第3章 函数的概念与性质：核心知识点大纲

学习主线

第三章是高中函数学习的起点，主线是：

函数概念 -> 函数表示 -> 函数性质 -> 幂函数研究 -> 函数模型应用

这一章要把初中“变量关系”的函数理解，提升为高中“集合与对应关系”的函数理解。

3.1 函数的概念及其表示

1. 函数的本质

函数描述的是从一个数集到另一个数集的确定对应关系。

设 $A,B$ 是非空实数集，如果对任意 $x\in A$，按照对应关系 $f$，在 $B$ 中都有唯一确定的 $y$ 与之对应，那么称：

$$y=f(x),x\in A$$

为一个函数。

2. 函数三要素

• 定义域：自变量 $x$ 的取值范围。
• 对应关系：由 $x$ 得到 $y$ 的规则。
• 值域：所有函数值组成的集合。

判断两个函数是否相同，主要看定义域和对应关系是否都相同。

3. 函数表示方法

• 解析法：精确，便于计算和推理。
• 列表法：直观，适合离散数据。
• 图象法：形象，便于观察变化趋势。

4. 分段函数

分段函数在不同区间上有不同对应规则。处理时要先判断自变量属于哪一段，再代入对应解析式。

3.2 函数的基本性质

1. 单调性

单调性研究“自变量增大时，函数值怎样变化”。

• 若 $x_1<x_2$ 时总有 $f(x_1)<f(x_2)$，则函数在该区间单调递增。
• 若 $x_1<x_2$ 时总有 $f(x_1)>f(x_2)$，则函数在该区间单调递减。

2. 最大值与最小值

最大值必须满足两个条件：

• 所有函数值都不超过它。
• 它能被函数实际取到。

最小值类似：

• 所有函数值都不小于它。
• 它能被函数实际取到。

3. 奇偶性

判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称。

• 若 $f(-x)=f(x)$，则为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。
• 若 $f(-x)=-f(x)$，则为奇函数，图象关于原点对称。

3.3 幂函数

1. 定义

形如

$$y=x^{\alpha }$$

的函数叫幂函数，其中 $\alpha$ 是常数。

2. 常见幂函数

函数	定义域	值域	奇偶性	单调性概要
$y=x$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	奇函数	$\mathbb{R}$ 上递增
$y=x^2$	$\mathbb{R}$	$[0,+\infty )$	偶函数	$(-\infty ,0]$ 递减，$[0,+\infty )$ 递增
$y=x^3$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	奇函数	$\mathbb{R}$ 上递增
$y=\sqrt{x}$	$[0,+\infty )$	$[0,+\infty )$	非奇非偶	$[0,+\infty )$ 上递增
$y=x^{-1}$	$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$	$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$	奇函数	$(-\infty ,0)$、$(0,+\infty )$ 上分别递减

3.4 函数的应用（一）

1. 函数建模

函数应用题通常要经历：

读题 -> 设变量 -> 找关系 -> 写解析式 -> 定义域限制 -> 用性质求解 -> 解释答案

2. 常见模型

• 一次函数：匀速变化、固定单价、线性成本。
• 二次函数：面积最值、利润最大、刹车距离。
• 幂函数：几何量、比例关系、物理关系。
• 分段函数：税费、阶梯水价、票价、分时速度。

本章重点

• 函数定义中的“任意”和“唯一”。
• 定义域、对应关系、值域三要素。
• 函数表示方法的选择。
• 单调性定义与证明。
• 最大值、最小值的存在条件。
• 奇函数、偶函数的判断。
• 幂函数图象与性质。
• 实际问题中的函数建模。

本章难点

• 判断两个函数是否为同一个函数。
• 求由解析式给出的函数定义域。
• 用定义证明单调性。
• 判断奇偶性时先检查定义域。
• 分段函数的解析式、图象和求值。
• 把实际问题中的限制条件写入定义域。

常见考点

• 求函数定义域和值域。
• 判断两个函数是否相同。
• 用三种方法表示函数。
• 分段函数求值和建模。
• 判断或证明函数单调性。
• 求函数最大值、最小值。
• 判断函数奇偶性并利用对称性作图。
• 幂函数性质识别与比较大小。
• 建立一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题。