1.5 全称量词与存在量词：核心知识点讲解

本节学习目标

学完本节，需要掌握：

• 什么是量词，为什么含变量的语句加上量词后可以成为命题。
• 什么是全称量词、全称量词命题。
• 什么是存在量词、存在量词命题。
• 如何判断全称量词命题和存在量词命题的真假。
• 如何正确写出含一个量词的命题的否定。
• 如何否定省略全称量词的“若 $p$，则 $q$”形式命题。

这一节的核心是两件事：

判断：全称看全部，存在找一个。
否定：全称变存在，存在变全称。

核心知识点讲解

一、知识对象与问题情境

本节研究的知识对象是“含变量语句如何变成命题，以及含量词命题怎样判断真假、怎样否定”。在前面学习命题时，我们关注“能不能判断真假”；本节进一步关注：

变量取什么范围？是要求所有对象都满足，还是只要存在一个对象满足？

常见问题情境有四类：

• 含变量语句本身不能判断真假，需要用量词和范围使它成为命题。
• 判断“所有、任意、每一个”这类全称量词命题的真假。
• 判断“存在、至少有一个、有些”这类存在量词命题的真假。
• 写出含量词命题和省略量词的“若 $p$，则 $q$”命题的否定。

本节的主线可以概括为：

识别量词 -> 明确变量范围 -> 判断真假 -> 写出否定

二、核心概念与定义条件

1. 含变量的语句不一定是命题

命题是可以判断真假的陈述句。

但有些语句含有变量，如果没有说明变量取什么值，就不能判断真假。

例如：

$$x>3.$$

如果 $x=5$，它是真的；如果 $x=1$，它是假的。所以在没有限定 $x$ 的情况下，它还不是命题。

再如：

$$2x+1\text{ 是整数}.$$

如果 $x\in \mathbb{Z}$，它总是真的；如果 $x=\frac{1}{2}$，它就不是真的。

因此，含变量的语句要变成命题，通常需要给变量加上取值范围和量词。

2. 量词

用来限定变量取值方式的词语叫做量词。

常见量词有两类：

• 全称量词：所有的、任意一个、每一个、一切。
• 存在量词：存在一个、至少有一个、有些、有的。

例如：

对任意 x∈Z，2x+1 是奇数。

这是命题，因为它明确说明了变量范围和判断对象。

3. 全称量词

“所有的”“任意一个”“每一个”“一切”等叫做全称量词，用符号表示为：

$$\forall .$$

含有全称量词的命题叫做全称量词命题。

一般形式：

$$\forall x\in M,p(x).$$

读作：

对集合 M 中任意一个 x，p(x) 成立。

例如：

$$\forall n\in \mathbb{Z},2n+1\text{ 是奇数}.$$

这是全称量词命题。

再如：

所有正方形都是矩形。

也可以理解为全称量词命题。

4. 判断全称量词命题真假

要判断：

$$\forall x\in M,p(x)$$

的真假：

• 要证明它是真命题，必须说明 $M$ 中每一个 $x$ 都满足 $p(x)$。
• 要证明它是假命题，只需要找到一个反例。

反例形式：

$$\exists x_0\in M,p(x_0)\text{ 不成立}.$$

例如：

所有素数都是奇数。

这是假的，因为：

$$2$$

是素数，但 $2$ 不是奇数。

再如：

$$\forall x\in \mathbb{R},|x|+1\ge 1.$$

这是真的，因为对任意实数 $x$，都有：

$$|x|\ge 0,$$

所以：

$$|x|+1\ge 1.$$

5. 存在量词

“存在一个”“至少有一个”“有些”“有的”等叫做存在量词，用符号表示为：

$$\exists .$$

含有存在量词的命题叫做存在量词命题。

一般形式：

$$\exists x\in M,p(x).$$

读作：

存在集合 M 中的元素 x，使 p(x) 成立。

例如：

$$\exists x\in \mathbb{R},2x+1=3.$$

这是真命题，因为取 $x=1$ 即可。

再如：

有些平行四边形是菱形。

这也是存在量词命题。

6. 判断存在量词命题真假

要判断：

$$\exists x\in M,p(x)$$

的真假：

• 要证明它是真命题，只需要找到一个例子，使 $p(x)$ 成立。
• 要证明它是假命题，必须说明 $M$ 中没有任何元素满足 $p(x)$。

例如：

$$\exists x\in \mathbb{R},x^2+2x+3=0.$$

这是假的，因为判别式：

$$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=-8<0,$$

所以方程无实数根。

再如：

有些平行四边形是菱形。

这是真的，因为正方形既是平行四边形，也是菱形。

7. 命题的否定

对一个命题进行否定，可以得到一个新的命题，叫做原命题的否定。

一个命题和它的否定具有以下关系：

• 不能同时为真。
• 不能同时为假。
• 必定一真一假。

例如：

56 是 7 的倍数。

它的否定是：

56 不是 7 的倍数。

三、符号语言与等价表示

含量词命题常用符号语言表示，核心是同时写清“变量范围”和“性质条件”。

类型	语言形式	符号形式	读法
全称量词命题	对任意 $x\in M$，$p(x)$ 成立	$\forall x\in M,p(x)$	$M$ 中每一个 $x$ 都满足 $p(x)$
存在量词命题	存在 $x\in M$，使 $p(x)$ 成立	$\exists x\in M,p(x)$	$M$ 中至少有一个 $x$ 满足 $p(x)$
全称命题的否定	存在 $x\in M$，使 $p(x)$ 不成立	$\exists x\in M,\neg p(x)$	找到一个反例
存在命题的否定	对任意 $x\in M$，$p(x)$ 不成立	$\forall x\in M,\neg p(x)$	全部都不满足

写符号时要特别注意：

• $\forall$ 和 $\exists$ 后面必须有变量和范围，例如 $x\in \mathbb{R}$、$n\in \mathbb{Z}$。
• $p(x)$ 是关于变量 $x$ 的判断内容，否定时要否定这一部分。
• 变量范围不能随意扩大或缩小，否则命题真假可能改变。

四、关键性质、定理与公式

1. 全称量词命题的否定

全称量词命题：

$$\forall x\in M,p(x).$$

它的否定是：

$$\exists x\in M,\neg p(x).$$

也就是说：

所有都满足

的否定是：

存在一个不满足

例如：

所有矩形都是平行四边形。

它的否定是：

存在一个矩形不是平行四边形。

再如：

$$\forall x\in \mathbb{R},x+|x|\ge 0.$$

它的否定是：

$$\exists x\in \mathbb{R},x+|x|<0.$$

2. 存在量词命题的否定

存在量词命题：

$$\exists x\in M,p(x).$$

它的否定是：

$$\forall x\in M,\neg p(x).$$

也就是说：

存在一个满足

的否定是：

所有都不满足

例如：

有些平行四边形是菱形。

它的否定是：

所有平行四边形都不是菱形。

再如：

$$\exists x\in \mathbb{R},x^2-2x+3=0.$$

它的否定是：

$$\forall x\in \mathbb{R},x^2-2x+3\ne 0.$$

3. 常见否定规则

原命题形式	否定形式
$\forall x\in M,p(x)$	$\exists x\in M,\neg p(x)$
$\exists x\in M,p(x)$	$\forall x\in M,\neg p(x)$
$a=b$	$a\ne b$
$a\ne b$	$a=b$
$a>b$	$a\le b$
$a\ge b$	$a<b$
$a<b$	$a\ge b$
$a\le b$	$a>b$
$p\text{ 且 }q$	$\neg p\text{ 或 }\neg q$
$p\text{ 或 }q$	$\neg p\text{ 且 }\neg q$

五、典型模型与解题方法

1. 判断真假模型

全称量词命题和存在量词命题的真假判断可以用一张表记住：

命题类型	证明为真	证明为假
$\forall x\in M,p(x)$	对任意 $x\in M$ 证明 $p(x)$ 成立	找一个 $x_0\in M$ 使 $p(x_0)$ 不成立
$\exists x\in M,p(x)$	找一个 $x_0\in M$ 使 $p(x_0)$ 成立	证明任意 $x\in M$ 都不满足 $p(x)$

2. 写否定模型

写否定时固定做两步：

第一步：量词互换。
第二步：否定结论。

也就是：

$$\forall \leftrightarrow \exists ,p(x)\leftrightarrow \neg p(x).$$

3. 省略量词的“若 p，则 q”模型

很多“若 $p$，则 $q$”其实是省略全称量词的命题：

$$\forall x\in M,p(x)\Rightarrow q(x).$$

它的否定不是“若 $p$，则 $\neg q$”，而是：

$$\exists x\in M,p(x)\text{ 成立且 }q(x)\text{ 不成立}.$$

这其实就是“找到一个反例”。

六、题型应用与迁移

本节知识会在后续数学学习中反复使用：

• 在函数与不等式中，判断“对任意 $x$ 都成立”或“存在 $x$ 使等式成立”。
• 在方程中，用判别式说明“存在实根”或“不存在实根”。
• 在几何中，把“所有某类图形都满足某性质”写成全称命题。
• 在证明与反证中，通过命题否定准确表达“反例”或“矛盾假设”。

重点梳理

重点 1：全称命题看“每一个”

全称量词命题要对范围内所有对象都成立。

例如：

$$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$$

是真命题，因为任意实数的平方都大于或等于 $0$。

但：

所有素数都是奇数。

是假命题，因为 $2$ 是反例。

重点 2：存在命题看“找得到”

存在量词命题只需要找到一个例子。

例如：

存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直。

是真命题，因为菱形就是例子。

但：

$$\exists n\in \mathbb{Z},n^2+n\text{ 是奇数}$$

是假命题，因为：

$$n^2+n=n(n+1),$$

两个连续整数中必有一个偶数，所以 $n(n+1)$ 一定是偶数。

重点 3：否定命题必须“换量词 + 否定结论”

只否定结论，不换量词，是常见错误。

例如：

原命题：

$$\forall x\in \mathbb{R},x+1\ge 0.$$

否定应为：

$$\exists x\in \mathbb{R},x+1<0.$$

而不是：

$$\forall x\in \mathbb{R},x+1<0.$$

重点 4：省略量词的命题要先补全

很多数学命题省略了全称量词。

例如：

若 x>1，则 2x+1>5。

完整形式是：

$$\forall x\in \mathbb{R},x>1\Rightarrow 2x+1>5.$$

它的否定是：

$$\exists x\in \mathbb{R},x>1\text{ 且 }2x+1\le 5.$$

不是：

若 x>1，则 2x+1≤5。

难点突破

难点 1：全称命题为假，只需要一个反例

要否定“所有都成立”，不需要证明很多对象不成立，只要找一个不成立即可。

例如：

每一个素数都是奇数。

反例：

$$2$$

所以原命题是假命题。

难点 2：存在命题为假，需要说明全部不成立

要说明“存在一个满足”是假，必须证明没有任何一个满足。

例如：

$$\exists x\in \mathbb{R},x^2+2x+3=0.$$

要判断为假，就要说明这个方程没有实数根。可用判别式：

$$\Delta =-8<0.$$

难点 3：“有些”的否定不是“有些不”

原命题：

有些平行四边形是菱形。

否定不是：

有些平行四边形不是菱形。

正确否定是：

所有平行四边形都不是菱形。

因为“有些是”的反面是“一个都不是”。

难点 4：“所有”的否定不是“所有都不”

原命题：

所有矩形都是平行四边形。

否定不是：

所有矩形都不是平行四边形。

正确否定是：

存在一个矩形不是平行四边形。

因为“全部都满足”的反面是“至少一个不满足”。

难点 5：否定“若 p，则 q”

省略量词的“若 $p$，则 $q$”通常表示：

$$\forall x\in M,p(x)\Rightarrow q(x).$$

它的否定是：

$$\exists x\in M,p(x)\text{ 成立且 }q(x)\text{ 不成立}.$$

也就是：

找到一个反例：满足条件 p，但结论 q 不成立。

例题讲解

例题 1：判断全称量词命题真假

判断下列全称量词命题的真假。

1. 所有的素数都是奇数。
2. $\forall x\in \mathbb{R},|x|+1\ge 1$。
3. 对任意一个无理数 $x$，$x^2$ 也是无理数。

解析：

第 1 题：$2$ 是素数，但 $2$ 不是奇数，所以是假命题。

第 2 题：任意实数 $x$ 都有 $|x|\ge 0$，所以 $|x|+1\ge 1$，是真命题。

第 3 题：取：

$$x=\sqrt{2}.$$

$\sqrt{2}$ 是无理数，但：

$$x^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$$

是有理数，所以是假命题。

答案：假，真，假。

例题 2：判断存在量词命题真假

判断下列存在量词命题的真假。

1. 存在一个实数 $x$，使 $x^2+2x+3=0$。
2. 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。
3. 有些平行四边形是菱形。

解析：

第 1 题：

$$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=-8<0,$$

所以方程无实根，命题是假命题。

第 2 题：平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不可能相交，所以是假命题。

第 3 题：正方形既是平行四边形又是菱形，所以是真命题。

答案：假，假，真。

例题 3：写出全称量词命题的否定

写出下列命题的否定。

1. 所有能被 $3$ 整除的整数都是奇数。
2. 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上。
3. $\forall x\in \mathbb{Z},x^2$ 的个位数字不等于 $3$。

解析：

全称量词命题的否定规则：

$$\forall x\in M,p(x)$$

的否定是：

$$\exists x\in M,\neg p(x).$$

答案：

1. 存在一个能被 $3$ 整除的整数不是奇数。
2. 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上。
3. $\exists x\in \mathbb{Z},x^2$ 的个位数字等于 $3$。

例题 4：写出存在量词命题的否定

写出下列命题的否定。

1. $\exists x\in \mathbb{R},x+2\le 0$。
2. 有的三角形是等边三角形。
3. 有一个偶数是素数。

解析：

存在量词命题的否定规则：

$$\exists x\in M,p(x)$$

的否定是：

$$\forall x\in M,\neg p(x).$$

答案：

1. $\forall x\in \mathbb{R},x+2>0$。
2. 所有的三角形都不是等边三角形。
3. 任意一个偶数都不是素数。

例题 5：写出命题否定并判断真假

写出下列命题的否定，并判断否定命题的真假。

1. 任意两个等边三角形都相似。
2. $\exists x\in \mathbb{R},x^2-x+1=0$。

解析：

第 1 题原命题是全称量词命题。

它的否定是：

存在两个等边三角形，它们不相似。

因为任意两个等边三角形对应角都为 $60^{\circ }$，所以任意两个等边三角形都相似。因此否定命题是假命题。

第 2 题原命题是存在量词命题。

它的否定是：

$$\forall x\in \mathbb{R},x^2-x+1\ne 0.$$

因为：

$$x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0,$$

所以对任意实数 $x$，都有：

$$x^2-x+1\ne 0.$$

因此否定命题是真命题。

易错点整理

易错点 1：把含变量语句直接当命题

例如：

$$x>3$$

没有说明 $x$ 的范围和取值方式，不能直接判断真假。

易错点 2：全称命题为真时只举一个例子

要证明：

$$\forall x\in M,p(x)$$

为真，不能只举一个例子，必须说明所有 $x$ 都成立。

易错点 3：存在命题为真时不会找例子

要证明：

$$\exists x\in M,p(x)$$

为真，只要找到一个满足条件的例子即可。

易错点 4：否定时只否定结论，不改变量词

错误：

$$\forall x\in \mathbb{R},x+1\ge 0$$

的否定写成：

$$\forall x\in \mathbb{R},x+1<0.$$

正确：

$$\exists x\in \mathbb{R},x+1<0.$$

易错点 5：“有些是”的否定写成“有些不是”

错误：

有些三角形是直角三角形。

的否定写成：

有些三角形不是直角三角形。

正确：

所有三角形都不是直角三角形。

易错点 6：否定“若 p，则 q”时格式错误

原命题：

若 p，则 q。

如果它省略了全称量词，则否定应为：

存在一种情况，使 p 成立且 q 不成立。

不是：

若 p，则非 q。

考点考证点整理

考点 1：识别全称量词和存在量词

• 出题思路：给出自然语言命题，要求判断它是全称量词命题、存在量词命题，或改写成含 $\forall ,\exists$ 的符号形式。
• 关键条件：全称关键词有“所有、任意、每一个、一切、任给”；存在关键词有“存在、至少有一个、有些、有的、某些”。同时必须看清变量范围，如 $\mathbb{R}$、$\mathbb{Z}$、几何图形集合等。
• 解答要点：先圈出量词，再写变量和范围，最后写性质 $p(x)$。例如“任意实数的平方非负”写成 $\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$。
• 易扣分点：只写量词符号却漏掉变量范围；把“不都是”误读成全称否定，其实“不都是”通常表示“存在一个不是”。

考点 2：判断含量词命题真假

• 出题思路：给出全称量词命题或存在量词命题，要求判断真假并说明理由。
• 关键条件：全称命题为真要覆盖集合 $M$ 中所有元素，为假只需一个反例；存在命题为真只需一个例子，为假要证明所有对象都不满足。
• 解答要点：全称为真时给一般性证明，如平方非负、垂直平分线性质；全称为假时给反例并说明反例属于范围。存在为真时给出具体对象；存在为假时用定理、判别式、分类讨论等排除全部可能。
• 易扣分点：用一个例子证明全称命题为真；反例不属于题目给定范围；存在命题为假时只说“找不到”，没有证明“不存在”。

考点 3：写命题的否定

• 出题思路：要求写出全称命题或存在命题的否定，有时还要求判断原命题和否定命题的真假。
• 关键条件：否定含一个量词的命题必须同时完成“量词互换”和“结论否定”。
• 解答要点：使用公式 $\neg (\forall x\in M,p(x))\iff \exists x\in M,\neg p(x)$，$\neg (\exists x\in M,p(x))\iff \forall x\in M,\neg p(x)$。自然语言中，“所有都……”的否定是“存在一个不……”，“有些……”的否定是“所有都不……”。
• 易扣分点：只否定结论但不改变量词；把“有些是”的否定写成“有些不是”；把“所有是”的否定写成“所有不是”。

考点 4：否定不等式

• 出题思路：在写命题否定时，把等式、不等式或复合条件正确否定。
• 关键条件：$\ge$ 的否定是 $<$，$>$ 的否定是 $\le$，$\le$ 的否定是 $>$，$<$ 的否定是 $\ge$；$=$ 的否定是 $\ne$；“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”。
• 解答要点：先改变量词，再逐个否定结论中的判断条件。例如 $\forall x\in \mathbb{R},x+1\ge 0$ 的否定是 $\exists x\in \mathbb{R},x+1<0$。
• 易扣分点：把 $>$ 的否定写成 $<$，漏掉等号；复合条件中只否定其中一部分；没有保留原来的变量范围。

考点 5：否定省略量词的命题

• 出题思路：给出“若 $p$，则 $q$”形式的数学命题，要求写否定并判断真假。
• 关键条件：“若 $p$，则 $q$”通常省略了全称量词，完整形式是 $\forall x\in M,p(x)\Rightarrow q(x)$。
• 解答要点：否定应写成 $\exists x\in M,p(x)\text{ 且 }\neg q(x)$。也就是找一个反例：满足条件 $p$，但结论 $q$ 不成立。
• 易扣分点：误写成“若 $p$，则非 $q$”；忘记写“存在”；没有说明反例所在范围；把原命题真假和否定命题真假混在一起。

练习题

A 组：基础巩固

1. 判断下列语句是否为命题。

   • $x+1>0$。
   • $\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$。
   • $\exists x\in \mathbb{Z},2x+1=5$。
   • $2$ 是素数。

2. 判断下列全称量词命题的真假。

   • 每一个末位是 $0$ 的整数都是 $5$ 的倍数。
   • 任何实数都有算术平方根。
   • 对任意负数 $x$，$x^2$ 是正数。
   • 每个梯形的对角线相等。

3. 判断下列存在量词命题的真假。

   • 有些实数是无限不循环小数。
   • 存在一个三角形不是等腰三角形。
   • 有些菱形是正方形。
   • 至少有一个整数 $n$，使 $n^2+1$ 是 $4$ 的倍数。

B 组：能力提升

4. 写出下列命题的否定。

   • $\forall x\in \mathbb{Z},|x|\in \mathbb{N}$。
   • 所有可以被 $5$ 整除的整数，末位数字都是 $0$。
   • $\forall x\in \mathbb{R},x+1\ge 0$。
   • 存在一个四边形，它的对角线互相垂直。

5. 写出下列命题的否定，并判断原命题真假。

   • 平面直角坐标系下每条直线都与 $x$ 轴相交。
   • 每个二次函数的图象都是轴对称图形。
   • 存在一个三角形，它的内角和小于 $180^{\circ }$。
   • 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上。

6. 将下列命题改写成含有一个量词的命题，并写出否定。

   • 平行四边形的对角线互相平分。
   • 三个连续整数的乘积是 $6$ 的倍数。
   • 三角形不都是中心对称图形。
   • 一元二次方程不总有实数根。

C 组：综合应用

7. 写出命题的否定：

若 x>1，则 2x+1>5。

并判断原命题真假。

8. 写出命题的否定：

若四边形是等腰梯形，则这个四边形的对角线相等。

并判断原命题真假。

9. 判断下列命题真假，并说明理由。

$$\forall x\in \mathbb{R},x^2-x+1>0.$$

10. 判断下列命题真假，并说明理由。

$$\exists x\in \mathbb{R},x^2+1=0.$$

教材习题补充

11. 教材习题 1.5 第 1 题：判断下列全称量词命题真假：每一个末位是 $0$ 的整数都是 $5$ 的倍数；线段垂直平分线上的点到两端点距离相等；对任意负数 $x$，$x^2$ 是正数；梯形的对角线相等。

12. 教材习题 1.5 第 2 题：判断下列存在量词命题真假：有些实数是无限不循环小数；存在一个三角形不是等腰三角形；有些菱形是正方形；至少有一个整数 $n$，$n^2+1$ 是 $4$ 的倍数。

13. 教材习题 1.5 第 3 题：写出下列命题的否定：$\forall x\in \mathbb{Z},|x|\in \mathbb{N}$；所有可以被 $5$ 整除的整数末位数字都是 $0$；$\forall x\in \mathbb{R},x+1\ge 0$；存在一个四边形，它的对角线互相垂直。

14. 教材习题 1.5 第 4 题：判断命题真假并写否定：平面直角坐标系下每条直线都与 $x$ 轴相交；每个二次函数图象都是轴对称图形；存在一个三角形内角和小于 $180^{\circ }$；存在一个四边形四个顶点不在同一个圆上。

15. 教材习题 1.5 第 5 题：将命题改写成含一个量词的全称或存在命题，并写否定：平行四边形的对角线互相平分；三个连续整数的乘积是 $6$ 的倍数；三角形不都是中心对称图形；一元二次方程不总有实数根。

16. 教材习题 1.5 第 6 题：说明“若 $p$，则 $q$”形式命题的正确否定，并分别写出“若 $x>1$，则 $2x+1>5$”“若四边形为等腰梯形，则对角线相等”的否定与真假判断。

练习题答案

1. 不是命题；是命题；是命题；是命题。

2. 真；假；真；假。

说明：负数没有算术平方根；一般梯形对角线不一定相等。

3. 真；真；真；假。

第 4 小题说明：整数 $n$ 不论奇偶，$n^2$ 除以 $4$ 的余数只可能是 $0$ 或 $1$，所以 $n^2+1$ 除以 $4$ 的余数只可能是 $1$ 或 $2$，不可能是 $0$。

• $\exists x\in \mathbb{Z},|x|\notin \mathbb{N}$。
• 存在一个可以被 $5$ 整除的整数，它的末位数字不是 $0$。
• $\exists x\in \mathbb{R},x+1<0$。
• 任意一个四边形，它的对角线都不互相垂直。

• 原命题假。否定：存在一条直线，它不与 $x$ 轴相交。
• 原命题真。否定：存在一个二次函数，它的图象不是轴对称图形。
• 原命题假。否定：任意一个三角形，它的内角和都不小于 $180^{\circ }$。
• 原命题真。否定：任意一个四边形，它的四个顶点都在同一个圆上。

6. 示例答案：

• $\forall x$，若 $x$ 是平行四边形，则 $x$ 的对角线互相平分。否定：存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分。
• 对任意三个连续整数，它们的乘积是 $6$ 的倍数。否定：存在三个连续整数，它们的乘积不是 $6$ 的倍数。
• 存在一个三角形，它不是中心对称图形。否定：所有三角形都是中心对称图形。
• 存在一个一元二次方程没有实数根。否定：所有一元二次方程都有实数根。

7. 原命题完整理解为：

$$\forall x\in \mathbb{R},x>1\Rightarrow 2x+1>5.$$

否定为：

$$\exists x\in \mathbb{R},x>1\text{ 且 }2x+1\le 5.$$

原命题是假命题。反例：取 $x=1.5$，则 $x>1$，但 $2x+1=4\le 5$。

8. 否定为：

存在一个四边形，它是等腰梯形，但它的对角线不相等。

原命题是真命题。

9. 真命题。因为：

$$x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0.$$

10. 假命题。因为任意实数 $x$ 都有：

$$x^2\ge 0,$$

所以：

$$x^2+1>0.$$

不存在实数 $x$ 使 $x^2+1=0$。

11. 教材习题 1.5 第 1 题答案：真；真；真；假。梯形不一定是等腰梯形，所以对角线不一定相等。

12. 教材习题 1.5 第 2 题答案：真；真；真；假。整数平方模 $4$ 的余数只能是 $0$ 或 $1$，所以 $n^2+1$ 模 $4$ 的余数为 $1$ 或 $2$，不可能是 $0$。

13. 教材习题 1.5 第 3 题答案：$\exists x\in \mathbb{Z},|x|\notin \mathbb{N}$；存在一个可以被 $5$ 整除的整数，它的末位数字不是 $0$；$\exists x\in \mathbb{R},x+1<0$；任意一个四边形，它的对角线都不互相垂直。

14. 教材习题 1.5 第 4 题答案：第一句假，否定为“存在一条直线不与 $x$ 轴相交”；第二句真，否定为“存在一个二次函数图象不是轴对称图形”；第三句假，否定为“任意一个三角形内角和都不小于 $180^{\circ }$”；第四句真，否定为“任意一个四边形四个顶点都在同一个圆上”。

15. 教材习题 1.5 第 5 题答案示例：任意平行四边形的对角线互相平分，否定为“存在一个平行四边形对角线不互相平分”；任意三个连续整数的乘积是 $6$ 的倍数，否定为“存在三个连续整数乘积不是 $6$ 的倍数”；存在一个三角形不是中心对称图形，否定为“所有三角形都是中心对称图形”；存在一个一元二次方程没有实数根，否定为“所有一元二次方程都有实数根”。

16. 教材习题 1.5 第 6 题答案：省略量词的“若 $p$，则 $q$”通常应理解为全称命题，否定是“存在一种情况，使 $p$ 成立且 $q$ 不成立”。“若 $x>1$，则 $2x+1>5$”的否定为 $\exists x\in \mathbb{R},x>1\text{ 且 }2x+1\le 5$，原命题假，如 $x=1.5$。“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等”的否定为“存在一个等腰梯形，它的对角线不相等”，原命题真。