要求写出 $y=x$、$y=x^2$、$y=x^3$、$y=\sqrt{x}$、$y=\frac{1}{x}$ 的定义域、值域、奇偶性、单调性；或给图象判断是哪个幂函数。
• 关键条件：$\alpha$ 的值决定定义域（正整数 $\to \mathbb{R}$，$\frac{1}{2}\to [0,+\infty )$，$-1\to x\ne 0$）、奇偶性、单调性。
• 解答要点：熟记五个函数的性质对照表；画图时注意公共点 $(1,1)$、$y=\frac{1}{x}$ 的渐近线、$\alpha >0$ 过原点。
• 易扣分点：$\sqrt{x}$ 定义域写成 $\mathbb{R}$；$\frac{1}{x}$ 单调区间合并；奇偶性判断不看定义域。

考点三：已知图象过点求幂函数解析式

• 出题思路：已知幂函数 $y=x^{\alpha }$ 过某点 $(a,b)$，求 $\alpha$ 和解析式。
• 关键条件：$a^{\alpha }=b$；$a,b>0$（便于化为同底数幂）。
• 解答要点：设 $f(x)=x^{\alpha }$，代入 $a^{\alpha }=b$，化为同底数幂比较指数。如 $2^{\alpha }=\sqrt{2}=2^{1/2}$ 得 $\alpha =\frac{1}{2}$。
• 易扣分点：不会化为同底数幂；$\alpha$ 解错；忘记验证点在定义域内。

考点四：利用幂函数单调性比较大小

• 出题思路：比较两个幂值的大小，底数可能为正或负。
• 关键条件：对应幂函数的单调性；自变量（底数）所在区间。
• 解答要点：确定幂函数 $\to$ 判断自变量所在区间的单调性 $\to$ 比较自变量大小 $\to$ 得出函数值大小。负底数注意 $x^2$ 在负半轴递减、$x^3$ 在负半轴递增。
• 易扣分点：不判断区间单调性直接比较；$x^{-1}$ 递减方向搞反；负底数 + 偶数次幂的符号判断错误。

考点五：用定义证明幂函数单调性

• 出题思路：用定义证明 $\sqrt{x}$（分子有理化）、$x^3$（因式分解）等幂函数的单调性。
• 关键条件：定义域；$x_1<x_2$（$x_2-x_1>0$）；变形技巧。
• 解答要点：设元 $\to$ 作差 $\to$ 变形（$\sqrt{x}$ 用分子有理化，$x^3$ 用立方差公式）$\to$ 定号（分离 $(x_2-x_1)$）$\to$ 结论。
• 易扣分点：含根式不会分子有理化；$x^3$ 的 $x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2>0$ 不会证明（配方法）；定号时缺依据。

练习题

基础训练

1. 判断下列函数是否为幂函数，并说明理由：$y=x^5$、$y=-x^2$、$y=x^{-2}$、$y=3^x$、$y=2x^3$、$y=x^2+1$。
2. 在同一坐标系中画出 $y=x$、$y=x^2$、$y=x^3$、$y=\sqrt{x}$、$y=\frac{1}{x}$ 的图象，并指出它们的公共点。
3. 写出 $y=x^3$ 的定义域、值域、奇偶性和单调性。
4. 写出 $y=\frac{1}{x}$ 的定义域、值域、奇偶性和单调性。
5. 已知幂函数 $y=f(x)$ 的图象过点 $(4,2)$，求 $f(x)$ 的解析式。

巩固训练

1. 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
   （1）$(-1.5{)}^3$ 与 $(-1.4{)}^3$；
   （2）$\sqrt{0.5}$ 与 $\sqrt{0.6}$；
   （3）$\frac{1}{2.1}$ 与 $\frac{1}{2.2}$。
2. 画出函数 $y=\sqrt{|x|}$ 的图象，判断它的奇偶性，并讨论它的单调性。
3. 根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数 $f(x)=x^3$ 的单调性，并判断其奇偶性。
4. 已知幂函数 $y=f(x)$ 的图象经过点 $\left(2,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，求 $f(x)$ 的解析式和定义域。
5. 在固定压力差下，气体通过圆形管道时，流量 $v$（cm³/s）与管道半径 $r$（cm）的四次方成正比。写出 $v$ 关于 $r$ 的函数解析式。

提升训练

1. 试用描点法画出函数 $f(x)=x^{-2}$ 的图象，求函数的定义域、值域，讨论其单调性和奇偶性，并给出证明。
2. 已知幂函数 $y=f(x)$ 的图象过点 $\left(\sqrt{2},2\right)$，求此函数的解析式，画出图象，并判断其奇偶性和单调性。
3. 试探究：五个幂函数 $y=x$、$y=x^2$、$y=x^3$、$y=\sqrt{x}$、$y=x^{-1}$ 的图象，在区间 $(0,1)$ 上，当 $x\in (0,1)$ 时，它们的函数值大小关系如何？在区间 $(1,+\infty )$ 上又如何？

练习题答案

基础训练答案

1. $y=x^5$：底数 $x$、指数 $5$、系数 $1$，是幂函数。$y=-x^2$：系数是 $-1\ne 1$，不是幂函数。$y=x^{-2}$：底数 $x$、指数 $-2$、系数 $1$，是幂函数。$y=3^x$：变量在指数位置，是指数函数，不是幂函数。$y=2x^3$：系数 $2\ne 1$，不是幂函数。$y=x^2+1$：多了常数项 $1$，不是幂函数。
2. 五个函数图象画在同一坐标系：$y=x$ 是过原点的直线；$y=x^2$ 是开口向上的抛物线；$y=x^3$ 是过原点单调上升的立方曲线；$y=\sqrt{x}$ 是第一象限的半抛物线（从原点向右上升）；$y=\frac{1}{x}$ 是分布在第一、三象限的双曲线。它们的公共点是 $(1,1)$（因 $1^1=1^2=1^3=\sqrt{1}=\frac{1}{1}=1$）。
3. $y=x^3$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $\mathbb{R}$，奇函数（$(-x{)}^3=-x^3$），在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
4. $y=\frac{1}{x}$：定义域 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，值域 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，奇函数（$\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$），在 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$ 上分别单调递减。
5. 设 $f(x)=x^{\alpha }$。图象过 $(4,2)$，故 $4^{\alpha }=2$。因 $4=2^2$，$(2^2{)}^{\alpha }=2^1$，即 $2^{2\alpha }=2^1$，所以 $2\alpha =1$，$\alpha =\frac{1}{2}$。故 $f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$。检验：$f(4)=\sqrt{4}=2$ ✓。

巩固训练答案

1. （1）对应 $f(x)=x^3$，$\mathbb{R}$ 上递增，$-1.5<-1.4$，所以 $(-1.5{)}^3<(-1.4{)}^3$。
   （2）对应 $f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$，$[0,+\infty )$ 上递增，$0.5<0.6$，所以 $\sqrt{0.5}<\sqrt{0.6}$。
   （3）对应 $f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$，$(0,+\infty )$ 上递减，$2.1<2.2$，所以 $\frac{1}{2.1}>\frac{1}{2.2}$。
2. $y=\sqrt{|x|}$，定义域 $\mathbb{R}$（因 $|x|\ge 0$ 对全体实数成立）。当 $x\ge 0$ 时 $y=\sqrt{x}$；当 $x<0$ 时 $y=\sqrt{-x}$。奇偶性：$f(-x)=\sqrt{|-x|}=\sqrt{|x|}=f(x)$，是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。单调性：在 $[0,+\infty )$ 上 $y=\sqrt{x}$ 递增；在 $(-\infty ,0]$ 上由对称性（偶函数）知递减。故 $y=\sqrt{|x|}$ 在 $(-\infty ,0]$ 上单调递减，在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。图象呈“V”形圆弧（$x\ge 0$ 部分是 $\sqrt{x}$ 的半抛物线，$x<0$ 部分是它关于 $y$ 轴的镜像）。
3. 奇偶性：定义域 $\mathbb{R}$ 对称，$f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$，奇函数。单调性：任取 $x_1<x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2)$。因 $x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2={\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{x}_2^2\ge 0$，且 $x_1\ne x_2$ 时严格大于 $0$；又 $x_1-x_2<0$，所以 $f(x_1)-f(x_2)<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$。故 $f(x)=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
4. 设 $f(x)=x^{\alpha }$。过点 $\left(2,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，故 $2^{\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2^{1/2}}{2}=2^{1/2-1}=2^{-1/2}$。所以 $\alpha =-\frac{1}{2}$，$f(x)=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$。定义域：要求 $x>0$（分母 $\sqrt{x}\ne 0$ 且根号内 $x\ge 0$，综合得 $x>0$），即 $(0,+\infty )$。检验：$f(2)=2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓。
5. 流量 $v$ 与半径 $r$ 的四次方成正比，设比例系数 $k$（$k>0$），则 $v=k\cdot r^4=k{r}^4$（$r>0$）。这是一个幂函数（$\alpha =4$）乘以正常数。若已知 $r=3$ cm 时 $v=400$ cm³/s，则 $k=\frac{400}{3^4}=\frac{400}{81}$，$v=\frac{400}{81}{r}^4$。

提升训练答案

1. $f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$。定义域：$x\ne 0$，即 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$。值域：因 $x^2>0$，$\frac{1}{x^2}>0$，且 $x^2$ 可取 $(0,+\infty )$ 内一切值，故值域为 $(0,+\infty )$。奇偶性：定义域关于原点对称，$f(-x)=\frac{1}{(-x{)}^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$，是偶函数。单调性：在 $(0,+\infty )$ 上单调递减（$x^2$ 递增 $\Rightarrow \frac{1}{x^2}$ 递减）；由偶函数对称性，在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增。严格证明（$(0,+\infty )$ 上递减）：任取 $0<x_1<x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_1^2{x}_2^2}=\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{x_1^2{x}_2^2}$。由 $x_2>x_1>0$ 得 $x_2-x_1>0$、$x_2+x_1>0$、$x_1^2{x}_2^2>0$，故 $f(x_1)-f(x_2)>0$，$f(x_1)>f(x_2)$，递减。由偶函数性质，$(-\infty ,0)$ 上递增。图象分布在第一、第二象限，关于 $y$ 轴对称，以 $x$ 轴为渐近线，经过 $(1,1)$ 和 $(-1,1)$。
2. 设 $f(x)=x^{\alpha }$。过 $(\sqrt{2},2)$，故 $(\sqrt{2}{)}^{\alpha }=2$。因 $\sqrt{2}=2^{1/2}$，$(2^{1/2}{)}^{\alpha }=2^1$，即 $2^{\alpha /2}=2^1$，$\frac{\alpha }{2}=1$，$\alpha =2$。故 $f(x)=x^2$。奇偶性：偶函数。单调性：$(-\infty ,0]$ 上递减，$[0,+\infty )$ 上递增。图象是开口向上的抛物线，顶点在原点，经过 $(1,1)$ 和 $(\sqrt{2},2)$。
3. 在区间 $(0,1)$ 内，取 $x=0.5$ 为例：$x^{-1}=\frac{1}{0.5}=2$，$\sqrt{x}=\sqrt{0.5}\approx 0.707$，$x=0.5$，$x^2=0.25$，$x^3=0.125$。可见在 $(0,1)$ 内，$\alpha$ 越小，函数值越大，大小关系为 $x^{-1}>\sqrt{x}>x>x^2>x^3$（即 $x^{-1}>x^{1/2}>x^1>x^2>x^3$）。这是因为当 $0<x<1$ 时，$x^{\alpha }$ 随 $\alpha$ 增大而减小。
   在区间 $(1,+\infty )$ 内，取 $x=2$ 为例：$x^{-1}=0.5$，$\sqrt{x}\approx 1.414$，$x=2$，$x^2=4$，$x^3=8$。可见在 $(1,+\infty )$ 内，$\alpha$ 越大，函数值越大，大小关系为 $x^{-1}<\sqrt{x}<x<x^2<x^3$。这是因为当 $x>1$ 时，$x^{\alpha }$ 随 $\alpha$ 增大而增大。
   总结：五个幂函数图象都以 $(1,1)$ 为“交汇点”——在 $(0,1)$ 内 $\alpha$ 越小图象越高，在 $(1,+\infty )$ 内 $\alpha$ 越大图象越高。